应用统计方法课件 4-2
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补充： 某厂有三条生产线，从三条生产线生产的纤 维中分别抽取了一些样品，测得纤维强度数据见表 4-6， 试考察它们生产的纤维在强度上是否有显著差异？
表 4-6
自动生产线
纤维强度
甲
7.0 7.4 6.1 6.5 7.5
乙
5.5 6.7 7.2 5.8
丙
6.7 7.2 8.2 7.3 7.5 6.9
分析：由于从三条生产线中抽取的样品个数不同， 即相当不同水平所做重复试验次数 r 不相等，因此需对 例 4-1 中使用的公式进行适当的修正。
i1 j1l1
( yi y) ( y j y)]2
k rn
( yijl
yij )2
k
r
n
( yi y)2
i1 j1l 1
i 1 j 1l 1
k rn
(
y j
y)2
k
r
n
( yij yi y j y)2 0
i1 j1l 1
i1 j1l 1
ˆ
S误2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
（4-14）
j 1
j 1
6
T3 y3 j 43.8
j 1
S组2 间
k i1
Ti2 ri
T2
k
ri
i 1
34.52 25.22 43.82 103.52
2.4
5
4
6
15
S误2
k
ri
( yij
yi )2
= S总2
S组2 间
=7.06－2.4 4.66
i 1 j 1
F
S
2 组间
/
(k
1)
S
2 误
/
i 1
y)2
=
1 rn
k
Ti
i 1
2
T2 krn
SB2
=
k
r
n
i 1 j 1l 1
( y j
y)2
r
=kn ( y j
j 1
y)2
=1 kn
r
T
2 j
j 1
T2 krn
S
2 AB
k
r
n
i1 j1l 1
( yij
yi
y j
y ) 2
1 n
k
i1
r
Tij2
j1
T2 krn
S
2 A
SB2
S误2
设对每一个水平组合 Ai B j 做了n 次试验（这里只讨论 每个水平组合所作试验次数相同的情形），试验结 果为 yij1, yij2 ,, yijn（i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ）。
假定对水平组合 Ai B j 试验结果的理论值为 ij ， 即 Eyijl =ij ，则 yijl 可分解为
（4-13）
ˆij yij yi y j y ，i 1,2,, k；j 1,2,, r
易证它们分别是 ，i ， j ， ij 的无偏估计。
三.统计检验
S总2
k
r
n
( yijl y)2
Statistical tests
i 1 j 1l 1
k rn
[( yijl yij ) ( yij yi y j y)
需要解决如下问题：
（1）估计未知参数 ，i ， j ， ij
（i 1,, k；j 1,, r；l 1,, n）；
（2）考察因子 A和因子 B 的水平变化对试验 结果的影响有无显著差异，以及因子 A和因子 B 有 无交互作用，归结为下述三个假设检验：
需要解决如下问题：
（1）估计未知参数 ，i ， j ， ij
不难验证：
k
r
i =0， j 0 ，
i 1
j 1
k
r
ij ij 0 ，
i 1
j 1
两个因素方差分析的一般数学模型：
yijl i j ij ijl ,
（4-12）
k
r
k
r
i 0， j = 0， ij ij = 0，
i1
j1
i1
j1
ijli i dN (0, 2 )，i 1,,k；j 1,, r；l 1,n,
=
k
r
n
( yijl
yij )2
=S总2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
i 1 j 1l 1
k rn
n
T yijl , Tij yijl
rn
Ti yijl
i 1 j 1l 1
l 1
j1 l1
kn
T j yijl
i 1,,k；j 1,,r
i 1 l 1
例 4-2 考虑合成纤维弹性，影响因素为收缩率
布表得 =3.89。显然 F ，所以不能认为三条生产线生产
的纤维在强度上有显著差异。
2
§4.2 多因素方差分析
Variance analysis of multiple factor 建立模型 参数估计 统计检验
一.建立模型
modeling
设 A 、 B 为两个因子, A 有 k 个水平 A1 ， A2 ， ，Ak , B 有 r 个水平 B1，B2，，Br，两个因子共有 kr 个水平组合 Ai B （j i 1,2,3,, k ；j 1,2,3,, r ）。
表 4-8
试验 因子
结果 A A1
A2
因 子B
0
4
A3
A4
8
12
B1 460
-2 0
02
30 20
B2 520
-1 0
31
6 4 0 -1
B3 580
20 54
1 2 -3 -2
B4 640
42 11
1 0 -4 -4
由题意知 k 4，r 4，n 2， 又由表 4-8 得T1 5 ， T2 17 ， T3 17 ， T4 12 ， T1 5 ， T2 12 ， T3 9 ， T4 1， T 27， Tij 见表 4-8 中两数之和。
其中，交叉项全为零，例如
k rn
k
rn
( yijl yij )( yi y) ( yi y) ( yijl yij )
i1 j1l1
i1
j 1l 1
k
( yi y)(nryi nryi) 0
i1
S误2 =
k
r
n
( yijl yij )2
i 1 j 1l 1
（4-15）
yijl ij ijl i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ；
l 1,2,, n （4-9）
其中ijl 为试验误差，它是一个随机变量。通常假定
ijl （i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ；l 1,2,, n ）
独立同分布 N (0， 2 ) 。
为了反映因子 A、 B 的水平变化对试验结果影
表 4-7 方差分析表
方差来源平方和 自由度
因素 A
S
2 A
k 1
平均平方和
F值
S
2 A
/(
k
1)
F1
S
2 A
S误2 /
/(k 1) kr(n 1)
因素 B
S
2 B
r 1
S
2 B
/(
r
1)
F2
SB2 S误2 /
/(r 1) kr(n 1)
A B
S
2 AB
(k
1) (r 1)
S
2 AB
(k 1)(r 1)
（i 1,, k；j 1,, r；l 1,, n）； （2）考察因子 A和因子 B 的水平变化对试验
结果的影响有无显著差异，以及因子 A和因子 B 有 无交互作用，归结为下述三个假设检验：
H01：1 2 k 0； H10：1 2 r 0； H11： ij =0，i 1,, k；j 1,, r 。
i 1 j 1l 1
kr
= n ( yij yi y j y)2
i 1 j 1
（4-18）
类似于单因素方差分析，
S误2 、S
2 A
、S
2 B
、S
2 AB
的相对大小分别反映了因子 A和因子 B的水平单
独以及联合对试验结果的影响大小。可以证明
当 H01：1 2 k 0成立时
F1
S
2 A
S误2 /
/(k 1) kr(n 1)
~
F(k
1，kr(n
1))
（4-19）
当 H10：1 2 r 0成立时
F2
S
2 B
S误2 /
/(r 1) kr(n 1)
~
F(r
1，kr(n
1))
（4-20）
当 H11： ij =0，i 1,, k；j 1,, r 成立时
F3
S
2 AB
/(k
解：令 r1 5, r2 4, r3 6 ,由表 4-6 的
数据可以算出：
k ri
T yij =103.5
i 1 j 1
S
2 总
k
ri
yi2j
T2
k
i1 j 1
ri
i 1
3 i1
ri j 1
yi2j
5
T2 4
6
721.21 1 103.52 15
7.06
5
4
T1 y1 j 34.5 T2 y2 j 25.2
S
2 AB
=
1 n
k
i 1
r
Tij2
j 1
T2 krn
S
2 A
S
2 B
=174651.5-174492.78-8.60-70.60=79.52
S误2
=
S总2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
=
2
1
.
5
对给定水平 =0.10，由P{F } 0.10 分别
查相应表得1 2 =2.46，3 =2.06。 方差分析表
由题意知 k 4，r 4，n 2， 又由表 4-8 得T1 5 ， T2 17 ， T3 17 ， T4 12 ， T1 5 ， T2 12 ， T3 9 ， T4 1， T 27， Tij 见表 4-8 中两数之和。
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
1)(r
1)
S误2 / kr(n 1)
~
F ((k
1)(r
1)，kr(n 1)) （4-21）
因此可利用上述三个统计量对假设H 01、H10、H11 进行 F 检验。 若以 f因子 表示相应于S因2 子 的因子的自由度，上 述三个统计量可统一写成
F
S因2 子 / f因子 S误2 / kr(n 1)
响的大小，将 ij 再进行分解，记
1 kr
k
i1
r
ij
j1
i
1 r
r
ij
j 1
(i
1，2，，k
)
vj
1 k
k
ij
i 1
(
j
1，2，，r )
于是有
（4-10） （4-11）
ij (i ) (v j ) (ij i v j ) ˆ i j ij
其中，i =i ， j =v j ， ij =ij i v j ，
(n
k)
2.4
=
2 4.66
12
3.09
将上述计算结果列入方差分析表
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 平均平方和 F 值
因素（组间） 2.4 3－1
1.2
3.09
误差（组内） 4.66 15-3
0.3883
总和
7.06 15－1
对给定水平 =0.05，由 P{F } 0.05 查 F(2，12) 分
方差来源 平方和 自由度平均平方和 F 值
收缩率 A 70.60 3 拉伸倍数 B 8.60 3
23.55 2.87
17.57** 2.14
交互作用 AB 79.52 9 误 差 21.50 16
8.84 1.34
6.59**
总 和 180.22 31
解：将数据进行预处理( yijl 73 ),然后进行方差分析:
中两数之和。
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
=174678-174492.78=180.22
S
2 A
=
1 rn
k
Ti2
i 1
T2 krn
=174563.38-174492.78=70.60
SB2
=1 kn
r
T 2j
j 1
T2 krn
=174501.38-174492.78=8.60
二.参数估计
记
Parameter estimate
y
1
k rn
nkr i 1 j 1l 1
yijl
yi
1 nr
rn
j 1l 1
yijl
y j
1 nk
kn
i 1 l 1
yijl
yij
1 n
n
yijl
l 1
完全类似于单因素方差分析，得未知参数 ，i ，
j ， ij 的矩估计为
ˆ y ，ˆi yi y ，ˆ j y j y
76 73
A4 12
75 73
79 77 73 72
74 75 70 71
74 73 69 69
解：由题意知 k 4，r 4，n 2，又由表 4-8 得
T1 589,T2 601，T3 601，T4 572，T1 589 ， T2 596，T3 593，T4 585，T 2363，Tij见表 4-8
A和拉伸倍数 B ，A、B 各有四个水平，每个水平分
别作了两次试验，相应的试验结果见表 4-8
试验 因子
结果 A 因 子B
B1 460 B2 520 B3 580 B4 640
表 4-8
A1 0 71 73 72 73 75 73 77 75
A2 4 73 75 76 74 78 77 74 74
A3 8
S
2 A
=
k
r
n
(
yi
y)2
k
= rn (
yi
y)2
（4-16）
i 1 j 1l 1
i 1
S
2 B
=
k
r
n
(
y
j
y)2
= kn
r
(
y
j
y)2
（4-17）
i 1 j 1l 1
j 1
S
2 AB
=
k
r
n
( yij yi y j y)2
i 1 j 1l 1
S
2 AB
=
k
r
n
( yij yi y j y)2
F3
S
2 AB
/
S
2 误
(k 1)(r 1) / kr(n 1)
误差
S误2 kr(n 1) S误2 / kr(n 1)
总和
S总2 krn 1
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
(
yijl
y)2
k
r
nBiblioteka Baidu
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
S
2 A
=
k
r
n
i 1 j 1l 1
k
( yi y)2 =rn ( yi
表 4-6
自动生产线
纤维强度
甲
7.0 7.4 6.1 6.5 7.5
乙
5.5 6.7 7.2 5.8
丙
6.7 7.2 8.2 7.3 7.5 6.9
分析：由于从三条生产线中抽取的样品个数不同， 即相当不同水平所做重复试验次数 r 不相等，因此需对 例 4-1 中使用的公式进行适当的修正。
i1 j1l1
( yi y) ( y j y)]2
k rn
( yijl
yij )2
k
r
n
( yi y)2
i1 j1l 1
i 1 j 1l 1
k rn
(
y j
y)2
k
r
n
( yij yi y j y)2 0
i1 j1l 1
i1 j1l 1
ˆ
S误2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
（4-14）
j 1
j 1
6
T3 y3 j 43.8
j 1
S组2 间
k i1
Ti2 ri
T2
k
ri
i 1
34.52 25.22 43.82 103.52
2.4
5
4
6
15
S误2
k
ri
( yij
yi )2
= S总2
S组2 间
=7.06－2.4 4.66
i 1 j 1
F
S
2 组间
/
(k
1)
S
2 误
/
i 1
y)2
=
1 rn
k
Ti
i 1
2
T2 krn
SB2
=
k
r
n
i 1 j 1l 1
( y j
y)2
r
=kn ( y j
j 1
y)2
=1 kn
r
T
2 j
j 1
T2 krn
S
2 AB
k
r
n
i1 j1l 1
( yij
yi
y j
y ) 2
1 n
k
i1
r
Tij2
j1
T2 krn
S
2 A
SB2
S误2
设对每一个水平组合 Ai B j 做了n 次试验（这里只讨论 每个水平组合所作试验次数相同的情形），试验结 果为 yij1, yij2 ,, yijn（i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ）。
假定对水平组合 Ai B j 试验结果的理论值为 ij ， 即 Eyijl =ij ，则 yijl 可分解为
（4-13）
ˆij yij yi y j y ，i 1,2,, k；j 1,2,, r
易证它们分别是 ，i ， j ， ij 的无偏估计。
三.统计检验
S总2
k
r
n
( yijl y)2
Statistical tests
i 1 j 1l 1
k rn
[( yijl yij ) ( yij yi y j y)
需要解决如下问题：
（1）估计未知参数 ，i ， j ， ij
（i 1,, k；j 1,, r；l 1,, n）；
（2）考察因子 A和因子 B 的水平变化对试验 结果的影响有无显著差异，以及因子 A和因子 B 有 无交互作用，归结为下述三个假设检验：
需要解决如下问题：
（1）估计未知参数 ，i ， j ， ij
不难验证：
k
r
i =0， j 0 ，
i 1
j 1
k
r
ij ij 0 ，
i 1
j 1
两个因素方差分析的一般数学模型：
yijl i j ij ijl ,
（4-12）
k
r
k
r
i 0， j = 0， ij ij = 0，
i1
j1
i1
j1
ijli i dN (0, 2 )，i 1,,k；j 1,, r；l 1,n,
=
k
r
n
( yijl
yij )2
=S总2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
i 1 j 1l 1
k rn
n
T yijl , Tij yijl
rn
Ti yijl
i 1 j 1l 1
l 1
j1 l1
kn
T j yijl
i 1,,k；j 1,,r
i 1 l 1
例 4-2 考虑合成纤维弹性，影响因素为收缩率
布表得 =3.89。显然 F ，所以不能认为三条生产线生产
的纤维在强度上有显著差异。
2
§4.2 多因素方差分析
Variance analysis of multiple factor 建立模型 参数估计 统计检验
一.建立模型
modeling
设 A 、 B 为两个因子, A 有 k 个水平 A1 ， A2 ， ，Ak , B 有 r 个水平 B1，B2，，Br，两个因子共有 kr 个水平组合 Ai B （j i 1,2,3,, k ；j 1,2,3,, r ）。
表 4-8
试验 因子
结果 A A1
A2
因 子B
0
4
A3
A4
8
12
B1 460
-2 0
02
30 20
B2 520
-1 0
31
6 4 0 -1
B3 580
20 54
1 2 -3 -2
B4 640
42 11
1 0 -4 -4
由题意知 k 4，r 4，n 2， 又由表 4-8 得T1 5 ， T2 17 ， T3 17 ， T4 12 ， T1 5 ， T2 12 ， T3 9 ， T4 1， T 27， Tij 见表 4-8 中两数之和。
其中，交叉项全为零，例如
k rn
k
rn
( yijl yij )( yi y) ( yi y) ( yijl yij )
i1 j1l1
i1
j 1l 1
k
( yi y)(nryi nryi) 0
i1
S误2 =
k
r
n
( yijl yij )2
i 1 j 1l 1
（4-15）
yijl ij ijl i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ；
l 1,2,, n （4-9）
其中ijl 为试验误差，它是一个随机变量。通常假定
ijl （i 1,2,3,, k ； j 1,2,3,, r ；l 1,2,, n ）
独立同分布 N (0， 2 ) 。
为了反映因子 A、 B 的水平变化对试验结果影
表 4-7 方差分析表
方差来源平方和 自由度
因素 A
S
2 A
k 1
平均平方和
F值
S
2 A
/(
k
1)
F1
S
2 A
S误2 /
/(k 1) kr(n 1)
因素 B
S
2 B
r 1
S
2 B
/(
r
1)
F2
SB2 S误2 /
/(r 1) kr(n 1)
A B
S
2 AB
(k
1) (r 1)
S
2 AB
(k 1)(r 1)
（i 1,, k；j 1,, r；l 1,, n）； （2）考察因子 A和因子 B 的水平变化对试验
结果的影响有无显著差异，以及因子 A和因子 B 有 无交互作用，归结为下述三个假设检验：
H01：1 2 k 0； H10：1 2 r 0； H11： ij =0，i 1,, k；j 1,, r 。
i 1 j 1l 1
kr
= n ( yij yi y j y)2
i 1 j 1
（4-18）
类似于单因素方差分析，
S误2 、S
2 A
、S
2 B
、S
2 AB
的相对大小分别反映了因子 A和因子 B的水平单
独以及联合对试验结果的影响大小。可以证明
当 H01：1 2 k 0成立时
F1
S
2 A
S误2 /
/(k 1) kr(n 1)
~
F(k
1，kr(n
1))
（4-19）
当 H10：1 2 r 0成立时
F2
S
2 B
S误2 /
/(r 1) kr(n 1)
~
F(r
1，kr(n
1))
（4-20）
当 H11： ij =0，i 1,, k；j 1,, r 成立时
F3
S
2 AB
/(k
解：令 r1 5, r2 4, r3 6 ,由表 4-6 的
数据可以算出：
k ri
T yij =103.5
i 1 j 1
S
2 总
k
ri
yi2j
T2
k
i1 j 1
ri
i 1
3 i1
ri j 1
yi2j
5
T2 4
6
721.21 1 103.52 15
7.06
5
4
T1 y1 j 34.5 T2 y2 j 25.2
S
2 AB
=
1 n
k
i 1
r
Tij2
j 1
T2 krn
S
2 A
S
2 B
=174651.5-174492.78-8.60-70.60=79.52
S误2
=
S总2
S
2 A
S
2 B
S
2 AB
=
2
1
.
5
对给定水平 =0.10，由P{F } 0.10 分别
查相应表得1 2 =2.46，3 =2.06。 方差分析表
由题意知 k 4，r 4，n 2， 又由表 4-8 得T1 5 ， T2 17 ， T3 17 ， T4 12 ， T1 5 ， T2 12 ， T3 9 ， T4 1， T 27， Tij 见表 4-8 中两数之和。
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
1)(r
1)
S误2 / kr(n 1)
~
F ((k
1)(r
1)，kr(n 1)) （4-21）
因此可利用上述三个统计量对假设H 01、H10、H11 进行 F 检验。 若以 f因子 表示相应于S因2 子 的因子的自由度，上 述三个统计量可统一写成
F
S因2 子 / f因子 S误2 / kr(n 1)
响的大小，将 ij 再进行分解，记
1 kr
k
i1
r
ij
j1
i
1 r
r
ij
j 1
(i
1，2，，k
)
vj
1 k
k
ij
i 1
(
j
1，2，，r )
于是有
（4-10） （4-11）
ij (i ) (v j ) (ij i v j ) ˆ i j ij
其中，i =i ， j =v j ， ij =ij i v j ，
(n
k)
2.4
=
2 4.66
12
3.09
将上述计算结果列入方差分析表
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 平均平方和 F 值
因素（组间） 2.4 3－1
1.2
3.09
误差（组内） 4.66 15-3
0.3883
总和
7.06 15－1
对给定水平 =0.05，由 P{F } 0.05 查 F(2，12) 分
方差来源 平方和 自由度平均平方和 F 值
收缩率 A 70.60 3 拉伸倍数 B 8.60 3
23.55 2.87
17.57** 2.14
交互作用 AB 79.52 9 误 差 21.50 16
8.84 1.34
6.59**
总 和 180.22 31
解：将数据进行预处理( yijl 73 ),然后进行方差分析:
中两数之和。
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
=174678-174492.78=180.22
S
2 A
=
1 rn
k
Ti2
i 1
T2 krn
=174563.38-174492.78=70.60
SB2
=1 kn
r
T 2j
j 1
T2 krn
=174501.38-174492.78=8.60
二.参数估计
记
Parameter estimate
y
1
k rn
nkr i 1 j 1l 1
yijl
yi
1 nr
rn
j 1l 1
yijl
y j
1 nk
kn
i 1 l 1
yijl
yij
1 n
n
yijl
l 1
完全类似于单因素方差分析，得未知参数 ，i ，
j ， ij 的矩估计为
ˆ y ，ˆi yi y ，ˆ j y j y
76 73
A4 12
75 73
79 77 73 72
74 75 70 71
74 73 69 69
解：由题意知 k 4，r 4，n 2，又由表 4-8 得
T1 589,T2 601，T3 601，T4 572，T1 589 ， T2 596，T3 593，T4 585，T 2363，Tij见表 4-8
A和拉伸倍数 B ，A、B 各有四个水平，每个水平分
别作了两次试验，相应的试验结果见表 4-8
试验 因子
结果 A 因 子B
B1 460 B2 520 B3 580 B4 640
表 4-8
A1 0 71 73 72 73 75 73 77 75
A2 4 73 75 76 74 78 77 74 74
A3 8
S
2 A
=
k
r
n
(
yi
y)2
k
= rn (
yi
y)2
（4-16）
i 1 j 1l 1
i 1
S
2 B
=
k
r
n
(
y
j
y)2
= kn
r
(
y
j
y)2
（4-17）
i 1 j 1l 1
j 1
S
2 AB
=
k
r
n
( yij yi y j y)2
i 1 j 1l 1
S
2 AB
=
k
r
n
( yij yi y j y)2
F3
S
2 AB
/
S
2 误
(k 1)(r 1) / kr(n 1)
误差
S误2 kr(n 1) S误2 / kr(n 1)
总和
S总2 krn 1
S总2
k
r
n
i 1 j 1l 1
(
yijl
y)2
k
r
nBiblioteka Baidu
i 1 j 1l 1
yi2jl
T2 krn
S
2 A
=
k
r
n
i 1 j 1l 1
k
( yi y)2 =rn ( yi