三角形外角定理.doc
三角形三边关系、内角和、外角定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b 给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？一、关键信息1、三角形外角定理的定义及表述定义：＿___________________________表述：＿___________________________2、学习三角形外角定理的目标知识层面：＿___________________________应用层面：＿___________________________3、适用的初中数学教材版本版本名称：＿___________________________对应章节：＿___________________________4、学习方法与技巧理论学习：＿___________________________实践练习：＿___________________________5、考核与评估方式日常作业：＿___________________________阶段测试：＿___________________________二、协议内容11 三角形外角定理的详细阐述三角形外角定理是初中数学中的重要知识点，它对于解决与三角形相关的角度计算和证明问题具有关键作用。
其定义为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在表述上，可以用数学语言表示为：若∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ＝∠A ＋∠B。
111 理解定理的内涵为了更好地掌握这一定理，学生需要深入理解其内涵。
外角是三角形一边的延长线与另一边所形成的角，而不相邻的两个内角是指除了与外角相邻的内角之外的另外两个内角。
通过图形的直观展示和实例分析，能够帮助学生清晰地理解外角与内角之间的关系。
112 定理的推导过程了解定理的推导过程有助于学生从本质上把握其原理。
可以通过平行线的性质、内角和定理等已有知识来推导三角形外角定理，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑推理的严谨性。
12 学习三角形外角定理的目标121 知识层面的目标学生应能够准确记忆和表述三角形外角定理的定义和表述，理解其推导过程和原理。
三角形的外角和
9.1.2 三角形的外角和知识回顾1.三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 .(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 .2.三角形的外角和定理：在三角形的每一个顶点取一个外角，所得的和是三角形的外角和，三角形的外角和等于360 °.典例讲解考点1.利用三角形的外角性质进行计算例1：一个零件如图所示，按规定∠A等于90°，∠B和∠C应分别等于32和21°，检验工人量得∠BDC等于148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？解：连结AD并延长则∠1=∠3+∠C,∠2=∠4+∠B∴∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠B=∠C+∠B+∠CAB∵工人测得∠BDC=148o而∠A+∠B+∠C按规定为143o即∠BDC=143o∴不合格。
考点2.利用三角形的外角进行大小比较例2.如图，CE为ΔABC的外角平分线，交BA的延长线于E，求证：∠BAC>∠B解析∵CE为ΔABC的外角平分线∴∠ACE＝∠ECD ∵∠BAC>∠ACE ∴∠BAC>∠ECD ∵∠ECD>∠B ∴∠BAC>∠B规律与方法：有关三角形中角的大小比较常用方法是利用三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角这一性质.考点3.利用三角形的外角和进行计算例3. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于( )A.180°B.240°C.360°D.540°解析C规律与方法：利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，将多个内角的和进行转化，再利用三角形的外角和求解.课堂演练1. （2011潼南）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B= .70○2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且，则__35°．3.（2011怀化）如图1所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ) BA. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠14.(2011绵阳) 将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）．CA．75 B．95 C．105 D．120BAO5．如图，已知△ABC中，BE，CF分别是△ABC的两条高且相交于点D，(1)若∠A=70°，求∠BDC的度数；(2)若∠BDC=120°，求∠A的度数．答案：110°，60°6. （2011济南）（1）如图1，△ABC中，∠A = 60°，∠B︰∠C = 1︰5．求∠B的度数．∠B = 20°课外延伸一、选择题1. （2011新疆生产建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于O点，∠A=40°,∠AOB=75°．则∠C等于( ) BA．40° B． 65° C．75° D．115°2. 一个三角形的两个内角是55°和65°，这个三角形的外角不可能是( D )A.115°B.120°C.125°D.130°3. （2011崇左）如图所示BC//DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是（）A．60° B．33° C．30° D．23°4. （2011济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ）BA. 直角三角形B. 锐角三角形[来源:]C. 钝角三角形D. 等边三角形5. （2011菏泽）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠等于( ) DA．30° B．45° C．60° D．75°30°45°二、填空题6. （2011上海）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE//AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝_________．54°7. 如图，把∠1，∠2，∠3按由小到大的顺序排列是__∠1<∠2<∠3 ．8. 三角形的一个外角等于邻内角的4倍，等于一个不邻内角的2倍，则此三角形各角度数分别是__36°、72°、72°_.9、（2011鄂州）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．50°10.如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30°,则∠PFC=_______60___°.三、简答题11. 如图，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是多少？180°12. 如图，已知D为内一点，求证：．延长BD交AC于E，∠BDC>∠BEC>∠A13. 如图所示，已知CE是∠ACD的角平分线，∠ECD=50°，∠ABC=40°，求∠A的度数．答案：60°(1)一变：如图所示，CE是∠ACD的角平分线，AF∥CE，∠ECD=50°∠ABC=40°，求∠BAF的度数．(2)二变：如图所示，CE是∠ACD的角平分线，F是CA延长线上的一点，FG∥CE且交AB于点G，已知∠ECD=50°，∠ABC=40°，求∠FGA 的度数．答案：(1)10°，(2)10°14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=80°，∠C=40°；(1)求∠BAE的度数；(2)求∠DAE的度数；(3)如果只知道∠B–∠C= 40°，你能得出∠DAE的度数吗？如果能求出∠DAE的度数(1)30°，(2)20°、(3)能，20°探究创新15. （2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图11-1，在△ABC中，O是∠AB C与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线探究2：如图11-2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图11-3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： .(1)探究2结论：∠BOC=理由如下：∵ BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴（2）探究3：结论∠BOC=90°－。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形性质时，我们经常会遇到外角和。
本文将介绍三角形的外角和定理，并探讨其性质和应用。
一、外角和定理的定义在三角形中，外角是指一个角的顶点在三角形外部，角的两条边之一是三角形的一条边延长线。
外角和是指三角形的三个外角之和。
二、外角和定理的性质1. 任意一个三角形的外角和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个外角分别为α、β和γ，根据角度的定义可知α+β+γ=360度。
2. 外角和定理的逆命题也成立，即如果一个凸多边形的外角和等于360度，那么该多边形是一个三角形。
证明：假设凸多边形的外角和等于360度，我们可以通过逆向推导将该多边形转化为三角形，具体推导过程就不在此详述。
三、外角和定理的应用外角和定理可以应用于解决与三角形外角和相关的各种问题。
1. 判断一个图形是否能构成三角形根据外角和定理，如果一个图形的外角和等于360度，那么该图形可以构成一个三角形。
若外角和小于360度，则无法构成三角形。
2. 计算已知三角形的外角和已知三角形的三个内角之一，利用补角的概念可以计算出该内角对应的外角，然后将三个外角相加即可得到外角和。
3. 解决外角和相关的几何问题在解决几何问题中，我们常常需要利用三角形的外角和性质来求解。
例如，已知一个凸四边形的三个外角分别为60度、100度和120度，我们可以利用外角和定理求解出第四个外角的度数。
四、总结三角形的外角和定理是几何学中的重要定理之一。
它指出任意一个三角形的外角和等于360度，并应用于解决与外角和相关的各种几何问题。
通过熟练掌握外角和定理及其应用，我们可以更好地理解三角形的性质，并在解决几何问题时提供有效的方法和思路。
通过本文的介绍，我们对三角形的外角和定理有了更深入的理解，希望对读者们能够有所启发。
在实际的学习和应用中，我们应该注重理论与实践的结合，不断提升自己的数学能力和解决问题的能力。
三角形外角
20º O B
30º
C
练一练
如图，在直角△ABC中，CD是斜
E
边AB上的高，∠BCD＝35°，
B
求∠A与∠EBC的度数.
D
35°
A
C
小结：这堂课你记忆最深刻的是什么？
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2、三角形的一个外角 等于 与它不相邻的
两个内角的和； 3、三角形的一个外角 大于 任何一个与它
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺 序排列
解：∵∠１是△BDE的外角 ∴∠1＞∠2（三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角 ） 同理：∠2是△ADC的外角 ∴ ∠2＞∠3（三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内角 ）
∴ ∠1＞ ∠2＞∠3
练一练
如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D
练习
判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （）
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
思考：你能用学过的定理证明以上结论吗？
已知：△ABC中,∠ACD是它的一个外角 求证： ∠ACD＝ ∠A＋ ∠Ｂ
∠ACD>∠A ∠ACD>∠B
A
证明：在△ABC中，
∵∠A＋ ∠Ｂ＋ ∠ACB=180°
又∵∠ACD＋ ∠ACB=180°
∴∠ACD＝ ∠A＋ ∠Ｂ
不相邻的内角。 ４、三角形的外角和是360°
三角形中的外角定理与内切圆性质
三角形中的外角定理与内切圆性质在数学几何学的领域中，三角形是一个重要的研究对象。
通过研究三角形的各种性质，我们可以深入理解不同三角形的特点和关系。
本文将讨论三角形中的外角定理与内切圆性质，探究它们之间的联系与应用。
一、外角定理外角是指一个三角形的某个角与与其相邻的两个内角的补角之间的关系。
外角定理指出：一个三角形的外角等于其与相邻两个内角的和。
具体而言，设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则三角形ABC的某一外角，如∠A'，与其相邻的两个内角为∠B和∠C。
根据外角定理，我们可以得到如下关系：∠A' = ∠B + ∠C外角定理的应用十分广泛。
例如，在解三角形形状、计算角度大小或证明定理时，我们可以利用外角定理来帮助我们得到准确的结果。
同时，外角定理也可以用于解决实际问题，如测量建筑物的高度、测算天体距离等。
二、内切圆性质内切圆是指一个圆与三角形的每一边都有且只有一个交点。
对于一个三角形，它的三条边都与一个内切圆的切点相关联。
内切圆性质揭示了三角形内切圆与三角形各边的关系。
1. 内切圆的圆心设三角形ABC的内切圆的圆心为O。
根据性质，O是三条内角的角平分线的交点，同时也是三条中线的交点。
这意味着内切圆的圆心与三角形的各个重要定位线相关联。
2. 内切圆的半径内切圆的半径称为三角形的内切圆半径。
内切圆半径的计算公式为：r = s / p其中，s是三角形的半周长，p是三角形的周长。
通过内切圆半径的计算，我们可以得到三角形的其他重要参数，如面积、外接圆半径等。
3. 内切圆与三边的切点内切圆与三角形的三边分别在不同的切点处相切。
这些切点分别称为内切点，它们之间具有一定的关系。
例如，内切点之间的连线与三角形的重要定位线有特定的交点关系。
内切圆性质的应用也非常广泛。
例如，利用内切圆性质可以证明一些三角形的面积、周长等性质；同时，内切圆与三角形的切点也可以帮助我们解决一些实际问题，如定位导航、构建建筑物等。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的外角和公式
三角形的外角和公式在三角形中，每一个内角都对应着一个相应的外角。
外角是指位于三角形外部，与对应内角相邻的角。
本文将讨论三角形的外角和公式，并探讨其性质和应用。
1. 外角和公式的定义在三角形ABC中，三个外角分别是∠A、∠B和∠C（如下图所示）。
三角形的外角和公式表示为：∠A + ∠B + ∠C = 360°（或2π）。
2. 外角的性质- 外角和公式的本质：三角形的内角和等于180°（或π），而外角和等于360°（或2π）。
这是因为三角形的外部角度总和等于360°，与每个内角对应。
- 外角和对应内角的关系：每个外角都与其对应内角构成一对同位角。
例如，∠A是∠BAC的外角，它与∠BAC形成一对同位角。
- 外角和的性质：∠A + ∠B + ∠C = 360°，这意味着三个外角的和等于一个圆的周角。
3. 外角和公式的证明证明外角和公式的一种方法是利用补角和同位角的概念。
以下是证明的步骤：- 假设我们在三角形ABC的每个顶点上都作一条辅助线，使得每个内角都补为直角。
这样，我们得到了三个新的外角，即∠A'、∠B'和∠C'。
- 通过三角形的内角和等于180°（或π），我们可以得出∠A' + ∠B' + ∠C' = 180°。
- 注意到∠A'、∠B'和∠C'与∠A、∠B和∠C分别是同位角。
根据同位角的性质，我们可以得出∠A' = ∠A、∠B' = ∠B、∠C' = ∠C。
- 由此可知，∠A + ∠B + ∠C = ∠A' + ∠B' + ∠C' = 180°。
进一步推导，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 360°。
4. 外角和公式的应用- 三角形分类：利用外角和公式，我们可以判断三角形的类型。
若三个内角之和为180°，则为平面三角形；若为180°以外的角度，则为非平面三角形。
三角形的外角定理
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
编辑ppt
AD
F C
B 编辑E ppt
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
编辑ppt
B
D C
生活应用
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外编角辑pp和t 等于360°
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
编辑ppt
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和 编辑ppt
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
三角形外角定理
数学定理
目录
01 基本介绍
03 推论及证明
02 的证明
三角形外角定理(exterior angle theorem of a triangle)是平面几何的重要定理之一，指三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
基本介绍
反证法 图3 假设∠ACD ∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。 (1)若∠ACD=∠CAB(图3)， 在CD上截取CF= AB，连AF， 在△ABC和△FCA中， ∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD， ∴△ABC≌△FCA ∴∠BCA=∠FCA， 但是，∠BCA+∠FCA= 180°， ∴∠CAF+∠BAC= 180°.
的证明
证法一
证法二
利用三角形内角和定理证明有 ∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A+∠B(图2) . 图2
全等形证法 如图2,设E为AC的中点，连BE且延长到F，使EF= BE，连CF。 在△ABE和△CEF中， ∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC ∴ △ABE≌△CEF ∴∠1=∠A ∴CF// AB ∴∠2=∠ABC， ∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC， 即 ∠ACD=∠A+∠B.
三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。如图1，△ABC的一个外角 ∠CBE=∠A+∠C。
这个定理的证明，如图1所示，利用平行线的性质证明；也可以直接用三角形内角和定理证。
图1
由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。如图1，∠CBE>∠A， ∠CBE>∠C 。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是初中数学中比较基础的一个概念，它的性质和定理也是我们学习数学的重点之一。
其中，三角形的外角和定理是一个常见且重要的定理，我们将在本文中对该定理进行详细解析，并讨论其应用。
一、三角形的外角和定理简介在初中数学中，我们学习到了三角形的内角和定理，即三角形三个内角的和为180°。
而三角形的外角和定理则是与内角和定理相对应的一个定理。
外角是指三角形的一个内角的补角，即与该内角相邻且不与其共边的另一内角。
而三角形的外角和定理可以表述为：三角形的三个外角的和等于360°。
二、三角形外角和定理的证明我们可以通过几何推理来证明三角形的外角和定理。
假设有一个三角形ABC，我们需要证明∠DAB + ∠DBC + ∠DCA = 360°，其中∠DAB、∠DBC和∠DCA分别为三角形ABC的三个外角。
（证明过程略）三、三角形外角和定理的应用三角形的外角和定理在解决一些与三角形相关的问题时非常有用。
以下是几个常见的应用场景：1. 特殊三角形的外角和特殊的三角形，如等边三角形和直角三角形，其外角和具有一定的特点。
可以通过利用外角和定理，推导出这些特殊三角形的外角和。
2. 寻找缺失的角度在确定了三角形的两个内角和之后，我们可以通过外角和定理来计算第三个未知内角的大小，进而得到三角形的完整信息。
3. 实际应用问题外角和定理也可以被应用于实际的问题中，如建筑设计、地理勘测等领域。
在这些问题中，我们可以利用外角和定理来计算三角形的外角，从而得到所需的信息。
四、总结三角形的外角和定理在数学学习中扮演着重要的角色。
通过对该定理的了解和应用，我们可以更好地理解三角形的性质，并解决与三角形相关的各种问题。
同时，对于进一步的几何学习和应用，掌握三角形外角和定理也为我们打下了坚实的基础。
在实际应用中，我们需要灵活运用外角和定理，发现并解决问题，进一步提升数学思维能力。
总而言之，三角形的外角和定理是初中数学学习中的一项重要内容。
三角形外角定理的证明与应用
三角形外角定理的证明与应用三角形外角定理是几何学中的一个重要定理，它描述了三角形的外角与其对应内角之间的关系。
本文将对三角形外角定理进行证明，并探讨其在几何问题中的应用。
证明：设△ABC为一个三角形，∠A，∠B，∠C分别为其内角，我们要证明∠D=∠A+∠B。
首先，作三角形ABC的外角平分线DE，其中点D在AB边上，点E在AC边上。
根据角平分线定理可得：∠EDA=1/2(∠C+∠A)，∠DEA=1/2(∠A+∠B)。
由于∠EDA+∠DEA=180°（直角），则有：1/2(∠C+∠A)+1/2(∠A+∠B)=180°。
整理得：∠C+∠A+∠A+∠B=360°。
进一步简化，得：∠C+2∠A+∠B=360°。
因此，∠D=∠A+∠B，证明完成。
应用：三角形外角定理在几何问题的解决中起到了重要的作用。
下面我们将介绍几个具体的应用例子。
例1：证明三角形中的一个角是钝角的充分必要条件是其对应的外角是锐角。
证明：设△ABC中∠A为钝角，即∠A>90°。
根据三角形外角定理可得∠D=∠A+∠B>∠B>90°，即∠D为钝角。
反之，若∠D为钝角，则根据三角形外角定理可得∠A=∠D-∠B>∠D-90°>90°，即∠A为钝角。
因此，三角形中的一个角是钝角的充分必要条件是其对应的外角是锐角。
例2：证明三角形的外角和等于360°。
证明：假设△ABC中∠A，∠B，∠C分别为其内角，∠D，∠E，∠F分别为对应的外角。
根据三角形外角定理可得∠D=∠A+∠B，∠E=∠B+∠C，∠F=∠C+∠A。
将三个式子相加得到∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠B+∠C+∠C+∠A=2(∠A+∠B+∠C)=2(180°)=360°，因此，三角形的外角和等于360°。
例3：求解三角形中缺失的角。
已知△ABC为一个三角形，∠A=45°，∠B=60°，求解∠C。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法三角形是初中数学中的重要概念，三角形的外角判定方法则是三角形性质的一个重要内容，它可以让我们更好地认识三角形的结构和性质。
下面，我们就来证明一下三角形外角判定方法。
三角形的外角判定方法是指：三角形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
这个定理可以由以下的图形来加以说明：[图1]在图1中，三角形ABC的一个外角为∠ACD，这个外角是由直线AC和CD组成的。
由于直线AC和CD共线，所以∠ACD 等于∠ABC和∠BCD的和。
也就是说，三角形ABC的外角等于其对应的两个内角的和。
那么，我们该如何证明这个定理呢？下面，我们将采用数学归纳法来证明这个定理，在证明过程中，我们将不断用到三角形性质中的角平分线定理、直角三角形的勾股定理等。
证明：我们首先证明对于任意的三角形，它的一个外角等于其对应的两个内角的和。
设三角形ABC有一个外角∠ACD，如图2：[图2]根据角平分线定理，直线BD是∠ABC的平分线，故∠CBD=1/2∠ABC；同理，直线AD是∠ACB的平分线，故∠CAD=1/2∠ACB。
又∠ABD=∠ACD+∠CBD，∠BAC=∠CAD+∠ACD，所以∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠CBD+∠CAD+∠ACD=2∠ACD，即∠ACD=(∠ABD+∠BAC)/2=∠BDE，而∠ABC+∠ACD=∠ABC+∠BDE=180°，故∠ACD=180°-∠ABC-∠ACB，即三角形ABC的一个外角等于其对应的两个内角的和。
接下来，我们证明任意多边形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
对于三角形来说，上面已经证明了三角形的每一个外角都等于其对应的两个内角的和。
现在，我们考虑n(n>3)边形。
将n边形分割成n-2个三角形，如图3所示：[图3]根据上面的证明可知，每个三角形的一个外角等于其对应的两个内角的和，所以n边形的一个外角可以由n-2个外角相加得到，而每个外角都等于其对应的两个内角的和，所以n边形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
三角形外角的性质及应用
三角形外角的性质及应用
三角形外角性质及应用
一、三角形外角性质
1、三角形外角的数量
所有三角形的外角数量为三个，每个外角的大小均为180°。
2、和三角形内角性质的关系
三角形外角性质与三角形内角性质有关，三角形内角和周长之和一定为180°，而
三角形外角和边长之和一定也是180°。
3、三角形内部性质的运用
根据三角形内部性质的关系，可以求出三角形的内外角性质，当已知其中两个角的大小时，可以求出另外一个角的大小。
二、三角形外角应用
1、三角函数的定义
三角函数的定义就是朋友三角形的外角性质，在正弦、余弦及正切函数的定义中，与角的大小有关的重要参数就是外角，这样可以用三角形外角性质来定义三角函数。
2、求解三角形边长
利用三角形外角和边长之和等于180°的性质，可以求出三角形的边长，特别是利
用正弦、余弦函数，可以准确的求解三角形的边长。
3、计算平面图形的面积
采用外角性质求出三角形的面积，可以计算出平面图形的面积，尤其是多边形，可以将多边形划分成多个三角形，然后求出每个三角形的面积，最后将这些三角形面积之和就可以得出多边形的面积。
4、从几何图形中发现规律
通过三角形外角性质中相关关系，几何图形之中也可以发现一些有趣的规律，这些规律也可以拓展到更大的空间几何图形，通过探索，也可以发现隐藏的数学定理，进而拓展数学知识面。
三角形的外角和推导与证明
三角形的外角和推导与证明三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，每个角都有一个对应的外角。
本文将探讨三角形的外角特性，并推导和证明相关定理。
一、外角定义及性质三角形的外角指的是三角形内一角的补角。
例如，对于三角形ABC，若角A为内角，则角A的外角为角A'，满足角A+角A'=180度。
同理可得，角B的外角C'和角C的外角B'满足角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
由此可以得出三角形的一个基本定理：三角形的三个外角的度数之和等于180度。
这个定理可以通过角度之和的性质进行证明。
对于任意一个三角形ABC，我们可以将其扩展为一个平行四边形ABCD，其中BD是三角形的外角A'的延长线。
根据平行四边形的性质，AD与角B'相等，由此可得角A+角A'=180度。
同理可证角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
二、外角与内角的关系三角形的内角和外角具有一定的关系。
特别地，一个三角形的内角和其对应的外角相加等于180度。
例如，对于三角形ABC，角A的外角为角A'，则有角A+角A'=180度。
这一定理可以通过补角关系进行证明。
三、外角推导及证明1. 外角与内角的关系推导在三角形中，我们可以针对某个角的外角进行推导。
假设角A的外角为角A'，则角A和角A'的和等于180度。
由此可以推论出角A'=180度-角A。
同理可得，角B'=180度-角B，角C'=180度-角C。
2. 外角和的证明根据三角形外角和的定理，三角形的三个外角的度数之和等于180度。
我们可以通过如下的证明来验证这个定理。
假设三角形ABC的内角分别为角A、角B和角C，对应的外角分别为角A'、角B'和角C'。
我们需要证明：角A'+角B'+角C'=180度。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法三角形外角定理是平面几何的重要定理之一，定理的内容是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
下面我给大家带来证明三角形外角判定（方法），盼望能关心到大家!证明三角形外角判定方法三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba则∠1=∠a，∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°∴∠a+∠b+∠acb=180°2、证法二:过点c作de∥ab则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca 交ab于f则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce 为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce 为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°证明三角形外角判定性质三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质三角形的外角具有以下性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法证明三角形外角判定方法三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba则∠1=∠a，∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°∴∠a+∠b+∠acb=180°2、证法二:过点c作de∥ab则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°证明三角形外角判定性质三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质三角形的外角具有以下性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
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《三角形内角和定理2》
教学设计
郑州市第七十五中学郑红莉
《三角形内角和定理2》教学设计
郑州市第七十五中学郑红莉
一课标要求
掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。
二基于对教材的理解
本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》
（四）巩固练习，深化理解
活动6：独立完成，教师给出答案，小组交流释疑。
1.求下列各图中∠1的度数。（目标3）
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为____（.目标1、3）
（涉及分类讨论）补救：提醒一个外角指的是顶角的外角还是底角的外角。
3.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
1、学生已有知识基础。
学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。
2、已有的活动经验
具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象
△ADC的外角是（）
A.∠ABCB.∠ACDC.∠BDCD.∠BCD
【学生活动】能画出△ABC的其它外角，并说明其特点每一个三角形
有几个外角？每一个顶点处相对应的外角有几个？这些外角中有几个
外角相等？（所有同学能独立完成，D层同学可以借助同桌帮忙完成）
【设计意图】通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，
出两个推论的证明思路。
【设计意图】推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。活动4：推论的概念
问题⑤：刚刚我们证明出的结论是通过三角形内角和定理直接推导出的两个新定理，那么它又叫什么呢？活动5：三角形外角有关定理的应用
并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。
（二）新课探究，交流解惑
活动3：三角形外角与内角关系
1.问题：猜想∠1与其他各角角有什么关系？
预设：80%学生可以说出∠1与∠4，∠1与∠2，∠3的等量关系，但是不等关系可能猜想不到，一方面可以看看预习的效果，一方面可以在上课的时候适当的引导。
并说明理由。
预设：从刚刚的不等关系到找到相应的数量关系，学生可能会无从下手，通过小组讨论
或者给出∠BPC与∠ABP、∠A、∠ACP确定三角关系
【设计意图】学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此
有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>
∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，
2.小组互相讨论，说一说其推理过程，看看哪组最快，方法最多？（奖励小组3积分）
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。求证：∠BPC＞∠A
预设：会有三种方法延长BP交AC一点，延长CP交AB于一点，前两种BC层同学能描述，连接AP延长AP交BC于一点，A层同学能描述。
3.根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间等量关系的结论吗？
特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习,
（三）课堂小结，分享收获
请以同桌为单位总结本节课你获得了哪些收获？还有哪些疑问？
可以围绕知识点，或者易错点或者数学思想方法等角度展开。
【设计意图】通过学生对一节课的学习进行梳理，有利于学生理清框架，在知识，技能，数学思想方面获得提升，同时有利于培养学生的表达能力。
的材料来理解相关知识和概念。
3、学习本节可能出现的难点
学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中
的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。
4、学生座次表
A
C
A
C
A
B
B
D
B
D
B
D
A
C
A
C
A
C
B
D
B
D
B
D
A
C
A
C
A
C
前后四人为
一组，A为组
长，每一组
课堂表现有
积分累计
BDBDBD
问题在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？
活动2：引入外角
视频引入，为了测量△ABC中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边BC延长得到∠ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来
研究它的性质。
引入外角定义。
针对性练习1：
AB层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角
有关定理及进行有关应用，CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形
外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。
五学习目标
1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角；
2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程；
1、例题解析：
已知：如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.问题⑥证明两条线段平行的一般方法有哪些？
问题⑦认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？问题⑧请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换一种方法试试。【设计意图】能在读懂例题思路的基础上进行方法的修改，培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写，ABC层同学能进行方法的修改，D层同学能看懂例题。
一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系
过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后
思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学
生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。
【设计意图】学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定
的了解，通过运用所学知识解决习题，进一步强化对定理的理解，同
时规范自己的证明步骤。
八板书设计
7.5三角形内角和定理（2）3.推论
---关注三角形外角
1、三角形外角
4.三角形内角和定理的推论应用
（1）例题
如图所示∠1是△ABC的外角
2.三角形的外角与各个内角的关系
3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关
问题
【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用
【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几
何计算问题，特别是证明两个角的不等关系。
六学习过程
（一）复习巩固，引入外角
活动1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路问题三角形内角和定理？
第2课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。
三基于对考试要求的分析
能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证
明。
四基于对学情的分析
的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同
学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽
然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证
明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的
（目标3）
4.已知：在△ABC中,∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.（目标2、3）
【设计意图】依据学习目标设置必要的练习，让学生通过练习，用所学知识去解决问题，提升运用能力，再一次巩固深化对概念的理解和把握。
七作业设计
1、AB层p183的T2
2、CD层p183的T3/4
2.问题④：你能推理证明你的猜想吗？
∠1+∠4=180°
∠1=∠2+∠3预设：学生可能通过“同角的补角相等”得到证明，如若有作
辅助线的方法要及时给与鼓励
∠1>∠2,∠1>∠3
3.及时小结：外角与相邻的内角的关系
外角与不相邻的两个内角的数量关系
外角与任何一个不相邻的内角的数量关系针对性练习2：
1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点
（2）
∠1+∠4=180°
∠1=∠2+∠3
∠1>∠2,∠1>∠3
如何证明？
九教学反思
本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、
小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明
过程中信心更足。
其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种
方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改， Nhomakorabea规范自己
(1)则∠＞∠
，∠
＞∠
A
D
B
C
(2)若∠A=35°,∠DCA=80°，则∠ACB=°∠B=
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定
【学生活动】会描述自己的猜想并进行口述的推理证明，CD层能叙述
推论的内容，并能完成针对练习1，AB层同学在此基础上能正确叙述