初一数学绝对值知识点与例题

绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根
据性质去掉绝对值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5.
【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：|a|≥0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；
a a
b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．
【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】
例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

解：由绝对值的非负性可知x－2＝ 0，y－3＝0；即：x=2，y =3；
所以x+y=5
判断必知点：①相反数等于它本身的是 0
②倒数等于它本身的是±1
③绝对值等于它本身的是非负数
【例题精讲】
（一）绝对值的非负性问题
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

【巩固】若7322102
m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a
2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .
（二）绝对值的性质
【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例4】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）
A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6
【例8】若|x+y|=y-x，则有（）
A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0
C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0
【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）
【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________
【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________
【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，
则下列各式：
①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c
c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤
b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．
（请填写番号）
【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc
+++的值
（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）
零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．
【例题】阅读下列材料并解决相关问题：
c a 0b
我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得
12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）
，在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++- 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．
（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．
【巩固】化简
1. 12x x +++
2. 12m m m +-+-的值
3. 523x x ++-．
4. (1)12-x ；
变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.
并回答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .
(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 .
(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .
(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .
(5) 若1232008x x x x -+-+-++-L 的值为常数，试求x 的取值范围．
（五）、绝对值的最值问题
例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、
1）非负数：0和正数，有最小值是0
2）非正数：0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，
-|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n
-|x+m|+n≤n，有最大值是n
(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，
例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3
思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：
可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3 4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
我们发现：
当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3
当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3
所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。

所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题
零点值）
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5）当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知：
当x<-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27
当x=-11时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25
当-11<x<12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 , 25<x+36<48
当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48
当x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11
解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12
可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25 。

评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值
解：根据绝对值的化简过程可以得出
当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6
当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6
当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6
当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3
归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x
则DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|
当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC
当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC
当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC
当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC
当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC
当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC
当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC
综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25
解：令x+11=0 x-12=0 |x+13=0
则x=-11 x=12 x=-13
将-11 ，12 ，-13从小到大排练为-13＜-11＜12
∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间的距离即AC=12-(-13)=25
【例题6】
|x-1|的最小值
|x-1|+|x-2|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：
当x=1时，|x-1|的最小值是0
当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1
当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0
当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1
当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2
当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1
当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2
当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1
当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2 当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1
【解法2】：捆绑法
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|
=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间
|x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间
|x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间
|x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间
|x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间
∴若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）都可以。

总结：
若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以
若想求出最小值可以求关键点即可求出
【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值
（2）已知|x|≤3，求x的取值范围
（3）已知|x|＜3，求x的取值范围
（4）已知|x|≥3，求x的取值范围
（5）已知|x|＞3，求x的取值范围
【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，
（1）若|x|=3，则x=-3或x=3
（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3
（4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3 或x≥3
（5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3
【解】：（1）x=-3或x=3 (2) -3≤x≤3
(3 ) -3＜x＜3 (4 ) x≤-3或x≥3
(5 ) x＜-3或x＞3
【例题8】
（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3 所以
（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3；和为0
（2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0
【解】：(1) ∵|x|≤3
∴-3≤x≤3
∵x为整数
∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0
(2) ∵|x|＜3
∴-3＜x＜3
∵x为整数
∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0
【乘方最值问题】
（1）当a取何值时，代数式（a-3)²有最小值，最小值是多少？
（2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？
（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？
（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²有最大值，最大值是多少？
（5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？
（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？
（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？
分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)²为非负数，即（a-3)²≥0，则-（a-3)²≤0 可以进一步判断出最值
解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²有最小值是0
（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²+4有最小值是4
（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)²-4有最小值是-4
（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²有最大值是4
（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²+4有最大值是4
（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)²-4有最大值是4
(7 ) 4-（a-3)²可以变形为- (a-3)²+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，
即a=3时，4-（a-3)²有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）
评：很好理解掌握a²即-a²的最值是解决本题的关键
归纳总结：
若x为未知数，a,b为常数，则
当x取何值时，代数式(x+a)²+b有最小值，最小值是多少
当x取何值时，代数式-(x+a)²+b有最大值，最大值是多少
------------------------------------------------------------------------------------ 【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？
探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x，使M 到A、B、C、D距离和最小。

MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+ lx-cl+|x-d|
其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知
当a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB）
当d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD）
综上所述，当d≤x≤c时，MA+ MB+ MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。

【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左
到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？
探究：加油站M 应建在A3汽车站．
【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从
左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？
探究：当n 为奇数时，加油站M 应建
在汽车站处；
当n 为偶数时，加油站M 应建在线段 上。

(即此两站之间)
【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。

根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。

最小值是
|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617|
=308+307+…+1+1+2+…+308
=95172.
----------------------------------------------------------------------------------
【课后练习】
1.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？
（2）当x 取何值时，2+-x 有最大值？这个最大值是多少？
（3）求54-+-x x 的最小值。

（4）求987-+-+-x x x 的最小值。

2．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的
最大值与最小值．
3、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

4．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．
A ．a>b
B ．a=b
C ．a<b
D ．a ≥b
5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加：
⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；
⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；
⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。

6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x 到-7的距离与x 到1的距离之差 它表示两条线段相减：
⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；
⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；
⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时， 有最小值 ；
7．设0=++c b a ，0>abc ，则的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1
8．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a
≤≤， 则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．
c b a b a c a c b +++++
绝对值（零点分段法、化简、最值）
一、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)
x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有 |x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩
或 2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2
x 可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －
2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝 对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去 绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式 来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等
式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这 种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观 化。

5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。

数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简
单化，此解法适用于|
|||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)
类型不等式。

对||||ax b cx d m +++>(或<m )，当|a |≠|c |时一般不用。

二、如何化简绝对值
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

（一）、根据题设条件
例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。

（A ）2-x （B ）2+x （C ）-2+x （D ）-2-x
思路分析：由x<-1可知x-2<-3<0可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．
解：2-｜2-｜x-2｜｜=2-｜2-(2-x)｜=2- ｜x ｜=2-(-x)=2+x
∴ 应选（B ）．
归纳点评:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝 对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．
（二）、借助数轴
例2：实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（ ） （A ）-a （B ）2a-2b （C ）2c-a （D ）a
思路分析:由数轴上容易看出b<a<0<c,所以a+b<c , c-a<0 ， b-c<0 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．
解：原式
∴应选（C）．
归纳点评: 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．零点的左边都是负数，右边都是正数．
2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
（三）、采用零点分段讨论法
例3：化简2|x-2|-|x+4|
思路分析: 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2,x+4的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．
解：令x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分
①当x≥2时, x-2≥0，x+4>0，所以原式= 2（x-2）-(x+4)=x-8；
②当-4≤x<2时，x-2<0, x+4≥0，所以原式= -2（x-2）-(x+4)=-3x；
③当x<-4时，x-2<0, x+4<0，所以原式=-2（x-2）+(x+4)=-x+8；
归纳点评：虽然x-2,x+4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．
3．在各区段内分别考察问题．
4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
误区点拨：千万不要想当然地把x,2y等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．
三、带绝对值符号的运算
如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。

(一)、要理解数a的绝对值的定义。

数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。

”应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

(二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。

重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。

(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0 时，︱a︱= a(性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时，︱a︱= 0(性质2：0的绝对值是0) ；
当a<0 时；︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0 时，︱a+b︱= (a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；
当a+b<0 时，︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3 个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。

如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。

因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，
所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。

4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。

如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b 的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。

前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习
（1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。

（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x
（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）
（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a
（3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8 。

（4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-x+8 。

（5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-3x 。

（6）已知a、b、c、d满足a<-1<b<0<c<1<d.且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d| ，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）
（7）若｜-a｜>-a，则有（ A ）。

（A）a>0 （B）a<0 （C）a<-1 （D）-1<a<0
（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（ C ）．（A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b
（9） 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b ，b-2a ，
|a-b|，|a|-|b| 中负数的个数是（B ）． （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
(10) 化简|x+4|+2|x-2|=
(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)
(11) 设x 是实数，y=|x-1|+|x+1| 下列四个结论中正确的是（ D ）。

（A ）y 没有最小值 （B ）有有限多个x 使y 取到最小值
（C ）只有一个x 使y 取得最小值 （D ）有无穷多个x 使y 取得最小值 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;
变式2.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

【绝对值化简题例】绝对值化简公式：
例题1：化简代数式 |x-1|
解：可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值）
根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0
3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1
另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分
1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1
例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2|
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3 4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
另解，将零点值归到零点值右侧部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3 3）当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|
解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5）当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
另解，将零点值归到零点值右侧部分
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
3）当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
4）当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，
则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
(1) 当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
(2) 当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
(3) 当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
(4) 当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
(5) 当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间。