初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文

教师一班105012013066 邱燕华

初等函数及其连续性

【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。

关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理

【正文】：

一、初等函数

1、初等函数的定义

定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。

注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

2、初等函数的分类

如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数

[2]。（如下图示）

⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法

（1）根据定义判定

例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12

2sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢

⎥+⎣⎦

，②y

lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12

2sin (1)x e y g x ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义,

∴y=-2-cosx 不是初等函数。

③2lg ,1,1,

lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数

例2、判断下列函数是否为初等函数

①1,0sgnx 0,01,0x x x >=-<⎧⎪⎨⎪⎩=符号函数 ，②{1x D(x)=0x ，为有理数狄利克雷函数，为无理数 ， ③1,x p q R(x)=0x 0x [0,1]p p q q =∈+=⎧⎪⎨⎪⎩当时（,q N ,为既约真分数）黎曼函数，当时，是内的无理数

解：①②③均不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算或者复合得到的函数，所以，他们都不是初等函数。

通过例2的分析，我们发现这三个分段函数都是非初等函数。那么分段函数是不是都不是初等函数？如果不是，又要如何判别呢？下面就利用Yanzu 引理来判别一个分段函数是否为初等函数。

（2）应用 YanZu 引理判断分段函数是否为[]

2初等函数。

Ⅰ、YanZu 引理： 分段函数,0

0,0(),0x x x f x x x >==-<⎧⎨⎩

为初等函数，即将绝对值函数f(x)=|x|是初等函数。 引理证明：

,00,0

()||,0x x x f x x x x >====-<⎧⎨⎩ 可以看成

是2()f u u x ==的复合函数，

,0

0,0(),0x x x f x x x >=∴=-<⎧⎨⎩

是初等函数。 推论 1：

设 f(x)为初等函数, 则 |f(x)| 也为初等函数.

推论 2：

由基本初等函数、绝对值函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数都是初等函数。 Ⅱ、例题

例3、判断下列函数是否为初等函数 ①{1,1

()21,1x f x x x ≤=-> ，②{4,0()6,0x H x x -≥=<，③27,5()3,5227,2

x x g x x x x --<-=-≤≤-+>-⎧⎨⎩ 分析：如果根据定义判断，大多数人都会觉得这三个分段函数既不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算得到的函数，所以认为是非初等函数，其实不然, 运用绝对值的含义, 通过观察和不完全归纳法把分段函数化为一个由基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的解析表达式, 再应用 YanZu 引理推论 2进行判断

解：①{1,1

()21,1|1|,x f x x x x x x R ≤=->=+-∈ ，所以由Yanzu 引理可知，f(x)

是初等函数。

② {5||,04,0()6,04,0

x x x x x H x x x -≠-≥==<-=⎧⎪⎨⎪⎩ ，所以可知H(x)不是初等函数 ③27,5()3,5227,2|2||5|,x x g x x x x x x x R --<-=-≤≤-+>-=+-+∈⎧⎨⎩

()Y anzu g g x ∴是有两个绝对值函数经过减法得到的，由引理可知(x)是初等函数

综上所述, 判断函数是否为初等函数时,除了直接根据定义，若可通过变形化为含基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的一个表达式, 从而运用 YanZu 引理或推论, 也可以判断它是初等函数。

二、初等函数的连续性

1、初等函数连续性的定义

①点连续：设函数f(x)在0x 的某个邻域内有定义，如果0

lim ()x x f x →存在，且00lim ()()x x f x f x →=，则称函数f(x)在0x 连续。

②区间连续：若函数在所定义的区间上每一点连续，那么称这个函数在所定义的区间是连续的。根据点连续的定义，要使得函数在区间连续，则该区间必定是开区间，两端点的连续性考虑左端点有连续，右端点左连续。

2、初等函数连续性的判别方法

（1）根据函数连续的定义进行判断

例4、判断下列函数是否连续

①sin y x =

，②y =

解：

①,()sin sin sin lim 000

x R f x x x x x x ∀∈==→ 都有定义，且 ()sin R f x x ∴=在上连续

②y =

y sin 1u x ==-复合而成的，

又sin 1y u x =-都是

基本初等函数，所以由初等函数的定义可知，y =是初等函数，其定义域为

|2,0,1, 2...2D x x n n ππ⎧⎫==+=±±⎨⎬⎩⎭。0,||22x x ππδδ∃<<∀∈-< ，只有2x π=使