第三章平面力系的合成与平衡

合力R Rx=R1=F1x+F2x+F3x Ry=R2=F1y+F2y+F3y
如果平面汇交力系包含有n个力，则上面两式中 右边将各有n
Rx=F1x+F2x+…+Fnx Ry=F1y+F2y+…+Fny
Rx=∑Fx Ry=∑Fy
由以上分析可知：平面汇交力系合成的结果是 一个合力R，合力R的作用线通过原力系的汇交点， 合力R的大小和方向可由下式确定
m=Fd=mO (F)
由以上分析可得如下结论：作用在刚体上的力F， 可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时附加 一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点O之矩。 这就是力的平移定理
为什么不允许用一只手扳动扳手呢（图3.31（a))? 因为作用在扳手AB上一端的力F与作用在O点的一个 力F′和一个力偶矩为m的力偶（图3.31(b)）等效。这 个力偶使丝锥转动，而这个力F′却将引起丝锥弯曲， 这就很容易将螺纹攻坏；如果用力过大，丝锥就可能 折断。因此，这样操作是不允许的。
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0, ∑Fx=0 ∑Fy=0
(3.5)
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(3.5)称为平面汇交力 系的平衡方程。
【例3.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图3.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。 【解】取梯子为研究对象，它在重力W和光滑面的约束 反力NA、NB作用下处于平衡，由三力平衡汇交定理可知， 这三个力必汇交于一点D，梯子的受力图如图3.8（b）所 示
∑Fy=0, RAsinα+RD=0 得 RD=-RAsinα 而 sinα=CD/AC=1/√5
所以RD=-(-33.36)×1/√5kN=10kN RD为正值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相同。
【例3.5】如图3.10（a）所示，重物W=30kN,用钢丝绳挂 在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆 AB与BC铰接，并用固定铰支座A、C与墙连接。如果两 杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和杆BC所受的力。
选直角坐标系如图所示，使x轴与TBC垂直。列平衡
∑Fx=0,TBAsinα-TBDcosα=0 得 TBA=TBDcotα=4000×10N=40000N=40kN 绳AB作用于桩上的拉力，应与它作用于结点B上的 力大小相等，方向相反。即绳AB作用于桩上的拉力的大 小为40kN
通过以上各例的分析，现归纳求解平面汇交力 系平衡问题的 （1） 选取研究对象
因Rx为正，Ry为负，所以合力R指向右下方。如图 所示，合力R的作用线通过三个分力的汇交点O
图3.6
图3.7
3.1.3 平面汇交力系的平衡
平面汇交力系合成的结果是一个合力，若合力 等于零，则物体处于平衡状态。反之，若物体在平 面汇交力系作用下处于平衡，则该力系的合力一定 为零。因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是力系的合力等于零。
∑Fx=0, NA-NBcos(90°-40°)=0
∑Fy=0 , NBsin(90°-40°)-W=0
NB=W/sin(90°-40°) =W/cos40° 将W
NB=100/0.766N=130.5N 由式（1
NA=NBcos(90°-40°)=NBsin40 将NB
NA=130.5×0.643N=83.9N
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】力F3与x轴平行，与y轴垂直，其投影可直接得出； 其他各力的投影可由式(3.1)计算求得。故各力在x、y轴上 的投影为
F1x=-F1cos30°=-139.9N F1y=-F1sin30°=-75N F2x=F2=130N F2y=0
F3x=-F3cos45°=-70.7N F3y=F3sin45°=70.7N F4x=F4cos30°=43.3N F4y=-F4sin30°=-35N
若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图3.3)。
研究力系的合成与平衡问题通常有两种方法， 即几何法和解析法。
图3.1
图3.2
图3.3
本章内容
3.1 平面汇交力系 3.2 平面一般力系 3.3 平面平行力系的平衡方程 3.4 物体系统的平衡 3.5 考虑摩擦时物体的平衡
3 平面力系的合成与平衡
本章提要
本章主要研究力的投影和合力投影定理、 合力矩定理、各种平面力系的平衡方程及应用、 考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图3.1)；
若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图3.2)；
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
图3.4
若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力 F在坐标轴上的投影Fx和Fy
Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα
(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等
(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的
图3.8
图3.9
图3.10
图3.11
3.2 力的平移定理
设在刚体上的A点作用着一个力F（图3.30（a）)， 现欲将其平移到刚体的任一点O。为此，在O点加上 一对平衡力F′和F″，并使其作用线与力F平行、大小 与力F的大小相等，即令F′=-F″=F，如图3.30（b)所 示。
若要把作用在A点的力F平移到O点而保持对刚体 的作用效应不变，就必须附加一个力偶（F，F″)，由 图3.30(b)可见，力偶（F,F″）的力偶矩等于原力F对O
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F
F Fx2 Fy2
tan Fy
Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 3.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
【例3.1】试分别求出图3.5中各力在x轴和y轴上的投影。 已知F1=150N，F2=130N，F3=100N，F4=50N,各力的方向
∑Fy=0,NBC-Tcos30°-TBDcos60°=0 得 NBC=Tcos30°+TBDcos60°=37.33kN NBC为正值，表示该力的实际指向与受力图上所假设 的指向相同。即杆BC也受压力作用。
【例3.6】图3.11（a）所示为一拔桩装置。绳ABC的一端 系在桩的A点，一端固定在C点；绳BDE的一端系在B点， 一端固定在E点。在D点用力F向下拉，若F=400N, α=arctan0.1,绳BD段、AB段分别沿水平和铅垂方向，试 求绳AB作用在桩上的拉力。
【解】杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC 受压力，如图3.10(b)所示。
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
对平面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′可以合成为作 用在O点的一个力R′（图3.33(c))，这个力R′称为原 平面一般力系的主矢。
对所得的附加力偶系可以合成为一个力偶（图 3.33（c)），这个力偶的力偶矩MO称为原平面一般 力系对简化中心O点的主矩。由平面力偶系合成的理 论可知，主矩MO
MO=m1+m2+…+mn 而 m1=mO(F1),m2=mO(F2),…,mn=mO(Fn)
弄清题意，明确已知力和未知力，选取能反映 出所要求的未知力和已知力关系的物体作为研究对
（2） 画受力图 在研究对象上画出它所受到的全部主动力和约
（3） 选取适当的坐标系。 最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简
（4） 列平衡方程求解未知量。 列方程时注意各力投影的正负号。当求出未知
力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假 设的指向相同；如果是负值，则表示该力的实际指
表3.1 力的方向与其投影的正负号
图3.5
3.1.2 平面汇交力系的合成
图3.6(a)所示为一平面汇交力系F1、F2、F3，各 力的作用线汇交于A点。为将该力系合成，可首先以 A点为坐标原点取直角坐标系Axy，然后将各力分别 沿x轴和y轴方向分解(图3.6(b))，得各分力的大小为
F1x=F1cosα1,F2x=F2cosα2,F3x=F3cosα3 F1y=F1sinα1,F2y=F2sinα2,F3y=F3sinα3 再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合 力R1、R2(图3.6(c)) R1=F1x+F2x+F3x R2=F1y+F2y+F3y
MO=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=∑mO(F) 即主矩等于原力系中各力对简化中心O点之矩的
【例3.13】如图3.33(a)所示，在支承吊车梁的牛腿柱子的 A点受有吊车梁传来的荷载P=100kN，它的作用线偏离柱 子轴线的距离e=400mm(e称为偏心距）。因设计时计算的 需要，欲将力P向柱子轴线上B点平移，应如何进行移动？
【解】根据力的平移定理，将作用于A点的力P平移到轴 线上的B点得力P′，同时还必须附加一个力偶，如图3.33(b) 所示，它的力偶矩m等于原力P对B
【例3.4】一平面刚架在B点受一水平力P=30kN的作用， 尺寸及约束情况如图3.9（a）所示。刚架的自重不计，试 求A与D两处的约束反力。 【解】取刚架为研究对象 刚架的受力图如图3.9（b） 所示
选直角坐标系如图所示，列平衡方程求解RA和RD。
∑Fx=0,P+RAcosα=0 得 RA=-P/cosα 因为 cosα=AD/AC=3/√5 所以 RA=-30×√5/3kN=-33.36kN
【解】建立直角坐标系Oxy如图3.7所示，根据式(3.3)计算 合力R在x轴和y轴上的投影为
Rx=∑Fx=T1x+T2x+T3x=0.403 kN Ry=∑Fy=T1y+T2y+T3y=-3.733 kN 故合力R R=√Rx2+Ry2=3.755kN
tanα=｜Ry/Rx｜=9.363， α=83.8°=83°48′
m=mB(P)=-Pe=-100×0.4kN·m=-40kN·m
图3.30
图3.31
源自文库
图3.33
3.3 平面一般力系
3.3.1 平面一般力系向任一点简化
（1） 主矢和主矩 设在刚体上作用一平面一般力系F1、F2、…、Fn
（图3.33(a))。在力系所在的平面内任取一点O，该 点称为简化中心。根据力的平移定理，将力系中的 各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平 面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′和一个力偶矩分别为m1、 m2、…、mn的附加力偶系（图3.33(b)）。