2021届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题

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2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f-=_________.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D. M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（）A.9B.8C.7D.6 三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小；（2）求点C 到平面1ABD 的距离.18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.（1）求ab的值；（2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2n n b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a nn++≤-+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}()()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f -=_________.【解析】令2()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1(5)5f-=.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)32lim 2n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191122a a a =+=-.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.【解析】令2,2a θb θ==，则[]222sin 2,24a b ⎛⎫+==+∈- ⎪⎝⎭πθθθ.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=，故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πa π≤<.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-=⎩，所以2(1)x y x -=，显然1x ≠，所以201x y x =>-，故1x >，所以22[(1)1]1124111x x y x x x x -+===-++≥---，当且仅当2x =时取等号，故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________.【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，因为0a >，所以0b >，所以1444b a b b+=+≥，当且仅当1,22a b ==时取等号，故14a b+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=⇒=⇒=，所以1134662πx πωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<，即19251212ω≤<，①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =，故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6πωx -可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， ⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πaπa πaπa ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪∈+∞⎢⎥⎪⎣⎦⎩，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =⋅，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4a =，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =，34πa =； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =98πa =；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[][]0,,2a a a M M =，得无解，综上，34πa =或98πa =.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1cos 4a ≤，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤，5,6πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤，13,12πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，综上，513,612ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故a 的最大值为1312π. 二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D.M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说，因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项，所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项，所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=，所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7，此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项，所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>，所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7，此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小；（2）求点C 到平面1ABD 的距离.【解析】（1）连接111,AD B D ，则11AD BC ∥，所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，1AB ==，13AD ==，11B D ==在11B AD ∆中，由余弦定理得22211111111cos 22AB AD B D B AD AB AD +-∠==，所以114πB AD ∠=，即异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为4π；（2）1111322ABD S AB AD ∆=⨯==，11222ABC S AB BC ∆=⨯==，1DD =，设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，即111133ABD ABC S S h DD ∆∆⨯=⨯，所以h =所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.B 1D 1A 1D C 1CBA（1）求ab的值；（2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，得sin()2sin()B C A C +=+，因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2ab=；（2）因为3cos ,2,24aC c b===，由余弦定理得222324a b c ab +-=，即222(2)4344b b b +-=，解得b =，所以2a b ==sin C ==所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.【解析】（1）当4x >时，23p =，所以123015033y x x =⋅⋅-⋅⋅=，当04x <≤时，16p x=-，所以21115(921301566)6x x y x x x x x -⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅= ⎪---⎝⎭，所以()21592,04(6)0,4x x x y x x ⎧-⎪<≤=⎨-⎪>⎩；（2）当04x <≤时，22)15(96x x y x-=-，令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)1815(152)t t y t tt⎡⎤---⎣⎦==--，所以15(1545y ≤-=万元，当且仅当182t t=，即3,3t x ==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；【解析】（1）由题意得22921,2c a b-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；（2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，由PA mAF =得11211m x mt y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又点A 在双曲线上，所以2221131m t m m ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得226330m m t ---=，同理，由PB nBF =，得226330n n t ---=，因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，所以,m n 是方程226330x x t ---=的两根，所以6m n +=，为定值；法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，由2213(2)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)121230k x k x k --++=，所以2212122212123,3131k k x x x x k k ++==--，由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)x x x x x x m n x x x x -+-+=+=---- 22121222212122()2242(123)6642()4(31)241231x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-，所以6m n +=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，1212122QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ∆∆∆=-=⨯-=-，所以()()222221212124()44QABS k x x k x x x x ∆⎡⎤=-=+-⎣⎦()22242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+-+-=⎢-⎥= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦()()222222221212(1)4483131k k k kkk++==--，因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++==--＞＞，所以2310t k =-＞，所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABt t k k t t S t t k ∆++⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===-22224854484519215139998t t t t t t ++⎛⎫⎛⎫==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0t ＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABS t ∆⎛⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，所以232.31310QAB S ∆>≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2nn b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a n n++≤-+. 【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+20=-＜，所以数列2n a n n =-+不为“凸数列”，因为+21233339221322224nn n nn n n b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13042n⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以数列3()2n n b =为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-++++-≥--，所以1mm m n a a a a n m+-≥--，又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-++++-≤--，所以1m km m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k--≥--，证毕；（3）①当1i =时，111(1)i n ii a a a nn ++≤-+即21111(1)n a a a n n+≤-+，由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，故21111(1)n a a a n n+≤-+，成立； ②当i n =时，111(1)i n i ia a a nn++≤-+即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得1111n i i a a a a n i i+++--≥-，所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i ia a a n n++≤-+成立，综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i ia a a n n++≤-+.。

2021届上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2021届上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知命题p：9−x2<0，q：x2+x−6>0，则￢q是￢p的()A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 必要不充分条件2.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：°C)数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是()A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势3.已知命题p：∀x∈R，x2≤1，则命题p的否定()A. ∃x∈R，x2≥1B. ∀x∈R，x2≥1C. ∃x∈R，x2>1D. ∀x∈R，x2>14.已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①f(x)的值域为G，且G⊆[a,b]；②对任意的x，y∈[a,b]，都有|f(x)−f(y)|<|x−y|．那么，关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是()A. 没有实数根B. 有且仅有一个实数根C. 恰有两个实数根D. 有无数个不同的实数根二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z=(a+i)i(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a=______ ．6.设全集U={1,2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，则C U(S∪T)等于______ ．7. 已知以点C(1,−3)为圆心的圆C 截直线4x −3y +2=0得到的弦长等于2，椭圆E 的长轴长为6，中心为原点，椭圆E 的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆E 上，△F 1PF 2是直角三角形，若椭圆E 的一个焦点是圆C 与坐标轴的一个公共点，则点P 到x 轴的距离为______ ．8.已知一个样本的方差s 2=120[(x 1−3)2+(x 2−3)2+⋯+(x n −3)2]，则这组数据的总和等于______ ．9.函数f(x)=∣∣∣(sinx +cosx)2−111∣∣∣的最小正周期是______．10. 已知数列{a n }满足a n+1+a n =4n −3(n ∈N ∗)，若对任意的n ∈N ∗，都有a n 2+a n+12≥20n −15成立，则a 1的取值范围是______ ．11. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为34、23、35，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为______． 12. 若∫(10x 2+mx)dx =23，则在(x 2−3x +m)5的展开式中，含x 项的系数为______． 13. 若函数f(x)=sin 2x+1sin2x(0<x <π2)，则f(π12)= ______ ，f(x)的最小值为______ ．14. 如图，在平面斜坐标系中，∠xoy =45°，斜坐标定义为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0e 1⃗⃗⃗ +y 0e 2⃗⃗⃗ (其中e 1⃗⃗⃗ , e 2⃗⃗⃗ 分别为斜坐标系的x 轴，y 轴的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0,y 0).若F 1(−1,0)，F 2(1,0)，且动点M(x,y)满足|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为______ ．15. 棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1及其内部一动点P ，集合Q ={P||PA|≤1}，则集合Q 构成的几何体的表面积为______ ．16. 若存在实数x 满足|x −2|+|x −m|<5，则实数m 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，CD//AB，面ABE⊥面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=4，点M在棱AE上．(1)证明：当MA=2EM时，直线CE//平面BDM；(2)当AE⊥平面MBC时，求C−BDM的体积．18.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos A+C2=√33．(Ⅰ)求cos B的值；(Ⅱ)若a+c=2√6，b=2√2，求△ABC的面积．19.今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T(万台)与月广告费x(万元)之间的函数关系是T=5−25x(1≤x≤5).己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．(月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%)(Ⅰ)将该电机的月利润S(万元)表示为月广告费又(万元)的函数；(Ⅱ)当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？(月利润=月销售收入−月生产成本−月广告费)．20.顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点(3,6)，(1)求抛物线截直线y=2x−6所得的弦长．(2)讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．21.已知数列{a n}，{b n}，满足a1=2，2a n=1+a n a n+1，b n=a n−1(b n≠0)．(Ⅰ)求证数列{1b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令C n=b n b n+1，S n为数列{C n}的前n项和，求证：S n<1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：解不等式9−x2<0可得x<−3，或x>3，解不等式x2+x−6>0可得x<−3，或x>2．故p，q对应的集合分别为：A={x|x<−3，或x>3}，B={x|x<−3，或x>2}．∵A⊆B，∴p⇒q，即￢q⇒￢p，故￢q是￢p的充分不必要条件．故选A解不等式可得p，q对应的集合，由集合的包含关系可得p是q的什么条件，由逆否命题的等价关系可得答案．本题考查学生对命题及充要条件的理解，从集合的包含关系入手是解决问题的关键，属基础题．2.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，是基础题．根据图象得到的信息依次进行判断可得从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误．解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误故选：D．3.答案：C解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题p的否定：∃x∈R，x2>1，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.答案：B解析：解：设g(x)=f(x)−x．g(a)=f(a)−a≥0，g(b)=f(b)−b≤0，所以g(x)=0在[a,b]有实数根，若有两个不同的实数根x，y，则f(x)=x，f(y)=y，得f(x)−f(y)=x−y，这与已知条件|f(x)−f(y)|<|x−y|相矛盾．故选B．由题意设g(x)=f(x)−x，已知区间[a,b]判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解．此题考查根的存在性及根的个数判断，比较简单是一道基础题．5.答案：−1解析：解：z=(a+i)i=−1+ai，∵复数z=(a+i)i的实部与虚部相等，∴a=−1．故答案为：−1．利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于虚部得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：{2,4，7，8}解析：解：∵S={1,3，5}，T={3,6}∴S∪T={1,3，5，6}∴C U(S∪T)={2,4，7，8}故答案为：{2,4，7，8}主要考查了集合的简单的并集与补集混合运算．先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．7.答案：53解析：解：如右图，点C到直线4x−3y+2=0的距离d=|4×1+3×3+2|√42+32=3，故r=√d2+1=√10，故圆C的方程为(x−1)2+(y+ 3)2=10，令y=0解得，x=0或x=2，故椭圆的一点焦点坐标为(2,0)，故c=2，再由椭圆E的长轴长为6知，a=3；故椭圆的方程为x29+y25=1；又∵点P在椭圆E上，△F1PF2是直角三角形，∴∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，∴设点P的横坐标为x0，则|x0|=2，故49+y25=1，故|y0|=53；即点P到x轴的距离为53；故答案为：53．由题意可解得点C到直线4x−3y+2=0的距离，从而求圆的半径，进而写出圆C的方程，从而解出焦点坐标，再结合椭圆E的长轴长为6写出椭圆的方程，从而结合图象可知∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，从而来解出点P的纵坐标即可．本题考查了椭圆的方程的求法及椭圆与直线的位置关系应用，属于中档题．8.答案：60解析：解：由于这组数据的样本的方差是：s2=120[(x1−3)2+(x2−3)2+⋯+(x n−3)2]，根据方差的计算公式可知，这组数据的样本容量为n =20，平均数为x =3，则这组数据等总和等于S =n ×x =20×3=60，故答案为：60．根据样本的方差的知这组数据的容量和平均数，从而求出这组数据的总和．本题考查平均数和方差，本题解题的关键是理解这几个特征数的特点与求法，本题是一个基础题．9.答案：π解析：解：函数f(x)=∣∣∣(sinx +cosx)2−111∣∣∣=(sinx +cosx)2+1=2+sin2x ，故它的最小正周期为2πω=π，故答案为：π．根据行列式的运算化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查行列式的运算，正弦函数的周期性，属于基础题．10.答案：a 1≤−4或a 1≥3解析：解：∵a n+1+a n =4n −3(n ∈N ∗)， ∴a n+2+a n+1=4n +1，两式相减得出a n+2−a n =4． (1)当n 为奇数时， a n =a 1+4(n+12−1)=a 1+2n −2，a n+1=a 2+4(n+12−1)=−a 1+2n −1，a n 2+a n+12=8n 2−12n5−2a 12−2a 1>20n −15， ∴a 12−a 1>−4n 2+16n −10，∵n 是奇数，∴当n =1，3时，右边最大为2，∴a 12−a 1>2，解得a 12①；(2)当n 为偶数时，令n =2k(k ∈N ∗)，则有a 2k+2−a 2k =4．由a 2+a 1=1，得a 2=1−a 1，∴a n =a 2k =a 2+(k −1)×4=2n −a 1−3．由a n+1+a n =4n −3，得a n+1=2n +a 1，则a n 2+a n+12≥20n −15，即为(2n −a 1−3)2+(2n +a 1)2≥20n −15，整理，得a 12+3a 1≥−4(n −2)2+4，而−4(n −2)+4≤4，∴a 12+3a 1≥4，解得a 1≤−4或a 1≥1②；综上所述，联立①②，解得a 1的取值范围是a 1≤−4或a 1≥3．故答案为：a 1≤−4或a 1≥2．由a n+1+a n =4n −3(n ∈N ∗)，得a n+2+a n+1=4n +1，两式相减得出a n+2−a n =4.分n 为奇数、n 为偶数两种情况进行讨论，可分别求得a n ，a n+1，进而可表示出不等式a n 2+a n+12≥20n −15，分离出a 1后化为最值可解．本题考查由数列递推式求数列通项、等差数列及不等式恒成立，考查分类与整合思想、转化思想．思维灵活性大，逻辑关系较复杂．11.答案：23解析：解：三人中由一人或两人达标，其概率为1−34×23×35−14×13×25=23，故答案为：23．相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；本题考查了相互独立事件同时发生的概率和对立事件的运算性质，属基础题，解题时要认真辨别，细致运算．12.答案：−8027解析：解：若∫(10x 2+mx)dx =(x 33+m 2⋅x 2)|01=13+m 2=23，则m =23．在(x 2−3x +m)5=(x 2−3x +23)5，表示5个因式(x 2−3x +23)的乘积．只要其中一个因式取(−3x)，其余的因式都取23，即可得到展开式中含x 的项．故含x 项的系数为C 51⋅(−3)⋅(23)4=−8027，故答案为：−8027．由题意利用定积分求出m 的值，再根据组合数的计算公式、乘方的意义，求出含x 项的系数．本题主要考查定积分、二项式定理、组合数的应用，乘方的意义，属于中档题．13.答案：6−√32√2 解析：解：由于f(x)=sin 2x+1sin2x，所以f(π12)=1−cosπ62+112=6−√32．f(x)=sin 2x+1sin2x=2sin 2x+cos 2xsin2x=2tan 2x+12tanx=tanx +12tanx≥2√12=√2，当且仅当tanx =√22时，等号成立，故答案为：6−√32,√2．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦函数的关系式的变换．基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦函数的关系式的变换．基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.答案：√2x +y =0解析：解答：解：设M(x,y)，∵F 1(−1,0)，F 2(1,0)，∴由定义知MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−[(x +1)e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ]，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−[(x −1)e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ]， ∵|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∴(x +1)2+y 2+2(x +1)×y ×√22=(x −1)2+y 2+2(x −1)×y ×√22整理得√2x +y =0 故答案为：√2x +y =0设M(x,y)，根据|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |建立等式关系，解之即可求出点M 的轨迹方程．本题考查新定义，考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15.答案：5π4解析：解：由题意知，满足集合Q ={P||PA|≤1}的点P 的轨迹为：以点A 为球心，以1为半径的球的18部分，它的表面由四部分组成：球面的18和3个面积相等扇形(每个扇形为半径为1的圆的14)∴表面积S =18×4π×12+3×14×π×12=π2+3π4=5π4故答案为：5π4先确定满足题意的点P 的轨迹是什么几何体，然后再求表面本题考察几何体的表面积，题型比较灵活新颖，须首先确定几何体．要牢记球的表面积公式．属简单题16.答案：(−3,7)解析：解：由于|x−2|+|x−m|≥|(x−2)−(x−m)|=|m−2|，则|x−2|+|x−m|的最小值为|m−2|，由存在实数x满足|x−2|+|x−m|<5，则5>|m−2|，即为−5<m−2<5，即有−3<m<7．则m的取值范围是(−3,7)．故答案为：(−3,7)．运用绝对值不等式的性质，可得|x−2|+|x−m|的最小值为|m−2|，由题意可得5>|m−2|，由绝对值不等式的解法即可得到范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在问题的解法，考查绝对值不等式的性质，属于基础题和易错题．17.答案：(1)证明：连结BD与AC交于点N，连结MN，∵AB//CD，AB=2CD=4，∴△CND∽△ANB，∴CDAB =CNAN=12，∵EMMA =12，∴EMMA=CNAN，∴MN//EC，又MN⊂面BDM，CE⊄面BDM，∴CE//平面BDM．(2)解：∵AE⊥平面MBC，∴AE⊥BM，∵AB=AE=BE，∴M是AE的中点，∵面ABE⊥面ABCD，∴点E到面ABCD的距离为d=4×√32=2√3，∴M到面ABCD的距离为ℎ=d2=√3，∴V C−BDM=V M−BCD=13S△BCD⋅ℎ=13⋅12⋅2⋅2⋅√3=2√33．解析：(1)连结BD与AC交于点N，连结MN，说明△CND∽△ANB，证明MN//EC，然后证明CE//平面BDM．(2)利用等体积法，通过V C−BDM=V M−BCD.求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18.答案：解：(Ⅰ)∵cos A+C 2=√33， ∴cos π−B 2=sin B 2=√33，则cosB =1−2sin 2B 2=13；(Ⅱ)∵b =2√2，cosB =13，即sinB =√1−cos 2B =2√23， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即9=a 2+c 2−23ac =(a +c)2−83ac ，将a +c =2√6代入得：ac =6，则S △ABC =12acsinB =12×6×2√23=2√2．解析：(Ⅰ)已知等式左边利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos B 的值即可； (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a +c 的值代入求出ac 的值，再由sin B 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.答案：解：(I)由题意知，该电机的月生产成本为(25T +5)万元，月销售收入为(25T +5)×120%+x ⋅50%，…(2分)月利润为S =(25T +5)×120%+x ⋅50%−(25T +5)−x ，即S =5T +1−12x.又T =5−25x (1≤x ≤5)，…(4分)所以S =5T +1−12x =26−2x −12x(1≤x ≤5)..…(7分)(II)由S =26−2x −12x =26−(2x +12x)≤26−2√2x ⋅x 2=24 ….(10分) 当且仅当2x =12x ，即x =2时，S 有最大值24.…(11分)因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..(12分) 解析：(I)该电机的月生产成本(25T +5)万元，月销售收入为(25T +5)×120%+x ⋅50%，月利润为S =(25T +5)×120%+x ⋅50%−(25T +5)−x ，整理即得；(II)由利润函数S 的解析式，利用基本不等式可得L 的最大值．本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值． 20.答案：解：由题意可知：设椭圆的方程为：y 2=2px ，(p >0)，由抛物线经过点(3,6)，∴36=2×p ×3，解得：p =6，∴抛物线方程为：y 2=12x ，设直线y =2x −6与抛物线两交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y 2=12x y =2x −6，整理得：x 2−9x +9=0， Δ=92−4×9>0，由韦达定理可知：x 1+x 2=9，x 1x 2=9，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√92−4×9=15，抛物线截直线y =2x −6所得的弦长15，(2)当k =0时，y =1，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，由{y =kx +1y 2=12x，整理得：k 2x 2+2(k −6)x +1=0，当Δ=4(k −6)2−4k 2>0，解得：k <3，∴直线与抛物线有两个交点，Δ=4(k −6)2−4k 2<0，解得：k >3，直线与抛物线无交点，当Δ=4(k −6)2−4k 2=0，即k =3时，直线与抛物线有一个交点，综上可知：当k >3时，直线y =kx +1与抛物线相离，即直线与抛物线无交点，当k =3时，直线y =kx +1与抛物线相切，直线与抛物线有一个交点，当k <3且k ≠0，直线与抛物线相交，有两个交点，当k =0时，直线与抛物线相交，有一个交点．解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，韦达定理，利用判别式法，求直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．(1)由题意设椭圆的方程为：y 2=2px ，(p >0)，由抛物线经过点(3,6)，代入即可求得p 的值，求得抛物线方程，将y =2x −6代入y 2=12x ，由韦达定理求得x 1+x 2=9，x 1x 2=9，根据弦长公式可知：|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，即可求得抛物线截直线y =2x −6所得的弦长；(2)当k =0时，y =1，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，将y =kx +1代入抛物线方程，由Δ>0，直线与抛物线有两个交点，求得k 的取值范围，当Δ<0，直线与抛物线相离，无交点，求得k 的取值范围，当Δ=0，直线与抛物线相切，仅有一个交点，求得k 的取值．21.答案：证明：(Ⅰ)∵b n=a n−1，∴a n=b n+1，又2a n=1+a n a n+1，∴2(b n+1)=1+(b n+1)(b n+1+1)，化简得：b n−b n+1=b n b n+1，∵b n≠0，∴1b n+1−1b n=1(n∈N∗)又1b1=1a1−1=12−1=1，∴{1b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴1b n=1+(n−1)×1=n，∴b n=1n．则a n=1n +1=n+1n；(Ⅱ)由C n=b n b n+1，得：C n=1n(n+1)=1n−1n+1．∴S n=C1+C2+⋯+C n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1．∵n∈N∗，∴1−1n+1<1．即S n<1成立．解析：(Ⅰ)由b n=a n−1得到a n=b n+1，代入2a n=1+a n a n+1，得到{1bn}为等差数列，由等差数列的通项公式求得1b n，进一步得到b n，则数列{a n}的通项公式可求；(Ⅱ)把b n代入C n=b n b n+1，整理得到C n=1n(n+1)=1n−1n+1，则数列{C n}的前n项和可求，放缩得到S n<1．本题考查数列与不等式综合，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．。

2021届上海市七宝中学高三上学期摸底数学试题(解析版)

第 1 页共 6 页 2021届上海市七宝中学高三上学期摸底数学试题
一、单选题
1．设复数z 满足3(2)12+⋅=-i z i ，则复数z 对应的点位于复平面内（） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】根据复数z 满足3(2)12+⋅=-i z i ，利用复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为复数z 满足3(2)12+⋅=-i z i ，所以()()()()3122121222224355
+--+===+=+++-i i i i z i i i i i ，所以复数z 对应的点位于复平面内第一象限，
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．若动点A ､B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（）
A
．
B
．2 C
．D
．2 【答案】C
【解析】M 点的轨迹是两直线1l 与2l 之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．
【详解】
∵A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，M 是AB 中点，∴M 点在到两直线1l 与2l 距离相等的平行线上，
直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，因此M 点所在直线为60x y +-=，则MO
的最小值为d ==．。

2024学年上海市七宝中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2024学年上海市七宝中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．23B ．1C ．43D ．832．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2-4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．23D ．12-6．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（） A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π7．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．4D ．38．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 9．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷

第1页，共3页上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一. 填空题1. 已知集合2{|430}A x x x =++≥，{|21}x B x =<，则A B =2. 若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-= 3. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim 1nn S n →∞=+4. 函数()31x f x =-（0x <）的反函数是1()fx -=5. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则{}n a 的通项公式n a =6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令2020n n n b a a -=+（*n ∈N ，2020n <），当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = 8. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6m ，最低点B 处离地面3.5m ，若从离地高2m 的C 处观赏它，则离墙 m 时视角θ最大9. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =10. 记[]x 为不大于x 的最大整数，设有集2{|[]2}A x x x =-=，{|||2}B x x =<，A B =11. 已知函数2()|1||1|f x x x a x =+-++，x ∈R 上有两个不同的零点，则a 的取值范围12. 已知数列{}n a 满足：1[(25)]2n n n a =++（*n ∈N ），其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设A 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i A a a =+≤∑（其中符号∑为连加号，如112ni i n ==++⋅⋅⋅+∑），则A 的最小值是二. 选择题13. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，若()24g π=，则3()8f π=（） A. 2- B. 2- C.2 D. 216. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和1a λ=，且21(1)n n n a a n -+=-，若201920192101020192019S a μ-=-，则20191λμ+的最小值（）A. 22B. 4C. 2019D. 22019第2页，共3页三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、，（1）求椭圆C 的方程；第3页，共3页（2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠.。

上海市七宝中学2021届高三上学期第一次月考数学试题

（1）若，且是奇函数，求的值；
（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；
（3）若，在上存在个点，满足，，
，使得，
求实数的取值范围；
参考答案
1．
【解析】
【分析】
本题考查的是函数的定义域，是通过函数的定义域来判断的定义域，要注意不仅并且有。
【详解】
因为函数的定义域为[-1,2]，所以
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要
17．对于平面向量和给定的向量，记，若对任意向量恒成立，则的坐标可能是（）
A． B． C． D．
18．函数（，）部分图像如图所示，且，对不同的，，若，有，则（）
A．在上是减函数
B．在上是增函数
C．在上是减函数
上海市七宝中学2021年高三上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知函数的定义域是，则的定义域是________
2．若，则的取值范围是________
3．在锐角△ 中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式对任意恒成立，可转化为不等式对任意恒成立，分与两种情况讨论．时结合二次函数的图像得结论．
7． .
【解析】
因为，所以，．当且仅当即时，上式取“=”号，此时，的最小值为．
8．
【解析】
∵ ⊥ ，∴ · ＝(λ ＋ )·( － )＝－λ 2＋ 2＋(λ－1) · ＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2× ＝0，解得λ＝ .

上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案

上海2021-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +〔1(0,)3x ∈〕 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507.10109.110. 1}-11.(3---12.1288二. 选择题13. B 14.C15.C 16. B 17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. 〔1〕证明：BE ⊥平面EB 1C 1；〔2〕假设AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2【解析】【分析】〔1〕利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；〔2〕以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明〔1〕因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ；〔2〕以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如以下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩，二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】此题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1〕求角B 的大小；，2〕设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数根本关系可得tanB =B =π3Ⅰ ⅠⅡ〕在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ〕在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ〕在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b Ⅰ由π6bsinA acos B⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ 因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cosAsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.〔1〕请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；〔2〕假设华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】〔1〕不符合，原因见解析〔2〕a 的取值集合为{}910911912，，【解析】【分析】〔1〕根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解；〔2〕由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】〔1〕设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的根本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max 1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.〔2〕对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥；综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】此题结合实际问题，考查了〔1〕函数的单调性，最值和恒成立问题；〔2〕由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、，〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕求BM BN ⋅的取值范围；〔3〕设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】〔1〕22163x y +=〔2〕(2,3]〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；〔2〕由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. 〔3〕由〔2〕用坐标表示出AM AN k k +化简即可. 【详解】〔1〕由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.〔2〕由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，又()113y k x =-，()223y k x =-，()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. 〔3〕由〔2〕得所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】此题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足以下条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数. 〔1〕数列{}n a 是等差数列，求k 的值；〔2〕令1()n n n b a a n N *+=-∈，假设11b =，求数列{}n b 的通项公式；〔3〕证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】〔1〕1〔2〕n b ()1210n k a a -=-≠〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；〔2〕由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.〔3〕先进行充分性证明：假设()(1)f x kx k =≠那么{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：假设{}n a 数列是等比数列，那么()(1)f x kx k =≠.【详解】〔1〕由()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅，得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅，由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅，所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.〔2〕由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n ka a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠〔3〕{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:假设()()1f x kx k =≠，那么由10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:假设{}n a 是等比数列，由〔2〕知，()()1*21n n b ka a n N -=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥， ()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列.所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k --=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】此题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。

上海市闵行区七宝中学2021届高三高考数学模拟试卷(2021.05) 含解析

2021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，满分54分）1．已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为．2．已知集合A＝R，B＝∅，则A∪B＝．3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为．5．计算行列式的值为．6．已知正整数数列{a n}满足，则当a1＝8时，a2021＝．7．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，则抽到一等品的概率为．8．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为．9．已知函数f（x）＝sin x﹣2cos x，当x＝α时f（x），则cosα＝．10．在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q为非零实数，则q的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“S n存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．6315．对于定义域为R的函数y＝g（x），设关于x的方程g（x）＝t，记根的个数为f g（t），给出下列两个命题：①设h（x）＝|g（x）|，若f h（t）＝f g（t），则g（x）≥0；②若f g（t）＝1，则y＝g（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误16．关于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）A．B．﹣3 C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，AB为圆O的直径，2DC ＝AB，E为AB上一点，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积．19．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0≤n≤10时，f（n）（n）＝，其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多．20．（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：y＝t（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线y＝x+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D 21．（18分）已知数列{a n}（a n∈N），记S n＝a1+a2+⋯+a n，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤a k≤k﹣1，且S k是k的正整数倍．（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{a n}的前10项；（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{a n}的第n项a n由a1唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{S n}从某一项起为等差数列．参考答案一、填空题（第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，满分54分）1．已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为﹣．解：∵（1+i）z＝i3，∴（4﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（﹣i），∴2z＝﹣1﹣i，化为：z＝﹣﹣i，∴复数z的虚部为，故答案为：﹣．2．已知集合A＝R，B＝∅，则A∪B＝R．解：∵A＝R，B＝∅，∴A∪B＝R．故答案为：R．3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为10．解：由题意知：椭圆C：＝1中a＝4，c＝2，∴△PF4F2周长＝2a+7c＝6+4＝10．故答案为：10．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为3．解：因为x1，x2，x4，x4的方差是，则3x1，3x2，3x8，3x4的方差为＝3．故答案为：3．5．计算行列式的值为﹣3．解：行列式＝1×2×（﹣3）+0×1×2+（﹣1）×0×6﹣（﹣1）×2×4﹣1×1×3﹣（﹣3）×0×5＝﹣3．故答案为：﹣3．6．已知正整数数列{a n}满足，则当a1＝8时，a2021＝4．解：∵a1＝8是偶数，∴a7＝＝＝4是偶数，∴a7＝＝＝2是偶数，∴a8＝＝＝1是奇数，∴a4＝3a4+5＝3×1+8＝4是偶数，∴a6＝2是偶数，∴a7＝1是奇数，•••，从第二项开始，正整数数列{a n}是以4为周期的周期数列，∵2021＝1+673×3+2，∴a2021＝a2＝4，故答案为：4．7．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，则抽到一等品的概率为0.78．解：设抽到一等品，二等品，B，C，则，解得，\所以抽到一等品的概率为0.78．故答案为：0.78．8．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为112．解：∵二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为7n＝256，∴n＝8，则展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•27﹣r•x12﹣2r，令12﹣2r＝7，求得r＝6，故常数项为•22＝112，故答案为：112．9．已知函数f（x）＝sin x﹣2cos x，当x＝α时f（x），则cosα＝﹣．解：f（x）＝sin x﹣2cos x＝（sin x﹣sin（x﹣θ）∵x＝α时，函数f（x）取得最大值，∴sin（α﹣θ）＝8，即sinα﹣2cosα＝，又sin5α+cos2α＝1，联立得（4cosα+）2+cos8α＝1，解得cosα＝﹣．故答案为：﹣．10．在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则．解：如图所示，以点A为原点，AD分别为x，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，B（7，C（2，D（0，O（2，因为点E是边BC上的动点，所以设点E的坐标为（2，则由可得：（2，7）+μ（1，所以2λ+μ＝8，即＝1，所以＝（）＝2+，当且仅当时取等号的最小值为，故答案为：．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为8π．解：三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，由点P为棱CC1的中点，可得底面△PQN是等腰直角三角形，那么底面△PQN的外接圆半径r＝1，设球心到△PQN的外接圆的圆心的距离为d，球半径R，则，①d2+r6＝R2，②联立①②解得R＝．∴该球的表面积S＝5πR2＝8π．故答案为：3π．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q为非零实数，则q的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．解：根据题意，分情况讨论：①当0＜q＜1时，有4＞q＞q2＞q3＞q2＞q5＞0，此时有2＜1﹣q＜1﹣q7＜1﹣q3＜4﹣q4＜1﹣q8＜1，满足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|2﹣q5|，符合题意，②当q＝1时，也能满足|5﹣q|≤|1﹣q2|≤|5﹣q3|≤|1﹣q7|≤|1﹣q5|，符合题意，③当q＞5时，1＜q＜q2＜q5＜q4＜q5，此时有3＞1﹣q＞1﹣q5＞1﹣q3＞5﹣q4＞1﹣q3，满足|1﹣q|≤|1﹣q6|≤|1﹣q3|≤|2﹣q4|≤|1﹣q2|，符合题意，④当﹣1≤q＜0时，|4﹣q|＞|1﹣q n|，不满足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q5|≤|1﹣q4|≤|5﹣q5|，⑤当﹣2＜q＜﹣8时，|1﹣q|＞|1﹣q n|，不满足|4﹣q|≤|1﹣q2|，⑥当q≤﹣3时，q2﹣1﹣（8﹣q3）＝q2（7+q）﹣2＜0 恒成立3﹣1＜1﹣q2，同理可证得1﹣q3＜q6﹣1＜1﹣q4，符合题意，综上所述，q的取值范围为（﹣∞，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“S n存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件解：①当q＝1时，则S n＝na1，∴S n＝na2不存在，②当|q|＞1时，则S n＝，∵q n不存在，∴S n不存在，③当0＜|q|＜2时，则S n＝，∵q n＝0，∴S n＝，∴必要性成立，反之当S n存在时，则q n＝0，∴0＜|q|＜2，∴S n存在是0＜|q|＜1的充要条件．故选：C．14．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．63解：由已知可得＝6.95K﹣0.23（t*﹣50）＝，两边取对数有﹣5.23（t*﹣50）＝﹣ln19，解得t*≈63，故选：D．15．对于定义域为R的函数y＝g（x），设关于x的方程g（x）＝t，记根的个数为f g（t），给出下列两个命题：①设h（x）＝|g（x）|，若f h（t）＝f g（t），则g（x）≥0；②若f g（t）＝1，则y＝g（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误解：∵h（x）＝|g（x）|≥0，对任意的t＞0h（t）＝5，则f g（t）＝f h（t）＝0，则g（x）≥0；取，则f g（t）＝1，但g（x）不是单调函数；故选：B．16．关于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）A．B．﹣3 C．D．0解：由条件知b≥0，方程可化为|x+a|+|2x﹣a|＝a7+b或|x+a|+|2x﹣a|＝a2﹣b，当a＜7时，|x+a|+|2x﹣a|＝，如图所示，若方程有三个不同的实数根2+b和直线y＝a2﹣b共有6个交点，当x＝时，y＝，可得或a≥0（舍），则2a+b＝，当a＝时，2a+b取得最小值为．又当a＞0，b＞3时．综上所述，2a+b的最小值为．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，AB为圆O的直径，2DC ＝AB，E为AB上一点，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值．解：（1）连接OD，OC，∵AB∥CD，∴∠AOD＝∠ODC＝60°，∵ED⊥AB，∴，EO＝1，∴，∴，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．（2）如图建立空间直角坐标系E﹣xyz，则B（0，3，7），，，0，3），∴，，，设平面PBD的法向量为，由，即，取y1＝6，则x1＝，z4＝1，得，设平面PBC的法向量为，由，即，取y2＝2，则x2＝，z2＝1，得，设锐二面角C﹣PB﹣D的大小为θ，则，∴锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积．解：（1）在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD8﹣2BC⋅CD⋅cos∠BCD＝，则BD＝4．（2）在△ABD中，∠BAD＝180°﹣30°﹣45°＝105°，sin105°＝sin（45°+60°）＝，由正弦定理可得，则＝．19．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0≤n≤10时，f（n）（n）＝，其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多．解：（1）由题意知f（0）＝A，f（3）＝3A．所以解得．令f（n）＝7A，得，解得a n＝64，即，所以n＝9．所以研发启动4年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．（2）由（1）知第n年的投入资金＝f（n）﹣f（n﹣1）＝＝，当且仅当，即等号．所以研发启动后第6年的投入资金增长的最多．20．（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：y＝t（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线y＝x+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D 解：（1）∵抛物线，即x2＝4y，∴F（2．（2）设点，AD的中点为，设截得得弦为GH，圆心C到弦的距离为d，则＝，得与x6无关，所以t＝3．（3）设A（x1，y5），B（x2，y2），线段AB的中点为G，联立，∵△＞4∴16+16m＞0∴m＞﹣1，∵x7+x2＝4，x5x2＝﹣4m，y4+y2＝4+8m，∴G（2，2+m），∴符合m＞﹣1，∵＝，点E到AB的距离为，∴．21．（18分）已知数列{a n}（a n∈N），记S n＝a1+a2+⋯+a n，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤a k≤k﹣1，且S k是k的正整数倍．（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{a n}的前10项；（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{a n}的第n项a n由a1唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{S n}从某一项起为等差数列．【解答】（Ⅰ）解：因为S k是k的正整数倍，当a1＝21时，则{S n}的前10项为21，22，24，30，40，所以数列{a n}的前10项为21，1，6，0，1，3，5，5，2，5；（Ⅱ）证明：当k＝2时，根据题意a6+a2＝2b为偶数，并且8≤a2≤1，所以，从而a2由a5唯一确定，接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同的取值，假设第k+1项是第1个可以有两个不同取值的项，即前面k项由a2唯一确定，记第k+1项的两种取值为a k+1和c k+3（a k+1≠c k+1），根据题意存在b，c∈N8+a2+⋯+a k+a k+1＝（k+3）b①，且a1+a2+⋯+a k+c k+4＝（k+1）c②，并且满足0≤a k+8，c k+1≤k，由①②两式作差可知，|a k+1﹣c k+3|是k+1的倍数，又因为|a k+1﹣c k+6|≤k，可知a k+1＝c k+1，与假设矛盾，故假设不成立，所以对任意n≥4，数列{a n}的第n项a n由a1唯一确定；（Ⅲ）证明：因为S k+1＝S k+a k+4≤S k+k，所以，因为，都是正整数≤，因此存在m8，当n≥m0时，为常数，不妨记为＝c0时，S n＝cn，所以数列{S n}从某一项起为等差数列．。

上海市七宝中学2021届高三上学期摸底考试数学试题含答案

上海市七宝中学2021届高三上学期摸底考试数学试题含答案上海七宝中学高三数学摸底考试卷2020。

09一。

填空题1。

已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =，则非零实数m =2. 不等式2log (21)1x -<的解集为3. 已知sin()2m πα+=，则cos(2)πα-=4. 若满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx 的最大值为 5。

已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a =6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知23a =，2c =，sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则△ABC 的面积为 7. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += 8。

在平面直角坐标系O 中，O 为原点，(1,0)A -，(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足，则||OA OB OD ++的最大值为9。

我校5位同学报考了北京大学“强基计划"第I 专业组，并顺利通过各项考核,已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是（结果用最简分数表示）10. 设(,)n n n P x y 是直线2()1nx y n n +=∈+*N 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim1n n ny x →∞+=-11。

设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >)，则122020x x +的取值范围是12. 已知12a =,点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图像上()n ∈*N ，112n n n b a a =++,则数列{}n b 的前n 项和n S = 二。

上海市七宝中学高三上摸底考试数学试题(无答案)

七宝中学2021-2021学年度第一学期高三数学9月摸底考试卷一、填空题(本大题共有12题,总分值54分,其中16题每题4分,7-12每题6分) 1.集合{}{}，，，R m mx x B x x x A ∈=+==--=01|043|2且A B A = ,那么所有满足条件的m 构成的集合为____________.2.设R b a ∈，,那么“a b tan =〞是“b a arctan =〞的__________条件.3.i z z 492+=+(i 为虚数单位),那么=z _______.4.假设△ABC 中,4=+b a ,∠C=30°,那么△ABC 面积的最大值是_________.5.设直线l 过点P(-4,0),且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos ,那么直线l 的方程是___________.6.设常数90⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x a ，＞展开式中6x 的系数为4,那么()=+⋯++∞→n n a a a a 2lim ________. 7.()x f y =是定义在R 上的奇函数,且当0＞x 时,()12141++-=x x x f ,那么此函数的值域为____________.8.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x a x x f 8log 8在[)∞+，2上是增函数,那么实数a 的取值范围是________. 9.奇函数()x f y =满足对任意R x ∈都有()()022=-++x f x f ,且()91=f ,那么()()()201820172016f f f ++的值为____________.10.平面直角坐标系中,给出点A(1,0),B(4,0),假设直线01=-+my x 上存在点P,使得，PB PA 2=那么实数m 的取值范围是____________. 11.以下命题:①关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+3231m my mx y mx 的系数行列式D=0是该方程组有解的必要非充分条件；②H G F E 、、、是空间四点,命题甲:H G F E 、、、四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不想交，那么甲成立是乙成立的充分非必要条件；③“2＜a 〞是“对任意的实数a x x x ≥-++11，恒成立〞的充要条件；④“0=p 或4-=p 〞是“关于x 的方程p x xp+=有且仅有一个实根〞的充要条件。

上海市七宝中学2021届高三9月开学考试数学试题

七宝中学高三开学考2021.9一. 填空题1. 集合2{|20}A x x x =-<，{|||1}B x x =<，那么AB = 2. 函数211()1log f x x=，那么1(1)f -= 3. 假设复数1112i b i ++-()b ∈R 的实部与虚部相等，那么b = 4. 假设一个圆锥的母线与轴的夹角为1arcsin 3，那么该圆锥的侧面积是底面积的倍5. 设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =，且a b ⊥，那么||a b +=6.假设一个球的体积为，那么它的外表积为7. 某几何体的三视图如下图〔单位：cm 〕，那么该几何体的体积为 3cm 8. 231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，*n ∈N 且28n ≤≤，那么n = 9. 对所有的x ∈R ，不等式2|20||5|2x x a a ---≤+恒成立，实数a 的取值范围是 10. 假设圆222x y r +=(0)r >和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，那么r 的取值集合是 11. 数列{}n a 满足1,2,n n n n n a t a t a t a a t +-≥⎧=⎨+-<⎩，且11t a t <<+(2)t >，假设n k n a a +=对任意*n ∈N 恒成立，那么正整数k 的最小值是12. 正四面体1234A A A A ，点5A 、6A 、7A 、8A 、9A 、10A 分别是所在棱的中点，如图，那么当110i ≤≤，110j ≤≤，且i j ≠时，数量积12i j A A A A ⋅的不同数值的个数为二. 选择题 13. 数列{}n a 中，2221,12016,20172n n n a n n n n⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，那么数列{}n a 的极限值为〔〕 A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在14. 函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为〔〕A. 2B. 3C. 4D. 515. ()f x 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，那么“()f x 为[0,1]上的增函数〞是“()f x 为[3,4]上的减函数〞的〔〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要16. 函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，a ∈R ，假设关于x 的不等式()||2x f x a ≥+ 在R 上恒成立，那么a 的取值范围是〔〕 A. 47[,2]16- B. 4739[,]1616-C. [-D. 39[]16- 三. 解答题17. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，3ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，1OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求异面直线OC 与MN 所成角的余弦值.18. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点A 、B .〔1〕假设A 、B 都在双曲线的左支上，务实数k 的取值范围；〔2〕假设以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，务实数k 的值.19. 如图，在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，CBA θ∠=，BC a =，它的内接正方形DEFG 的一边EF 在斜边BA 上，D 、G 分别在边BC 、CA 上，设△ABC 的面积为1S ，正方形DEFG 的面积为2S .〔1〕试用a 、θ分别表示1S 和2S ；〔2〕设21()S f S θ=，求()f θ的最大值，并求出此时的θ. 20. 对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，假设函数()()y f x ax b =-+满足：① 在区间[0,)+∞上单调递减；② 存在常数p ，使其值域为(0,]p ，那么称函数()g x ax b =+为()f x 的“渐近函数〞.〔1〕设2()23f x x x =++，假设()0f x ax a --<在[0,)x ∈+∞上有解，务实数a 取值范围；〔2〕证明：函数()1g x x =+是函数223()1x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的渐近函数，并求此时实数p 的值；〔3〕假设函数()f x =，[0,)x ∈+∞，()g x ax =，证明：当01a <<时，()g x 不是()f x 的渐近函数.21. 设n A 为数列{}n a 前n 项的和，2(1)n n A a =-()n ∈*N ，数列{}n b 的通项公式32n b n =+()n ∈*N .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设1212{,,,,}{,,,,}n n d a a a b b b ∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，那么称d 为数列{}n a 与{}n b 的公共项，将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n d ，求1231111nd d d d +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的值；〔3〕是否存在正整数r 、s 、t ()r s t <<使得2050r s t a a a b ++=成立，假设存在，求出r 、s 、t ；假设不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. (1,2)-2. 43. 24. 35. 6. 12π7. 32 8. 5 9. (,5][3,)-∞-+∞ 10. {3} 11. 4 12. 9二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答题17. 8. 18.〔1〕；〔2〕1k =±.19.〔1〕211tan 2S a θ=，2222sin (1sin cos )a S θθθ=+；〔2〕49，4πθ=. 20.〔1〕)+∞；〔2〕略，2p =；〔3〕略.21.〔1〕2n n a =；〔2〕24n n d =⋅，数列和的值为16；〔3〕3r =，11s =，12t =.。

上海市七宝中学2021届高三上学期11月月考数学试题

上海市七宝中学2020届高三上学期11月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．集合{|A x y ==，{}2|4B y y x x ==-+，则A B =____. 2．线性方程组35035x y x y +-=⎧⎨-=⎩的增广矩阵是______.3．已知函数44()sin cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则ω=_____. 4．一元二次方程2x 2x m 0-+=的一个虚根为12i -，则实数m =______.5．n a 是()*(2)n x n N +∈的展开式各项系数的和，则12im 1l 11n n a a a →∞⎛⎫++⋯+= ⎪⎝⎭______. 6．已知f （x +1）=2x -2，那么f -1（2）的值是______．7．正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则DE EC ⋅的最大值为_______. 8．如图，在梯形ABCD 中，,AC BD 相交于O ，记BCO ，CDO ，DAO 的面积分别为123,,S S S ，则()132:S S S +的取值范围是______.9．已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________． 10．已知12,e e 夹角为60°，且12||1e e ==，若211a e b e +=-=，则a b -的最大值为___.11．对于问题：“已知曲线1:220C xy x ++=与曲线2:0C x xy y a -++=有且只有两个公共点，求经过这两个公共点的直线方程”.某人的正解如下：曲线1C 的方程与曲线2C 的方程相加得320x y a +++=，这就是所求的直线方程.理由是：①两个方程相加后得到的表示直线；②两个公共点的坐标都分别满足曲线1C 的方程与曲线2C 的方程，则它们就满足两个方程相加后得到的方程；③两点确定一条直线.用类似的方法解下列问题：若曲线2221x y +=与曲线23y ax b =+有且只有3个公共点，且它们不共线，则经过3个公共点的圆方程为_______.12．在下列命题中：①在ABC 中，30A =︒，10c =，a x =，则解三角形只有唯一解的充要条件是：{5}[10,)x ∈+∞；②当()0,1x ∈时， arctan arcsin x x x <<；③在ABC 中，若cos sin B A >，则ABC 中一定为钝角三角形；④扇形圆心角α为锐角，周长为定值，则它面积最大时，一定有2α=；⑤函数arccos(cos )y x =的单增区间为()[2,2]k k k Z πππ+∈，其中真命题的序号为_____.二、单选题13．抛物线22(0)y px p =>上不同三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点（）A ．到原点的距离成等差数列B ．到x 轴的距离成等差数列C ．到y 轴的距离成等差数列D ．到焦点的距离的平方成等差数列 14．记min{,}a b 实数,a b 中较小的数，函数()(),f x g x 的定义域都是R ，则“()(),f x g x 都是偶函数”是“函数()(){}()min ,P x f x g x =为偶函数”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．已知lim(21n n →∞-=，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．416．已知22(0)(){(1)(0)a x x x f x f x x --<=-≥且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．[)1,0-C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞三、解答题17．已知矩形ABCD 内接于圆柱上下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，此圆柱的体积为300π.（1）求此圆柱的高；（2）异面直线AC 与PB 所成角的余弦值.18．已知函数21()sin cos()cos 62f x x x x π=-+- （1）当[],x ππ∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的集合；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12f A =，3b c +=，求a 的最小值.19．已知12(F F P ⎛ ⎝⎭，动点M 满足1212MF MF PF PF +=+.（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）设A ，B 是Γ上异于点P 的两点，若,PA PB 的倾斜角互补，求证直线AB 斜率为定值.20．给定整数n (4n ≥)，设集合12{,,,}n A a a a ，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{}3,0,1,2A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a 构成以1a 为首项，d (0d >)为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a 构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B 中元素的个数及所有元素之和．21．设集合Ω表示具有下列性质的函数()f x 的集合：①()f x 的定义域为()1,1-；②对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭（1）若函数()f x ∈Ω，证明()f x 是奇函数；并当21m n f mn +⎛⎫=⎪+⎝⎭，11m n f mn -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f m ，()f n 的值；（2）设函数2()lg 1x g x a x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（a 为常数）是奇函数，判断()g x 是否属于Ω，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若()(1,1)()(0)1(1,1)g x x h x k k x x ∈-⎧=≥⎨+∉-⎩，讨论函数[()]2y h h x =-的零点个数.参考答案1．[]2,4；【分析】先化简集合A,B,再求A B 得解. 【详解】由题得{|{|2}A x y x x ===≥，{}2|4=(,4]B y y x x ==-+-∞，所以A B =[]2,4.故答案为：[]2,4【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．135315⎛⎫ ⎪-⎝⎭；【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【详解】由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为135315⎛⎫ ⎪-⎝⎭．故答案为：135315⎛⎫ ⎪-⎝⎭．【点睛】此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．1；【分析】由题得()cos2f x x ω=-，得2=2ππω得解.【详解】由题得422224()sin cos =(sin cos )(sin cos )cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=-+-=-，所以2=12ππωω∴=，. 故答案为：1【点睛】本题主要考查二倍角的公式，考查三角函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．5；【分析】由题得方程的另外一个虚根为12i +，由韦达定理得解.【详解】由题得方程的另外一个虚根为12i +，所以(12)(12),5i i m m -+=∴=.故答案为：5【点睛】本题主要考查复数范围内方程的根，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．12；【分析】先求出11)3(,3n n n n a a ==，再利用数列的极限求解即可. 【详解】因为n a 是()*(2)n x n N +∈的展开式各项系数的和，所以1=(2+1)()331,n n n n n a a ==∴，所以12111(1()1333lim lim[]1121113131n n n n a a a →∞→∞⎛⎫++⋯+= ⎪=--⎭-=⎝. 故答案为：12【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．3【分析】令t =x +1，将已知等式中的x 一律换为t ，求出f （t ）即得到f （x ），然后令f （x ）=2x -1-2=2，求出相应的x ，即为f -1（2）的值．【详解】解：令t =x +1则x =t -1所以f （t ）=2t -1-2所以f （x ）=2x -1-2令f （x ）=2x -1-2=2，解得x =3∴f -1（2）=3故答案为3．【点睛】已知f （ax +b ）的解析式，求f （x ）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．7．34-；【分析】设,1AE x EB x ==-,求出21DE EC x x ⋅=-+-，再利用二次函数的图象分析得解.【详解】设,1(01)AE x EB x x ==-≤≤, 由题得2()()1(1)1DE EC DA AE EB BC DA BC AE EB x x x x ⋅=+⋅+=⋅+⋅=-+-=-+- 当12x =时，取最大值34-. 故答案为：34- 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和数量积运算，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．()2,+∞【解析】【分析】根据三角形相似的引理，我们易判断AOD COB ∆∆∽，然后根据三角形相似的性质得到对应边成比例，而根据同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，结合基本不等式即可求出132S S S +的取值范围．【详解】//AD BC ，AOD COB ∴∆∆∽ ∴DO AO BO CO = ∴133122222S S S S BO AO BO AO S S S DO CO DO CO+=+=+⋅ 当且仅当BO AO DO CO =时，即BO DO =时，即O 为BD 中点时取等；又四边形ABCD 为梯形，故O 不可能为BD 的中点，故1322S S S +> 即132S S S +的取值范围(2,)+∞ 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定及基本不等式，其中根据梯形的性质，判断O 不可能为BD 的中点易被忽略而错解为[2，)+∞.9．[3)-+∞，【分析】把直线方程整理成a 的多项式，根据恒等式的知识求出定点P 的坐标，【详解】由()()()11410a x a y a -++-+=得(4)40x y a x y -+-++-=∴4040x y x y -+-=⎧⎨+-=⎩，解得0,4x y =⎧⎨=⎩，∴(0,4)P 。

精品解析：上海市闵行区七宝中学2021届高三5月份数学模拟试题((解析版)

2021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)一､填空题(第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，满分54分)1. 已知i 为虚数单位，且3(1)i z i +=，则复数z 的虚部为___________. 【答案】12-【解析】【分析】根据题意先求得复数z 后再求出复数的虚部即可．【详解】∵3(1)i z i +=， ∴()()()1i 11z 111222i i i i i i i -----====--++-， ∴复数z 的虚部为12-．故答案为：12-. 【点睛】易错点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z 是解题的关键，另外还要注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部是b ，而不是bi ，这是解题中常出现的错误．2. 已知集合A R =，B =∅，则AB =___________. 【答案】R【解析】【分析】根据交集定义计算．【详解】由已知AB R =，故答案为：R ． 3. 已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左､右焦点，点P 在C 上，则12PF F △的周长为___________. 【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的定义计算．【详解】由椭圆方程知3a =，2c ==，P 在椭圆上，所以121222232210PF PF F F a c ++=+=⨯+⨯=．故答案为：10．4. 如果1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为___________. 【答案】3【解析】【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．【详解】因为1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为21333⨯=．故答案为：3． 5. 计算行列式101021213--的值为___________.【答案】3-【解析】【分析】根据三阶行列式的定义计算．【详解】101021600(4)103213-=-++----=--．故答案为：3-．6. 已知正整数数列{}n a 满足131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,则当18a =时，2021a =___________. 【答案】4【解析】【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列{}n a 从第二项起是周期数列，从而可得结论．【详解】由题意24a =，32a =，41a =，54a =，62a =，71a =，…，数列{}n a 从第二项起是周期数列，周期为3，所以20212367324a a a +⨯===．故答案为：4．7. 为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为___________.【答案】0.78【解析】【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．【详解】解：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A ，B ，C ，则()()()()()()()0.930.851P A P B P A P C P A P B P C ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得()()()0.780.150.07P A P B P C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以抽到一等品的概率为0.78.故答案为：0.78.8.已知二项式2n⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________. 【答案】112【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求出n ，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．【详解】二项式2n ⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，可得2256n =，解得8n =，则822n ⎛⎛= ⎝⎝展开式的通项832182r rr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎝⎭()()()388228120,1,2,3,,8r r r r r C x r ---=-⋅=⋅⋅⋅，令()38022r r --=，解得6r =，可得常数项为6282112C =.故答案为：112.9. 已知函数()sin 2cos f x x x =-，设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=___________.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简为()sin 2cos )f x x x x ϕ=--，其中cos 5ϕ=，sin ϕ=x θ=时，()f x 取得最大值，从而22k πθϕπ-=+，进而求得cos θ.【详解】()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-，其中cos ϕ=，sin ϕ=则())f θθϕ-=22k πθϕπ-=+，k Z ∈，则cos cos(2)sin 2k πθϕπϕ=++=-=故答案为： 10. 在正方形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为边BC 上的动点，若(,0)AE AC DO λμλμ=+>，则21λμ+的最小值为___________. 【答案】92【解析】【分析】由向量的线性运算得,λμ的关系式，然后由基本不等式得最小值．【详解】由题意2AE AC DO OC OB λμλμ=+=+，2AE AO OE OC OE OC OB λμ=+=+=+，(21)OE OC OB λμ=-+，因为E 在线段BC 上，所以211λμ-+=，22λμ+=，10,2μλ>>，所以21λμ+1211229(2)()(5)222λμλμλμμλ=++=++≥，当且仅当22λμμλ=，即23λμ==时等号成立．故答案为：92．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．11. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【答案】8π【解析】【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H =，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，12B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则212OK R =--，在直角三角形OPK 中，2222(12)1R R =--+，解得2R =．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径． 12. 已知234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，q 为非零实数，则q 取值范围是___________.【答案】(,2](0,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】对q 分类讨论，去绝对值，从而解得q 的取值范围.【详解】①当1q ≥时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≤≤≤≤，当1q ≥时恒成立；②当11q -<<，0q ≠时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≥≥≥≥，解得01q <<；③当1q ≤-时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，由211q q -≤-知，220q q +-≥，解得2q ≤-，此时，2321(1)(1)20q q q q ---=+-<恒成立，即2311q q -<-，同理证得345111q q q -<-<-，则2q ≤-；综上所述，q 的取值范围为(,2](0,)-∞-⋃+∞故答案为：(](),20,-∞-⋃+∞【点睛】关键点点睛：对q 分类讨论，去掉绝对值号，从而将不等式转化为不等式组，一一解得即可求得解集. 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】1(1)1-=-n n a q S q ，若01q <<，则lim n n S →+∞存在，若lim n n S →+∞存在，则lim 0nn q →+∞=，则01q <<，因此“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的充分必要条件．故选：C ．14. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(50)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）(参考数据：ln193≈)A. 60B. 62C. 66D. 63 【答案】D【解析】【分析】根据**0.23(50)()0.951t KI t K e--==+可解得*t 的值，即可得答案；【详解】0.23(50)()1t K I t e --=+，所以**0.23(50)()0.951t KI t K e --==+，所以()*0.2350ln193t -=≈，解得*350630.23t ≈+≈. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，考查阅读理解能力.15. 对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列两个命题：①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，则()0g x ≥；②若()1g f t =，则()y g x =为单调函数；则下列说法正确的是（）A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误【答案】B【解析】【分析】根据新定义通过方程的个数判断命题真假即得．【详解】①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，设存在0x R ∈，0()0g x m =<，即()1g f m ≥，则()()()()1h g g g f m f m f m f m -=+-≥-+与已知()()h g f m f m -=-矛盾，所以假设不成立，即对任意x ∈R ，()0g x ≥．①正确，设1,0(),0x g x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则对任意t R ∈，()g x t =有唯一解，即()1g f t =，但()g x 在R 上不是单调函数，②错误，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为()g x t =的解的个数问题．利用方程的解个数确定关于新定义函数命题的．16. 关于x的方程22x a x a a b ++--=有三个不同的实根，则2a b +的最小值为（） A. 4916- B. 3- C. 116-D. 0 【答案】A【解析】【分析】首先去绝对值，问题转化为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-，有三个实数根，当0a <时，画出函数2y x a x a =++-的图象，利用数形结合求得2302b a a =+≥，再代入求2a b +的最小值. 【详解】由条件可知0b ≥，方程化简为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-，当0a <时，3,22,23,2x x a a x a x a x a x a a x x ⎧⎪≥-⎪⎪++-=-<<-⎨⎪⎪-≤⎪⎩，如图，若方程有三个不同的实根，则2y x a x a =++-与直线2y a b =+和2y a b =-共有3个交点，画出函数的图象，当2a x =时，32y a =-，232a a b ∴-=-，得2302b a a =+≥，解得：32a ≤-，或0a ≥（舍）， 222377492222416ab a a a a a a ⎛⎫+=++=+=+- ⎪⎝⎭，32a ≤-，当74a =-时，2a b +取得最小值4916-，当0,0a b >>时，492016a b +>>-，综上可知2a b +的最小值是4916-. 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 内接于半径为2的圆O ，AB 为圆O 的直径，//AB CD ，2DC AB =，E 为AB 上一点，PE ⊥平面ABCD ，ED AB ⊥，PE EB =.求：（1）四棱锥P ABCD -的体积；（2）锐二面角C PB D --的余弦值.【答案】（1）33（23105【解析】【分析】（1）首先求得求得60AOB BOC COB ∠=∠=∠=︒，从而求得四棱锥中线段长，得底面积和高，然后可得体积；（2）建立如图的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】解：（1）连接OD ，OC ，易得ODC △是正三角形∵//AB CD ，∴60AOD ODC ∠=∠=︒∵ED AB ⊥∴3ED =，1EO =，∴3PE EB == ∴1(24)3332ABCD S =⨯+⨯= ∴1333333P ABCD V -=⨯⨯= ∴四棱锥P ABCD -的体积为33．（2）如图建立空间直角坐标系E xyz -则(0,3,0)B ，(3,2,0)C ，(3,0,0)D ，(0,0,3)P∴(3,3,0)BD =-，(0,3,3)PB =-，(3,1,0)BC =- 设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =由1100BD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111330330x y y z -=-=⎪⎩，取11y =得1(3,1,1)n = 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =由2200BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222230330x y y z -=-=⎪⎩，取21y =得233n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设锐二面角C PB D --的大小为θ 则12123105cos n n n n θ⋅== ∴锐二面角C PB D --的余弦值为310535．【点睛】方法点睛：本题考查求棱锥体积，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=.求：（1）BD 的长度；（2）三角形ABD 的面积.【答案】（1）2BD =；（231.【解析】【分析】（1）在BCD △中，根据cos BCD ∠的值结合余弦定理求解出BD 的长度；（2）在ABD △中，先根据正弦定理求解出AD 的长度，然后根据三角形的面积公式1sin 2AD BD ADB ⋅∠求解出结果.【详解】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得： 2222cos 14221144BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则2BD =；（2）在ABD △中，1803045105BAD ∠=︒-︒-︒=︒，()sin sin105sin 45602212BAD ∠=︒=︒+︒=+=，由正弦定理可得sin sin AD BD ABD BAD=∠∠，所以)2sin 4521sin105BD AD ⨯⋅︒===︒，则)1sin 212sin 301122ABD S AD BD ADB =⋅∠=⨯⨯⨯︒=. 19. 业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A (A 为常数)元，n 年后总投入资金记为()f n ，经计算发现当010n ≤≤时，9()nA f n p qa =+，其中232,,a p q -=为常数，(0)f A =,(3)3f A =（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求得,p q 的值，得到()f n 的解析表达式，然后令()8f n A =,解方程即可；（2）求得第n 年的投入资金()()1f n f n --的解析表达式，并通分化简，适当转化，然后利用基本不等式探究取得最大值的条件即可.【详解】解：（1）由题意知(0),(3)3f A f A ==．所以99314A Ap q A A p q ⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩，解得18p q =⎧⎨=⎩,∴9()18n A f n a =+⋅ 令()8f n A =，得9818n A A a =+⋅，解得164n a =，即231264n-=，所以9n =．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．（2）由（1）知9()18nA f n a =+⋅ 第n 年的投入资金199()(1)1818n n A A f n f n a a-=--=-=+⋅+⋅()()9972(1)72(1)1881888(1)64n n n n n n nA a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅---==+⋅+⋅+⋅+⋅+++，≤== 当且仅当64n n a a a =，即2(26)31264n --=等号．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及利用基本不等式研究最值问题，属中档题，关键是准确运算，并注意适当转化，以便利用基本不等式研究最值.20. 已知点F 为抛物线21:4C y x =的焦点，点(0,4)D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线:l y t =(t 为常数)截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求焦点F 的坐标；（2）求实数t 的值；（3）若点(0,3)E ，过点A 的直线y x m =+交抛物线于另一点B ，AB 的中垂线过点D ，求m 的值和ABE △的面积.【答案】（1）(0,1)F ；（2）3t =；（3）0m =，面积为6.【解析】【分析】（1）由抛物线标准方程求焦点坐标；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得圆半径，由勾股定理求得弦长，利用弦长与0x 无关，求得t 值；（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点M 坐标，由1DG k =-得参数m 值，然后求得点E 到AB 的距离，弦长AB 得三角形面积．【详解】解：（1）∵24x y =， ∴(0,1)F ；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，直径2r AD == 设截得得弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ，则2221||2GH r d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22222000444442x x x t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，得222013||444t GH x t t -=+-与0x 无关，所以3t =，（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，联立224404y x m x x m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∵0∆>，∴16160m +>， ∴1m >-，∵124x x +=，124x x m =-，1242y y m +=+，∴(2,2)G m +， ∴2102DG m k m -==-⇒=，符合1m >-，∵12||AB x =-==，点E 到AB=，∴162ABE S =⋅=．【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的定值问题，三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，在求面积时，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1222,x x x x +，然后代入条件计算求得参数值，从而可得弦长，得三角形面积．21. 已知数列{}n a ()n a ∈N ，记12n n S a a a =+++，首项100a n =>，若对任意整数2k ，有01k a k -，且k S 是k 的正整数倍．（1）若121a =，写出数列{}n a 的前10项；（2）证明：对任意2n ，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定；（3）证明：对任意正整数0n ，数列{}n S 从某一项起为等差数列．【答案】（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5；（2）答案见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意，即可得出结果.（2）当2k =时，可得2a 由1a 唯一确定. 接下来用反证法，即可证明.（3）由+11++k k k k S S a S k +=≤，可得+1+1+11k k k k S S S k S k k k k <≤=++，进而可得+11k k S S k k ≤+.因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n为常数. 即可证明. 【详解】（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.（2）当2k =时，根据题意122a a b +=为偶数，并且201a ≤≤，若1a 为偶数，20a =，若1a 为奇数，21a =，从而2a 由1a 唯一确定.接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.假设第1k +项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面k 项12...k a a a ，，，由1a 唯一确定. 记第1k +项的两种取值为1k a +和111k k k c a c +++≠（），根据题意存在b c ∈N ，使得：121...(1)k k a a a a k b +++++=+……①且121...(1)k k a a a c k c +++++=+……②并且满足110k k a c k ++≤≤，. 由①②两式作差可知+1+1k k a c -是1k +的倍数，又因为+1+1k k a c k -≤，可知11k k a c ++=，矛盾.从而对任意2n ≥，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定.（3）因为+11++k k k k S S a S k +=≤，所以+1+1+11k k k k S S S k S k k k k<≤=++.因为+11k k S S k k+，都是正整数，由整数的离散性有+11k k S S k k ≤+. 因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n 为常数. 不妨记为=n S c n，从而当0n m ≥时，有n S cn =. 所以{}n S 从第0m 项起为等差数列.【点睛】关键点点睛：利用反证法证明：对任意2n ≥，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2022年新七宝中学高三上学期开学考试数学模拟练习 Word版含解析配套精选

2021-2021学年上海市闵行区七宝中学高三〔上〕开学数学试卷一、填空题〔本大题共12小题〕1.全集0，1，2，，集合1，，0，，那么______．2.复数是虚数单位，那么______3.关于x，y的二元一次方程组无解，那么______4.直线的一个方向向量，直线的一个法向量，那么直线与直线的夹角是______5.为钝角三角形，边长，，那么边长______6.设常数，展开式中的系数为4，那么______ ．7.，那么此函数的值域是______8.假设函数的值域为，那么的最小值为______9.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．10.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，假设C上的点到l距离的最大值为，那么______11.a、b、c都是实数，假设函数的反函数的定义域是，那么c的所有取值构成的集合是______．12.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，假设，那么双曲线C的渐近线方程为______二、选择题〔本大题共4小题〕13.设点不共线，那么“与的夹角是锐角〞是“〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.假设，，那么A. B. C. D.15.定义“标准01数列〞如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，假设，那么不同的“标准01数列〞共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个16.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间，例如，当时，，，那么下命题为假命题的是A. 函数的定义域为D，那么“的充要条件是“对任意的，存在，满足〞B. 假设函数，的定义域相同，且，，那么C. 假设函数有最大值，那么D. 函数的充要条件是有最大值和最小值三、解答题〔本大题共5小题〕17.关于x的不等式的解集为．18.求实数a，b的值；19.假设，，且为纯虚数，求的值．20.21.22.23.24.25.26.27.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．28.求证：平面PAD；29.应是平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，求的值．30.31.32.33.34.35.36.37.某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O的一段圆弧为圆弧的中点和线段MN构成，圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现标准在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中，且，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为．38.用表示多边形MAPBN的面积，并确定的取值范围；39.假设分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，能使种植蔬菜的收益最大．40.41.42.43.44.45.46.47.椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．48.求椭圆C的方程；49.假设P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；50.是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明两点．51.52.53.54.55.56.57.58.假设定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型〞函数．59.为“类余弦型〞函数，且，求和的值；60.在的条件下，定义数列2，3，求的值．61.假设为“类余弦型〞函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．62.63.64.66.67.答案和解析1.【答案】【解析】解：全集0，1，2，，集合1，，0，，那么故答案为．根据集合的根本运算即可求和结果；此题主要考查集合的根本运算，比拟根底．2.【答案】5【解析】解：，，．故答案为：5．由商的模等于模的商求得，再由求解．此题考查复数模的求法，是根底的计算题．3.【答案】0【解析】解：时，方程组化为：，无解，舍去．时，两条直线平行时，可得：，无解．综上可得：．故答案为：0．对m分类讨论，利用两条直线平行时无解，即可得出．此题考查了两条直线平行的条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．4.【答案】【解析】解：直线的一个方向向量，直线的一个法向量，故直线的一个方向向量，设直线与直线的夹角是，那么，，故答案为：．先求得直线的一个方向向量，两用两个向量的数量积的定义，求得直线与直线的夹角的余弦值，可得直线与直线的夹角．此题主要考查两个向量的数量积的定义，直线的方向向量和法向量，属于根底题．5.【答案】【解析】解：假设c是最大边，那么．，，又，，假设b是最大边，必有，有，解可得，又，，综合可得．故答案为：．根据余弦定理和钝角的余弦函数小于0可求得c的范围，进而利用两边之差和小大于第三边，求得c的另一个范围，最后取交集，即可得解．此题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类三角形两边及夹角求第三边或者是三个边求角的问题．6.【答案】【解析】解：常数，展开式中的系数为4，，当时，，，解得，，．故答案为：．由，根据的系数为4，求出，从而，解得，由此能求出的值．此题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．7.【答案】【解析】解：令，，，那么原函数化为，．，．原函数的值域为故答案为：令，由x的范围求得t的范围，再由二次函数求值域．此题考查利用换元法求函数的值域，是根底题．8.【答案】【解析】解：函数数，，，，根据正弦函数的性质：当时可得，，那么那么的最小值为．故答案为：根据x在上，求解内层函数的范围，即可由三角函数的性质可得答案．此题考查三角函数的性质的应用．属于根底题．9.【答案】【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，那么就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作，，因为平面APB，那么，．≌，，≌，因为，所以点O在的平分线上，即．设，在直角中，，，那么．在直角中，，那么．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．过PC上一点D作平面APB，那么就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．此题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．10.【答案】12【解析】解：曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，设曲线C上的点的坐标为，那么P到直线l的距离：，，C上的点到l距离的最大值为，，解得．故答案为：12．设曲线C上的点的坐标为，那么P到直线l的距离，由C上的点到l距离的最大值为，能求出a的值．此题考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】【解析】解：函数的反函数的定义域是，即函数的值域为，假设，显然不合题意，那么，此时的值域为；那么需的值域包含，结合函数在内有意义，那么．的所有取值构成的集合是．故答案为：．由题意可得，函数的值域为，当，显然不合题意，那么，此时的值域为；然后结合反比例函数的图象及函数在内有意义，可得，那么答案可求．此题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．12.【答案】．【解析】解：如图，，，那么：，联立，解得，那么，整理得：，，双曲线C的渐近线方程：．故答案为：．由题意画出图形，结合可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．求解渐近线方程即可．此题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】C【解析】【分析】此题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等根底知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“与的夹角为锐角〞“〞，“〞“与的夹角为锐角〞，由此能求出结果．【解答】解：点A，B，C不共线，假设“与的夹角为锐角〞，那么，，“与的夹角为锐角〞“〞，假设，那么，化简得，即与的夹角为锐角，“〞“与的夹角为锐角〞，设点A，B，C不共线，那么“与的夹角为锐角〞是“〞的充分必要条件．应选C．14.【答案】B【解析】解：，，那么，，，应选：B．利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出．此题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．15.【答案】C【解析】【分析】此题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．由新定义可得，“标准01数列〞有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“标准01数列〞有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，假设，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，共14个．16.【答案】D【解析】解：对于A，“的充要条件是“对任意的，存在，满足〞“的值域为R〞，故A正确；对于B，依题意，，，那么，即，故B正确；对于C，假设函数有最大值，那么，此时，，，显然，即C成立；对于D，当，时，既无最大值又无最小值，但是，故D为假命题．应选：D．根据题目给出的定义，结合函数的定义域，值域情况逐个选项判断即可得到结论．此题考查新定义的理解和应用，考查了函数的值域，主要考查推理能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：不等式即的解集为．，b是方程的两个实数根，，，解得，．为纯虚数，，，解得．【解析】由题意可得：，b是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．此题考查了复数的运算法那么、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：平面ABCD，，，，平面PAD．解：平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．过A作，交BC于M，以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，0，，2，，2，，0，，，1，，0，，，设平面AEF的法向量y，，那么，取，得1，，设b，，，，那么，b，，，，解得，，，，平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，，解得，故的值为．【解析】推导出，，由此能证明平面PAD．以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．此题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：等腰梯形MNBA的高为，，，等腰梯形MNBA的面积为，等腰三角形PAB中，P到AB的距离为，故等腰三角形PAB的面积为，多边形MAPBN的面积为．，，即，．令，．其中，，即．当即时，取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大．【解析】计算AB，梯形和三角形的高度，分别求出梯形和三角形的面积即可得出答案，根据求出的范围；根据和角公式求出面积最大值及其对应的的值即可．此题考查了解析式求解，三角函数恒等变换，函数最值的计算，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，那么；所以椭圆C的方程为：；由题意可知，，设，那么，；所以的取值范围是；假设存在满足条件的直线l，根据题意直线l的斜率存在；设直线l的方程为：；有：；，那么；；设，那么CD的中点为；，；，那么；，即；即，无解；故满足条件的直线不存在；【解析】根据条件直接求出a，b；设，表示出，求出其范围；设CD的中点为；由，那么；得到其斜率的积为，再方程联立计算；此题考查椭圆的简单几何性质，向量的数量积，直线的垂直，设而不求的思想方法，关键在于将几何条件进行适当的转化，属于中档题．21.【答案】解：令，，那么，所以．令，，那么，所以．令，，其中n是大于1的整数，那么，所以，即．又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，那么．所以原式．证明：令，，那么，所以．令，y为任意实数，那么，即，所以是偶函数．令N为，分母的最小公倍数，并且，，a、b都是自然数，并且．令数列满足，，1，下证：数列单调递增．，所以；假设，n是正整数，即；令，，那么，即．所以．综上，数列单调递增，所以，又因为是偶函数，所以【解析】是抽象函数根底题，代入特定的数值即可；对于此数列，需要求其通项，而求通项又需要递推公式，所以代入合理的数值，得到递推公式；属于难题，因为的铺垫，证明偶函数需要代入特定的数，证明与的大小关系需要定义新的数列，又因为题目中的有理数条件，要充分利用分数的特点．此题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法，属于难题．。