船体振动学第3章.

M Q
M
M dx x
Q Q dx x 2w Adx 2 t
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dx
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
M Q
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
由牛顿第二定律写出微段沿 z 轴的力平衡方程
f ( x, t )
o x
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x
dx
l
3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向位移是 w( x, t ) ，长度是 l ，横截面面积 是 A ，横截面对中性轴的惯性矩是 I ；梁的密度 是 ，材料的弹性模量是 E ；单位长度梁上作用
的分布外力是 f ( x, t ) 。在梁上 x 处取长为 dx 的 微段，微段 dx 的受力图如图所示。 f ( x, t )dx
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3.1 连续系统 各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都
是具有分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点
的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具
有无限多自由度的系统，也称为连续系统。
x
w1

w2
wn
z
wi wi 1
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3.1 连续系统
x
w1
是按固有振型离散化。
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3.1 连续系统 梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对 于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形 式的振动，即垂直平面内的振动、水平面内的振 动、纵向振动和扭转振动。本章仅介绍梁在垂直 平面内的横向振动。假定梁的材料均质、各向同 性，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力 不超过材料的比例极限，使得梁的应力与应变关 系是线性的）。其次假定振动是微小的，使得应 变与位移的几何关系也是线性的。最后假定梁在 平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂 直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保 持为平面。
w Q Adx 2 Q Q dx f ( x, t )dx t x
2
化简为
2w Q A 2 f ( x, t ) t x
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3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
f ( x, t )dx
上式就是欧拉-伯努利梁横向振动的运动微分方程 。 对于等截面梁，则 EI 是常数，上式又可写成
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4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t
3.2 梁的横向自由振动
固有频率和振型
4w 2w EI 4 A 2 f ( x, t ) x t 固有频率和振型 在上式中令 f ( x, t ) 0 得到梁横向自由振动的运 动微分方程 4w 2w
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第3章 梁的横向振动
3.2 梁的横向自由振动
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3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
梁的横向振动的运动微分方程 如图所示，考虑梁在 xz 平面内的振动。假定发生 振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发 生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于 变形后的梁轴线，即忽略了横截面的剪切变形和 转动惯量的影响，这种梁模型也称为欧拉-伯努利 z 梁。
略去 dx 的二次项后，得
M Q x
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3.2 梁的横向自由振动
梁的横向振动的运动微分方程
M 2w Q 将Q 代入 A 2 f ( x, t ) ，得 x t x
2M 2w A 2 f ( x, t ) 2 x t 2 w 由材料力学知 M EI 2 ，并代入上式，得 x 2 2 2 w w EI 2 A 2 f ( x, t ) 2 x x t
真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，
所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。
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3.1 连续系统
连续系统具有连续分布的质量和弹性，它的振动 规律要用时间和空间坐标的连续函数来描述，其 运动微分方程是偏微分方程。在数学上，离散系 统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本 课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一 物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的 振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏 微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的 基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系 统的振动是相似的。
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3.1 连续系统 弹性体的振动需要用偏微分方程来描述 ，不同弹
性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、
规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均
匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均
匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性 体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法， 将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨论 的离散化不同于上一章的将分析模型离散化，而
船体振动学
第3章 梁的横向振动
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第3章 梁的横向振动 3.1 连续系统 3.2 梁的横向自由振动 3.3 梁的横向强迫振动 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的 横向自由振动的影响
3.5 梁的横向自由振动的近似解法
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第3章 梁的横向振动
3.1 连续系统

w2
wn
z
wi wi 1
对于图示的简支梁，在第2章中提到的处理方法
n 个集中 是将梁离散化，即将梁近似的看作是由
质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时， 用有限个离散点处的横向位移
w1 (t ), w2 (t ),, wn (t ) 来代替真实的、连续的动挠
度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的
M Q
M
M dx x
Q
Adx
2w t 2
Q dx x
dx
再写出微段绕 y 轴的力矩平衡方程 ，得
M f ( x, t ) 2 Q A 2 w 2 M x dx 2 dx M Q x dx dx 2 t 2 dx 0