共轭变换及其性质的研究

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊数学与应用数学本科生毕业论文共轭变换及其性质的研究指导老师：谷勤勤学生姓名：黄越所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学班级： 091班学号： 099084083日期： 2013年 6 月┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称共轭变换及其性质的研究学院数理学院专业班级数学与应用数学091班姓名黄越学号099084083毕业论文的主要内容及要求：1.在查阅相关文献的基础上，评述本课题相关背景及其研究意义。

2.本课题要求熟练掌握共轭变换的概念和共轭变换的性质，并且熟练的使用矩阵工具来解决共轭变换相关定理，要求掌握共轭变换同对称变换和正交变换之间的联系。

3.完成在此课题上已有的一些研究的整理，分析。

并且做出自己独立思考的成果，解决有关共轭变换的问题。

4. 写作过程要注重数学理论的构成；5. 论点要突出，论据要充分，要有自己的特色；6. 论文要注明参考文献不少于8篇，书写要规范，并为论文答辩做好准备。

指导教师签字：┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊共轭变换及其性质的研究黄越数理学院数学与应用数学摘要共轭变换在高等代数学中占有着重要的地位，共轭变换及其性质的研究把对称变换、反对称变换统一起来.并借助矩阵这个工具，利用对称矩阵，反对称的性质来研究欧氏空间中的共轭变换.本文首先给出变换的定义，并给出共轭变换的重要性质，结合共轭变换定义和性质并借助于矩阵，得到共轭变换相关的定理.最后，利用共轭变换与对称变换、正交变换之间的关系，通过共轭变换的性质来解决对称变换、正交变换的一些性质和定理的证明.关键词欧氏空间；线性变换；共轭变换┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊Study on conjugate transformation and its propertiesHuang YueSchool of Mathematics and Physics,Department of Mathematics and Applied MathematicsAbstractConjugate transformation plays an important role in Higher Algebra, Studying on the conjugate transformation and its properties unify symmetry transformation and antisymmetric transform.With the tool of matrix, using the properties of symmetric matrix and antisymmetric matrices to study the conjugate transformation of Euclidean space. In this paper, firstly, the definition of the and the important properties of conjugate transformation are given. Secondly, combining the definition of conjugate transformation and the properties of the conjugate transform and the tool of matrix we get some important theorems of conjugate transformation. At Last, according to the relationship between conjugate transformation and symmetry transformation, orthogonal transformation, we use the properties of conjugate transformation to solve some problem of properties and theorems of symmetric transformation and orthogonal transformation.Key words:Euclidean space;Linear transformation;Conjugate transformation┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录摘要 (III)Abstract (IV)目录 (V)1 绪论................................................ 错误!未定义书签。

1.1 课题背景 (1)1.2 研究内容 (1)1.3 研究意义 (1)2 共轭变换的概念及其性质 (2)2.1 共轭变换的概念 (2)2.2 共轭变换的性质 (2)3 共轭变换性质的研究 (4)3.1 共轭变换的相关定理 (4)3.2 共轭变换在复数域上的相关定理 (9)3.3 其他相关定理 (11)4 共轭变换的应用 (14)结论 (19)参考文献 (20)致谢 (21)附录1 (22)附录2 (25)┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊1 绪论1.1 课题背景行列式和矩阵在18~19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展.当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间（简称欧氏空间）.英国数学家凯莱(Arthur Cayley ,1821-1895)首先把矩阵作为一个独立的数学概念，同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1.2 研究内容本课题主要研究共轭变换的性质及它与对称变换、正交变换之间的联系.结合矩阵，从特征值、像与核、可逆性几个方面研究线性变换和其共轭变换的性质.再通过共轭变换的一些性质，探讨了其他变换如对称变换、反对称变换，正交变换，正规变换的一些性质.1.3 研究意义行列式和矩阵在18~19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展.当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间（简称欧氏空间）.我们知道对称变换、正交变换是欧氏空间的两个重要变换，但高等代数教材研究两线性变换之间的关系却很少.因此本课题研究欧氏空间中的两线性变换的特殊关系——共轭关系及自共轭关系，这对高等代数知识是一个有益的补充.线性变换的研究总是与基下对应的矩阵、特征值、不变子空间、像与核、可逆性紧密联系在一起的.本文正是从这几个方面讨论了线性变换与其共轭变换之间的关系.知道其中一个变换的性质就可推出另一个变换的相关性质，这些性质与结论对n维欧氏空间上的对称变换全部是成立的，从而加深了代数学里我们对线性变换的研究.┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊2 共轭变换的概念及其性质2.1 共轭变换的概念定义1 设ϕ是n维欧氏空间V的线性变换，定义V到自身的变换*ϕ如下：对V的任意向量α，β，均有()()βϕαβϕα*，，=则*ϕ是由ϕ唯一决定的，称*ϕ为ϕ的共轭变换.又称伴随变换.2.2 共轭变换的性质性质 2.2.1 ϕ为欧氏空间V上的线性变换，*ϕ为ϕ的共轭变换，则ϕ也为*ϕ的共轭变换.证明：对V中任意向量α，β均有()()()()()()()βαϕαϕβαβϕβϕαβϕα，，，，，******====因为β是任意的，故()ϕααϕ=**.因为α是任意的，所以()ϕϕ=**.□性质2.2.2 设V是数域P上的欧氏空间，若ϕ及ψ是V上的线性变换，k为P上的常数，则：1）()***ψϕψϕ+=+；2）()**kkϕϕ=；3）()***ϕψϕψ=.证明 1）对V∈∀βα，，有()()()()()()()()()βψϕαβψαβϕαβψαβϕαβψβϕαβαψϕ****+=+=+=+=+，，，，，，，所以()***ψϕψϕ+=+.2）对V∈∀βα，，有()()()()βϕαβαϕ*kk，，=另一方面，()()()()()()βϕαβϕαβαϕβαϕ**kkkk，，，，===故()()()()βϕαβϕα**kk，，=，()()βϕβϕ**kk=因此()**kkϕϕ=.3）对V∈∀βα，，有┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()()()()()()()βϕψαβϕψαβϕψαβαψϕβαϕψ*****，，，，，====所以()***ϕψϕψ=.□性质2.2.3 线性变换的共轭变换和矩阵的联系：1)共轭变换的和对应于矩阵的和；2)共轭变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)共轭变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4)如果共轭变换可逆，则与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证明同线性变换性质的证明.□┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊3 共轭变换性质的研究3.1 共轭变换的相关定理定理3.1.1 线性变换ϕ的共轭变换*ϕ是线性变换.证明设P21∈λλ，，V21∈ββ，，.则由定义，()()()()22112211*βλβλαϕβλβλϕα+=+，，()()2211βϕαλβϕαλ，，+=()()()()2*21*1βϕαλβϕαλ，，+=()()()2*21*1βϕλβϕλα+=，.即()()()()()0-2*21*12211*=++βϕλβϕλβλβλϕα，.由α的任意性得到，()()()2*21*12211*βϕλβϕλβλβλϕ+=+即线性变换ϕ的共轭变换*ϕ是线性变换.□定理3.1.2 若ϕ在标准正交基nεεε，，，21之下的矩阵为A，则ϕ的共轭变换*ϕ在这组基下的矩阵为TA.证明设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=，，，nnnnnnnnnnaaaaaaaaaεεεϕεεεεϕεεεεϕε22112222112212211111设*ϕ在基n21εεε，，， 下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211，即┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=，，，nnnnnnnnnnεεεεϕεεεεϕεεεεϕbbbbbbbbb2211*22221122*12211111*于是，由于nεεε，，，21为标准正交基，故()()jijnniijiaaa=++=εεεεϕε,11，，()()ijnnjjijibbb=++=εεεεϕε11*,,.但是()()jijiεϕεεϕε*,,=，故njiabjiij,2,1,,==，即T=AB.□定理3.1.3 设ϕ为n维欧氏空间V的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，则ϕ与*ϕ有相同的特征根.证明由定理3.1.3，*ϕ关于基nεεε，，，21的矩阵为TA，A与TA有相同的特征根，所以ϕ与*ϕ有相同的特征根.□定理3.1.4 设ϕ为n维欧氏空间V的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，*ϕ可以对角化的充分必要条件是ϕ可以对角化.当*ϕ可以对角化时，ϕ与*ϕ关于V的任意基的矩阵是相似矩阵.证明若ϕ可以对角化，则存在可逆矩阵P，使得DAPP-1=D是对角矩阵.从而()DDPAP-1==TTTTD是对角矩阵，所以TA可以对角化，即*ϕ可以对角化.反之，若*ϕ可以对角化，同理可证ϕ也可以对角化.如果*ϕ可以对角化，由以上证明ϕ也可以对角化.又ϕ与*ϕ有相同的特征根，所以ϕ与*ϕ关于同一基的矩阵是相似矩阵.□定理3.1.5 设ϕ为n维欧氏空间V的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，则*ϕ在()ϕker 中的限制是()ϕker的零变换，ϕ在()*kerϕ中的限制是()*kerϕ的零变换.证明对于()ϕker中任意向量α，β均有┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()()()()0*===，，，αβϕαβαϕ由β的任意性知，()0*=αϕ，又α也是()ϕker中任意向量，所以*ϕ在()ϕker中的限制是()ϕker的零变换.同理可证，ϕ在()*kerϕ中的限制是()*kerϕ的零变换.□定理 3.1.6 设ϕ为n维欧氏空间V的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，()Vϕ与()V*ϕ，()ϕker与()*kerϕ有相同的维数.证明ϕ与*ϕ关于标准正交基nεεε，，，21的矩阵分别为A与TA，而A与TA有相同的秩，所以()Vϕ与()V*ϕ有相同的维数，()ϕker与()*kerϕ有相同的维数.□定理3.1.7 设nεεε，，，21是数域P上内积空间V的一组基，其度量矩阵为T，ϕ为V的一个线性变换，ϕ在这组基下的矩阵为A.设ϕ的共轭变换*ϕ在这组基下的矩阵为B，则有TATB-1T=成立.证明已知()()A2121nnεεεεεεϕ，，，，，，=，()()B2121*nnεεεεεεϕ，，，，，，=.对任意的V∈βα，，设()X21nεεεα，，，=，()Y21nεεεβ，，，=.则有()A X21nεεεϕα，，，=，()BY21*nεεεβϕ，，，=.于是()()()()()Y TAXYTAXYAX2121TTT===nnεεεεεεβϕα，，，，，，，，，()()()()Y B TXBYTXBYX2121*TT===nnεεεεεεβϕα，，，，，，，，.()()βϕαβϕα*，，=则有BTTA=T，即有TATB-1T=.□推论 1 当n21εεε，，， 是V的一组标准正交基时，T=AB.特别的，当V为实数域上的内积空间时T=AB.证明由度量矩阵的定义可知在标准正交基下ET=，由性质2.2.4可得T=AB，即┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊T=AB，当V为实数域上的内积空间时，TT=AA，故此时T=AB.□定理 3.1.8 ϕ为K上n维内积空间V的线性变换，*ϕ为其共轭变换，则()0VV-1*ϕϕ⊕=，即有限维内积空间V可分解为*ϕ的值域与ϕ的核的直和.证明设()mdim-1=ϕ，取()0-1ϕ的一组标准正交基m21ααα，，， ，再扩大为V的一组标准正交基n1mm21ααααα，，，，，+，令ϕ在此组基下的矩阵为A，那么()()m21-1L0αααϕ，，，=，()()()n2m1m1-0αααϕ，，，++⊥=，所以()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==++nn1mn1n1m1n21n21n21Aaaaa，，，，，，，，，，，αααααααααϕ由推论1可知()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==++Tnnnmnmnnnaaaa，，，，，，，，，，，，1111212121*Aαααααααααϕ对V*ϕβ∈∀，则有()θϕβ*=，其中V∈θ，则可设nnαααθccc2211+++= ，Ki∈c，ni,,2,1=.则()nnαϕαϕαϕθϕ*2*21*1*ccc+++= ，由上可知()()nmmLαααθϕ,,,21*++∈，那么()()()⊥++=∈0,,,1-21ϕαααβnmmL .此即()()⊥⊆0V1-*ϕϕ.又()()()⊥T=====0dimdim-nVdimAAVdim1-1-*ϕϕϕ秩秩，所以┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()⊥=0V1-*ϕϕ，即得()0VV-1*ϕϕ⊕=.□定理3.1.9 设U是有限维内积空间V上的线性变换ϕ的不变子空间，则⊥U是*ϕ的不变子空间.证明由于U为ϕ的不变子空间，那么对U∈∀α，有U∈ϕα，又对⊥∈∀Uβ有()()0*==βϕαβϕα，，，则⊥∈U*βϕ，即⊥U为*ϕ的不变子空间.□定理3.1.10 若向量x既是线性变换ϕ的属于特征值1λ的特征向量，又是*ϕ的属于特征值2λ的特征向量，则有21λλ=.证明由题设可得xx1λϕ=，xx2*λϕ=，其中x为非零向量.由()()xxxx*ϕϕ，，=，则有()()xxxx21,λλ=，，()()xxxx，，21λλ=，由于x为非零向量，则得证21λλ=.□定理3.1.11 ϕ是内积空间V上的线性变换，若ϕ为可逆变换，则*ϕ也为可逆变换，且有()()*1--1*ϕϕ=.证明设ϕ在V的一组标准正交基下对应的矩阵为A，则*ϕ在此组基下对应的矩阵为TA.由线性变换与矩阵的对应关系知A为可逆阵，又由性质9的证明过程知TA 也为可逆阵.则*ϕ也可逆.又对V∈∀βα，，有()()()()()()()()βϕαβϕαϕϕβϕϕαϕβαϕ-1*-1*1--1**1-1-，，，，===，则有()()-1**1-ϕϕ=.□定理 3.1.12 设ϕ是n维欧氏空间V的线性变换.则：ϕ的共轭变换*ϕ的像空间()V*ϕ是ϕ的核ϕKer的正交补.证明先证明正交性取┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()ϕβϕαK erV*∈∈∀，.令()V11*∈=ααϕα，则()()()()()()0111*====，，，，αβϕαβαϕβα.证明*ϕ的像空间()V*ϕ是ϕ的核ϕKer的正交补设()ϕβϕαβαKerV0*∈∈+=，，则()()()()()00=+=+=βββαββαβ，，，，因为()0=βα，所以()0=ββ，则有0==βα，.即零向量分解唯一.所以()VK erV*=⊕ϕϕ由高等代数线性变换值域与核中定理可知，线性变换的秩等于线性变换对应矩阵的秩.即ϕ的秩=A的秩，A为ϕ在V的基下的矩阵.还由定理可知n=+的零度的秩ϕϕ的零度ϕ即为ϕKer的维数.又A的秩等于TA的秩，TA是ϕ的共轭变换ϕ'对应的矩阵.所以有n=+的零度的秩ϕϕ*即()n的维数的维数的维数VKerV*=+ϕϕ所以ϕ的共轭变换*ϕ的像空间()V*ϕ是ϕ的核ϕKer的正交补.□3.2 共轭变换在复数域上的相关定理定理3.2.1 若复内积空间V的线性变换ϕ有特征值nλλλ，，，21，则*ϕ有特征值nλλλ，，，21.即ϕ与其伴随*ϕ的特征值的关系是互为共轭.┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊证明设ϕ在V上以标准正交基下的矩阵为A，则存在可逆阵T，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nλλλ*ATT211-，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nλλλ*ATT211-，由于EETTTT-1-1===，则有-11-TT=，因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡*==nλλλTATATT211-1-，从而A的特征值为n21λλλ，，， ，而A与TA相似，故A'的特征值也为nλλλ，，，21，又由推论1知*ϕ在此组基下的矩阵为TA，因此*ϕ的特征值为nλλλ，，，21.□定理3.2.2 ϕ是数域P上内积空间V上的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，若()x g为ϕ的最小多项式，则()xg为*ϕ的最小多项式，这里()x g的系数等于()x g系数的共轭，即ϕ与其共轭*ϕ的最小多项式之间的关系是次数相同系数互为共轭.证明设ϕ在V的一组标准正交基下的对应矩阵为A，则*ϕ在此组基下对应的矩阵为TA，设ϕ的零化多项式为()1-,,1,0,,11-1-miPaaxaxaxxpimmm=∈++++=.()0EAAAA11-1-=++++=aaap mmm .因此()()()()EAAAA11-1-aaapmmm++++=TTTT()0EAAA11-1-=++++=Taaa mmm ，则()xp为*ϕ的零化多项式.反过来，设*ϕ的零化多项式为()1-,,1,0P,,11-1-libbxbxbxxqilll=∈++++=.则有()()()()0EAAAA11-1-=++++=TTTTbbbqlll.因此┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()EAAAA11-1-bbbq lll++++=()()()0EAAA11-1-=++++=TTTTbbblll.则()xq为ϕ的零化多项式.因而ϕ的零化多项式与*ϕ的零化多项式次数相同但系数互为共轭，所以由()x g为ϕ的最小多项式，则()xg为*ϕ的最小多项式.□3.3 其他相关定理定义2 设ϕ为欧式空间V的一个线性变换，如果对V中任意向量α，β均有()()ϕβαβϕα，，=，则称ϕ为V的对称变换.定义3 设ϕ是欧氏空间V的一个线性变换.若对V中任意向量α，β都有()()βαϕβϕα，，=，则称ϕ为正交变换.定义 4 设ϕ是V的一个线性变换，若存在1±=λ，使得任意V∈βα，，都有()()ϕβαλβϕα，，=成立，则称ϕ是V的一个广义对称变换.将V的一切广义对称变换所成的集记为()VLλ.当1=λ时，就是上面所说的对称变换，当-1=λ时，则称ϕ是V的一个反对称变换.定义5设ϕ为欧氏空间V的一个对称变换.如果ϕ对V中任意向量α，均有()0≥αϕα，，则称ϕ为非负对称变换.定义6 若欧氏空间V的线性变换ϕ与它的共轭变换*ϕ可交换，即ϕϕϕϕ**=，则ϕ称为规范变换，如果n阶方阵A与它的转置TA可交换，即AAAA TT=，则方阵A称为规范方阵.定义7 设ϕ是欧氏空间V的线性变换.如果对任意V∈α，()ααϕ=，则ϕ称为正交变换.简单地说，保持向量范数不变的线性变换称为正交变换.定理3.2.1 设ϕ为n维欧氏空间V的线性变换，*ϕ是ϕ的共轭变换，则*ϕϕ和ϕϕ*是对称变换.证明对于V中任意向量α，β，有()()()βϕϕαβϕαϕβαϕϕ****，，，==，┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()()ϕβϕαϕβϕαβϕαϕ**，，，==.因此，*ϕϕ和ϕϕ*是对称变换.□定理3.2.2 实数域上内积空间上的对称变换ϕ的共轭变换ϕϕ=*，正交变换ϕ的共轭变换-1*ϕϕ=.证明下面只在实数域上内积空间上进行证明.由于ϕ是对称变换，因此()()ϕβαβϕα，，=对一切的α，β成立，所以ϕϕ=*.由于ϕ是正交变换，因此()()βαϕβϕα，，=对一切的α，β成立，所以()()()βϕαβϕϕϕαβϕα-1-1，，，==，因此-1*ϕϕ=.□推论 2 若ϕ为n维欧氏空间V上的线性变换，则ϕ为对称变换是()0VV-1ϕϕ⊕=的充分条件.证明由定理3.1.7和定理3.2.2即得证.□定理3.2.4任意线性变换ϕ与其共轭变换*ϕ的乘积*ϕϕ是非负对称变换.证明首先，有()()******ϕϕϕϕϕϕ=⋅=，故*ϕϕ为对称变换；其次，又因对V中任意向量α有()()0***≥=αϕαϕααϕϕ，，，故*ϕϕ是非负对称变换.□定理3.2.5 设线性变换ϕ是正交变换，则ϕ是可逆变换，而且它的逆变换*-1ϕϕ=也是正交变换.证明设{}nξξξ,,,21是V的标准正交基，且┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()A,,,,,,2121nnξξξξξξϕ=，其中A是n阶实正交方阵.则()()T=A,,,,,,2121*nnξξξξξξϕ，其中*ϕ是ϕ的共轭变换.于是()()T=AA,,,,,,2121*nnξξξξξξϕϕ()()nnI,,,21ξξξ=，()()AA,,,,,,2121*T=nnξξξξξξϕϕ()()nnI,,,21ξξξ=，因此φϕϕϕϕ==**，φ是单位变换.所以ϕ是可逆的，且*-1ϕϕ=.由于()φϕϕϕϕ==****，()φϕϕϕϕ==****，所以*ϕ是正交变换.□┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊4 共轭变换的应用共轭变换在规范变换，正交变换，对称变换及反对称变换中都有涉及，且共轭变换的一些性质对规范变换，正交变换，对称变换的一些定理的证明提供了简单有效的方法.例 1 若1ϕ，2ϕ是两个对称变换，则21ϕϕ是对称变换的充分与必要条件是1221ϕϕϕϕ=.证明设21ϕϕ是对称的，即()21*21ϕϕϕϕ=，但由于1ϕ及2ϕ是对称的，故()12*1*2*21ϕϕϕϕϕϕ==.从而1221ϕϕϕϕ=.反之，设1221ϕϕϕϕ=，则()2112*1*2*21ϕϕϕϕϕϕϕϕ===.即21ϕϕ为对称变换.□例2 欧氏空间V的线性变换ϕ是对称变换的充分必要条件为，ϕ在V的标准正交基下的方阵是对称方阵.证明设线性变换ϕ在V的标准正交基nεεε，，，21下的方阵是A，则ϕ的共轭变换*ϕ在这组基下的方阵是TA.于是ϕϕ=*等价于AA=T.所以ϕ在V的标准正交基下的方阵是对称方阵.□例3 欧氏空间V的线性变换ϕ是反对称变换的充分必要条件为，ϕ在V的标准正交基下的方阵是斜对称方阵.证明设线性变换ϕ在V的标准正交基nεεε，，，21下的方阵是A，则ϕ的共轭变换*ϕ在这组基下的方阵是TA.于是ϕϕ-*=等价于-AA=T.所以ϕ在V的标准正交基下的方阵是斜对称方阵.□例4 设β与γ是n维欧氏空间V的固定向量.证明：()()γβααϕ，=所定义的变换ϕ是V的线性变换，其中V∈α.求ϕ的共轭变换*ϕ.证明对V21∈∀αα，，P21∈kk，有()()γβααααϕ，22112211kkkk+=+()()()γβαβα，，2211kk+=()()γβαγβα，，2211kk+=┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()()2211αϕαϕkk+=所以ϕ是V的线性变换.对V21∈∀αα，，()()()()2121*αϕαααϕ，，=()()γβαα，，21=()()γαβα，，12=()()βγαα，，12=()()21αβγα，，=所以()()βγααϕ，11*=即对V∈∀α，和固定向量β，γ，()()βγααϕ，=*.□例5 设ϕ是欧氏空间V的线性变换，则下述命题等价：1)ϕ是规范变换；2)对任意V∈α，()()αϕαϕ*=；3)ϕ在V的标准正交基下的方阵为规范方阵.证明））21⇒对任意V∈α，()()()()()()αϕϕααϕαϕαϕ*2，，==.因为ϕ是规范变换，所以ϕϕϕϕ**=，因此()()()()()ααϕϕαϕϕααϕ，，**2==()()()()2***αϕαϕαϕ==，.所以2）成立.））32⇒设{}nξξξ，，，21是V的标准正交基，且()()A2121nnξξξξξξϕ，，，，，，=，其中A是n阶实方阵.又()()T=A2121*nnξξξξξξϕ，，，，，，.记()n n ij a⨯=A.则()()njaanlljljnkkkjj≤≤==∑∑==1,,1*1ξξϕξξϕ.于是()()()()∑∑∑∑=====⎪⎭⎫⎝⎛=nknllkljkinllljnkkkijiaaaa1111,,,ξξξξξϕξϕ.因为{}nξξξ，，，21是V的标准正交基，所以┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()⎩⎨⎧≠==≤≤=.,1,1,,lklknlkklkllkδδξξ因此()()()∑∑∑=====nkkjkinknlklljkijiaaaa111,δξϕξϕ.记()n n ij b⨯T==BAA.此式表明()()()njibjiij≤≤=,1,,ξϕξϕ.同理，()()()∑==nkjkikjiaa1**,ξϕξϕ.记()n n ij c⨯T==CAA.上式表明()()()njicjiij≤≤=,1,,**ξϕξϕ.由于()()()()()()()()jijijijiξϕξϕξϕξϕξξϕξξϕ++=++,,()()()()()()()()()jjjiiiξϕξϕξϕξϕξϕξϕ,,2,++=，而由条件2），()()()()()()jijijijiξξϕξξϕξξϕξξϕ++=++**,,()()()()()jijiξϕξϕξϕξϕ****,++=()()()()()()()()()jjjiiiξϕξϕξϕξϕξϕξϕ******,,2,++=所以()()()()()()jijiξϕξϕξϕξϕ**,,=.因此njicbijij≤≤=,1,.即TT=AAAA.））13⇒()()A,,,,,,2121nnξξξξξξϕ=，()()T=A,,,,,,2121*nnξξξξξξϕ.其中{}nξξξ,,,21是V的标准正交基.因此()()AA,,,,,,2121*T=nnξξξξξξϕϕ，()()T=AA,,,,,,2121*nnξξξξξξϕϕ.由于方阵A是规范的，所以TT=AAAA.因此()()nnξξξϕϕξξξϕϕ,,,,,,21*21*=.于是**ϕϕϕϕ=.┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊□例6 设ϕ是欧式空间V的线性变换，则下述命题等价：1)ϕ是正交变换；2)ϕ是保内积的，即对任意V∈βα，，()()()()βαβϕαϕ，，=；3)ϕ把V的标准正交基变为标准正交基，即设{}nξξξ，，，21是V的标准正交基，则()()(){}nξϕξϕξϕ,,,21也是V的标准正交基；4)ϕ在V的标准正交基下的方阵是正交方阵；5)ϕ是规范变换，而且φϕϕϕϕ==**，φ是单位变换.证明））21⇒设V∈βα，.因为ϕ是正交变换，所以()βαβαϕ+=+，即()()()()βαβαβαϕβαϕ++=++，，.于是()()()()()()()()βϕαϕβϕαϕβαϕβαϕ++=++，，()()()()()()()()()βϕβϕβϕαϕαϕαϕ，，，++=2()()()()βββαααβαβα，，，，++=++=2. 因为ϕ是正交的，所以()()()()αααϕαϕ，，=，()()()()βββϕβϕ，，=.所以()()()()βαβϕαϕ，，=.即ϕ保内积.））32⇒设{}nξξξ,,,21是V的标准正交基，则()⎩⎨⎧≠==≤≤=.,1j,1,,jijiniijijjiδδξξ因为ϕ保内积，所以()()()⎩⎨⎧≠==≤≤=.,1j,1,,jijiniijijjiδδξϕξϕ即()()(){}nξϕξϕξϕ,,,21是V的标准正交基.））43⇒设ϕ在V的标准正交基{}nξξξ,,,21下的方阵为A，即()()A,,,,,,2121nnξξξξξξϕ=，其中()n n ij a⨯=A.则┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()njankkkjj,,2,1,1==∑=ξξϕ.所以()()()()∑∑∑∑=====⎪⎭⎫⎝⎛=nknllkljkinllljnkkkijiaaaa1111,,,ξξξξξϕξϕ∑∑∑=====nkkjkinknlklljkiaaaa111δ.因为()()(){}nξϕξϕξϕ,,,21也是标准正交基，所以()()()⎩⎨⎧≠==≤≤=.,1j,1,,jijiniijijjiδδξϕξϕ因此njiaaijnkkjki≤≤=∑=,1,1δ.这表明()nIAA=T.从而()TT==AAIAAn，即A是正交方阵.））54⇒由定理3.2.5可知.））15⇒因为φϕϕϕϕ==**，所以对任意V∈α，()()()()()()()()αααφααϕϕααϕαϕ，，，，===*，即()ααϕ=.□。