最新2019-梯度下降法-PPT课件
梯度下降
05
梯度下降算法在机器学 习中的应用
线性回归模型参数优化
01
02
03
04
初始化参数
为线性回归模型的参数设定初 始值。
计算梯度
根据损失函数计算参数的梯度 。
更新参数
沿着梯度的反方向更新参数， 以减小损失函数的值。
迭代优化
重复计算梯度和更新参数的过 程，直到达到预设的迭代次数
或损失函数收敛。
逻辑回归模型参数优化
小批量梯度下降法适用于大 多数机器学习问题，特别是 数据集较大且需要高效优化 模型的情况。同时，该方法 也适用于需要在线学习和实 时更新的场景。
03
梯度下降算法实现步骤
数据预处理与特征选择
01
02
03
数据清洗
去除或填充缺失值、处理 异常值、删除重复数据等 。
特征缩放
通过标准化或归一化等方 法，使不同特征具有相同 的尺度，提高梯度下降算 法的收敛速度。
引入动量因子，使得梯度下降过程具有一定 的惯性，有助于逃离局部最小值。
鞍点问题及其影响分析
鞍点问题
梯度下降算法在优化过程中可能会遇 到鞍点，即某些方向上是局部最小值 ，而其他方向上是局部最大值，导致 优化过程停滞不前。
影响分析
鞍点会使得梯度下降算法在优化过程 中陷入局部区域，难以继续搜索更优 的解，从而影响优化结果和算法收敛 速度。
初始化参数
为逻辑回归模型的参数设定初始值。
更新参数
使用梯度下降算法更新参数，以最小化对数 似然损失函数的值。
计算梯度
根据对数似然损失函数计算参数的梯度。
迭代优化与正则化
通过迭代优化算法不断调整参数，同时引入 正则化项以防止过拟合。
《梯度下降法》课件
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
总结词
计算量最小，收敛速度最快，适用于小数据集
详细描述
由于每次迭代只使用一个样本计算梯度，计算量最小，因 此随机梯度下降法的收敛速度最快。
详细描述
停止条件
迭代更新会一直进行直到满足某个停止条件，如达到预设的最大迭代次数、达到预设的精度要求或者梯度值足够 小等。
03
梯度下降法的分类
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
总结词
计算量大，收敛速度慢，适用于大数据集
详细描述
由于每次迭代都需要使用整个数据集，计算量大，导致收 敛速度较慢。
发展方向：
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结合其他优化算法： 研究如何将梯度下降法与其他优化 算法（如牛顿法、拟牛顿法等）结合，以提高搜索效率。
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自适应学习率： 研究如何设计自适应学习率策略，以更 好地处理不同阶段的优化问题。
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挑战：
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高维优化： 在高维参数空间中，梯度下降法可能会遇到 维度诅咒问题，需要研究有效的降维或正则化策略。
利用前一次的梯度方向来指导当前步的搜索方向 ，加速收敛并减少震荡。
公式表达
v = μ * v - lr * gradient
参数解释
v是动量，μ是动量系数，lr是学习率，gradient是 当前点的梯度。
Adagrad、RMSprop和Adam优化算法
Adagrad
针对不同参数自适应调整学习率，对稀疏数据有较好 的效果。
5月班第3课课件：梯度下降法与反向传播 (1)
损失函数可视化
第二个栗子
我们给两个方向W1和W2，那么我们可以确定一 个平面，我们再取不同值的a和b，计算 L(W+aW1+bW2)的值。
损失函数可视化
假定训练集里面有3个样本，都是1维的，同 时总共有3个类别。其SVM损失：
损失函数可视化
损失函数往往定义在非常高维的空间
比如CIFAR-10的例子里一个线性分类器的权重 矩阵W是10 x 3073维的，总共有30730个参数
曲线救国
我们可以把高维投射到一个向量/方向(1维)或者 一个面(2维)上，从而能直观地『观察』到一些 变化
损失函数可视化
举个栗子
我们找到一个方 向W1(维度要和W 一样)，
Sigmoid例子
Sigmoid神经网络的例子
Sigmoid神经网络的例子
Sigmoid神经网络的例子
Sigmoid神经网络的例子
74行代码实现手写数字识别
关于效率问题：
这个计算方法的复杂度，基本是和我们的参数 个数成线性关系的。
在CIFAR-10例子中，我们总共有30730个参数 这个问题在神经网络中更为严重，很可能两层
神经元之间就有百万级别的参数权重。 人也要等结果等到哭瞎…
计算梯度
解析法计算梯度：
速度非常快 但是容出错
反倒之前的数值法就显出优势。
梯度下降法与反向传播
主要内容
梯度下降法
1.损失函数可视化 2.最优化 3.梯度下降
反向传播
1.梯度与偏导 2.链式法则 3.直观理解 4.Sigmoid例子
预备知识
两个重要函数
得分函数 损失函数
核心目标
梯度下降法详解
梯度下降法详解在学习、⽣活、科研以及⼯程应⽤中，⼈们经常要求解⼀个问题的最优解，通常做法是对该问题进⾏数学建模，转换成⼀个⽬标函数，然后通过⼀定的算法寻求该函数的最⼩值，最终寻求到最⼩值时的输⼊参数就是问题的最优解。
⼀个简单的例⼦，就是求解y=x2的最优解，也就是求当y取得最⼩值时x的取值。
这个问题初中⽣都会解，谁都知道，直接对函数求导得到导数y=2x，令y=2x=0解得x=0，这就是最优解。
然⽽，很多实际问题的⽬标函数是很复杂的，很难求出其导数表达式，这种情况下如果还想通过求导数表达式并令其等于0来求最优解就很困难了。
不过虽然导数表达式求解困难，但某⼀确定点的近似导数值还是⽐较容易求出来的，所以⼈们通常利⽤某⼀确定点的近似导数值来逼近最优解。
梯度下降法就是这样的⼀种算法，在⼀步⼀步逼近的过程中，⽬标函数值呈下降趋势，输⼊参数的值也⼀步⼀步逼近最优解，其整个迭代逼近过程如下图所⽰：下⾯将从数学的⾓度解释其原理。
假设函数f具有n个输⼊参数：x1，x2，…，x n，第k次逼近的⽬标函数值可以表达如下：对第k+1次逼近的⽬标函数进⾏泰勒展开，并忽略余项，得到下式：其中▽f为梯度向量，也即在该点处所有输⼊参数的偏导数组成的向量，△x为从第k次到第k+1次逼近时输⼊参数的变化向量。
我们知道，多维函数的偏导数的定义为：所以可以取⼀个很⼩的△x i值（⽐如0.0001）来近似计算x i的偏导数：向量的点乘可以转换为向量模与向量夹⾓的相乘：于是有：由上式可知，当向量夹⾓cosθ=-1时向量的点乘结果最⼩，也即函数值下降最多，此时向量夹⾓为180度，说明梯度向量与输⼊参数的变化向量⽅向相反。
所以要使下⼀次逼近时⽬标函数值尽可能地相对于当前次降低，也就是使⽬标函数值下降最快，就应该沿着梯度（偏导数）的负⽅向寻找下⼀个逼近点。
即：上式中，α为沿梯度负⽅向前进的步长，α取值过⼩会使逼近最优解的速度很慢，从⽽迭代次数增加，反之如果取值过⼤，则容易跳过最优解。
几种常见的优化方法ppt课件
required for integration is usually trivial in comparison to
the time required for the force calculations.
Example of integrator for MD simulation
• One of the most popular and widely used integrators is
the Verlet leapfrog method: positions and velocities of
7
Continuous time molecular dynamics
1. By calculating the derivative of a macromolecular force
field, we can find the forces on each atom
as a function of its position.
11
Choosing the correct time step…
1. The choice of time step is crucial: too short and
phase space is sampled inefficiently, too long and the
energy will fluctuate wildly and the simulation may
– Rigid body dynamics
– Multiple time step algorithms
梯度下降法——精选推荐
梯度下降法
梯度下降法(gradient descent)或最速下降法(steepest descent)是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
假设f(x)是R n上具有⼀阶连续偏导数的函数，要求解的⽆约束最优化问题是
x*表⽰⽬标函数f(x)的极⼩点。
提梯度下降法是⼀种迭代算法。
选取适当的初值x(0)，不断迭代，更新x值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
由于f(x)具有⼀阶连续偏导数，若第k次迭代值为x(k)，则可将f(x)在x(k)附近进⾏⼀阶展泰勒开：
这⾥，为f(x)在x(k)的梯度。
求出第k+1次迭代值x(k+1)：
其中，p k是搜索⽅向，取负梯度⽅向，λk是步长，由⼀维搜索确定，即λk使得：
梯度下降算法如下：
输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数，计算精度ε；
输出：f(x)的极⼩点x*
（1）取初值x(0)∈R n ，置k=0
（2）计算f(x(k))
（3）计算梯度g k=g(x(k)),当||g k||<ε时，停⽌迭代，令x*=x k；否则，令p k=-g(x(k))，求λk，使
（4）置x(k+1)=x(k)+λk p k，计算f(x(k+1))
当||f(x(k+1))-f(x(k))||<ε或||x(k+1)-x(k)||<ε时，停⽌迭代，令x*=x(k+1)
（5）否则，置k=k+1,转（3）。
梯度下降公式
梯度下降公式梯度下降法公式，是在求解线性代数方程组时常用的一种简单有效的方法。
它的原理就像电路中电流随着电压而改变的规律一样。
这里，我们假设初始条件不变，方程组的所有系数矩阵都不相同。
我们把通过原点 O 的每一个矢量的梯度记作+ cosθ或-sinθ，并称之为加速度的正梯度（也可以写成δ）；相反地，我们则把通过每个不同的标准方向的正梯度记作- cosθ或- sinθ，并称之为减速度的负梯度（也可以写成δ）。
梯度下降公式有许多推广，例如广义梯度下降、广义梯度下降等。
在此只介绍前两者。
梯度下降法适合于研究一些未知量随某个已知量变化的情况。
当题目比较复杂时，需要考虑使用其他方法来处理问题。
梯度下降法的基本思想是：对某一微小扰动，给予足够大的正（或负）梯度，将会使被研究的变量的值增大，从而达到预期的结果。
因此，当某一研究对象受到外界影响时，往往采取增大正梯度的办法，以便收到良好的效果。
如果将该微小扰动的作用看做是无穷小的，那么正梯度就是它的加速度。
而且，梯度越大，则该物体运动得越快。
为了更形象地说明梯度方向与加速度的关系，我们举个例子来说明。
有一块金属片，其上刻画着几条曲线。
你拿一支铅笔放在金属片的边缘上移动，发现金属片会沿着铅笔走过的痕迹向左偏转，这表示铅笔的作用力大小为 A，方向是从左到右。
然后你又拿起另一支铅笔在金属片上移动，发现金属片仍然按照刚才的轨迹偏转，但是移动方向却和第一次相反，这表示铅笔的作用力大小为 B，方向是从右到左。
最后你再拿起第三支铅笔在金属片上移动，发现金属片还是按照刚才的轨迹偏转，但是移动方向却和第二次相反，这表示铅笔的作用力大小为 C，方向是从左到右。
这时候你很容易发现：这四支铅笔对金属片产生的作用力大小均为 A，但是由于方向的不同，造成了它们的加速度不同，因此它们对金属片产生的作用力大小也不同。
即 A+ A= A，而 A+ B= A， A+ C= A， A+ D= A。
根据梯度的定义， A 的方向应该向左， B 的方向应该向右， A+ B+ C+ D= A。
各种梯度下降法及其特点
各种梯度下降法及其特点原文链接文章目录•全量梯度下降/批梯度下降(BGD, Batch Gradient Descent)•o特点•随机梯度下降(SGD, Stochastic Gradient Descent)•o特点•小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)•o特点•Momentum梯度下降法(动量梯度下降)•o特点•Adagrad梯度下降法•o特点o Adadeltao特点•Adam•o特点全量梯度下降/批梯度下降(BGD, Batch Gradient Descent) 就是正常的梯度下降ω = ω −λ∂ J ∂ω \omega = \omega-\lambda\frac{\partial J}{\partial\omega} ω=ω−λ∂ω∂J特点•每次更新都会朝着正确的方向进行, 最后收敛于极值点, 凸函数收敛于全局极值点, 非凸函数可能会收敛于局部极值点•缺点: 学习时间长, 消耗内存大随机梯度下降(SGD, Stochastic Gradient Descent) SGD每一轮只用一条随机选取的数据特点优点•每一次的学习时间很快•如果目标函数有盆地区域, SGD会使优化的方向从当前局部极小值点跳到另一个更好的局部最小值点•最终收敛于一个较好的极值店甚至是全局极值点缺点•每次更新可能并不会按照正确的方向进行, 参数具有高方差, 从而导致损害函数剧烈波动小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)小批量梯度下降指的是从所有数据中选择一部分进行迭代特点优点•收敛速度比SGD更快, 更稳定•在最优解附近跳动不会太大, 容易得到更好的解Momentum梯度下降法(动量梯度下降)v = λ ∂ J ∂ω + v ∗ m o m e m t u m ω = ω− v m o m e m t u m 介于 0 和 1 之间 v = \lambda\frac{\partial J}{\partial\omega} +v * momemtum\\ \omega = \omega-v\\ momemtum介于0和1之间v=λ∂ω∂J+v∗momemtumω=ω−vmomemtum介于0和1之间特点•减少震荡, 大方向不变, 从而保证了效率和正确的收敛Adagrad梯度下降法d w = ∂ J ∂ω g r a d _ s q u a re d + = d w 2 ω = ω−λ ∗ dw g r a d _ s q u a r e d dw = \frac{\partial J}{\partial\omega}\\ grad\_squared += dw^2\\ \omega = \omega - \lambda * \frac{dw}{\sqrt{grad\_squared}} dw=∂ω∂Jgrad_squared+=dw2ω=ω−λ∗grad_squared dw特点•把每一维度的梯度的平方和记录下来,每次学习率都除以这个和•每一维度的学习率不一样,而且都在不断减小•在梯度大的维度,减小下降速度.在梯度小的维度, 加快下降速度•让学习率适应参数•无需手动调整学习率•缺点: 在训练过程中, 累加的和会持续增长, 这回导致学习率变小以至于最终变得无限小, 那么Adagrad将无法取得额外的信息Adadeltad w = ∂ J ∂ω g r a d _ s q u a re d = α∗ g r a d _ s q u a r e d + ( 1 −α ) ∗ d w 2 ω = ω−λ∗ d w g r a d _ s q u a r e d dw = \frac{\partial J}{\partial\omega}\\ grad\_squared = \alpha * grad\_squared + (1 - \alpha) * dw^2\\ \omega = \omega - \lambda * \frac{dw}{\sqrt{grad\_squared}} dw=∂ω∂Jgrad_squared=α∗grad_squared+(1−α)∗dw2ω=ω−λ∗grad_squared dw特点•在Adagrad的基础上进行扩展, 以处理Adagrad学习率单调递减的问题Adam特点d w = ∂ J ∂ω m o me n t 1 = β 1 ∗ m o m e n t 1 + ( 1 −β1 ) ∗ d w m o m e n t2 = β 2 ∗ m o m e n t 2 + ( 1 −β 2 ) ∗ d w2 b i a s 1 = m o m e n t 1 ÷ ( 1 −β 1 t ) b i a s 2 = m o m e n t 2 ÷ ( 1 −β 2 t ) w −= λ ∗ b i a s 1 ÷ b i s a 2 b i a s 为偏差 dw = \frac{\partial J}{\partial \omega}\\ moment_1 = \beta_1 *moment_1 + (1-\beta_1) * dw\\ moment_2 = \beta_2 * moment_2 + (1-\beta_2) * dw^2\\ bias_1 = moment_1 \div (1-\beta_1^t)\\ bias_2=moment_2 \div (1-\beta_2^t)\\ w -= \lambda * bias_1\div\sqrt{bisa_2}\\ bias为偏差dw=∂ω∂Jmoment1=β1∗moment1+(1−β1)∗dwmoment2=β2∗moment2+(1−β2)∗dw2bias1=mome nt1÷(1−β1t)bias2=moment2÷(1−β2t)w−=λ∗bias1÷bisa2bias为偏差•结合了Momentum和RMSprop的特点•自适应学习率b e t a 1 = 0.9 , b e t a 2 = 0.999 , λ =1 e − 3 或 5 e − 4 beta_1=0.9,beta_2=0.999, \lambda=1e-3或5e-4beta1=0.9,beta2=0.999,λ=1e−3或5e−4是许多模型的一个很好的起点本人博客:。
梯度下降法算法步骤
梯度下降法算法步骤
梯度下降法是机器学习中最常用的算法之一，用于优化模型参数。
其原理为通过求解模型参数的梯度，逐步更新参数，使损失函数的值
最小化，从而使模型更加准确。
梯度下降法的步骤如下：
1. 初始化参数：首先需要对模型参数进行初始化，可以随机初始
化或者使用已有的先验知识来初始化。
2. 计算损失函数：使用当前的模型参数进行模型训练，计算模型
的损失函数。
3. 计算梯度：计算当前模型参数的梯度，即对每个参数进行求偏
导数，得到参数的变化方向和大小。
4. 更新参数：根据计算得到的梯度和学习率，对每个参数进行更新。
学习率决定了每次更新的步长，过大会导致算法不稳定，过小会
导致算法收敛过慢。
5. 判断停止条件：重复上述步骤，直到损失函数的值收敛到一个
稳定值或者达到设定的迭代次数。
梯度下降法的优点是可以处理大规模的数据集，几乎适用于所有
类型的模型，具有比较高的效率。
但是也存在一些缺点，例如可能会
陷入局部最优解，需要进行多次运行以获取更好的结果。
总之，掌握梯度下降法的原理和步骤，可以帮助我们更好地理解和优化模型，提升机器学习的效果。
同时需要注意选择合适的学习率和停止条件，以便更快地收敛和避免过拟合。
梯度下降法中梯度的概念和下降的准则
梯度下降法中梯度的概念和下降的准则梯度下降法是一种常用于优化问题的迭代算法，通过迭代的方式逐渐减小目标函数的值，从而找到使目标函数最小化的参数值。
在梯度下降法中，梯度是一个向量，表示目标函数在一些点处的变化速率和方向。
下降的准则是通过梯度来确定迭代的方向和步长。
梯度的概念：梯度是一个向量，其分量是目标函数对各个参数的偏导数。
假设目标函数为f(x)（其中x是一个n维向量），梯度表示为∇f(x)，是一个n维向量。
其中，第i个分量表示目标函数对第i个参数的偏导数，即∂f(x)/∂xi。
梯度的方向是参数变化最速的方向，梯度的大小表示了参数变化的速度。
在梯度下降法中，通过不断沿着负梯度的方向移动，可以逐渐减小目标函数的值。
具体来说，下降的准则可以分为两个方面：方向和步长。
1.方向：根据梯度的定义，梯度的方向是目标函数在特定点的变化最快的方向。
因此，在梯度下降法中，迭代的方向应该是梯度的负方向，即-w·∇f(x)，其中w是一个正数。
这样选择的方向可以确保迭代过程中目标函数值的减小。
2.步长：步长决定了每次迭代中参数的变化量。
步长太大可能导致在极小值点附近发散，步长太小可能导致收敛速度过慢。
因此，在梯度下降法中，需要选择一个合适的步长，使得迭代可以快速收敛，并且不会发散。
一种常用的选择步长的方法是使用线技术，即在选择下降方向后，通过找到最优的步长。
常用的线方法包括固定步长、精确线和非精确线等。
总结：梯度下降法通过迭代不断地沿着梯度的负方向移动，并根据一定的准则来更新参数，以逐渐减小目标函数的值。
梯度表示了目标函数在其中一点的变化速率和方向，通过迭代梯度下降法可以找到目标函数的极小值点。
下降的准则包括选择梯度的负方向作为下降的方向，以及选择合适的步长来确保迭代的有效性和收敛性。
第二讲最速下降法30页PPT
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
[转]优化算法-梯度下降法（导数、方向导数and梯度）
![[转]优化算法-梯度下降法（导数、方向导数and梯度）](https://img.taocdn.com/s3/m/1b9131fd112de2bd960590c69ec3d5bbfd0adae4.png)
[转]优化算法-梯度下降法（导数、⽅向导数and 梯度）梯度下降（导数、⽅向导数 and 梯度引⼊在机器学习与深度学习中，对损失函数最⼩化时经常使⽤的算法就是梯度下降。
当然还有很多优化算法，本⽂先对梯度下降与反向传播进⾏介绍。
斜率、导数 and 梯度在介绍梯度下降之前，⾸先来明确梯度的概念，以及它与斜率、导数之间的区别。
1. 斜率、导数斜率我们从⼩学就开始接触，对于⼀元⽅程 y =kx +b 来讲，斜率就是⽅程图像与 x 轴夹⾓的正切值，也等于导数值，且各点导数值相等。
k =tan θ=x1−x2y 1−y2=△x △y导数是微积分中的重要基础概念，它体现了函数图像在各点变化的快慢程度，也就是在各点切线的斜率（实际上是在某点附近的斜率近似）。
f ′(x)=△x →0lim △xf(x+△x)−f(x)=△x →0lim △x △y斜率与导数都是有⽅向的，当⼤于 0 时，表⽰函数值沿 x 轴正⽅向是增加的；当⼤于 0 时，表⽰函数值沿 x 轴正⽅向是减⼩的。
2. 偏导数偏导数与导数的本质是⼀致的，都是当⾃变量的变化量趋于 0 时，函数值的变化量与⾃变量变化量⽐值的极限。
直观地说，偏导数也就是函数在某⼀点上沿 对应坐标轴正⽅向 的的变化率。
区别在于导数⾯向的是⼀元函数，偏导数⾯向的是多元函数。
假设有函数 f(x1,x2)，则其对于 x1,x2 偏导数为：∂x1∂f (x1,x2)=△x →0lim △xf(x1+△x ，x2)∂xx ∂f (x1,x2)=△x →0lim △xf(x1，x2+△x)3. ⽅向导数偏导数是关于各坐标轴的导数，⽽对于多元函数上的⼀个点来讲，它可以有⽆数个偏导数，并不是只有沿着坐标轴的有限个⽅向。
就像⼀个⼈站在⼀个球场的中⼼，除了沿着球场的宽与长的两个⽅向可以⾛以外，周⾝ 360° 都是可以⾯冲的⽅向，那么对于这⽆数个⽅向来讲的导数，就称为⽅向导数。
（中间红⾊点为出发点，蓝⾊为各种可以选择的⽅向。
算法学习--梯度下降
算法学习--梯度下降本⽂为⾃⼰在查看⼀些书和⽹上的链接后整理所得，⾮商业性质。
感谢各位前辈的⽆私分享，若有侵权，请在⽂章后留⾔，会尽快删除。
参考链接原⽂中有详细的介绍，此⽂中⼤多数内容摘录⾃参考链接，但主要⽬的是作为⾃⼰回顾梯度下降知识的笔记，关注的为思路并⾮具体实现。
梯度下降法的基本思想可以类⽐为⼀个⾛向⼭⾕的过程。
假设这样⼀个场景：⼀个⼈被困在⼭上，需要从⼭上下来(i.e. 找到⼭的最低点，也就是⼭⾕)。
但此时⼭上的浓雾很⼤，导致可视度很低。
因此，下⼭的路径就⽆法确定，他必须利⽤⾃⼰周围的信息去找到下⼭的路径。
这个时候，他就可以利⽤梯度下降算法来帮助⾃⼰下⼭。
具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地⽅，然后朝着⼭的⾼度下降的地⽅⾛，同理，如果我们的⽬标是上⼭，也就是爬到⼭顶，那么此时应该是朝着最陡峭的⽅向往上⾛。
然后每⾛⼀段距离，都反复采⽤同⼀个⽅法，最后就能成功的抵达⼭⾕。
假设这座⼭最陡峭的地⽅是⽆法通过⾁眼⽴马观察出来的，⽽是需要⼀个复杂的⼯具来测量，同时，这个⼈此时正好拥有测量出最陡峭⽅向的能⼒。
所以，此⼈每⾛⼀段距离，都需要⼀段时间来测量所在位置最陡峭的⽅向，这是⽐较耗时的。
那么为了在太阳下⼭之前到达⼭底，就要尽可能的减少测量⽅向的次数。
这是⼀个两难的选择，如果测量的频繁（每次⾛的步长较⼩），可以保证下⼭的⽅向是绝对正确的，但⼜⾮常耗时，如果测量的过少（每次⾛的步长较⼤），⼜有偏离轨道（⾛过了最低点）的风险。
所以需要找到⼀个合适的测量⽅向的频率（合适的步长），来确保下⼭的⽅向不错误，同时⼜不⾄于耗时太多！⾸先，我们有⼀个可微分的函数。
这个函数就代表着⼀座⼭。
我们的⽬标就是找到这个函数的最⼩值，也就是⼭⾕。
根据之前的场景假设，最快的下⼭的⽅式就是找到当前位置最陡峭的⽅向，然后沿着此⽅向向下⾛，对应到函数中，就是找到给定点的梯度，然后朝着梯度相反的⽅向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的⽅向就是函数之变化最快的⽅向(在后⾯会详细解释)。
梯度向下算法
梯度向下算法
梯度向下算法（gradient descent algorithm）是一种优化算法，
用于最小化一个目标函数（即损失函数）的值。
该算法基于迭代的方式进行优化，每一次迭代都会计算目标函数在当前参数值处的梯度（即导数），然后根据梯度的方向来更新参数值，以使目标函数的值减小。
具体而言，对于目标函数f(x)和参数向量θ，梯度向下算法的
更新规则为：
θ_new = θ - α * ∇f(θ)
其中，α是学习率（learning rate），用于控制每次更新的步长。
学习率的选择通常需要经验性的调整，过大的学习率可能导致无法收敛，而过小的学习率可能导致收敛速度过慢。
梯度向下算法的优势在于可以应用于各种类型的优化问题，尤其适用于可微分函数（即目标函数可以计算梯度）。
然而，梯度向下算法也存在一些局限性，例如可能会陷入局部最优解，对于非凸函数可能无法得到全局最优解，以及在有大量特征的高维数据上计算梯度可能很耗时等。
为了克服这些问题，通常可以采用一些改进的梯度下降算法，如随机梯度下降（SGD）、批量梯度下降（BGD）、Mini-
batch梯度下降等。
这些改进算法可以通过引入随机性或者利用部分样本进行快速计算来提高算法的效率和性能。
数学优化中的梯度下降算法
数学优化中的梯度下降算法随着现代科学技术的不断发展，数学在各个领域中的应用越来越广泛。
其中，数学优化算法是一类十分高效的算法，它在人工智能、机器学习、数据挖掘、图像处理等领域中都有着广泛的应用。
在数学优化算法中，梯度下降算法是一种基本而有效的算法。
本文将介绍梯度下降算法的基本原理、常见形式以及应用实例，以便读者更好地了解该算法。
一、梯度下降算法的基本原理梯度下降算法的主要思想是利用目标函数的梯度信息，向着梯度下降的方向不断更新优化变量的值，直到达到函数的最小值。
梯度下降算法的优化过程可以被描述为以下三个步骤：1.计算目标函数的梯度目标函数的梯度描述了函数在每个点的变化方向，通过计算目标函数在当前优化变量取值点的梯度，可以得到向着函数最小值的方向。
2.更新优化变量的值梯度下降算法通过不断更新优化变量的值，使得目标函数逐渐趋近于最小值。
这个过程通常被称为迭代。
3.检查是否达到最小值在每次迭代之后，都需要检查目标函数是否已经达到最小值。
如果达到最小值，则停止迭代；否则，继续进行迭代。
二、梯度下降算法的常见形式在梯度下降算法中，常见的形式有批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降三种。
1.批量梯度下降批量梯度下降算法是指在每次迭代中，使用所有训练样本的梯度信息来更新优化变量的值。
这种算法的优点是总体收敛速度较快，但缺点是需要花费大量的计算时间和内存资源。
2.随机梯度下降随机梯度下降算法是指在每次迭代中，只使用一个随机训练样本的梯度信息来更新优化变量的值。
这种算法的优点是计算速度快，但缺点是由于梯度只使用了一个样本的信息，可能会对优化结果产生某种程度的噪声，导致收敛速度变慢。
3.小批量梯度下降小批量梯度下降算法是指在每次迭代中，使用一个小的训练样本集合的梯度信息来更新优化变量的值。
这种算法综合了批量梯度下降和随机梯度下降的优点，在计算速度和收敛速度之间取得了平衡，因此是最常用的优化算法之一。
三、梯度下降算法的应用实例梯度下降算法在各种机器学习和数据挖掘任务中都有着广泛的应用。
梯度下降算法原理
梯度下降算法原理梯度下降算法是一种用于求解优化问题的常用方法，它的原理是通过迭代的方式寻找函数的最小值点。
该算法的核心思想是根据函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长，从而逐步接近最优解。
在深度学习和机器学习中，梯度下降算法被广泛应用于参数优化的过程中。
在模型训练过程中，我们需要不断调整模型的参数，以使模型的预测结果与真实值尽可能接近。
梯度下降算法通过最小化损失函数来达到这一目的。
我们需要定义一个损失函数，用于衡量模型预测值与真实值之间的差距。
常见的损失函数包括均方误差、交叉熵等。
接下来，我们需要计算损失函数对模型参数的梯度，即损失函数对每个参数的偏导数。
这个过程可以使用反向传播算法来实现。
梯度下降算法分为批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）三种形式。
在批量梯度下降中，每次迭代时使用全体样本计算梯度，然后更新模型参数。
这种方法的优点是收敛速度相对较快，但计算量较大，尤其在大规模数据集上容易造成计算资源的浪费。
随机梯度下降是每次迭代时只使用一个样本来计算梯度，并更新模型参数。
这种方法的优点是计算速度快，但由于每次迭代的方向和步长都是根据单个样本计算得到的，所以存在较大的不稳定性。
小批量梯度下降是介于批量梯度下降和随机梯度下降之间的一种方法。
每次迭代时，使用一小批样本来计算梯度，并更新模型参数。
这种方法既兼顾了计算效率，又减少了随机梯度下降的不稳定性。
梯度下降算法的关键步骤如下：1. 初始化模型参数，包括权重和偏置项；2. 计算损失函数对模型参数的梯度；3. 根据梯度信息更新模型参数；4. 重复步骤2和步骤3，直到达到停止条件（如达到最大迭代次数或损失函数收敛）。
梯度下降算法的优化技巧：1. 学习率调整：学习率决定了每次迭代更新参数的步长，过小的学习率可能导致收敛速度过慢，而过大的学习率可能导致无法收敛。
梯度下降法的步骤
梯度下降法的步骤1. 简介梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的优化算法，用于寻找函数的最小值或最大值。
在机器学习领域中，梯度下降法被广泛应用于训练模型、参数优化等任务中。
2. 原理梯度下降法的原理基于函数的导数。
对于一个函数，其导数表示了函数在某点的变化率，即函数在该点上升或下降的快慢。
梯度下降法利用函数导数的信息来更新参数，使得函数的值不断接近最小值或最大值。
3. 步骤梯度下降法一般分为批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）和随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）两种形式。
下面将分别介绍它们的步骤。
3.1 批量梯度下降法1.初始化参数：选择一组初始参数值作为起点。
2.计算损失函数的梯度：计算当前参数下损失函数的梯度。
3.更新参数：根据梯度的方向和学习率，更新参数的值。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件。
3.2 随机梯度下降法1.初始化参数：选择一组初始参数值作为起点。
2.随机选择样本：从训练数据中随机选择一个样本。
3.计算损失函数的梯度：计算当前参数在该样本上的损失函数的梯度。
4.更新参数：根据梯度的方向和学习率，更新参数的值。
5.重复步骤2到步骤4，直到满足停止条件。
4. 优化技巧在实际应用中，为了提高梯度下降法的效率和收敛速度，常常采用以下优化技巧。
4.1 学习率的选择学习率决定了参数在每次更新中的移动步长。
选择过大的学习率可能导致参数在最小值附近震荡或无法收敛；选择过小的学习率可能导致收敛速度过慢。
通常可使用学习率调度策略或自适应学习率方法来动态调整学习率的值。
4.2 批量大小的选择批量大小是指每次参数更新时使用的样本数量。
一般而言，较大的批量大小可以提高参数更新的稳定性，但也会增加计算量；较小的批量大小则可以提高模型的泛化能力。
根据任务的特点和计算资源的限制，选取适当的批量大小。
4.3 特征缩放特征缩放可以使不同特征具有相同的尺度，避免某些特征对参数更新的影响过大。
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