乘除法的关系和运算律

乘除法的关系和运算律
一、加法运算律只有：交换律和结合律。

没有分配律
1、交换律：两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律例：
a+b=b+a .
扩展： A+B+C=A+C+B=C+B+A
2、结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数
相加,或者先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。

(A+B)+C=A+ ( B+C )
二、乘法运算律：交换律、结合律和分配律。

乘法才有分配律乘法交换律是两
个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。

a×b=b×a
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘, 再和另外一个数相乘，积不变。

如a × b × c=a × (b × c) a × c+b × c= ( a+b )× c
两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。

字母表达是：a×(b+c) =a×b+a×c
扩展：变式一
a×(b-c) =a×b-a×c
变式二
a×b+a=a×(b+1)
乘法分配律的拓展：
两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相
减。

用字母表示为：
(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c
三、乘除法各部分之间的关系：
1）乘法各部分之间的关系：
因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数
2）除法各部分之间的关系：
没有余数的除法：有余数的除法：
被除数=商×除数被除数=商×除数+ 余数
除数=被除数÷商除数=（被除数-余数）÷商
商= 被除数÷除数商= （被除数-余数）÷除数
（3 ）乘、除法之间的关系：
除法是乘法的逆运算
注意：0 不能作除数。

（4）整除：a÷b（b≠0）＝c 则 a 能被 b 整除，b 能整除a。

（5） 0 乘任何数等于0，0除c 任数（不等于0）等于0
四、减法简便运算：
1 、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。

用字母表示：a－b－c＝a－（b＋c）
2 、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。

用字母表示：a－b－c＝a— c－b
五、除法简便运算：
1 、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。

用字母表示：
a÷b÷c＝a÷（b×c）
2 、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b
六、积的变化规律
①一个因数缩小（扩大）几倍，另一个因数扩大（缩小）相同的倍数，积不变。

②一个因数缩小（或扩大几倍），另一个因数不变，积也随着缩小（或扩大）几倍。

③一个因数扩大m 倍，另一个因数扩大n ，积扩大m×n 倍；一个因数缩小m 倍，另一个因数缩小n ，积缩小m×n 倍；一个因数扩大（缩小）m 倍，另一个因数缩小（扩大）n 倍，积扩大或缩小m÷n 倍。

七、解决问题：
1 、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷ 速度和速
度和＝相遇路程÷ 相遇时间追及问题
追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
2、工程问题
工作效率× 工作时间＝工作总量
工作总量÷ 工作效率＝工作时间
工作总量÷ 工作时间＝工作效率
3、最多、最少问题
人数最少多买贵的，人数最少多买便宜的。

4、购物、旅游合算问题
先计算后比较。

附：
一、常见乘法计算：
25×4＝100
二、加法交换律简算例子：50+98+50
＝50+50+98
＝100+98
＝198
四、乘法交换律简算例子：25×56×4
＝25×4×56
＝100×56 125×8＝1000
三、加法结合律简算例子：
488+40+60
＝488+（40+60 ）
＝488+100
＝588
五、乘法结合律简算例子：
99×125×8
＝99×（125×8）
＝99×1000
＝5600 99000
六、含有加法交换律与结合律的简便计算：
65+28+35+72
＝（65+35）+（28+72）
＝100+100
＝200
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：
25×125×4×8
＝（25×4）×（125×8）
＝100×1000
＝100000
八、乘法分配律简算例子：
、分解式
25×（40+4）
＝25×40+25×4 ＝1000+100
＝1100
三、特殊1
99×256+256
＝99×256+256×1 ＝256×（99+1）＝256×100
25600
二、合并式
135×12 — 135×2
＝135×（12—2 ）
＝135×10
＝1350
四、特殊2
45×102
＝45×（100+2）＝45×100+45×2 =4500+90
=4590
＝2574
九、 连续减法简便运算例子： 528—65—35 528—89—128 528—（150+128） =528—（65+35） =528—128—89 =528 — 128— 150 =528—100
=400—89
=400 — 150 =428 =311
=250
十、 连续除法简便运算例子：
3200÷25÷4 =3200÷（25×4） =3200÷100 =32
十一、 其它简便运算例子：
256—58+44 250÷8×4
=256+44—58 =250×4÷8 =300—58
=1000÷8 =242 =125
【专项训练】
一、积的变化规律练习题
99×26 35×8+35×6 — 4×35 ＝（100—1）×26 ＝ 35×（ 8+6 — 4 ） ＝100×26—1×26 ＝ 35×10 ＝2600—26
＝ 350
五、特殊3
六、特殊 4
1、先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。

26×48＝1248 17×12＝204
26×24 ＝（）17×24 ＝（）
26×12 ＝（）17×36 ＝（）
2、一个长方形的面积是256 平方厘米，如果长缩小4 倍，宽扩大4 倍，这个长方形就变成了正方形，这个正方形的面积是多少？它的边长是多少？
二、用简便方法计算
⑴ 35+63+27
⑷ 14×32+69×14 ⑵ （103-3 ）×15
⑶ 25×44。