高中数学：函数模型及其应用练习

高中数学:函数模型及其应用练习

1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D)

解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求．

2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B)

x 1.99234 5.15 6.126

y 1.517 4.041 87.51218.01

A.y＝2x－2 B．y＝1

2(x

2－1)

C．y＝log2x D．y＝log 1 2x

解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B.

3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1)

C．2{x} D．{2x}

解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为

2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C.

4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫

12n ,

由⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．7或8

解析:盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图

象的对称轴方程为n ＝41

6.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B.

6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示:

①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

A．①③B．①④C．②③D．②④

解析:买小包装时每克费用为

3

100元,买大包装时每克费用为

8.4

300＝

2.8

100元,而

3

100＞

2.8

100,所以买

大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元),卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元),而2.3＞2.1,所以卖1大包盈利多,故选D.

7．如图,矩形ABCD的周长为8,设AB＝x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN＝1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y＝f(x)的图象大致为(D)

解析:由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为1

2的扇形．

因为矩形ABCD的周长为8,AB＝x,

则AD＝8－2x

2＝4－x,

所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π

4(1≤x ≤3), 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分, 且当x ＝2时,y ＝4－π

4∈(3,4),故选D.

8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元,每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额),则从第 5 年开始盈利．

解析:由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡

⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2

－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0,即－n 2＋19n －60＞0, 解得4＜n ＜15,所以从第5年开始盈利．

9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内,根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2＋8x (x ＞0)．则

当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大．

解析:由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤51

2－2

x 2·8x ＝21.5,

当且仅当x 2＝8

x ,即x ＝4时等号成立． 此时L 取得最大值21.5.

故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大．

10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎨⎧

t ＋20，0

且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0

解析:设日销售金额为W (t )元,则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎨⎧

(t ＋20)(－t ＋40)，0

(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N .

令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0