窗函数设计FIR滤波器

1.课题描述......................................................... (1)2.题目及要求......................................................... (1)3.设计原理......................................................... (1)3.1 滤波器的分类......................................................... (1)3.2 数字滤波器工作原理 (1)3.3 FIR滤波器的设计指标 (3)3.4窗函数设计FIR滤波器的设计原理 (5)3.5用窗函数设计滤波器的步骤 (10)3.6实验所用MATLAB函数说数 (11)4设计容......................................................... (12)4.1用MATLAB编程实现 (12)4.2结果分析......................................................... (15)5总结......................................................... (17)6参考文献......................................................... (17)1.课题描述数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形成和实现滤波方法不同。

正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

本课题使用MATLAB信号处理箱和运用窗函数的FIR滤波器去除无用信号。

2.题目及要求产生包含三个正弦成分（120hz,80hz,20hz）的信号，设计基于窗函数的FIR滤波器去除120hz,20hz成分，保留80hz信号。

通带允许的最大衰减为0.25dB，阻带应达到的最小衰减为20dB。

滤波器的采样频率为500Hz。

3.设计原理3.1滤波器的分类从功能上可以分为：低通、高通、带通和带阻。

从处理信号分为：经典滤波器和现代滤波器。

从设计方法上分为：切比雪夫和巴特沃斯从实现方法上分为：FIR和IIR3.2数字滤波器的工作原理数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是一个时间序列。

如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时间域存在下列关系y(n)=x(n) h(n)在Z域，输入输出存在下列关系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z变换。

同样在频率域，输入和输出存在下列关系Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw)和Y(jw)分别为x(n)和y(n)的频谱。

w为数字角频率，单位rad。

通常设计H(jw)在某些频段的响应值为1，在某些频段的响应为0.X(jw)和H(jw)的乘积在频率响应为1的那些频段的值仍为X(jw)，即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。

X(jw)和H(jw)的乘积在频段响应为0的那些频段的值不管X(jw)大小如何均为零，即在这些频段里的振幅不能通过滤波器，这些频带称为阻带。

一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)的频率特性，经数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分。

3.3 FIR滤波器的设计指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。

一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。

以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个围。

在通带： 1- AP≤)(ωj eH≤1 cω≤cω在阻带中：)H≤st A stω≤ω≤(ωj eωc其中c ω为通带截止频率, st ω为阻带截止频率，Ap 为通带误差, st A 为阻带误差。

图2-6 低通滤波器的幅度特性与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2π。

由于频率响应的周期性，频率变量以数字频率ω来表示，所以数字滤波器设计中必须给出抽样频率。

图2-7为各种数字滤波器理想幅度，可以看出：1、 一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器。

2、 一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减。

3、 一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器。

这里的相加相减都是相当于并联结构。

图2-7中所示的各种数字滤波器理想频率响应只表示了正频率部分，这样的理想频率响应是不可能实现的，原因是频带之间幅度响应是突变的，因而其单位抽样响应是非因果的。

因此要给出实际逼近容限。

数字滤波器的系统函数)(z H ，它在z 平面单位圆上的值为滤波器频率响应)(ωj e H ，表征数字滤波器频率响应特征的三个参量是幅度平方响应、相位响应和群延时响应。

窗函数的设计指标主要为：过渡带宽和阻带最小衰减。

3.4窗函数设计 FIR滤波器的设计原理FIR滤波器与IIR滤波器特点不同，设计方法也就不同。

由于FIR 系统的冲激响应就是其系统函数各次项的系数，所以设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲激响应作为H（z）的系数，冲激响应长度N就是系统函数H（z）的阶数。

只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。

这种时域设计、频域检验的方法一般要反复几个回合，不像IIR DF设计靠解析公式一次计算成功。

窗函数法设计 FIR 的基本思想是:首先根据给定的设计指标求出理想滤波器的频响 ,其对应的单位样值响应是非因果的无限长序列。

设计要用一个有限长序列来逼近它 ,最有效的办法是用一个有限长的窗函数截取理想滤波器的单位样值响应 ,因而窗函数的形状及长度的选择就成为了关键。

在Matlab 中常用的窗函数有矩形窗、Hanning 窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Kaiser 窗等。

这些窗函数各有优缺点 ,所以要根据实际情况合理选择窗函数类型。

3.4.1.窗函数分为：矩形窗、三角形窗、汉宁窗（Hanning ）、哈明窗、布莱克曼窗、凯塞---贝塞尔窗。

3.4.2.窗函数法设计原理设数字滤波器的传输函数为)(ωj e H ,)(n h d 是与其对应的单位脉冲响应, )(z H 为系统函数。

∑-=-=10)()(N n n j j e n h e H ωω(式3.1.1) ωπωωππd e e H n h n j j d d )(21)(⎰-= (式3.1.2)∑-=-=10)()(N n n z n h z H (式3.1.3)一般说来, )(n h d 是无限长的,需要求对)(ωj d e H 的一个逼近。

采用窗函数设计法时,可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器)()()(n h n n h d ω= (式3.1.4)其中, )(n ω是一个长度有限的窗,在区间0 ≤ n ≤ N 外值为0 ,且关于中间点对称)1()(n N n --=ωω (式3.1.5) 频率响应根据(式3.1.5) ,由卷积定理得出)()(21)(ωωωωπj j d j e e H e H •= (式3.1.6)理想的频率响应被窗函数的离散时间傅立叶变换)(ωωj e “平滑”了。

采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应)(ωj d e H 的逼近程度,由两个因素决定:①)(ωωj e 主瓣的宽度;②)(ωωj e 旁瓣的幅度大小。

理想的情况是)(ωωj e 主瓣的宽度窄,旁瓣的幅度小。

但对于一个长度固定的窗函数来说,这些不能独立地达到最小。

窗函数的一些通用性质为:1、窗函数的长度N 增加,主瓣的宽度减小,使得过渡带变小。

关系为:NB = C 其中:B 是过渡带的宽度;C 是取决于窗函数的一个参数。

如矩形窗为4π。

调整N 可以有效地控制过渡带的宽度,但N 的改变不改变主瓣和旁瓣的相对比例。

随着N 值增加,过渡带变窄,波动频率也随着增加,虽然总的幅度有所减少,但截止频率附近的肩峰并不减少,而只是随着N 值的增加,肩峰被抑制在愈来愈小的围,使肩峰宽度变窄。

2、窗函数的旁瓣的幅度大小取决于窗函数的选择。

选择恰当的窗函数使主瓣包含更多的能量,相应旁瓣的幅度就减小。

旁瓣幅度的减小,可以减少通带和阻带的波动,使通带尽可能趋近水平,阻带尽可能达到最大衰减。

但通常此时过渡带会变宽。

3、取不同的窗函数对幅度特性的整形效果比单纯的增加窗口长度要强得多。

3.4.3设计方法这种方法也叫傅里叶级数法。

一般是先给出所要求的理想的滤波器的频率响应)(ωj d e H ，要求设计一个FIR 滤波器频率响应∑-=-=10)()(N n n j j e n h e H ωω来逼近)(ωj d e H 。

设计是在时域进行的，因而先由)(ωj d e H 的傅里叶反变换导出)(n h d ，即ωπωωππd e e H n h n j j d d )(21)(⎰-= (式3.2.1) 由于)(ωj d e H 是矩形频率响应特性，故)(n h d 一定是无限长序列，且是非因果的，而FIR 滤波器的)(n h 必然是有限长的，所以要用有限长的)(n h 来逼近无限长的)(n h d ，最有效的方法是截断)(n h d 或者说用一个有限长度的窗口函数序列)(n ω来截取)(n h d ，即)()()(n h n n h d ω= (式3.2.2) 因而窗函数序列的形状及长度的选择就是关键。

我们以一个截止频率为c ω的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器为例来讨论。

设低通特性的群延时为α，即⎩⎨⎧-≤≤-≤≤≤≤-=-c c c c j j d e e H ωωππωωωωωωαω,,0,)( (式3.2.3) 这表明，在通带ω≤c ω围，)(ωj d e H 的幅度是均匀的，其值为1，相位是ωα-。

利用(1)式可得 [])()(sin 21)(αωαωπωωπωωωωα--==⎰--n n d e e n h c c c n j j d c c (式3.2.4))(n h d 是中心点在α的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的)(n h ，一种最简单的方法就是取矩形窗)(n R N ，即)()(n R n N =ω但是按照线形相位滤波器的约束，)(n h 必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半(N-1)/2，因而必须α=(N-1)/2，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧-≤≤==21-N ,010),()()()(αω为其他n N n n h n n h n h d d (式3.2.5) 将(式3.2.4)代入(式3.25)，可得10,,0)21()21(sin )(-≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=N n n N n N n n h c c c为其他值ωωπω (式3.2.6)此时，一定满足)1()(n N h n h --=这一线性相位的条件。