高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

合集下载

高考数学中常规的不等式证明思路及技巧

高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。

不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。

本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。

一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。

在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。

例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。

解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。

接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。

因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。

二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。

这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。

可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。

例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。

解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。

具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。

高考数学知识点：不等式

高考数学知识点：不等式1500字高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。

不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。

下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。

一、一元一次不等式一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。

要求解这类不等式，需要注意以下几点：1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。

2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。

3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。

二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。

要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。

2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。

3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。

4. 根据a的正负性确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b<c（或|ax+b|≤c）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0且c>0。

要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。

2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。

求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。

高考数学中的不等式及解题方法

高考数学中的不等式及解题方法在高中数学的学习中，不等式是一个非常重要的概念。

因为不等式的出现，能够将数轴上的点集表示，从而转化成解集。

在高考中，不等式作为基础的数学内容，经常出现在各种题目中。

因此，学生需要在学习过程中认真理解、掌握不等式的概念和解题方法。

一、等式的概念和性质首先，不等式与等式的概念是相互关联的。

等式是一种简单的数学关系，即两个数相等，可以用“=”号表示。

而不等式则是当两个数不相等时使用，通常用“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示。

在解不等式的过程中，需要特别注意不等式的性质。

首先，两个不等数相加或相减，其结果的符号取决于绝对值大的数的符号。

当绝对值相等时，结果的符号与原来的符号相同。

其次，如果两个不等数相乘，则乘积的符号和不等数的符号相同。

当其中一个数为0时，乘积为0。

最后，如果有一个不等数为正，另一个为负，则它们的商为负。

如果两个不等数都为0或是都为正或是都为负数，则结果的符号为正数。

二、等式的解法在高考中，不等式通常需要使用不等式解答法进行解题。

这种解法的关键是将不等式转化为等式的形式，然后求解等式得出不等式的解集。

例如，对于一个形如“ax+b>0”的不等式，我们可以通过移项并除以系数得到“x>-b/a”。

因为当“x=-b/a”时，不等式右侧会等于0，不满足不等式关系，所以解集为“x>-b/a”。

在解决一般不等式时，通常需要注意移项和化简的方法。

三、常见的不等式在高考中，出现较多的不等式有两类：一类是含有单一变量的一元不等式，如“x^2-3x+2>0”等。

另一类是含有多元变量的二元不等式，如“x^2+y^2≥9”等。

对于一元不等式，通常可以使用因式分解的方法求解。

首先，我们将不等式化为“ax^2+bx+c>0”的标准形式，然后进行因式分解，最后求出不等式的解集。

例如，对于“x^2-3x+2>0”的不等式，我们可以先将其化为“(x-1)(x-2)>0”形式。

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

高考数学中的不等式性质总结及应用方法探讨

高考数学中的不等式性质总结及应用方法探讨在高考数学中，不等式是比较重要的一道题型，而不等式的性质和应用方法则更加是需要掌握的，下面笔者就为大家深入总结一下高考数学中不等式的性质总结及应用方法探讨，希望能够对大家有所帮助。

一、不等式的基本定义不等式是用于表示数值大小关系的一种数学符号，通常有“大于”符号“>”、小于符号“<”、“大于等于”符号“≥”、小于等于符号“≤”等，其中“大于”表示左边数大于右边数；小于表示左边数小于右边数；“大于等于”表示左边数不小于右边数；“小于等于”表示左边数不大于右边数。

二、不等式的基本性质1.可加性：对于不等式两边同时加上（或减去）同一个正数（或负数）的结果，该不等式成立的性质。

举个例子，若已知 2x + 1 > 3，则将式子两边减去 1，即得 2x > 2，最后将两边同时除以 2，即得 x > 1，显然，该不等式成立。

所以在解不等式时，我们通常可通过加减同一个数并整理式子的方式，进行求解。

2.可乘性：对于不等式两边同时同乘同一个正数（或负数）的结果，该不等式成立的性质。

以解不等式 2x + 3 > 5x 为例，我们可通过将不等式的两边同时减去 x，并整理式子，使其成立；或是将不等式的两边同时乘以一个负数或正数，这样同样可以使不等式成立。

3.正数负数性质：若不等式两边同乘同一个负数时，不等式将改变方向；两边同乘同一个正数时，不等式不变。

例如将 2x + 1 > 3 两边同时乘以 -1，即得 (-2x)-1 < -3，这时的便是原不等式两边同时乘以负数后取反，即“大于”符号变为了“小于”，“小于等于”变为“大于等于”的不等式形式。

同样地，若将不等式的两边同时乘以正数，则不等式的方向不变。

三、常用不等式的证明1.加减中心型不等式对于不等式a+b>=2根据算术平均数-几何平均数(AM-GM)不等式易证。

即可证得不等式。

高考数学中的不等式求解方法总结

高考数学中的不等式求解方法总结高考数学中不等式求解是一个重要的知识点，也是备战高考时需要重点掌握的内容之一。

不等式本身在数学领域具有广泛的应用，掌握不等式的求解方法也有助于学生更好地理解和应用数学知识。

在本文中，我们将总结高考数学中的不等式求解方法。

一、最值法当不等式的二次项系数为正数（即$ax^2+bx+c$，其中$a>0$）时，可使用最值法。

该方法的基本思路是，先确定 $x$ 的取值范围，然后通过求函数的最值来确定函数的正负性和取值范围。

如下例子：$$ x^2 - 6x + 5 > 0 $$该不等式中 $a=1$，所以最值法适用。

首先，我们需要求出二次函数 $y=x^2 - 6x + 5$ 的对称轴，即 $\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$，也就是说，当 $x=3$ 时，函数取到最小值 $y=-1$。

因此我们可以将不等式转化为 $(x-3)^2-1>0$，进一步化简为 $|x-3| >1$。

根据绝对值的定义可知，$|x-3| >1$ 相当于$x<2$ 或 $x>4$。

因此该不等式的解集为 $(-\infty,2)\cup(4,+\infty)$。

二、配方法配方法是不等式求解的一种比较通用的方法，它的基本思路是，将不等式中的项按一定的方式加减或乘除，使得原不等式变为一个可以比较的简单的不等式。

常见的配方法有以下几种：1. 同除法通过同除法，将不等式中的一次项的系数变为 $1$，例如：$$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+2} < 1 $$可同除以 $x(x+2)$，得到：$$ 1< x(x+2)+2x $$化简得：$$ -x^2 -4x +1 <0 $$代数式的符号是问题的重点，由于 $a<0$，所以合法解集为 $-2+\sqrt{3} < x < -2-\sqrt{3}$。

2. 变量代换通过将不等式中的变量做适当的代换，将原不等式转化为一个更容易求解的不等式。

完整版高中数学不等式知识点总结

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 ab，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 ab 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。

在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。

正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。

不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。

2. 乘除法原则：若 a0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 abc，a/c>b/c。

3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。

数学高考不等式知识点归纳

数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。

在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。

下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。

一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。

基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。

二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。

对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。

三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。

对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。

在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。

四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。

对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。

五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。

对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。

六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。

在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。

七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。

对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。

在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

高考数学如何解决复杂的不等式问题

高考数学如何解决复杂的不等式问题高考数学中，不等式问题一直是考试中的难点之一。

解决复杂的不等式问题需要灵活运用不等式的性质以及各种解不等式的方法。

本文将介绍解决复杂不等式问题的一些有效方法与技巧，帮助考生在高考数学中更好地应对不等式题目。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式问题，形式一般为ax+b>0或ax+b<0。

解决一元一次不等式问题，可以通过下面的步骤进行：1. 化简不等式：将一元一次不等式化简为标准形式。

即将不等式左右两边移项，使得系数为正或负。

2. 约束条件：根据不等式中的约束条件，判断解的范围。

3. 解不等式：根据一元一次不等式的性质，得到不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高考数学中常见的复杂不等式类型之一。

一元二次不等式的解决方法一般分为以下几种情况：1. 利用一元二次不等式的图像解题：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的形状来确定解的范围和解集。

2. 利用配方法解题：对一元二次不等式进行配方法，将其化为平方形式，并利用平方的性质来解决不等式。

3. 利用根的性质解题：对一元二次不等式利用根的性质来解题。

即求出一元二次不等式的根，并根据根的位置来判断解的范围。

三、绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的不等式类型之一。

解决绝对值不等式问题，可以按照以下步骤进行：1. 分情况讨论：将绝对值不等式进行分情况讨论，根据绝对值的定义来确定绝对值的取值范围。

2. 解不等式：将不等式的绝对值表达式划分为两个部分，分别求解，得到不等式的解。

四、常见的不等式定理与性质在解决复杂不等式问题时，常常需要用到一些不等式定理与性质。

以下是一些常见的不等式定理与性质：1. 线性不等式性质：对于线性不等式，若两边同乘（除）一个正数，则不等号方向不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号方向反向。

2. 开方不等式性质：对于开方不等式，若两边平方，则不等号方向不变。

3. 加减不等式性质：对于加减不等式，若右边加（减）一个数，则不等号方向不变。

高考数学基本不等式知识点汇总与解题方法

基本不等式【高考真题】1．（2021·全国乙卷文数）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x x x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2022·新高考全国II 卷）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos ,sin 22y x y θθ-==，所以12cos sin ,sin 33x y θθθ=+=，因此222252111cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++ 42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．3．（2020·新高考全国I/II 卷）(多选)已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为()21212a bab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.【基础知识】1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2 (a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值应注意：一正二定三相等. (1)a ，b 是正数；(2)①如果ab 等于定值P ，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ； ②如果a ＋b 等于定值S ，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【题型方法】一、基本不等式比较大小1．已知a ，b >1且a ≠b ，下列各式中最大的是（）A abB ．2a b +C ．22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222a b +【答案】D【详解】因为a ，b >1，a ≠b ，由基本不等式得：12a bab +，由不等式性质得：2()22a b a b ++>，又222222222()()022244a b a b a b a ab b a b +++++--=-=>， 222()222a b a b a b ab +++<<<. 故选：D2．(多选)当a ，R b ∈时，下列不等关系不成立的是（）A ．2a bab +≥ B ．2a b ab -≥ C ．222a b ab +≥ D ．222a b ab -≥【答案】ABD 【详解】 A ：当,0a b <时，2a bab +≥ B ：当2,1a b ==时，a b ab -≥C ：由重要不等式知：222a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立；D ：当1,2a b ==时，222a b ab -≥不成立. 故选：ABD3．（多选）a 、b 是正实数，以下不等式 2abab a b>+；①a >|a －b |－b ；①a 2＋b 2>4ab －3b 2；①22ab ab+>恒成立的序号为（） A ．① B ．① C ．① D ．①【答案】BD 【详解】①22ab a ab a b b ≤+2abab a b≥+当且仅当a b =时等号成立，①不正确； ①①a 、b 是正实数，则a b a b -<+，①a b b a b b a --<+-<，①正确；①()()22224320a b ab b a b +--=-≥，即22243a b ab b +≥-，当且仅当2a b =时等号成立，①不正确；①222222ab ab ab ab+≥⨯>，当且仅当2ab ab =时等号成立，即22ab ab +>，①正确；故选：BD ．二、基本不等式求和的最小值1．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值为 .【详解】∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号.∴f (x )的最大值为－1.2．已知0a >，0b >，1ab =，则226a b a b +++的最小值为（）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】B【详解】因为0a >，0b >，1ab =．所以()()2222264644a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当1a b ==时，等号成立．故选：B.3．已知01a <<，则141a a+-的最小值是______．【答案】9【详解】因为01a <<，则14144(1)()[(1)]5111a a a a a a a a a a -+=+-+=++--- 4(1)55491a a a a -≥+⨯=+=-，当且仅当4(1)1a a a a -=-时，即23a =时，等号成立，所以141a a+-的最小值是9. 故答案为：9.三、基本不等式求积的最大值1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．14【答案】A【详解】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2．设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；【详解】∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.3．已知0x >，0y >，且满足134x y+=，求xy 的最大值【详解】因为0,0x y >>，且123412x y xy+=≥3xy ≤，当且仅当34x y =时，即3,22x y ==时取得最大值3．四、二次与二次（或一次）的商式的最值1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】D【详解】2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+1[(1)]()111x x ≤--+-=-+，当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.2．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________.【答案】9【详解】∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.3．已知x >y >0，xy ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________.【答案】22【详解】∵xy ＝1，x >y >0，∴x －y >0， ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号，∴x 2＋y 2x －y的最小值为2 2.五、基本不等式“1”的妙用求最值1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 【答案】A【详解】x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立． 2．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14【答案】B【详解】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2 b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.3．已知非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，则x y +的最小值为______________. 【答案】23【详解】非负实数x ，y 满足111322x y y +=++，有30,220x y y +>+>，则121112[(3)(22)]()[(3)(22)]3333223x y y x y y y y x x y +++-=++++=-+++ 1223212232(2)23322333223y x y y x y x y y x y y ++++=++-≥⋅⋅=++++，当且仅当223322y x y x y y ++=++，即322x y y +=+时取“=”，由322x y y +=+，111322x y y +=++得2,03x y ==，所以当2,03x y ==时，x y +的最小值为23.故答案为：23六、条件等式求最值1．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在【答案】B【详解】∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.2．设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【详解】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以221144424x y x y xy xy x y xy xy xy xy+++===+≥⋅，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立，所以11x y+的最小值为4.故选：B.3．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94 D ．3【答案】B【详解】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.【高考必刷】一、单选题1．下列不等关系中正确的是（）A ．5ln 2ln 32ln 2+>B ．11ln 3ln 232<+<C ．ln 2ln31⋅>D ．ln 33ln 22> 【答案】D【分析】对A ，2524ln 2ln 3ln ln 0425+-=<；对B ，ln3ln 2ln61+=>；对C ，由均值不等式得()22ln 2ln 3ln 2ln 3ln 612+⎛⎫⋅<=< ⎪⎝⎭；对D ，ln 33ln 9ln8ln 22>⇔> 【详解】对A ，252524ln 2ln 3lnln 6ln ln ln104425+-=-=<=，故5ln 2ln 32ln 2+<，A 错；对B ， ln3ln 2ln61+=>，B 错；对C ，0ln 2ln3<<，故()()222ln 2ln 3ln 2ln 3ln 6ln e 12+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，C 错；对D ，0ln 2ln3<<，ln 332ln 33ln 2ln 9ln8ln 22>⇔>⇔>，D 对；故选：D2．当0x <时，函数4y x x=+（） A ．有最大值4- B ．有最小值4- C ．有最大值4 D ．有最小值4【答案】A【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】0x <，0x ∴->，444()2()4y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+=--+-≤--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2x =-时等号成立，故选：A3．已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（） A ．9lg 2 B ．212C ．252D ．12【答案】C【分析】变换得到()4114log log ln 4ln 2ln e ln e a b a b a b ⎛⎫+=⨯++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 14ln 4ln 25171722ln ln 2ln ln 2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C4．已知2x >-，0y >，23x y +=，则2x y++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解. 【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，所以()()22722222222222x y x y yx y x x y x y x y+++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.5．已知正实数,a b 满足1a b +=，则41b a b+的是小值为（） A ．5 B ．163C ．4D ．3【答案】A【分析】利用1a b +=，将41b a b +化为41b a a b++，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正实数,a b 满足1a b +=，则41441b b a b b a b baa b a ++=+=++，而4424b b ab a a a b +≥⨯=，当且仅当4b a a b =即223a b ==时取等号，故41b a b+的是小值为5，故选：A.6．若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【分析】依题意2max21x a x x ⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式求出221xx x ++的最大值，即可得解；【详解】解：因为0x >，所以222221131121x x x x x x x=≤=++++⋅+，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C7．已知,αβ为锐角，且2tan tan 2tan tan 0αβαβ-+=，则tan α的最大值为（） A 2B 2C 2D 2【答案】A【分析】由题意得2tan tan 12tan βαβ=+，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为β为锐角，所以tan 0β>，由题意可得2tan 1tan 112tan 2tan tan βαβββ==≤++12422=，当且仅当2tan 2β=时取等号，故tan α的最大值为24，故选：A ．8．已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．22(1)(1)2a b -+-<D ．226a b +>【答案】C【分析】根据题意表示出35log 15,log 15==a b ，利用对数的换底公式即可判断选项A ，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B ，C ，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D.【详解】因为3515ab==，35log 15,log 15==a b ，对A ，1515351111log 3log 51log 15log 15+=+=+=a b ，所以1a b ab+=，即a b ab +=，故A 正确；对B ，由基本不等式可得2(0,0)a b ab a b +≥>>，因为a b ，a b ab +=，所以2ab ab >，即224>a b ab ，得4ab >，所以4a b +>，故B 正确；对C ，22222222()(1222()2)(1)2=+-++=+-+=-+--+>a b a b a b ab a a b b ，故C 错误；对D ，2222()2()2()=+-=+++-a b ab a b a a b b ，令(4)+=>a b t t ，2()2=-f t t t ，则函数2()2=-f t t t 在(4,)+∞上单调递增，所以min ()(4)8>=f t f ，即222()2()8=++-+>a b a b a b ，所以226a b +>成立，故D 正确；故选：C.【点睛】一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.9．已知3515a b == ）A ．2a b ab +=B ．1ab >C ．22log log 0a b +>D ．22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由3515a b ==，得3 log 15a =，5log 15b =，所以151511log3log52a b+=+=，整理得2a b ab +=，故A 正确；由111122a b a b=+≥⋅，得1≥ab ，又a b ，所以1ab >，故B 正确.因为()222log log log a b ab +=，1ab >，所以()222log log log 0a b ab +=>，故C 正确；因为112a b +=，所以112221b a =+-，22221111122221162a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时，等号成立，又3log 151a =>，所以22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：D10．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（） A ．R P Q <>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11lg lg (lg lg )lg()lg lg 222a bP a b a b ab ab R +=⋅<+==<=因此，P Q R << 故选：B【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小二、多选题11．已知实数,a b 满足0a b >>且2a b +=，则下列结论正确的有（） A ．222a b +> B ．829a b+≥C ．ln ln 0a b +>D ．11a b a b+>+ 【答案】AB【分析】A ，C 选项利用基本不等式进行比较，B 选项利用基本不等式中1的妙用处理，D 选项利用作差法结合基本不等式处理.【详解】①0a b >>且2a b +=，由基本不等式222222a b a b ab +>=，①()()2222222221112()2222a b a b a b a b ab a b ⎡⎤+=+++>++=+=⎣⎦，故A 正确；82182182182()101029222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当82b aa b =即43a =，23b =时等号成立，故B 正确；2ln ln ln()ln ln102a b a b ab +⎛⎫+=<== ⎪⎝⎭，故C 错误；①212a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，①01ab <<，①11()b a a b a b a b ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()(1)()10a b ab a b ab ab --⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：AB12．若1a b >>，且35a b +=，则（） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【分析】利用已知条件构造()()411a b b -+-=，然后与141a b b +--相乘构造基本不等式，利用基本不等式即可判断选项A 和B ；由()()21ab b a b a b b --+=-⋅-，结合()()411a b b -+-=利用基本不等式即可判断C 和D .【详解】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+---- ()()414171b a b a b b --=++-- ()()4141721b a b a b b --≥+⋅--25=当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()()()()()14124141a b b a b b a b b =-+--⋅-=-⋅-≥．当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD .13．已知x ，y 是正数，且21x y +=，则下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +的最大值为14D ．1y x xy-+的最小值为9 【答案】ABD【分析】根据基本不等式，结合配方法以及“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A 项，因为2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，此时xy 的最大值为18，故A 项正确；对于B 项，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，因为18xy ≤，所以22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时取等号，即224x y +的最小值为12，故B 项正确；对于C 项，()2124x x y x x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时取等号，又x ，y 都是正数，所以等号不成立，故C 项错误；对于D 项，122121y x x y xy xy x y x y ⎛⎫-++==+=+ ⎪⎝⎭()222225529y x y x x y xy x y ⎛⎫+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时取等号，此时1y x xy -+的最小值为9，故D 项正确．故选：ABD ．14．已知,x y 是正数，且2x y +=，下列叙述正确的是（） A ．xy 最大值为1 B ．22x y +的最小值为2C x y 2D ．14x y +的最小值为92【答案】ABD【分析】根据基本不等式得出212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，可判断A 项；因为()222242y x x y x x y y =+-+=-，又1xy ≤，可判断B 项；因为()222x yxy +=+，又22xy ≤，所以()24x y+≤，开方可判断C 项；根据“1”的代换，代入展开用基本不等式求出结果，可判断D 项.【详解】对于A ，根据基本不等式可知，2x y xy +≥，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立，故A 项正确；对于B ，()222242y x x y x x y y =+-+=-，因为1xy ≤，所以1xy -≥-，所以2242422x y xy =≥-+-=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.故B 项正确；对于C ，()2222x yx y xy xy +=++=+，因为22xy x y ≤+=，当且仅当x y =，即1x y ==时等号成立.所以有()2224x yxy +=+≤，所以2x y +≤，即x y +的最大值为2，故C 项错误；对于D ，由已知得，12x y+=，则14142x y x y x y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭2522y x x y =++25222y x x y ≥⋅+59222=+=，当且仅当22y x x y =，且2x y +=，,0x y >，即23x =，43y =时等号成立.故D 正确.故选：ABD.15．已知0a >，0b >，1a b +=，则（） A ．114a b+≤B ．2222a b +≥C ．22log log 2a b +≤-D ．1sin sin 2sin 2a b +≤【答案】BCD【分析】结合基本不等式即可判断A 、B 、C 选项，D 选项先利用和差化积公式可得到sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅，再结合三角函数性质即可判断. 【详解】0a >，0b >，1a b +=，112224a b a b b a b aa b a b a b a b++∴+=+=++≥⋅+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，故A 不正确；又222222222a b a b a b ++≥⋅==，当且仅当22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确； ()2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；又sin sin 2sin cos 22a b a ba b +-+=⋅， 1cos12a b--≤≤,1sin sin 2sin 2a b ∴+≤，故D 正确；故选：BCD.16．若实数,0m n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（）A ．mn 的最大值为18.B ．11m n+的最小值为2C ．224m n +的最小值为12D ．2912m n +++的最小值为5 【答案】AC【分析】直接利用均值不等式判断A ；根据“1”的代换的方法判断B ；整理21m n +=为 ()()2125m n +++=，对21m n +=作平方处理，结合均值不等式判断C ，利用“1”的代换的方法判断D ；【详解】实数m ，0n >，2122m n mn ∴+=≥，整理得18mn ≤，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项A 正确；()112m n m n +=+(112)3322n mm n m n+=++≥+，当且仅当22221m n ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩时取“=”，故选项B 错误； 21m n +=，()()222222222124442424m n m n mn m n m n m n ∴=+=++=++⋅≤+， 22142m n ∴+≥，当且仅当1214n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，故选项C 正确，21m n +=，()()2125m n ∴+++=，()()2912921212512m n m n m n ⎛⎫⎡⎤∴+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()2218111131323655125n m m n ⎡⎤++=++≥+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当01m n =⎧⎨=⎩时取“=”，但已知0m >,故不等式中的等号取不到， 29512m n ∴+>++，故选项D 错误；故选：AC17．已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则（） A ．2222a b +≥B ．221a b +≥C ．23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D ．()ln 1a a +≥的充要条件是1b =【答案】AD【分析】由均值不等式可判断A ，B ；由题意可得出1a b -≥-，代入2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，可判断C ；由ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，可判断D.【详解】对于A ，222222a b a b ++≥=，当且仅当22a b =时取等，所以A 正确；对于B ，22221()21212,22a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⨯≥ ⎪⎝⎭所以B 错误；对于C ，因为1a b +=，()=1211a b a a a ---=-≥-，所以2231log log 122a b ⎛⎫-+≥=- ⎪⎝⎭，当0,1a b ==时取等，所以C 错误；对于D ，因为令()()()ln 11g x x x x =+->-， ()1111111x x g x x x x ---'=-==+++，所以()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00g x g ==，所以()0g x ≤，所以ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时取等，所以若ln(1)a a +≥，则0a =，此时1b =，反之也成立，D 正确故选：AD18．在下列函数中，最小值是4的是（）A ．4y x x=+B ．0)1y x x =>+ C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144x x y -=+【答案】BD【分析】根据基本不等式2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，即可作出判断. 【详解】对于A ，当0x >时，4424y x x x x=+≥⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，444[()]24y x x x x x x=+=--+-≤-⋅=-，当且仅当4x x -=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，51441111x x y x x x x +++===+++++，因为0x >，所以11x +>，44121411x x x x ++≥+⋅=++，当且仅当411x x +=+，即3x =时取等号，所以5(0)1x y x x +=>+的最小值为4，B 正确；对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，14424444444x x x x xxy -=++⨯=≥=，当且仅当444xx =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确. 故选：BD19．若62a =，63b =，则下列不等关系正确的有（） A 112a b ++C ．2212a b +>D ．1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】指对互化后求得1a b +=，对A 、C 选项可利用不等式222()2a b a b ++≥及变形判断结论是否正确；对B 选项可用“1”的代换判断结论是否正确；对D 选项：由换底公式得11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别计算ln6ln2与ln3ln6ln63ln3+的范围可判断结论是否正确. 【详解】由62a=，63b=，得6log 2a =，6log 3b =，所以，对于A ，由不等式222x y xy +≥得222()2x y x y ++≥，()222x y x y ∴+≤+，又ab ，()()112116a b a b ⎡⎤∴+++<+++=⎣⎦，所以A 不正确；对于B ，因为6log 20a =>，6log 30b =>，1a b +=，所以()111124b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，因为ab ，所以等号不成立，所以114a b +>，所以B 正确；对于C ，因为222a b ab +≥，所以222()122b a a b +≥=+，因为ab ，所以等号不成立，所以2212a b +>，所以C 正确；对于D ，因为ln2ln6a =，ln3ln6b =，所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ln6ln42ln2ln2>=，且ln3ln6ln3ln6122ln63ln3ln63ln33+≥⋅=，因为ln3ln6ln63ln3≠，所以等号不成立，所以ln3ln612ln63ln33+>，所以11ln6ln3ln612223ln2ln63ln33b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：BCD.20．已知,0a b >，2a b ab +=，则下列表达式正确的是（） A ．2a >，1b > B ．a b +的最小值为3C ．ab 的最小值为8D ．22(2)(1)a b -+-的最小值为4【答案】ACD【分析】对A ，通过用a 表示b 以及用b 表示a ，即可求出,a b 范围，对B ，对等式变形得211a b+=，利用乘“1”法即可得到最值，对C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab 最小值，对D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A 选项，,0,2a b a b ab >+=，即()2b a a -=，则2ab a =-，则02aa >-，且0,a >解得2a >， 2ab ab +=，则()12,a b b -=则201ba b =>-，且0b >，解得1b >，故A 正确；对B 选项，,0,2a b a b ab >+=，两边同除ab 得211a b+=，则()1223323222a b a b a b a b b a a a b b ⎛⎫+=+=++≥+⋅=+ ⎝⎭+⎪，当且仅当2a bb a =，且211a b+=，即22,21a b =+=+时等号成立，故B 错误；对C 选项，222a b ab ab +=≥，,0a b >，解得22ab ≥，故8ab ≥，当且仅当2a b =，且8ab =，即4,2a b ==时等号成立，故C 正确；对D 选项，由A 选项2a b a =-代入得2222(2)(1)(2)12a a b a a ⎛⎫-+--+- ⎝=⎪-⎭()()222222244(2)(2)2(2)4222a a a a a a =⎛⎫-+=-+≥-⋅= ⎪-⎝⎭--，当且仅当224(2)(2)a a -=-，2a >，即22a =+时，此时21b =+时，等号成立，故D 正确. 故选：ACD.21．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（） A ．2xyxy x y≤+B ．114x y x y +≥+C ．11x y xy +D ．22334x y x y x y++≥【答案】ABD【分析】利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】对于A ，222xy xyxy x y xy=+≤当且仅当x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，正确.对于C ，2112xy x y x y xy xy xy++=≥=，当且仅当x y =时取等号，错误.对于D ，()()()()23322224x y x y x y x y xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是D ，需利用立方和公式，先化简再判断.22．已知a 、()0,1b ∈，且1a b +=，则（） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b【答案】ABD【分析】利用基本不等式可判断A 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；构造函数()1ln f x x x =-+，利用函数()f x 在()0,1上的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，所以，2212a b +≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 对；对于B 选项，由基本不等式可得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，1ln ln ln ln 2ln 24a b ab +=≤=-，B 对；对于C 选项，取14a =，34b =，则222133ln ln ln 2ln ln ln 22ln 2ln ln 2444a b -=-=--16ln 2ln ln 209⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，此时2ln ln ln 2a b <，C 错；对于D 选项，令()1ln f x x x =-+，其中01x <<，则()1110xf x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()0,1上为增函数，因为01b <<，则()()1ln ln 10f b b b a b f =-+=+<=，D 对. 故选：ABD.23．若a ＞b ＞0＞c ，则( ) A ．c c a b> B ．b c ba c a->- C ．c c a b > D ．2a c bc ->-【答案】ABD【分析】利用作差法可判断AB ，根据幂函数单调性可判断C ，根据基本不等式可判断D. 【详解】A ：()c c b a ca b ab--=，①0a b c >>>，0,0,0ab b a c ∴>-<<， ()0b a cab-∴>，c c a b ∴>，故A 正确；B ：()()()()()a b c b a c b a cb c b a c a a c a a c a------==---， ①0a b c >>>，①0,0,0,0a c a b a c ->>-<<， ()0,()b a c b c ba c a a c a--∴>∴>--，故B 正确；C ：,0c y x c =<时，y 在()0,∞+单调递减，①,c c a b a b >∴<，故C 错误；D ：①a ＞b ＞0＞c ，①－c ＞0，①()2a c b c b c bc ->-=+-≥-，①a ≠b ，故等号取不到，故2a c bc ->-，故D 正确.故选：ABD.24．若ln ln a b >，则下列不等式成立的是（） A ．11a b a b-<- B ．24a bb a +<C ．()2021lg lg b a a b -<-D ．lg lg 2021b a b a --<【答案】CD【分析】由条件可知0a b >>，利用作差判断选项A ，利用基本不等式判断选项B,利用两边函数值和特殊值比较，判断选项CD.【详解】本题考查利用不等式的性质与函数的性质比较大小．由ln ln a b >，知0b a <<，则()()()11110b a a b a b a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b ->-，故A 不正确；因为222224a ba bb ab a ⨯+≥==，只有a b =时等号成立，但ab ，故222224a b a b b ab a⨯+>==故B 不正确；因为()20210b a -<，lg lg lglg10aa b b-=>=，所以()2021lg lg b a a b -<-，故C 正确；因为020211b a -<<，lg lg lglg10bb a a-=<=，所以lg lg 2021b a b a --<，故D 正确．故选：CD ．【点睛】思路点睛：本题考查不等式与函数的性质，一般比较大小，1.可以用作差法比较大小，2.构造函数，利用单调性比较大小，3.与特殊值比较大小，或是利用不等式的传递性比较大小。

高三不等式的知识点总结

高三不等式的知识点总结高三是学生们备战高考的重要一年，数学是其中重要的一门科目。

在数学中，不等式是一个重要的分支，也是高考常考的内容之一。

掌握不等式的知识点对于高三学生来说至关重要，因此本文将对高三不等式的知识点进行总结。

一、基础概念不等式是数学中表示大小关系的一种特殊符号。

常见的不等式符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。

例如：4 < 5，表示4小于5；7 ≥ 3，表示7大于等于3。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解一元一次不等式时，需要根据不等式的性质进行移项和合并同类项，得到解的区间。

三、二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解二元一次不等式常用区域图法，即画出平面直角坐标系，并根据不等式的条件在平面直角坐标系上绘制出对应的区域，最后找出可行解所在的区域。

四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式时，需要分两种情况讨论，具体分析绝对值的取值范围，然后解出不等式。

五、高次不等式高次不等式是指不等式中含有幂函数的形式。

解决高次不等式时，可以根据不等式的特点进行分类讨论，或者利用数学函数的性质进行推导，最后得到解的区间。

六、不等式的证明不等式的证明是数学推理的一种形式，常见的证明方法有直接证明法、反证法和数学归纳法。

在高考中，常考的不等式证明有柯西不等式、均值不等式等。

七、不等式的应用不等式的应用广泛，涉及到生活、经济、科学等各个领域。

例如在物理中，不等式可以用来描述力学问题中物体的位置、速度和加速度之间的关系；在经济学中，不等式可以用来描述供求关系、市场均衡等。

总结：高三不等式的知识点是高考数学中的重要内容，掌握不等式的方法和技巧对解题有着重要的帮助。

通过对一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式、高次不等式等基础概念的理解，以及对不等式的证明和应用的掌握，学生们将能够更好地应对高三数学的挑战，提高解题的能力。

高考数学必考知识点不等式

高考数学必考知识点不等式：不等式导语：高考数学中，不等式是必考的重要知识点之一，掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。

一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。

常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

二、不等式的性质1. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。

即不等式大小关系具有传递性的特点。

2. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0，则ac>bc。

即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），大小关系不变；不等式两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的大小关系发生改变。

3. 倒置性质：若a>b，则-b>-a；若a>b，c<0，则ac<bc。

即不等式两边同时乘以-1，不等式的大小关系发生倒置。

4. 倒数性质：若a>b，c>d且c>0，d>0，则1/a<1/b；若a>b，c>d且c<0，d<0，则1/a>1/b。

5. 平方性质：对于正实数a和b，若a>b，则a²>b²；若a=b，则a²=b²；若a<0，b<0，则a²>b²。

即不等式两边同时平方，不等式的大小关系不变。

三、不等式的解题方法1. 直接比较法：通过观察和比较不等式中数的大小关系，直接求解不等式。

例题1：解不等式3x+5>2x-1。

解：首先将不等式移到等式两边，得3x-2x>-1-5，即x>-6。

例题2：解不等式(x+1)(x-2)<0。

解：使用区间法解不等式，首先找出等式的零点x=-1和x=2，然后根据零点将数轴划分为三个区间：(-∞，-1)，(-1，2)和(2，+∞)。

高考不等式的知识点总结

高考不等式的知识点总结高考数学中的不等式是一个关键的考点，涉及到不等式的性质、解不等式、不等式的证明等方面。

掌握不等式的知识对于高考数学的学习非常重要。

接下来，我将对高考不等式的知识点进行总结，希望能帮助广大考生更好地备考。

一、不等式的性质首先，不等式的性质是我们理解不等式方程的基础。

不等式性质的理解对于后续的解不等式问题具有重要意义。

1.1 不等式的传递性不等式具有传递性，即如果 a > b，b > c，则 a > c。

这个性质在解不等式过程中常常被使用，特别是在比较大小时。

1.2 倒数性质设 a > b，则 1/a < 1/b。

这个性质在不等式的推导中经常用到，可以将不等式中的分数项化为倒数，从而简化计算。

1.3 开方性质当 a > b 且 a > 0，那么√a > √b。

这个性质常常用于解决存在根号的不等式问题。

需要注意的是，若 a < 0，则不能对不等式两边同时开方。

二、不等式的解法在高考中，不等式的解法通常包括两种：代数法和图像法。

2.1 代数法代数法是通过变量的代入、移项、取绝对值等方式解决不等式问题的方法。

主要包括以下几种情况：2.1.1 一元一次不等式例如：ax + b > 0。

可以根据 a 的正负来讨论其解集情况。

2.1.2 一元二次不等式例如：ax^2 + bx + c > 0。

可以运用求根公式求出方程的根，根据其正负确定不等式的解集。

2.1.3 绝对值不等式例如：|ax + b| > c。

可以根据绝对值的性质进行讨论，注意分情况讨论。

2.2 图像法图像法是通过将不等式转化为图像问题，通过观察图像来解决不等式问题的方法。

主要包括以下几种情况：2.2.1 一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。

2.2.2 一元二次不等式可以通过绘制二次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。

不等式高中数学知识点

不等式高中数学知识点不等式高中数学知识点1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示;不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(2)解分式不等式的一般解题思路是什么?(移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回);(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化);(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.2.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b (或 a ，b非负)，且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).3.常用不等式有： (根据目标不等式左右的运算结构选用)a、b、c R， (当且仅当时，取等号)4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法5.含绝对值不等式的性质：6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上(2)能成立问题(3)恰成立问题数学考试答题技巧按部作答，争取每一分这里的按部作答主要是指学生在考试的过程中解答大题的时候。

对于一些比较复杂，难懂的题目，我们可以庖丁解牛，一步一步的解答。

这样一来。

我们可以可能将这道题解答出一半或者是四分之三，我们都知道现在的判题规则是按部给分也就是说学生列出了式子或者是解答对了一半都会得到相应的分数。

这就要求各位老师和同学们一定要注意暗部作答。

不要因为题目的难易程度而盲目的选择放弃，毕竟一道大题十分，做出来一半也就得到了五分到对于学生成绩来说五分还是非常重要的。

小编，建议在我们做大题时一定要注重按部作答这一规则。

因为我们在解答的过程中，如果分不清可以便于我们后期的检查以及教师的教师阅卷，使阅卷时清晰明了一目了然。