第二章第一节导数的定义

Newton
Leibniz
dy f ( x0 ), dx
d f ( x) x x0 或 dx
x x0
,
即
f ( x0 x ) f ( x0 ) y y x x0 lim lim x 0 x x 0 x
其它形式
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
注意:
f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim lim ; x x0 0 x 0 x x0 x
2.右导数:
即
y 0 0; x x
y lim
y lim 0 0. x 0 x x 0
(C ) 0.
例2 求函数 y x n (n为正整数) 的导数.
解
y f ( x x ) f ( x ) ( x x )n x n
nx
n 1
一、引例
引例1.变速直线运动质点的瞬时速度
设一质点从点O出发作变速直线运动，它经 过的路程 s是时间t的函数： s=s(t),
s
s s(t0 t ) s(t0 ) 平均速度 v t t
s( t 0 )
s ( t 0 t )
当 t 0 时取极限得瞬时速度
s(t0 t ) - s(t0 ) v(t0 ) lim t 0 t
割线MN的斜率为
y y y0 tan x x x0 切线MT的斜率为
f ( x ) f ( x0 ) , x x0
f ( x ) f ( x0 ) y k tan lim lim . x 0 x x x0 x x0
二、导数的定义
★ 如果 f ( x ) 在开区间a , b 内可导，且 f (a ) 及
f (b ) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a , b 上可导.
x x0 , 讨论在点 x0的 x x0
( x ), ★ 设函数 f ( x ) ( x ), 可导性.
a x ah 1


h ln a e 1 x a lim h 0 h
y lim lim h 0 h h 0
a x a h 1
h h ln a x a lim h 0 h
a x ln a .
即
(a ) a ln a .
x x
( e x ) e x .
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h 1 , lim lim h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
四、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角)
o
M
Leabharlann Baidu
y f ( x)
T
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
★ 对于任一x∈I,都有一个确定的导数值f’(x),这 时在区间I上确定了一个新的函数。
称这个新的函数为f(x)的导函数，简称导数。 记为 dy d f ( x)
y, f ( x ),
dx
或
dx
.
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 函数的求导法则 第三节 隐函数的导数 由参数方 程所确定的函数的导数 第四节 高阶导数 第五节 函数的微分
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三 、按定义求导数 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性 的关系

例如,
( x n ) nx n 1 .
( x ) x 1 .
1 1 2
更一般地
( R )
1 1 1
1 ( x ) x 2

1 2 x
.
( x ) (1) x
1 2. x
例3 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x )
Ⅹ
?
2 0 sin 4 2
一般地
f ( x0 ) 0
f ( x0 )
f ( x 0 )
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
y f ( x h ) f ( x ) a x h a x
解
y f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x 2x h h h h 2cos sin 2cos x sin 2 2 2 2
x 4
.
lim
y 1 h h lim 2cos x sin h 0 h h 0 h 2 2
若 lim x 0 f ( x0 x ) f ( x0 ) x
lim x 0
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim x 0 x lim x 0
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
x C x
2 n
n 2
x
2
x
n
y n 1 2 n 2 nx n1 Cn x x x x
y n 1 n 1 2 n 2 lim lim[nx Cn x x x ] nx n 1 x 0 x x 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
关于导数的说明： ★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★
如果函数 y f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数. xh 解 y log a ( x h) log a x log a x
h ln 1 1 x y 1 h lim lim log a 1 lim h 0 h h 0 h ln a x h 0 h h 1 1 x . lim h 0 h ln a x ln a
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x ( 3) 求极限 y y lim . x 0 x
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数. 解 (1)求增量 y f ( x x) f ( x) C C 0; (2)算比值 (3)求极限
2 h h lim cos( x ) h 0 h 2 2
cos x.
x 4
即
(sin x ) cos x . (sin x )
(cos x ) sin x .
cos x
x
4
2 . 2
类似可得
2 sin 4 cos 4 2
注意:一个函数在某点连续却不一定在该点处可导. ★ 连续函数不存在导数举例 例如前面的例6,
y
y x
f ( x) x ,
o
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x )的角点.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x0
x
例如,
f ( x )
f ( x)
1 3 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
则 f ( x ) 在点x 0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数举例
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
h log a 1 x
y 1 h log a 1 h h x
即
1 1 (log a x ) log a e . x ln a x
(ln x )
1 . x
例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y f ( x)
y
N
C
o

T
M

x
x0
x
x
C N 沿曲线 M , x x 0 , x 0
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
x 1 2
1 ( ) x
x
1 2
1 2 x
x
1 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
五、函数的可导性与连续性的关系
凡可导函数都是连续函数. 证
设函数 f ( x )在点 x0可导,
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
3 2
3
x,
y y 3 x
O
,x 0
x
在 x 0 处不可导
导数为无穷大
y
1 x sin , x 0 例8 讨论函数 f ( x ) , x x0 0, 在x 0处的连续性与可导性 .
1 解 sin 是有界函数 , x
1
－1/π
0
1/π
x
1 lim x sin 0 x 0 x