线性代数习题课例题

2. 用行列式性质法。 (1) 化上三角法 上(下)三角行列式的计算是比较容易的， 其值等于主对角线所有元素的乘积。所以，利 用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行 列式，是计算行列式时经常使用的一种方法， 而且，将所求的行列式化为上（下）三角行列 式的过程是这几条性质综合运用的结果。其中 最重要的是性质7的灵活运用。以化为上三角行 列式为例：首先将主对角线下方第一列
计算正确，结果应当是一样的。一般情况下总
是选取含零元素较多的那一行或那一列来展开，
这样计算比较简单方便。
例1.3.3 计算五阶行列式
8 5 0 4 3 0 6 7 2 4 D5 0 0 0 0 9 0 6 2 3 1 0 6 7 2 8
解 用行、列展开式法。即行展开，列展 开综合使用的方法。即选取含零元素较多的那 一行或那一列来展开，得
0 0 10 40
1 0 2 4
4 3 (2)
1
0
4
1
24 34
240 0 0 5 88 3
0 0 0 136
例1.3.5 计算行列式
46 427 327 D 114 543 443
3
342 621 521
解 用化上三角法。这个三阶行列式中各元 素的数字都比较大，直接用行列式的展开式法 计算肯定是很麻烦的。但我们观察到，第二列 的诸元素与第三列的相应元素恰好相差100 。
的元素全部化为零，然后依次将主对角线下的 第二列、第三列、……直到第n-1列元素化为零。
一般情况下，为了避免分数运算，应先将
主对角线元素变成1或-1。
例1.3.4 计算行列式
5 / 6 4 / 3 4 / 3 14 / 3 1 2 3/2 8
D4 3/ 2 4 1 10 2 / 5 4 / 5 1/ 2 12 / 5
解 用化上三角法。在计算中，分数运算总 是比较麻烦的，所以，如果行列式中含有分数 元素，利用性质5每行先提取公因子，然后进行 整数运算比较简便，即
5 8 8 28
D4
1 6
1 2
1 2
1 10
2 3
4 8
3 2
16 20
4 8 5 24
1 0 2 4
1 2 (2)
1
2
4
3
16
240 3 8 2 20
1.3 本章的主要解题方法
1.3.1 行列式的计算方法
1. 用行列式展开式法。计算三、四阶行列
式常用此方法。 例1.3.1 计算三阶行列式 2 3 4 51 3 12 6
解 用行列式展开式法。按第一行展开，
即
2 3 4 5 1 3 2 (1)11 1 3
26 12 6
3 (1)12 5 3 (4) (1)13 5 1
例1.3.6 计算三阶行列式
3 2 1 D 2 2 2
3
3 6 1
解 用造零降阶法。这是一个带有参数的三 阶行列式，一般容易考虑用行列式的展开式法， 但要分解为一次因式的乘积有时就比较麻烦。 在这种情况下，用造零降阶法去计算行列式比 较好，有
2 2 1
D 0 2 2 3 13 2 6 1
方法二 按列展开式法。 按第一列来展开，
即
0 0 a14
0 0 a14
D4 a41 (1)41 0 a23 a24 a41 0 a23 a24
a32 a33
a41
a32
(1)31
0 a23
a14a23a32a41
a34
a32 a33 a34
a14 a24
a41a32 (a23a14 )
可见，行列式按某一行或某一列来展开，只要
4 8 5 24
2 1 (2) 3 1 (3)
1 0 2 4
4 1 (4)
1
0
4
1
24
240 0 8 8 8
0 8 3 40
3 2 2
1 0 2 4
4 2 2
1
0
4
1
24
240 0 0 10 40
0 0 5 88
1 0 2 4
(3,4)
1
0
4
1
24
240 0 0 5 88
46 100 327 D 百度文库14 100 443
3 2 3 (1)
342 100 521
46 1 327 100 114 1 443
342 1 521
1 46 327
1001 114 443 (1, 2) 1 342 521
2 1 (1)
1 46 327
3 1 (1)
100 0 68 116
2 1
3 1 (1)
0 2 2
0 4
( 2)(1)11 2
4
( 2)2 ( 4)
2
( 2)(( 2) 8)
例1.3.7 计算四阶行列式
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1
D 4 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
0 388 194
68 116
100
按 1 展开
388 194
300 116
100
5820000
1 2 2
0 194
(2) 造零降阶法 用行列式性质使其行列式中的零元素增多, 然后按零元素较多的那一行或那一列来展开， 使其降阶，再反复利用这种方法，直至降到三 阶或二阶行列式，最后直接计算，这种方法称 为造零降阶法。
6 7 2 4
D5
8 按 1 展开
(1)11
0 6
0 2
09 3 1
6 7 2 8
6 7 2
按 2 展开
8 9 (1)24 6 2 3 0 6 7 2
上面最后一个三阶行列式的计算，当然可以用 行列式的展开式法来计算，但是，我们注意到 这个三阶行列式的第一行与第三行的元素相同， 由行列式的性质2可知，这个三阶行列式的值为 零，这是利用行列式的性质得到的结果。也是 一种行列式的重要计算法。
16
12
2(6 6) 3(30 3) 4(10 1)
0 81 36 117
例1.3.2 计算四阶行列式
0 0 0 a14
0 D4 0
0 a23 a24 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
对四阶及四阶以上的行列式，计算它的最
基本的方法也是用行列式展开式，即按某一行 或某一列来展开用该行或该列的所有元素与其 相应的代数余子式乘积之和。一般选择含零元 素较多的那一行或那一列。
解 方法一 按行展开式法。按第一行来展
开，即
0
D4 a14 (1)14 0
0 a23
0
a32 a33 a14 0
0 a23 a32 a33
a41 a42 a43
a41 a42 a43
a14
a23 (1)13
0 a41
a32 a42
a14a23 (a32a41)
a14a23a32a41