激光原理-(9)-高斯光束

y0
ห้องสมุดไป่ตู้
, R′ ≈ y ′ α0 α′
y0
A +B ′ y Ay B α = + 0 0 Ay0 + Bα 0 AR0 + B α0 R′ = = = y0 α ′ Cy0 + Dα 0 Cy0 + Dα 0 CR0 + D = C +D α0
NJUPT
普通球面波的传播规律
在自由空间的传播
1 1 1 iλ πω 0 = = − = q0 i= if 2 q 0 q(0) R(0) πω (0) λ
2
NJUPT
§4.2 高斯光束的传输 与变换规律
NJUPT
ABCD 法则 Y
α
波面
的方向是光线的切线方 向，与波面垂直，代表 了光波面的法线方向
近轴条件下: R ≈
R
α
0
y Z
y
α
R0 ≈
高斯光束
1、均匀平面波 沿某方向（如z轴）传播的均匀平面波（即均匀的平 行光束），其电矢量为：
E ( x , y , z ) = A0e
k = 2π λ ，波数
A0 ，振幅
− ikz
特点：振幅与x，y无关 在与光束传播方向垂直的平面上光强是均匀的。
NJUPT
高斯光束
2、均匀球面波 由某一点光源（位于坐标原点）向外发射的均匀球面 光波，其电矢量为：
总结: 基模高斯光束特征参数
( z ) ω0 ω = z 1+ f
2
f 2 R( = z ) z 1 + z
ω0 =
λf π
2 0
πω f = λ
（共焦参量）
NJUPT
总结: 基模高斯光束特征参数之间关系
光斑半径 ω (z) 高斯光束的特征参数 等相面曲率半径 R( z ) 共焦参量 f 1. 腰斑
R( z2= ) R( z1 ) + z2 − z1
A B 1 L TL = = C D 0 1
AR1 + B R2 = CR1 + D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
普通球面波的传播规律
通过焦距为F的薄透镜
R1 ( z ) R2 ( z )
O1
O2
1 1 1 = − R2 R1 F
A B l′
ω 0′ ω c
已知：
C
ω 0、l、F
q0
l
q A qB
lC
qC
求：ωC、RC 方法一： z=0 处：q = i πω 2 0 0
λ
q0 + l A处： q= A
qB 1 q A − 1 F B处：1= q= q B + lC C处： C
1 1 = Re RC qC 1 π 1 ω 2 = − λ Im q C C
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
方法二：
Aq1 + B q2 = Cq1 + D
πω λ
1 = q2
D C+ q1 = B A+ q1
2
D iλ D (C + )− πω1 2 R1 B iλ B (A+ )− πω1 2 R1
2 2
B πω1 2 2 2 A B + + λ R 1 = 2
λz z 1 + =ω 0 1 + 2 f πω 0
P67
πω 0 2 1 = = f L 共焦腔反射镜的焦距 2 λ
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
ω ( z)
F
ω0
z
− ω0
F
ω ( z ) 随z以双曲线函数变化 πω 0 2 ) 双曲线顶点坐为 ±ω ， 焦点坐标为F (0, ± 0
ω0
z
− ω0
F
毫弧度量级
2ω ( z ) λ λ λ λ =2 = 0.6367 =2 = 1.128 θ 0 = lim πω 0 ω0 πf z f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω ( z)
F
ω0
− ω0
F
λ θB = πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
x2 + y2 1 ω0 iλ , y, z ) c exp {− ik z + ( = − 2 ) + iϕ (z) u00 ( x 2 ω (z) R(z) kω ( z )
q( z )复曲率半径
1 1 iλ = − 2 q(z) R(z) πω (z)
NJUPT
Z=± ∞
|R(z)|≈|z|→ ∞ (无限远处等相面为平面）
光波面
ω ( z)
F
ω0
z
− ω0
F
高斯光束 强度： 共焦腔心处：高斯分布平面波 其他：高斯分布球面波 非均匀球面波 变曲率中心球面波
2014/5/7
高斯光束的基本性质
远场发散角（全角）
ω ( z)
F
高斯光束随传播距离 的变化率
θB = λ πω 0
2 2 πω 0 πω 0 z= ±f = ± | R( z ) |= 2 （极小值） λ λ 2 2 2 πω 0 πω 0 πω 0 | R( z ) | 逐渐增加，曲率中心在 ( −∞ , − λ λ , +∞ ) | z |≤ λ 2 2 2 πω 0 πω 0 πω 0 | R( z ) | 逐渐增加，曲率中心在 ( − , ) | z |> λ λ λ
r=
2 2 x y + x2 + y2 + z2 ≈ z + 2R
A0 x2 + y2 exp[− ik ( z + )] E ( x, y, z ) ≈ 2R R
NJUPT
高斯光束
3、高斯光束 激光束，既不是均匀的平面光波，也不是均匀的 球面光波，而是一种比较特殊的高斯球面波。
A0 x2 + y2 − ( x2 + y2 ) E ( x, y, z ) = exp[ ] × exp − ik[ + z ] + iϕ ( z ) 2 ω(z) ω (z) 2 R( z )
lC 2 πω 0 2 2 llC 2 (1 − ) ( ) + ( l + lC − ) λ F F πω0 2 2 ( ) λ
lC 2 πω0 2 2 llC 2 (1 − ) ( ) + ( l + lC − ) A2q0 2 + B 2 λ F F RC = = 2 2 l llC 2 πω 1 l ACq0 + BD 2 C 2 0 ) + ( l + lC − ) (1 − ) − (1 − ) ( λ F F F F
光能主要分布在双锥体内
λ
NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω ( z)
F
波面曲率半径
ω0
z
f 2 πω 0 2 2 R( z ) = z 1 + = z 1 + ( ) λz z
− ω0
F
Z=0（束腰处）
R(z) → ∞ z=0，ω 0 (束腰处等相面为平面）
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
A B l′
ω 0′ ω c
C
q0
l
q A qB
lC
qC
若出射面在薄透镜面上，
lC ： =0
1 1 1 ωB = ω A , = − RB RA F
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程 求： l ′、ω 0 ′
R1 = R2 = ∞
2 ′ = ω0 2 πω ( F − l )2 + ( 0 ) λ 变换前后的束腰大小关系
= D 2 +C 2 f02
ω02
F 2ω 0 2
2
D A= 2 2 2 D + C f0
F − l′ = 2 πω 2 2 0 (F − l ) + ( )
F 2 (F − l )
变换前后的束腰位置关系
λ
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程 求： l ′、ω 0 ′
F − l ′ ω ′2 f′ 0 = = 2 F l f − ω 0 2 ′ ( F l )( F l ) F − − = − f′f
振幅因子 相位因子
NJUPT
高斯光束的基本性质
ω ( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径
ω 0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
R( z ) ——高斯光束在z处的波面曲率半径
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
A(r)
A0
A0 e
0
2
r = ω ( z) r
2
ω ( z ) =ω 0
πω λ
2
1
B A+ R 1 R2 = B A+ C + R1
πω1 2 B + λ 2 2 D πω1 + BD R1 λ
2
2
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
2 πω 2 2 2 0 A B + ( ) 2 πωC λ = = 2 πω λ 0 λ
可将基模高斯光束看作具有复数 波面曲率半径的球面波光束
2014/5/7
NJUPT
讨论: 高斯光束的q参数
1 1 iλ = − 2 q(z) R(z) πω (z)
1 1 = Re R( z ) q( z ) 1 = −π I 1 m ω 2 (z) λ q( z )
1 A B TF = = 1 C D − F 0 1
F
AR1 + B R2 = CR1 + D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播 束腰处：
1 自由空间变换矩阵： TL = 0
πω 0 2 = = if = i z 0，q(0) λ
Z 1
= 由ABCD法则： q(z)
1 q(z) 1 iλ = － 2 R(z) πω (z)
if + z
z − if f 2 + z2
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
通过焦距为F的薄透镜
M1 M2
R1
1 1 1 = − R2 R1 F
E ( x , y= , z)
R=
A0 x2 + y2 + z2
exp[− ik x 2 + y 2 + = z2 ]
A0 exp( − ikr ) R
x 2 + y 2 + z 2 ，光源到点 ( x , y , z ) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在 这个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。 近轴（ x , y << z ，z ≈ R ）：
F
R2
ω1 = ω 2
1 1 λ 1 1 λ = −i = ( − )− i 2 2 πω 2 πω 2 q2 R2 R1 F
λ 1 1 1 1 =( −i )− = − 2 πω1 R1 F q1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω ( z ) ω 0，z ⇒ R( z ) θ 0 2. 任一 坐标 z 处的光斑半径 ω ( z )及等相面曲率半径 R( z )
ω 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
ω ( z )
ω 0 ⇒ R( z ) z
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
x2 + y2 ω0 x2 + y2 exp − 2 ) − ϕ ( z ) u00 ( x , = y, z ) c exp − i k ( z + 2 R( z ) ω(z) ω (z)
第4章 高斯光束
NJUPT
高斯光束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。 理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中， 最重要且最具典型意义的就是基模高斯光束。 无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光 强分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强 逐渐减弱，呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为 “高斯光束”。
FF ′ 几何光学中牛顿公式: ( F − l )( F ′ − l ′ ) =
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
2 2 ω x y + u 00 ( x , = y, z ) c exp − i k (z + ) − ϕ (z) ω (z) 2q(z)
0
均匀球面波：
2 2 u0 + x y exp − i k ( z + ) − ϕ0 = u( x , y , z ) 2R R