乘除法的关系和运算律
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乘除法的关系和运算律
一、加法运算律只有:交换律和结合律。没有分配律
1、交换律:两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律例:
a+b=b+a .
扩展: A+B+C=A+C+B=C+B+A
2、结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数
相加,或者先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。
(A+B)+C=A+ ( B+C )
二、乘法运算律:交换律、结合律和分配律。乘法才有分配律乘法交换律是两
个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a
三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘, 再和另外一个数相乘,积不变。
如a × b × c=a × (b × c) a × c+b × c= ( a+b )× c
两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
字母表达是:a×(b+c) =a×b+a×c
扩展:变式一
a×(b-c) =a×b-a×c
变式二
a×b+a=a×(b+1)
乘法分配律的拓展:
两个数的差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减的两个数,再把积相
减。用字母表示为:
(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c
三、乘除法各部分之间的关系:
1)乘法各部分之间的关系:
因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数
2)除法各部分之间的关系:
没有余数的除法:有余数的除法:
被除数=商×除数被除数=商×除数+ 余数
除数=被除数÷商除数=(被除数-余数)÷商
商= 被除数÷除数商= (被除数-余数)÷除数
(3 )乘、除法之间的关系:
除法是乘法的逆运算
注意:0 不能作除数。
(4)整除:a÷b(b≠0)=c 则 a 能被 b 整除,b 能整除a。
(5) 0 乘任何数等于0,0除c 任数(不等于0)等于0
四、减法简便运算:
1 、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示:a-b-c=a-(b+c)
2 、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示:a-b-c=a— c-b
五、除法简便运算:
1 、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积。用字母表示:
a÷b÷c=a÷(b×c)
2 、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
用字母表示:a÷b÷c=a÷c÷b
六、积的变化规律
①一个因数缩小(扩大)几倍,另一个因数扩大(缩小)相同的倍数,积不变。
②一个因数缩小(或扩大几倍),另一个因数不变,积也随着缩小(或扩大)几倍。
③一个因数扩大m 倍,另一个因数扩大n ,积扩大m×n 倍;一个因数缩小m 倍,另一个因数缩小n ,积缩小m×n 倍;一个因数扩大(缩小)m 倍,另一个因数缩小(扩大)n 倍,积扩大或缩小m÷n 倍。
七、解决问题:
1 、相遇问题相遇路程=速度和×相遇时间相遇时间=相遇路程÷ 速度和速
度和=相遇路程÷ 相遇时间追及问题
追及距离=速度差×追及时间追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
2、工程问题
工作效率× 工作时间=工作总量
工作总量÷ 工作效率=工作时间
工作总量÷ 工作时间=工作效率
3、最多、最少问题
人数最少多买贵的,人数最少多买便宜的。
4、购物、旅游合算问题
先计算后比较。
附:
一、常见乘法计算:
25×4=100
二、加法交换律简算例子:50+98+50
=50+50+98
=100+98
=198
四、乘法交换律简算例子:25×56×4
=25×4×56
=100×56 125×8=1000
三、加法结合律简算例子:
488+40+60
=488+(40+60 )
=488+100
=588
五、乘法结合律简算例子:
99×125×8
=99×(125×8)
=99×1000
=5600 99000
六、含有加法交换律与结合律的简便计算:
65+28+35+72
=(65+35)+(28+72)
=100+100
=200
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算:
25×125×4×8
=(25×4)×(125×8)
=100×1000
=100000
八、乘法分配律简算例子:
、分解式
25×(40+4)
=25×40+25×4 =1000+100
=1100
三、特殊1
99×256+256
=99×256+256×1 =256×(99+1)=256×100
25600
二、合并式
135×12 — 135×2
=135×(12—2 )
=135×10
=1350
四、特殊2
45×102
=45×(100+2)=45×100+45×2 =4500+90
=4590