函数的极限(定义及性质).
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x 0 x 0
显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1 .
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内容小结
函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
x x0
时函数极限的定义
lim f ( x ) A 或
当 时, 有
A A A
y
y f ( x)
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返回
结束
3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
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推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
几何解释
x0
x
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2. 左极限与右极限
左极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x 0 , x 0 )
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
返回 结束
两种特殊情况 :
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 当 f ( x) A
时, 有
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
y
x0 x0 x0
y x 1
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
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例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
( A 0)
思考: 若条件改为 f ( x ) 0 , 是否必有 A 0 ?
不能!
如
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0, X 0,
A 为函数
x
lim f ( x ) A
x X 或 x X
第四节 目录
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显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1 .
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函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
x x0
时函数极限的定义
lim f ( x ) A 或
当 时, 有
A A A
y
y f ( x)
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极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
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推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
几何解释
x0
x
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2. 左极限与右极限
左极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x 0 , x 0 )
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
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两种特殊情况 :
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 当 f ( x) A
时, 有
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
y
x0 x0 x0
y x 1
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
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例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
( A 0)
思考: 若条件改为 f ( x ) 0 , 是否必有 A 0 ?
不能!
如
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0, X 0,
A 为函数
x
lim f ( x ) A
x X 或 x X
第四节 目录
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