高考考前小题冲刺训练(理科数学)二
2023届高三冲刺卷(二)全国卷-理科数学试卷(word版)
2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数满足，则（）A．2B．C．4D．(★★★) 3. 塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方如图中，表示塔身，塔身的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线的夹角为倾斜角，塔顶到铅垂线的距离为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为，，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为（）A．1.2米B．0.6米C．1米D．0.8米(★★) 4. 等差数列中，首项和公差都是正数，且，，成等差数列，则数列，，的公差为（）A．lg B．C．D．(★★) 5. 甲､乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理？（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（）A．存在平面，有，B．存在平面，有，C．存在直线，有，D．存在直线，有，(★★★) 7. 的展开式中的系数是（）A．9B．-9C．10D．-10(★★) 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，以，为直径的圆依次交双曲线于A，B，C，D四点，直线交双曲线于点C，E，且，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．(★★★) 9. 已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的最小值为（）A．2B．12C．4D．8(★★★) 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（）A．12B．13C．15D．16(★★★★) 11. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（）A．B．C．D．(★★★★★) 12. 若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a二、填空题(★★) 13. 已知向量，，与共线，则 ___________ .(★★★) 14. 已知函数，则函数的最小值为 ___________ .(★★) 15. 小明准备在阳台种植玫瑰､百合､牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并且每种花至少种1盆，则玫瑰花恰好种3盆的概率是 ___________ .(★★★★) 16. 已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 ___________ .三、解答题(★★★) 17. 已知是斜三角形，角A，B，C满足.(1)求证：；(2)若角A，B，C的对边分别是边a，b，c，求的最小值，并求此时的各个内角的大小.(★★★) 18. 下面两个图分别是2016年-2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单位：万元）的散点图.2.8232.560.46 5.27附：线性回归模型中，，.(1)由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量关于人均可支配收入的关系，请建立关于的回归方程；(2)如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.（附：，，，，，，，.）(★★★) 19. 四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.(1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明；(2)求二面角A- EB- C的余弦值.(★★★★) 20. 已知函数，，其中.(1)分别求函数和的极值；(2)讨论函数的零点个数.(★★★★) 21. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足.(1)证明：点在椭圆上；(2)若直线与椭圆有两个不同的交点P､Q，O是坐标原点，求面积的最大值. (★★★) 22. 在直角坐标系xOy中，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程；(2)设直线交曲线于两点A，B，求的大小.(★★★) 23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为m，且a+ b+ c= m，求的最小值.。
2022-2023年高考《数学(理科)》考前冲刺卷②(答案解析1)
2022-2023年高考《数学（理科）》考前冲刺卷②（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第I卷一.综合考点题库(共70题)1.正确答案：本题解析：暂无解析2.已知集合 A＝{x∈N|2x﹣7≤0}， B＝{x|x 2 ﹣ 2x﹣3≤0}，则A∩ B＝（）A.{x|0＜x≤3}B.{0， 1， 2， 3}C.{x| − 1 ≤ x ≤7/2 }D.{1， 2， 3}正确答案：B本题解析：3.A.60mB.90mC.108mD.120m 正确答案：A本题解析：4.在直角坐标xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程;2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程正确答案：本题解析：暂无解析5.甲乙丙三人参加 2022 年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记 X 为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）A.E（X）＝E（Y）， D（X）＝D（Y）B.E（X）＝E（Y）， D（X）≠D（Y）C.E（X）≠E（Y）， D（X）≠D（Y）D.E（X）≠E（Y）， D（X）＝D（Y）正确答案：D本题解析：6.为了防控疫情，某市进行核酸检测，经统计，该市在某一周内核酸检测的人数(单位：万人)如图所示：A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：7.A.10B.11C.12D.13正确答案：C 本题解析：8. A. B.C.D.正确答案：A、C 9.正确答案：本题解析：暂无解析10.A.AB.BC.CD.D正确答案：D本题解析：11.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分（由对角线 OB 及函数 y＝x3 围成）的概率为正确答案：1/412.A.-1B.1C.-2D.2正确答案：A 本题解析：13.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：15.在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AB， AD = √3AB，则二面角 P﹣ CD﹣ B 的大小为（）14.已知O为△ABC的外心，∠B=B.45°C.60°D.30°正确答案：D本题解析：16.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）B.18 种C.24 种D.64 种正确答案：C 本题解析：17.B.BC.CD.D正确答案：C本题解析：18.“牟合方盖” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：19.A.y=4x-4B.y=5x-5C.y=6x-6D.y=7x-7正确答案：B本题解析：20.随机变量 X的分布列为则 P（|X|＝1）等于（）A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：21.A.AB.BC.CD.D正确答案：D本题解析：22.A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n正确答案：B 本题解析：23.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取Ⅰ个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8"'，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立正确答案：B本题解析：设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D)．则24.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：B本题解析：25.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60B.120C.240D.480正确答案：C 本题解析：26.A.①②B.②③C.①③D.②④正确答案：D本题解析：27. 抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于点P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与相切(1)求C,⊙M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由. 正确答案：(1)C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1;(2)相切本题解析：28.A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：29.已知椭圆M：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)双曲线N：x2/m2-y2/n2=1,若双曲线N的两条斩近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为--个正六边形的顶点则椭圆M的焦距与长轴长的比值为____正确答案：√3-1本题解析：30.已知全集为 U，集合 A， B 为 U的子集，若（∁U A）∩ B＝∅，则A∩ B＝（）A.CUBB.CUAC.BD.A正确答案：C本题解析：31.某校为了解学生体能素质，随机抽取了 50 名学生，进行体能测试，并将这 50 名学生成结整理得如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图．下列结论中不正确的是A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：32.A.恒为正值B.恒为负值C.单调递增D.单调递减正确答案：A 本题解析：33.A.AB.BC.CD.D 正确答案：A本题解析：34.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。
2022-2023年高考《数学(理科)》考前冲刺卷②(答案解析9)
2022-2023年高考《数学（理科）》考前冲刺卷②（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第I卷一.综合考点题库(共70题)1.已知 f （x）＝ax+a+cosx（a∈R），则在曲线 y＝f （x）上一点（0， 2）处的切线方程为（）A.x﹣ y+2＝0B.x+y﹣ 2＝0C.2x﹣ y+2＝0D.2x+y﹣ 2＝0正确答案：A本题解析：2.已知集合A={a,b,c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为A.1B.2C.3D.4正确答案：D本题解析：3. 抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于点P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与相切(1)求C,⊙M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.正确答案：(1)C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1;(2)相切本题解析：5.设函数 f（x）＝﹣ x 2 +ax+b，若不等式 f（x）＞0 的解集为（﹣ 1， 3）．4.A.AB.BC.CD.D正确答案：D本题解析：正确答案：本题解析：暂无解析6.已知a>0且a≠1,函数f(x)=x²/2,(x>0)(1)当a=2时,求f(x)单调区间(2)要使y=f(x)与y=1有有且仅有两个交点,求a取值范围正确答案：本题解析：暂无解析7.A.0B.2C.2021D.2022正确答案：B 本题解析：8.A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项正确答案：B本题解析：9.已知 R 是实数集，集合 A＝{x∈Z||x|＜3}， B＝{x|2x 2 ﹣ x﹣ 3＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A.{﹣ 1， 0}B.{﹣ 1， 0， 1}C.{0， 1， 2}D.{﹣ 1， 0， 1， 2}正确答案：B本题解析：10.如图，三棱锥 S﹣ ABC 中，底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形， BC＝2，SA= √6．（1）若 P 点是线段 SA 的中点，求证：SA⊥平面 PBC；正确答案：本题解析：暂无解析11.北京 2022 年冬奥会即将开幕，北京某大学 5 名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，每个场馆至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.90 种B.125 种C.150 种D.243 种正确答案：C本题解析：12.阿基米德多面体(Archimedean polyhedra)是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体.它共有13种，其特点是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为_正确答案：4/23本题解析：13.已知集合 A＝{x∈Z|﹣ 3＜x＜5}， B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩ B 的元素个数为（）A.6B.5C.4D.3正确答案：C 本题解析：14.正确答案：本题解析：暂无解析15.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：B本题解析：16.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为21， 30， 50， 53；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为31， 38， 46， 52， 57，65.则从这10名员工中随机抽取2名，他们1分钟内踢毽子的数目大于50的概率是( )A.AB.BC.CD.D正确答案：B18.本题解析：17.已知集合 A＝{﹣ 1， 0， 1， 2}， B＝{x|x 2 ＜4}，则A∩ B＝（）A.{﹣ 1， 0， 1}B.{0， 1}C.{﹣ 1， 1， 2}D.{1， 2}正确答案：A本题解析：正确答案：本题解析：暂无解析19.A.2B.6C.10D.14正确答案：A本题解析：20.9、现有m(m≥2)行数表如下:第一行:2m-1,2m-2,2m-3,2m-4.......21，20第二行: 2m-2,2m-3,2m-4.......21，20第三行: 2m-3,2m-4.......21，20第m-1行:21，20第m行: 20按照上述方式从第一行写到第 m行(写下的第n个数记作an )得到有穷数列{an}，其前n 项和为Sn，若S2018 存在，则S2018的最小值为正确答案：21.对于函数 f（x）＝x2﹣ ax﹣ lnx（a∈R），下列说法正确的是（）A.函数 f（x）有极小值，无极大值B.函数 f（x）有极大值，无极小值C.函数 f（x）既有极大值又有极小值D.函数 f（x）既无极大值又无极小值正确答案：A本题解析：22.若复数z满足|z- 1 +√3i|=3，则|z|的最大值为()A.1B.2C.5D.6正确答案：C本题解析：23.某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 4 的正方体的六个面所截后中间剩余部分（球心与正方体中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（）A.20πB.16πC.12πD.8π正确答案：A 本题解析：24.A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：25.如图，在三棱锥 D﹣ ABC 中， G 是△ABC 的重心， E， F 分别在 BC， CD 上，且BE=1/2EC，DF=1/2FC（1）证明：平面GEF∥平面 ABD；（2）若CD⊥平面 ABC，AB⊥BC， AC＝CD＝2， BC＝1， P 是线段 EF上一点，当线段GP 长度取最小值时，求二面角 P﹣ AD﹣ C 的余弦值．正确答案：本题解析：暂无解析26.已知等差数列{a n }的公差为 1， S n 为其前 n 项和，若 S 3 ＝a 6 ，则 a 2 ＝（）A.﹣ 1B.1C.﹣ 2D.2正确答案：D本题解析：27.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A.12 种B.18 种C.24 种D.64 种正确答案：C本题解析：28.若对任意A.a＞0B.a≥0C.a＞-1D.a≥-1正确答案：B本题解析：29.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60B.120C.240D.480 正确答案：C 本题解析：30.A.B.C.D.正确答案：A、C 本题解析：31.已的函数 f（x）＝2|x|﹣ |x﹣ 3|．（1）求函数 f（x）的最小值；（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若实数 a， b， c 满足 a+b+c＝m，证明：正确答案：本题解析：暂无解析32.已知函数 f（x）＝|x+1|﹣ |x﹣ 2|．（1）求不等式 f（x） +x＞0 的解集；（2）设函数 f（x）的图象与直线 y＝k（x+2）﹣ 4 有 3 个交点，求 k 的取值范围正确答案：本题解析：暂无解析33.已知函数 f（x）＝x 3 +ax 2 +bx+2 在 x＝1 处取得极小值 0，若∀x 1 ∈[m， n]，∃x 2 ∈[m，n]，使得 f（x 1 ）＝f（x 2 ），且x 1 ≠x 2 ，则 n﹣ m 的最大值为（）A.2B.3C.4D.6正确答案：C 本题解析：34.A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2 正确答案：A本题解析：35.记△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）正确答案：本题解析：36.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°正确答案：A、B、D本题解析：37.己知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴,且过正确答案：本题解析：38.A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：39.已知函数 f（x）＝|x﹣ 4|+|x+3|．（1）求不等式 f（x）≥12 的解集；正确答案：本题解析：暂无解析40.A.AB.BC.CD.D本题解析：41.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：42.A.2B.3C.4D.5本题解析：43.正确答案：本题解析：暂无解析44.已知数列{an}的首项a1=a，其前n和为Sn，且满足正确答案：本题解析：暂无解析45.如图，正四棱锥 P﹣ ABCD 的每个顶点都在球 M的球面上，侧面 PAB 是等边三角形．若半球 O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球 O 的体积与球 M的体积的比值为正确答案：√3/18本题解析：46.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点（1）求证：MN∥BCC1B1（2）(I)再从条件①、条件②这两个条件中选择-一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值。
2023届高三冲刺卷(二)全国卷-理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 定义在上的奇函数关于点对称，则（ ）A．B．C．D．3. 已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥有一个内切球，则球的体积为（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．6. 若函数，则下列结论正确的是A ．，在上是增函数B ．，在上是减函数C ．，是偶函数D ．，是奇函数7. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．B．C．D．8. 若，则的一个可能值为（ ）A．B．C．D．9. 设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10.已知抛物线的焦点为点F ，准线与对称轴的交点为K ，斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB的中点为，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则点M 到准线的最小距离是3B ．当直线l过点时，C ．当时，直线FM的斜率最小值是D ．当直线l 过点K ，且AF 平分∠BFK时，2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题(2)2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题(2)三、填空题四、解答题11.设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）A．是的最小值点B．是的极大值点C ．是的极大值点D ．是的极大值点12. 下列命题中正确的是（ ）．A ．已知随机变量，则B．已知随机变量，且，则C ．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D ．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.513. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案用数字作答14. 已知，则=______．15. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为___________.16. 数列．（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求和，并证明：．17. 随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为了提高检测效率，决定将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N 人，决定n 人为一组进行混检，(1)若，每人被病毒感染的概率均为，记检测的总管数为X ，求X 的分布列：(2)若.每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z ，求Z 的期望.18.某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点，且，线段、、为表演队列所在位置（分别在线段、上），点为领队位置，且到、的距离均为12，记，当面积最小时观赏效果最好.（1）当为何值时，为队列的中点？（2）怎样安排的位置才能使观赏效果最好？求出此时的值19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围.20. 已知等差数列的前项和为，且.(1)求；(2)设数列满足，求数列的前项和.21. 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，，G为PC中点，E，F分别为AB，PB上一点，，.(1)求证：EF平面BDG；(2)求三棱锥的体积.。
2024年高考数学冲刺真题整理题型二及答案
冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷02（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2023全国甲卷数学（理））若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．22.（2023新课标全国Ⅱ卷）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）．A ．2B ．1C ．23D ．1-3.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-4.（2023新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种5.（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a ln x -=++为偶函数，则(a = )A ．1-B ．0C ．12D ．16.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-7．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( )A ．b e a<B ．a e b<C ．0ba e <<D ．0ab e <<8.（2023全国乙卷数学（文）(理)）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
高考数学考前冲刺卷(二)
考前冲刺卷(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax2+x+a,命题p:∃x0∈R,f(x0)=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是( C )(A)[-,](B)(-,)(C)(-∞,-)∪(,+∞)(D)(-∞,-]∪[,+∞)解析:因为p为假命题,所以￢p为真命题,即不存在x0∈R,使f(x0)=0, 故Δ=1-4a2<0,解得a>或a<-,故选C.2.欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当θ=π时,就有e iπ+1=0.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( C )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由题意,=cos(-)+isin(-)=cos -isin =--i,则表示的复数在复平面对应的点为(-,-),位于第三象限,故选C.3.已知θ∈(,),则2cos θ+等于( A )(A)sin θ+cos θ(B)sin θ-cos θ(C)cos θ-sin θ(D)3cos θ-sin θ解析:因为θ∈(,),所以2cos θ+=2cos θ+ =2cos θ+=2cos θ+sin θ-cos θ=sin θ+cos θ.故选A.4.若(x+2)(-x)5展开式的常数项等于-80,则a等于( A )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4解析:(-x)5的展开式的通项为T k+1=()5-k·(-x)k=(-1)k a5-k·x2k-5, 当2k-5=-1,即k=2时,T3=a3·x-1,当2k-5=0,即k=不成立,则多项式的常数项为x·a3·x-1=10a3=-80,得a3=-8,得a=-2,故选A.5.已知抛物线C1:y=x2的焦点F也是椭圆C2:+=1(m>0,n>0)的焦点,记C1与C2在第一象限内的交点为A,且|AF|=,则椭圆离心率为( A )(A)(B)(C)(D)3解析:因为抛物线C1:y=x2的焦点坐标为(0,1),可得n-m=1,因为抛物线C1的准线方程是y=-1,且A是抛物线与椭圆在第一象限内的交点,由|AF|=及|AF|=y A+1可知y A=,x A=,故A(,),代入椭圆方程可知+=1,解得m=3,n=4.所以椭圆的离心率为e===.故选A.6.已知数列{a n}是公比不为1的等比数列,S n为其前n项和,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,则S3等于( C )(A)5 (B)6 (C)7 (D)9解析:数列{a n}是公比q不为1的等比数列,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,可得a1q=2,18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2,a1=1,则S3==7.故选C.7.下列函数既是奇函数,又在[-1,1]上单调递增的是( C )(A)f(x)=|sin x|(B)f(x)=ln(C)f(x)=(e x-e-x)(D)f(x)=ln(-x)解析:对于A,由于函数f(x)=|sin x|为偶函数,不符合题意;对于B,f(x)=ln 的定义域为(-e,e),且f(-x)=ln =-ln =-f(x)为奇函数,设t==-1+,在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=ln 在(-e,e)上为减函数,不符合题意;对于C,由f(x)=(e x-e-x)得f(-x)=-(e x-e-x)=-f(x)为奇函数,且f′(x)=(e x+e-x)>0,则f(x)=(e x-e-x)在R上为增函数,符合题意;对于D,f(x)=ln(-x)的定义域为R,f(-x)=ln(+x)=ln()=-ln(-x)=-f(x)为奇函数,设t=-x=,在R上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=ln(-x)在R上为减函数,不符合题意;故选C.8.已知坐标平面xOy中,点F1,F2分别为双曲线C:--y2=1(a>0)的左、右焦点,点M在双曲线C的左支上,MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D,且D为MF2的中点,点I为△OMF2的外心,若O、I、D三点共线,则双曲线C的离心率为( C )(A) (B)3 (C) (D)5解析:设点M在第二象限,设M(m,n),F2(c,0),由D为MF2的中点,O,I,D三点共线知,直线OD垂直平分MF2,则直线OD的方程为y=x,故有=-a,且·n=·,解得m=,n=. 将M(,),即(,)代入双曲线的方程可得-=1,化简得c2=5a2,即e=.当M在第三象限时同理可得e=.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知集合A={1,2},集合B={0,2},设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则下列结论中不正确的是( ABD )(A)A∩C= (B)A∪C=C(C)B∩C=B (D)A∪B=C解析:因为A={1,2},B={0,2},所以C={0,2,4}.所以A∩C={2},A∪C={0,1,2,4},A∪B={0,1,2},B∩C=B.故选ABD.10.已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,有以下结论,正确的是( ABD )(A)l∶r=4∶3(B)圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3(C)圆锥的轴截面是锐角三角形(D)圆锥轴截面是钝角三角形解析:A,由题得=π,所以=,所以l∶r=4∶3,所以该结论正确;B,由题得===,所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3,所以该结论正确;C,由题得轴截面的三角形的三边长分别为r,r,2r,顶角最大,其余弦为cos α==-<0,所以顶角为钝角,所以轴截面三角形是钝角三角形,所以该结论错误;D正确.故选ABD.11.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)的图象,则下列说法错误的是( ACD )(A)f(x)=-sin 2x(B)f(x)的图象关于x=-对称(C)f()=(D)f(x)的图象关于(,0)对称解析:将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位后,得到f(x)=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin(2x+)的图象,故A符合题意; 当x=-时,f(x)=1,为最大值,故f(x)的图象关于x=-对称,故B不符合题意;f()=-sin =-sin =-,故C符合题意;当x=时,f(x)=-sin =-≠0,故f(x)的图象不关于(,0)对称,故D 符合题意.故选ACD.12.已知函数f(x)=-lo x,若0<a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),则下列说法一定正确的是( AB )(A)f(x)有且只有一个零点(B)f(x)的零点在(0,1)内(C)f(x)的零点在(a,b)内(D)f(x)的零点在(c,+∞)内解析:因为y=,y=-lo x均为(0,+∞)上的单调增函数,故f(x)为(0,+∞)上的增函数.因为f(1)>0,f()<0,由零点存在定理可知f(x)有且只有一个零点且零点在(,1)内,故AB正确.因为f(a)f(b)f(c)<0,故f(a),f(b),f(c)的符号为两正一负或全负,而0<a<b<c且f(x)为(0,+∞)上的增函数,故f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0或者f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则零点在(c,+∞)内,若f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,则零点在(a,b)内.故CD错误.故选AB.第Ⅱ卷本卷包括填空题与解答题两部分,共90分.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=则f(f())= .解析:因为函数f(x)=所以f()=2-1=1,所以f(f())=f(1)=2.答案:214.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则|a+2b|= ;a与a-2b的夹角为.解析:因为|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,所以|a+2b|====2,|a-2b|====2,所以cos<a,a-2b>====.因此<a,a-2b>=.答案:215.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中抽取一个同学的数学成绩ξ,记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A,记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)= .(结果用分数表示)附:X满足:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.68;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.95;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.99.解析:由题意,P(A)=0.475,P(B)=×(0.99-0.68)=0.155,P(AB)=×(0.95-0.68) =0.135,所以P(B|A)==.答案:16.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1,高为2的圆锥,当正四棱柱体积最大时,该正四棱柱的底面边长为.解析:如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面,设正四棱柱的高为h,底面边长为a,则O,O1分别为AC,A1C1的中点,所以A 1C1=a,EF=2,△SA1C1∽△SEF,所以=,即=,所以a=(2-h)(0<h<2).因此正四棱柱的体积V=a2h=[(2-h)]2h=(h3-4h2+4h).令V′=(3h2-8h+4)=(h-2)(3h-2)=0,得h=,或者h=2(舍).当0<h<时,V′>0,当<h<2时,V′<0,故当h=时,V有最大值,此时a=(2-)=.答案:四、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=-a n+n(n∈N*).(1)求证:数列{a n-}为等比数列;(2)求数列{a n-1}的前n项和T n.(1)证明:2S n=-a n+n,当n≥2时,2S n-1=-a n-1+n-1,两式相减,得2a n=-a n+a n-1+1,即a n=a n-1+.所以a n-=(a n-1-),所以数列{a n-}为等比数列.(2)解:由2S1=-a1+1,得a1=.由(1)知,数列{a n-}是以-为首项,为公比的等比数列.所以a n-=-()n-1=-()n,所以a n=-()n+.所以a n-1=-()n-.所以T n=-=[()n-1]-.18.(本小题满分12分)在某电视台举行的跑男节目中,某次游戏比赛分两个阶段,只有上一阶段的通过者,才能继续参加下一阶段的比赛,否则就被淘汰,每组选手每通过一个阶段,本组积分加10分,否则为0分.甲、乙两组明星选手参加了这次游戏比赛,已知甲组选手每个阶段通过的概率均为,乙组选手每个阶段通过的概率均为.(1)求甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰的概率;(2)设甲、乙两组选手的最后积分之和为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)记“甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰”为事件A,则P(A)=×(1-)××(1-)=.(2)X所有可能取值为0,10,20,30,40,且P(X=0)=(1-)×(1-)=,P(X=10)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)=+=,P(X=20)=(1-)×()2+×(1-)××(1-)+()2×(1-)=++=,P(X=30)=()2××(1-)+×(1-)×()2=+==,P(X=40)=()2×()2=.则X的分布列为X 0 10 20 30 40P所以X的数学期望E(X)=0×+10×+20×+30×+40×=.19.(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M 为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值.(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以AF⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以AF⊥平面ABCD.所以AF⊥BD.(2)解:取AD中点O,EF中点K,连接OB,OK.于是在△ABD中,OB⊥OD,在正方形ADEF中OK⊥OD,又平面ADEF⊥平面ABCD,故OB⊥平面ADEF,进而OB⊥OK,即OB,OD,OK两两垂直,分别以OB,OD,OK所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(,0,0),D(0,,0),C(,3,0),E(0,,1),M(,,0),F(0,-,1),所以=(-,-,1),=(-,-,0),=(0,0,1),设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=-5,则y=,则n=(-5,,0).设直线MF与平面CDE所成角为θ,则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为sin θ=|cos<,n>|===.20.(本小题满分12分)如图,直线l为经过市中心O的一条道路,B,C是位于道路l上的两个市场,在市中心O正西方向的道路较远处分布着一些村庄,为方便村民生活,市政府决定从村庄附近的点A处修建两条道路AB,AC,l与OA 的夹角为(OA>3 km,∠OAC为锐角).已知以2 km/h的速度从O点到达B,C的时间分别为t,(1+)t(单位:h).(1)当t=1时:①设计AB的长为3 km,求此时OA的长;②修建道路AB,AC的费用均为a元/km,现需要使工程耗费最少,直接写出所需总费用的最小值;(2)若点A与市中心O相距(6+4)km,铺设时测量出道路AC,AB的夹角为,求时间t的值.解:(1)①当t=1时,OB=2,OC=2(1+)=2+6.因为AB=3,∠AOC=,在△AOB中,由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos ,即27=OA2+12-2OA·2×,解得OA=3+.②在△AOC中,由余弦定理可知AC2=OA2+OC2-2OA·OCcos = (3+)2+(2+6)2-2(3+)(2+6)×=63+18-18,所以AC=.所以修建道路AB,AC的总费用的最小值为(+3)a元.(2)设∠BAO=θ,在△ABO中,由正弦定理可得==.同理在△ABC中,=,且BC=BO,∠ACB=-θ.所以=.所以=,整理可得sin θcos θ=,θ∈(0,),tan θ∈(0,),sin θ≠0,cos θ≠0.所以==,解得tan θ=2-.在△ABO中,BO====2.所以t==1 h.21.(本小题满分12分)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A1(-a,0)和B2(0,b)的直线与原点间的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若方程为y=kx+m的直线L与椭圆C相交于不同两点A,B,设点M(2,0),直线AM与BM的斜率分别为k1,k2且k1+k2=0,判断直线L是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由题意可知,直线A1B2的方程为bx-ay+ab=0.依题意得解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)联立消去y可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以k1+k2=+==0,所以x2y1+x1y2-2(y1+y2)=0,即x2(kx1+m)+x1(kx2+m)-2(kx1+kx2+2m)=0,即2k·-(m-2k)·-4m==0,所以k+m=0,故直线L的方程为y=kx-k=k(x-1),所以直线L过定点(1,0).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-+axln x,其中e为自然对数的底数.(1)当a≥0时,求证:x≥1时,f(x)>0;(2)当a≥-时,讨论函数f(x)的极值点个数.(1)证明:由f′(x)=x-+a(ln x+1),易知f′()=0,设g(x)=f′(x),则g′(x)=,当a≥0时,g′(x)>0,又f′()=g()=0,所以0<x<时,g(x)<0;x>时,g(x)>0,即f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)上递增;所以当x≥1时,f(x)≥f(1)=->0.(2)解:由(1)可得,①当a≥0时,f(x)当且仅当在x=处取得极小值,无极大值,故此时极值点个数为1;②当-≤a<0时,易知g(x)在(0,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,所以g(x)min=g(-a)=-+aln(-a),又设h(a)=-+aln(-a),其中-≤a<0,则h′(a)=1+ln(-a)≤0,对-≤a<0恒成立,所以h(a)单调递减,h(a)≤h(-)=0(当且仅当a=-时取等号),所以(ⅰ)当a=-时,g(x)≥0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故此时极值点个数为0;(ⅱ)当-<a<0时,>-a>0,g(x)在(-a,+∞)上递增,又g()=0,所以当-a≤x<时g(x)<0,当x>时,g(x)>0,即f(x)总在x=处取得极小值;又当x→0且x>0时,g(x)→+∞,所以存在唯一x0∈(0,-a)使得g(x0)=0,且当0<x<x0时,g(x)>0,当x0<x<-a时,g(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值;故此时极值点个数为2,综上,当a=-时,f(x)的极值点个数为0;当-<a<0时,f(x)的极值点个数为2;当a≥0时,f(x)的极值点个数为1.。
2023届高三冲刺卷(二)全国卷-理科数学试题
一、单选题二、多选题1.若，，，则A．B．C．D．2.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点为虚轴上的端点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．3.设集合，则（ ）A．B．C．D．4. 已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列方差值中最大的是（）－102PabA．B．C．D．5. 已知的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角A 为A．B．C．D．6.已知集合，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．函数在单调递增D ．函数图象关于点对称8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A ，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:甲乙丙丁r 0.820.780.690.85m106115124103则能体现A ，B 两变量有更强的线性相关性的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9. 已知函数．若曲线上存在点，使得，则实数的值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310.在中，，，，则可能为（ ）A．B．C．D．2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题三、填空题四、解答题11. 若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（ ）A ．的最小值为B ．的最大值为C．的最大值为D ．的最大值为12.如图，在直三棱柱中，，，则（）A ．平面B．平面平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D ．点，，，均在半径为的球面上13. 第届冬季奥林匹克奥运会于年月号至号在北京举行， 践行 “绿色奥运、科技奥运、人文奥运” 理念， 举办一届 “有特色， 高水平” 奥运会， 为了宣传这次奥运会， 我区开展冬奥会知识竞答活动， 我校从五名学生三名教师中选四名选手参加区里决赛 . 问至少一名教师参加的概率为__________；表示选中教师人数， 问__________.14. 艾萨克·牛顿（1642—1727）被称为有史以来最有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显地推进了当时数学的每一个分支”．牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现——广义二项式展开．即，其中广义二项式系数，，，k 为正整数．根据以上信息，若对任意，都有，则______．15. 已知平面向量，的夹角为，满足，，则的值为______.16.为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线17.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.18. 如图，椭圆W：的焦距与椭圆Ω：+y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．19. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.20.椭圆的右顶点，过椭圆右焦点的直线l与C交于点M，N，当l垂直于x轴时．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与y轴交于P点，直线与y轴交于Q点，点，求证：．21. 将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.。
2023届高三冲刺卷(二)全国卷-理科数学试题
一、单选题1.某小区内有一个圆形广场，计划在该圆内接凸四边形区域内新建三角形花圃和圆形喷泉．已知，，，圆形喷泉内切于，则圆形喷泉的半径最大值为（ ）A．B．C．D．2. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（）A．B．C．D．3. 在中，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人测试成绩对应的条形图如下，以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断的是（）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．甲的方差最小不正确6. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 若，则的值为（ ）A．B．C．D．8. 已知抛物线C 1：与椭圆C 2：共焦点，C 1与C 2在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为，且，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题2023届高三冲刺卷（二）全国卷-理科数学试题二、多选题三、填空题四、解答题9. 函数，下列选项正确的是（ ）A ．该函数的值域为；B ．当时，该函数取得最大值；C ．该函数是以为最小正周期的周期函数；D ．当且仅当时，．10. 若抛物线C ：，过焦点F 的直线交C 于不同的两点A 、B ，直线l 为抛物线的准线，下列说法正确的是（ ）A ．点B 关于x 轴对称点为D ，当A 、D 不重合时，直线AD ，x 轴，直线l 交于一点B ．若，则直线AB斜率为C ．的最小值为D ．分别过A 、B 作切线，两条切线交于点M ，则的最小值为1611. 下列说法正确的是（ ）A．已知随机变量服从正态分布且，则B．设离散型随机变量服从两点分布，若，则C ．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种D ．已知，若，则12.已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）A ．是递增数列B ．是等比数列C．D．13.已知集合，则集合_____.14. 直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________．15. 已知双曲线C：，圆M ：与C 的一条渐近线相切于点P （P 位于第二象限）．若PM 所在直线与双曲线的另一条渐近线交于点S ，与x 轴交于点T ，则ST 长度为________．16. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值参考公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82817. 在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，.(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正弦值.18. 从2021年开始，某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式.其中“3”为全国统考科目语文､数学，外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理､历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学､生物､思想政治､地理4个科目中选择两科.现有某校学生甲和乙准备进行选科目，假设他们首选科目都是物理，再选科目时，他们选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响，已知甲和乙各选考了3个科目.（1）求甲和乙再选科目中恰有1个科目相同的概率；（2）用随机变量X表示甲和乙所选的3个选考科目中相同科目的个数，求X的分布列和数学期望.19. 在中，角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的取值范围.20. 在三角形中，内角、、的对边分别是、、，且（1）求的值；（2）若的面积为，求的值（用表示）21. 如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率．（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．。
高考总复习冲刺模拟卷湖南数学理科卷二
高考总复习冲刺模拟卷湖南数学理科卷（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，集合B={a ，b ，c}，那么从集合A 到集合B 的一一映射的个数共有 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．18 2．函数)10(|log |)(<<=a x x f a 的单调递减区间是 （ ）A ．],0(aB ．),0(+∞C ．]1,0(D ．),1[+∞3．设A 、AB By Ax A y Bx B A B A R B =-=+-≠⋅≠∈220,0,,和方程则方程且在同一坐标系下的图象大致是 （ ）4．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A ．π23 B ．π32 C ．6π D ．34π 5．条件则条件,2:,1|:|-<>x q x p p 是的 （ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件6．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为 （ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ7．设函数)2(log ,2)9()1,0(log )(91-=≠>=f f a a x x f a 则满足的值是（ ）A ．2log 3B ．22 C ．2 D ．28．一质点在直线上从时刻t=0秒以速度34)(2+-=t t t v （米/秒）运动，则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为（ ）A ．4米B ．8米C ．米34D ．米389．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ ） A ．0 B ．32C ．1D ．210．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3），则b 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．5D ．－5二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上 11.若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝______________. 12.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t 分钟后温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e23lnt -求得，现有60ºC 的物体放在15ºC的空气中冷却，当物体温度为35ºC 时，冷却时间t ＝_______________.13.在△MON 的边OM 上有5个异于O 点的点，在ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点(含O 点)为顶点，可以得到的三角形的个数为_________________. 14.某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为使公司受益的期望值等于a 的110，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金为_________________元.15.设曲线y ＝1x 2和曲线y ＝1x在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tan θ＝三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A B AC a tan tan ),2cos ,2cos 25(⋅-=当 91=时，求||a .17．（本小题满分12分）为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射出10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两个有效数字）.18．（本小题满分12分）在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点.（1）求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.19.(13分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；(2)在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和m ＋n≤40的所有数组(m，n).20.(13分)已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，是否存在常数c，使数列{S n＋c}也成等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由.21.(13分)已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－1 3 .(1)求动点P的轨迹方程；(2)设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使|MA|＝|MB|.答案一、 选择题（每小题5分，共50分） BCBCA BCDDA 二、填空题 11.－2 12.2 13.90 14.a (10p ＋1)1015. 13三、解答题：本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．解2cos )2cos 25(||222B A C a -+= ， .423||,89||.cos cos sin sin 9.91cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(81)sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(81)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-⋅=-++=-+⋅=∴a a B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A C a 故即又 17．解：依题意，知甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7.0107=； 乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为.6.0106=（1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好击中目标2次的概率是.44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯C（2）甲、乙两运动员各自向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是.19.0])6.01(6.0[])7.01(7.0[12231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅C C答： 略18．解（1）由题意可知，不论P 点在棱CC 1上的任何位置，AP 在底面ABCD 内射影都是AC ， AC BD ⊥ ， .AP BD ⊥∴ （2）延长B 1P 和BC ，设B 1P ∩BC=M ，连结AM ，则AM=平面AB 1P ∩平面ABCD. 过B 作BQ ⊥AM 于Q ，连结B 1Q ，由于BQ 是B 1；Q 在底面ABCD 内的射影，所以B 1Q ⊥AM ，故∠B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B 1C 1，从而BM=3BC. 所以BC BC BC BM AB AM 1092222=+=+=. 在=⋅=∆AMBMAB BQ ABM Rt ,中 BQ B Rt BC BCBC BC 1103103∆=⋅在中，31021032tan 11===∠BC BC BQ B B QB B ， .3102tan 1=∠∴QB B QBB QB B 1212cos 1tan 1∠=∠+∴得.cos 1940112QB B ∠=+73cos 1=∠∴QB B 为所求. （3）设CP=a ，BC=m ，则BB 1=2m ，C 1P=2m －a ，从而,)2(2221a m m P B -+=.2,5422221m AC m m m AB ==+=在121212112cos ,.cos ,AB AP P B AB AP PAB PAB AP AC APC ACP Rt ⋅-+=∆=∠∆中在中 依题意，得1PAB PAC ∠=∠. 1212122AB AP P B AB AP AP AC ⋅-+=∴. 1212122AB AC P B AB AP ⋅=-+∴.即.522])2([5222222m m a m m m m a ⋅=-+-++.411021101BB m a ⋅-=-=∴ 故P 距C 点的距离是侧棱的.4110-别解：如图，建立空间直角坐标系.设).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(,6,11a P C B CC a CP --∴==).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(1a AP AC AB -=-==∴ .)18(1818,cos ,)18(5233)3(6369,cos 22222221a AP AC a a a aAP AB +>=<++=++-⋅++>=<∴依题意，得,,cos ,cos 1><>=<AP AC AP AB 即.4110641102)110(3,103231CC a a -=⨯-=-==+亦即 故P 距C 点的距离是侧棱的.4110- 19.(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k 倍(k 为整数)则有Cm 2Cm ＋n 2 ＝k Cm1·Cm 1Cm ＋n 2∴m (m －1)2＝kmn m ＝2kn ＋1 ∵k ∈Z ，n ∈Z ，∴m ＝2kn ＋1为奇数(2)由题意，有Cm2＋Cn 2Cm ＋n 2 ＝Cm 1·Cm 1Cm ＋n 2∴m (m －1)2＋n (n －1)2＝mn∴m 2－m ＋n 2－n －2mn ＝0即(m －n )2＝m ＋n ……① ∵m ≥n ≥2，所以m ＋n ≥4 ∴4≤m ＋n ≤40＜7∴m －n 的取值只可能是2，3，4，5，6相应的m ＋n 的取值分别是4，9，16，25，36 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4m －n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝9m －n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝16m －n ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝25m －n ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝36m －n ＝6 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝15n ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝21n ＝15注意到m ≥n ≥2∴(m ，n )的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15) 20.设存在常数c ，使数列{S n ＋c }也成等比数列 则(S n ＋c )(S n ＋2＋c )＝(S n ＋1＋c )2∴S n S n ＋2－Sn ＋12 ＝c (2S n ＋1－S n －S n ＋2) ……①(1)当q ＝1时，S n ＝na 1，S n ＋1＝(n ＋1)a 1，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，代入①得a 12n (n ＋2)－a 12(n ＋1)2＝ca 1[2(n ＋1)－n －(n ＋2)] 推得a 1＝0，这与等比数列中a n ≠0矛盾. 故q ＝1时，不存在(2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，代入①得a 1(1－q n )1－q ·a 1(1－q n ＋2)1－q －a 12(1－q n ＋1)2(1－q )2＝c [2a 1(1－q n ＋1)1－q －a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q n ＋2)1－q 化简得－a 12q n ＝ca 1q n (1－q ) ∴c ＝a 1q －1∴q ≠1时，存在c ＝a 1q －1使数列{S n ＋c }也成等比数列21.(1)∵x 2－y 2＝1，∴c 2＝1＋1＝2，c ＝ 2设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，由2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1 ……①(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0) ……②与①联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1 ①y ＝kx ＋m ②②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 ……(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m 1＋3k 2)∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上 ∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k2＝－1解得m ＝1＋3k 22 ……③又由(*)由两个实数根，知△＞0，即(6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ……④将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1)。
高三数学下学期冲刺试题二理含解析 试题
一中2021届高三冲刺卷〔二〕高三数学理科试卷一.选择题.1.设集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别将两集合化简，再求并集即可.【详解】因为，解得，所以，而，所以，即，应选C【点睛】此题主要考察集合的并集运算，同时也考察了一元二次不等式的求解，属于根底题.2.命题“，〞的否认是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】全称命题改否认，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否认即可.【详解】命题“，〞的否认是: ,应选：B【点睛】此题考察全称命题的否认，全称命题〔特称命题〕改否认，首先把全称量词〔特称量词〕改成特称量词〔全称量词〕，然后把后面结论改否认即可.3.假设复数是纯虚数，那么的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】假设复数是纯虚数，那么且，所以，，所以，故．应选C．【点睛】此题主要考察了复数的根本概念，属于根底题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4.，满足约束条件，假设，假设的最大值为4，那么实数的值是〔〕A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】根据不等式组，画出可行域，在可行域内根据求得m的值即可。
【详解】由不等式组，画出可行域如下列图所示：线性目的函数，化为画出目的函数可知，当在A点时获得z获得最大值因为A〔2，-2+m〕代入目的函数可得解得m=3所以选B【点睛】此题考察了线性规划的简单应用，线性目的函数最值的求法，属于根底题。
5.函数，假设正实数，满，那么的最小值是〔〕A. 1B.C. 9D. 18 【答案】A【解析】【分析】先由函数的解析式确定其为奇函数，再由得到与的关系式，再由根本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，又假设正实数满，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.应选A【点睛】此题主要考察根本不等式，先由函数奇偶性求出变量间的关系，再由根本不等式求解即可，属于常考题型.6.椭圆的左，右焦点分别，过的直线交椭圆于,两点，假设的最大值为5，那么的值是〔〕A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∴a=2,∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，∴5＝8﹣b2，解得．应选．【点睛】此题考察了直线与圆锥曲线的关系，考察了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径长最短，是中档题．7.下列图是一个几何体的三视图及有关数据如下图,那么该几何体的棱的长度中，最大的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.【详解】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图，其中，；，所以最长的棱的长度为.应选B【点睛】此题主要考察几何体的三视图，根据三视图复原几何体即可，属于常考题型.8.?中国好歌曲?的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：，，，，，现将这五个数据依次输入如图程序框进展计算，那么输出的值及其统计意义分别是( )A. ，即5个数据的方差为2B. ，即5个数据的HY差为2C. ，即5个数据的方差为10D. ，即5个数据的HY差为10 【答案】A【解析】【分析】算法的功能是求的值，根据条件确定跳出循环的值，计算输出的值．【详解】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵跳出循环的值是5，∴输出.应选：A.【点睛】此题考察了循环构造的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于根底题．9.函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，假设，那么的值可能为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合三角函数平移原理，得到的解析式，计算结果，即可。
高考数学理科数学高考冲刺卷二2
高考数学（理科数学）高考冲刺卷二一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则MN = （ ）A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2.已知向量(2,1)a =， 2(1,1)a b k +=-，则2k =是a b ⊥的 （ ）(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.直线b a ,异面， a ∥平面α，则对于下列论断正确的是（ ）①一定存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α；③一定存在平面α使α⊆b ； ④一定存在无数个平面α与b 交于一定点.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ②③④4．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A ． 2 B.92C. 32D. 35. 某程序框图如图2所示，现将输出(,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x =（ ）A ．32B ．24C ．18D ．166.将1,2,…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 7．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量k2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ） A ．（1，）B ．（1，）C ．（2，）D ．[2，]9．双曲线M:12222=-by a x （a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若PA QA ⊥且PB QB ⊥,则动点Q 的运动轨迹为（ ）A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线10.若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) （A ）αβ>（B ）0αβ+>（C ）αβ<（D ）22αβ>11． 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）A.16B.8C.3D.312.函数)0(12log )(2>+=x x x x g ，关于方程032)()(2=+++m x g m x g 有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A. ),724()724,(+∞+⋃--∞B. )724,724(+-C. )32,43(--D. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.14．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且2 ≤n≤ 7，则n=______．15.设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________.16.设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d的所有可能取值之和为_________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，1n n a a +>，且满足：2420a a +=，38a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．18．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙、丙做对的概率分别为m 和n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ) 记事件E ={函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调}，求()P E ； （Ⅲ）令12()10E λξ=-，试计算 (12||)x dx λλ--⎰的值.19 （本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.（Ⅰ）求证：AG //平面BDE;（Ⅱ）求：二面角G -DE -B 的余弦值.ξ0 1 23 P14a b12420．（本小题满分12分）如图；.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程;（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使POSPOR S S ∆∆⋅最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数22()e n nxx x af x --=，其中*,n a ∈∈N R ，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；（Ⅱ）若对任意*,()n n f x ∈N 均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知,*,k m k m ∈<N ，且函数()k f x 在R 上是单调函数，探究函数()m f x 的单调性.23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+．（1）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =-+- （1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围高考冲刺卷二答案一、DADCA ACCCD DD 二、13. 14. 5 15.e 2216.18.解：设事件A ={甲做对}，事件B ={乙做对}，事件C ={丙做对}，由题意知，12P A P B m P C n ===(),(),(). （Ⅰ）由题意知1101124P P ABC m n ξ===--=()()()()，113224P P ABC mn ξ====()()，整理得：112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. …………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()() 11111111122224m n m n m n =--+-+-=()()()()，函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调，∴对称轴3(1,1)4x ξ=∈-4433ξ⇒-<<0ξ⇒=，1ξ=()(0)(1)P E P P ξξ∴==+=1111742424=+=（Ⅲ）(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14，∴13()0(0)1(1)2(2)3(3)12E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==12()103E λξ∴=-=故3 3(12||)(12||)x dx x dx λλ---=-⎰⎰ 0 33 0(12)(12)x dx x dx -=++-⎰⎰202330()|()|12x x x x -=++-=- 19（Ⅰ）设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则(0,2,2),(2,0,2)EB ED =-=-20．解：（I ）由题意知32,c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解之得； 2,3a c ==222c a b =-得b=1，故椭圆C 方程为1422=+y x ； （II ）点M 与点N 关于x 轴对称，设1111(,),(,)M x y N x y -, 不妨 设10y >, 由于点M 在椭圆C 上，∴221114x y =-,由已知),2(),,2),0,2(1111y x y x T -+=+=-（则, 22111111(2,)(2,)(2)TM TN x y x y x y ∴⋅=++-=+-2221115812)(1)()4455x x x =+--=+-（,由于22,x -<<故当185x =-时，TM TN ⋅取得最小值为15-,当185x =-时135y =，故83(,),55M -又点M 在圆T 上，代入圆的方程得21325r =,故圆T 的方程为：22132)25x y ++=（；（III ）假设存在满足条件的点P,设),(00y x P ，则直线MP 的方程为： ),(010100x x x x y y y y ---=-令0=y ，得101001y y y x y x x R --=，同理101001y y y x y x x S ++=,故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ 又点M 与点P 在椭圆上，故)1(4),1(421212020y x y x -=-=,得222222100101222201014(1)4(1)4()4R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===--,4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅=⋅=为定值POSPOR S S ∆∆⋅=1122p p OS y OR y ⋅=144⨯⨯2p y =2p y ,由P 为椭圆上的一点,∴要使POS POR S S ∆∆⋅最大，只要2p y 最大，而2p y 的最大值为1,故满足条件的P 点存在其坐标为(0,1)(01P P -和，）．……………………………………..14分 【答案】（Ⅰ）1230,11,1 1.x x a x a ==-+=++（Ⅱ）()1,2.-（Ⅲ）函数()m f x 在R 上是减函数1230,11,1 1.x x a x a ==-+=++………………………………………………4分（II ）222(22)e (2)e 2(1)2().e e nx nx n nx nxx n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'==，…5分设2()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线， 由题意对任意,N n *∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ， 且()[]121,4,1,4.x x ∈∉则对任意,N n *∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n ⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦,有6(1)[(8)]0a a n +--<，…………………………7分又任意,N n *∈68n -关于n 递增, 68862n -≥-=,故min 61(8)a n-<<-，所以2a -1<<.22．（Ⅰ）PE 切⊙O 于点E ，A BEP∴∠=∠PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠，,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴=（Ⅱ）,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆，PE PCPB PD∴=同理PDE ∆∽PCA ∆，PC CA PD DE ∴=PE CAPB DE∴=,CA PEDE CE CE PB=∴=24、解：(1)、当1=a 时，由2)(≥x f ,得11≥-x ,解得,20≥≤x x 或故2)(≥x f 的解集为{}20≥≤x x x 或 （2）、令1)()(-+=x x f x F ,则⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤+-<++-=a x a x a x a x x a x x F ,231,21,23)(所以当1=x 时，)(x F 有最小值1)1(-=a F只需21≥-a 解得3≥a 所以实数a 的取值范围为),3[+∞.鲁山一高高考冲刺卷四命题人 袁留定 审题人 梁艳君一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则MN =（ ）A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2.已知向量(2,1)a =， 2(1,1)a b k +=-，则2k =是a b ⊥的 （ ）(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.直线b a ,异面， a ∥平面α，则对于下列论断正确的是（ ）①一定存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α；③一定存在平面α使α⊆b ； ④一定存在无数个平面α与b 交于一定点.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ②③④试题分析：①一定存在平面α使α⊥b 是错误的，因为当直线b a ,不垂直时，就不存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α是正确的，因为与异面直线b a ,公垂线垂直的平面就满足；③一定存在平面α使α⊆b ；是正确的，因为与异面直线b a ,公垂线垂直的平面且过直线b 就满足；④一定存在无数个平面α与b交于一定点，是正确的，过一点的平面与直线a 平行的平面有无数个．【答案】D4．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A ． 2 B.92C. 32D. 3试题分析：由三视图可知,该几何体是底面上底为1,下底为2,高为2的直角梯形的四棱锥,且棱锥的高为x ,底面积为()112232S =⨯+⨯=,32V =由13V Sh =得:3333232V x h S ⨯====故选C. 5. 某程序框图如图2所示，现将输出(,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x =（ ）A ．32B ．24C ．18D ．166.将1,2,…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．42017．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量k2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．双曲线M:12222=-by a x （a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若PA QA ⊥且PB QB ⊥,则动点Q 的运动轨迹为（ C ）A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 9．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ） A ．（1，） B ．（1，）C ．（2，）D ．[2，]函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，的图象如下图所示，10.若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且sin sin 0ααββ->．则下列结论正确的是( ) （A ）αβ>（B ）0αβ+>（C ）αβ<（D ）22αβ>11． 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ） A.316 B.38C.233D.43312.函数)0(12log )(2>+=x x x x g ，关于方程032)()(2=+++m x g m x g 有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A. ),724()724,(+∞+⋃--∞B. )724,724(+-C. )32,43(--D. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦第二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.14．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且2 ≤n≤ 7，则n=______．【结束】15.设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________.【答案】22e -试题分析：画出22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y 所在平面区域的面积为2220201|21122x x AOB e dx S e e e e ∆-=-⨯⨯=--=-⎰. 16.设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d的所有可能取值之和为_________________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，1n n a a +>，且满足：2420a a +=，38a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．18．（本小题满分13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙、丙做对的概率分别为m 和n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ) 记事件E ={函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调}，求()P E ；ξ0 1 23 P14a b124（Ⅲ）令12()10E λξ=-，试计算(12||)x dx λλ--⎰的值.18.解：设事件A ={甲做对}，事件B ={乙做对}，事件C ={丙做对}，由题意知，12P A P B m P C n ===(),(),(). （Ⅰ）由题意知1101124P P ABC m n ξ===--=()()()()，…………1分113224P P ABC mn ξ====()()，…………………………2分 整理得：112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. …………………………………………4分（Ⅱ）由题意知1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()() 11111111122224m n m n m n =--+-+-=()()()()，……………………5分 函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调，∴对称轴3(1,1)4x ξ=∈-4433ξ⇒-<<0ξ⇒=，或1ξ=……………………7分()(0)(1)P E P P ξξ∴==+=1111742424=+=………………………………………8分 （Ⅲ）(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14，∴13()0(0)1(1)2(2)3(3)12E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==…………10分12()103E λξ∴=-= 故33(12||)(12||)x dx x dx λλ---=-⎰⎰33(12)(12)x dx x dx -=++-⎰⎰202330()|()|12x x x x -=++-=-………13分19 （本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC=CD=CE=2AD=2BG=2. （Ⅰ）求证：AG //平面BDE;（Ⅱ）求：二面角G -DE -B 的余弦值.（Ⅰ）设平面BDE的法向量为(,,)=-=-EB EDm x y z=，则(0,2,2),(2,0,2)20．（本小题满分14分）如图；.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程;（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使POSPOR S S ∆∆⋅最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由.解：（I ）由题意知3,2,c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解之得； 2,3a c ==，由222c a b =-得b=1，故椭圆C 方程为1422=+y x ；.…………………3分 （II ）点M 与点N 关于x 轴对称，设1111(,),(,)M x y N x y -, 不妨 设10y >, 由于点M 在椭圆C 上，∴221114x y =-,由已知),2(),,2),0,2(1111y x y x T -+=+=-（则,22111111(2,)(2,)(2)TM TN x y x y x y ∴⋅=++-=+-2221115812)(1)()4455x x x =+--=+-（,……………………………………………………..6分由于22,x -<<故当185x =-时，TM TN ⋅取得最小值为15-,当185x =-时135y =，故83(,),55M -又点M 在圆T 上，代入圆的方程得21325r =,故圆T 的方程为：22132)25x y ++=（；……………………………………………………………..8分 （III ）假设存在满足条件的点P,设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：),(010100x x x x y y y y ---=-令0=y ，得101001y y y x y x x R --=，同理101001y y y x y x x S ++=,故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅;…………………………………………………..10分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(4),1(421212020y x y x -=-=,得222222100101222201014(1)4(1)4()4R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===--,4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅=⋅=为定值,……………………………………….12分POSPOR S S ∆∆⋅=1122p p OS y OR y ⋅=144⨯⨯2p y =2p y ,由P 为椭圆上的一点,∴要使POS POR S S ∆∆⋅最大，只要2p y 最大，而2p y 的最大值为1,故满足条件的P 点存在其坐标为(0,1)(01P P -和，）．……………………………………..14分 21.（本小题满分13分）已知函数22()e n nxx x af x --=，其中*,n a ∈∈N R ，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；（Ⅱ）若对任意*,()n n f x ∈N 均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知,*,k m k m ∈<N ，且函数()k f x 在R 上是单调函数，探究函数()m f x 的单调性.【答案】（Ⅰ）1230,11x x x ===（Ⅱ）()1,2.-（Ⅲ）函数()m f x 在R 上是减函数 【解析】1230,11,1 1.x x a x a ==+=+………………………………………………4分（II ）222(22)e (2)e 2(1)2().e e nx nx n nx nxx n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'==，…5分设2()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线， 由题意对任意,N n *∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ， 且()[]121,4,1,4.x x ∈∉则对任意,N n *∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n ⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦,有6(1)[(8)]0a a n +--<，…………………………7分又任意,N n *∈68n -关于n 递增, 68862n -≥-=,故min 61(8)a n-<<-，所以2a -1<<.22．（Ⅰ）PE 切⊙O 于点E ，A BEP ∴∠=∠PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠，,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴= ………………5分（Ⅱ）,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆，PE PC PB PD∴= 同理PDE ∆∽PCA ∆，PC CA PD DE ∴= PE CA PB DE∴= ,CA PE DE CE CE PB=∴= 23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+．（1）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-+-（1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。
高三数学冲刺押题卷二理 试题
卜人入州八九几市潮王学校第HY 学2021届高考冲刺押题卷〔二〕数学试卷〔理工类〕考试说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两局部，总分值是150分，考试时间是是120分钟 2.做答第一卷时，选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在套本套试卷上无效.3.做答第二卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写之答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．向量b a ,满足)2,1(2m b a =+，),1(m b =，且a 在b 方向上的投影是552，那么实数=m 〔〕 A ．5B ．5±C ．2D ．2±2．等差数列}{n a 中，11=a ，前10项的和等于前5的和，假设06=+a a m ，那么=m 〔〕A ．10B ．9C ．8D ．2 3．假设z 为复数，0:=+z z p ，2:z q 为实数，那么p 是q 的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为xxx n ln )(≈的结论〔素数即质数，43429.0lg =e 〕．根据欧拉得出的结论，如下流程图中假设输入n 的值是100，那么输出k 的值应属于区间〔〕 A ．)20,15(B ．)25,20(C ．)30,25(D ．)35,30(5．函数||3x ex y =的大致图像为〔〕ABCD6．33log =x ，67log =y ，717=z ，那么实数z y x ,,的大小关系是〔〕A ．y z x <<B ．y x z <<C ．z y x <<D ．x y z <<7．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x 表示的平面区域为D ，假设对任意的D y x ∈),(，不等式02≥--t y x 恒成立，那么实数t 的最大值为〔〕 A ．1B ．1-C ．5-D ．4-8．唐代诗人李颀的诗古从HY 行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.〞诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将HY 饮马〞问题，即将HY 在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到HY 营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设HY 营所在区域为122≤+y x ，假设将HY 从点)0,2(A 处出发，河岸线所在直线方程为3=+y x ，并假定将HY 只要到达HY 营所在区域即回到HY 营，那么“将HY饮马〞的最短总路程为〔〕A ．110-B ．122-C ．22D ．109．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体外接球的体积为〔〕 A ．316πB ．29πC ．π18D ．π3610．如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，10||21=F F ，P 是y轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于A ，假设12PF AF ⊥，且2APF ∆的内切圆半径为22，那么椭圆的离心率为〔〕A ．45B ．410C ．35D ．41511．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与圆222ay x =+相切，与C 的左、右两支分别交于点B A ,，假设||||2BF AB =，那么C 的离心率为〔〕A ．325+B ．325+C ．3D ．512．函数53)(2+-=x x x f ，x ax x g ln )(-=，假设对),0(e x ∈∀，),0(,21e x x ∈∃，且21x x ≠，使得)2,1)(()(==i x g x f i ，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．)6,1(ee B ．),1[43e e C ．),6[)1,0(43e e e ⋃D ．),6[43e e第二卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 18sin 2=m ，假设42=+n m，那么=+63sin nm _________14．假设0,0>>b a ，二项式6)(b ax +的展开式中3x 项的系数为20，那么定积分⎰⎰+abxdx xdx 022的最小值为_________15．如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD 中，E 为边AB 的中点，ABDEA 1CM将A ∠沿直线DE 翻转DE A 1∆〔∉1A 平面ABCD 〕，假设M 为线段C A 1的中点，那么在ADE ∆翻转过程中，以下__________ ①//MB 平面DE A 1；②异面直线BM 与E A 1所成角是定值；③三棱锥1A ADE -体积的最大值是322；④一定存在某个位置，使C A DE 1⊥ 16．在平面直角坐标系xOy 中，点)0,1(A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线052)1(=-+-+m y m x 的垂线，垂足为B ，那么||||MB MA +的最小值为__________．三、解答题：本大题一一共70分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 17．〔本小题总分值是12分〕函数23cos cos sin 3)(2-+=x x x x f ． 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及在区间]2,0[π的最大值〔Ⅱ〕在ABC ∆中，21)(-=A f ，求ABC ∆周长的最大值．18．〔本小题总分值是12分〕2021年，依托用户碎片化时间是的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，挪动阅读方兴未艾，从侧面反响了人们对精神富足的一种追求，在习惯了群众娱乐所带来的短暂愉悦后，局部用户照旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP 抽样调查了非一线城M 和一线城N 各100名用户的日使用时长〔单位：分钟〕，绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活泼用户〞．〔Ⅰ〕请填写上以以下22⨯联表，并判断是否有9%的把握认为用户活泼与否与所在城有关？〔Ⅱ〕以频率估计概率，从城M 中任选2名用户，从城N 中任选1名用户，设这3名用户中活泼用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．〔Ⅲ〕该读书APP 还统计了2021年4个季度的用户使用时长y 〔单位：百万小时〕，发现y 与季度x 线性相关，得到回归直线为^4a x y +=∧，这4个季度的用户平均使用时长为1百万小时，试以此回归方程估计2021年第一季度〔5=x 〕该读书APP 用户使用时长约为多少百万小时．附：))()()(()(22d b c a d c b a bd ac n K ++++-=，其中d c b a n +++=．19．〔本小题总分值是12分〕如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为直角梯形，AD BC //，且222===BC AB AD , 90=∠BAD ,PAD ∆为等边三角形，平面⊥ABCD 平面PAD ；点M E ,分别为PC PD ,的中点． 〔Ⅰ〕证明：//CE 平面PAB ； 〔Ⅱ〕求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．20．〔本小题总分值是12分〕过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 作倾斜角为45°的直线l ，直线l 与抛物线C 交于B A ,，假设16||=AB ．〔Ⅰ〕抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕假设经过)2,1(M 的直线交抛物线C 于Q P ,,)0,5(N ，假设||||QN PN=，求直线PQ 的方程．21．〔本小题总分值是12分〕函数12)(2---=mx x m e x f x ． 〔Ⅰ〕当1=m 时，求证：假设0≥x ，那么0)(≥x f ；〔Ⅱ〕当1≤m 时，试讨论函数)(x f y =的零点个数．请考生在题〔22〕〔23〕中任选一题答题，假设多做，那么按所做的的第一题计分．做题时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并填写上序号． 22．〔本小题总分值是10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 2321〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ，点P 的极坐标是)32,3152(π. 〔Ⅰ〕求直线l 的极坐标方程及点P 到直线的间隔；〔2〕假设直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PMN ∆的面积. 23．〔本小题总分值是10分〕选修4—5：不等式选讲 函数R a x a x x f ∈-+-=|,1||2|)(.〔Ⅰ〕假设2-=a ，解不等式5)(≤x f ；〔Ⅱ〕当2<a 时，函数)(x f 的最小值为3，务实数a 的值.押题卷2理科数学参考答案1.D2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.B10.C11.A12.D13．14．15．16．17.【答案】〔1〕最小正周期为，在区间上的最大值为；〔2〕.【解析】〔1〕，最小正周期为所以在区间的最大值是0〔2〕,由余弦定理得,即,当且仅当时取等号.的周长的最大值是6法二：由，得，由正弦定理可得，所以，当时，L取最大值，且最大值为618.【详解】〔1〕由可得以以下联表：活泼用户不活泼用户合计城M 60 40 100城N 80 20 100合计140 60 200计算，所以有99．5%的把握认为用户是否活泼与所在城有关．〔2〕由统计数据可知，城M中活泼用户占，城N中活泼用户占，设从M城中任选的2名用户中活泼用户数为，那么设从N城中任选的1名用户中活泼用户数为，那么服从两点分布，其中．故，；；；．故所求的分布列为0 1 2 3．〔3〕由可得，又，可得，所以，所以．以代入可得〔百万小时〕，即2021年第一季度该读书APP用户使用时长约为百万小时．19.【详解】〔1〕设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，那么可得，且；在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面，又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．〔2〕设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．点，设平面的法向量为：．那么有，可得平面的一个法向量为，，可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为．20.【详解】〔1〕依题意：，那么直线的方程为，由，消可得，设，那么，∴，∴，故抛物线的方程为．〔2〕假设经过的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于，那么关于轴对称，满足，即直线满足题意．假设经过的直线的斜率存在，设它为，那么．由，消可得设，那么，∴，∴，∵，∴点在线段的中垂线上，即线段的中垂线为：，即，即所以直线的方程为即．故直线的方程为或者．21.【解析】(1)当时，，那么，令，那么，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.(2)由〔1〕知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对，，即.①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.②当时，〔ⅰ〕当时，，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点.(ⅱ)当时，，令，那么，所以函数在上单调递增，，当时，，又曲线在区间上不连续，所以，使，故当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，，又，曲线在区间，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.22.【解析】〔1〕由消去，得到，那么，∴，所以直线的极坐标方程为.点到直线的间隔为.〔2〕由，得，所以，，所以，那么的面积为.23.【详解】(Ⅰ)时，不等式为①当时，不等式化为，，此时②当时，不等式化为，③当时，不等式化为，，此时综上所述，不等式的解集为〔Ⅱ〕法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，所以f(x)min＝f〔〕＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.法二：所以，又，所以.。
2020年高考数学(理科)模拟冲刺卷(二)
2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（二）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(,,|}1{)A x y y x x ==+∈R ，集合2(,{|}),B x y y x x ==∈R ，则集合A B I 的子集个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数z 满足(12i)|34i |z ⋅+=-(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=，且1)[0,x ∈时，2()log (1)f x x =+． 若1()2a f =-，2()3b f =，4()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是(“同比"指与去年同月相比)（ ）A ．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B ．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C ．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D ．从两图来看2019年1至4月中的同-个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 5．下列说法正确的是（ ）A ．若“p q ∨”为真命题，则“p q ∨”为真命题B ．命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定是“00x ∃≤，0010xe x --≤”C ．命题若“1x ≥，则11x≤”的逆否命题为真命题 D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件6．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B c C -=⋅，则角C 的取值范围为（ ）A ．ππ(,)86B ．π(0,)6C ．ππ(,)62D ．ππ(,)827．已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，若12⋅=a b ，则()()+⋅-a b b c 的最大值是（ ）A．1+B ．3 C．32 D．12+8．我国传统的房屋建筑中，常会出现-些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ）A．1 B．π2-C．2 D．π2-9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+．若对任意的[1,2]x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,2)(,6)-∞-UC ．(2,0)-D ．(2,0)(6,)-+∞U10．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M (异于P ，F )，与y轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-uuu r uuu r(O 为坐标原点)，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，1()2f x =在区间[0,π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间(0,π)上存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=； ②()f x 在区间(0,π)有且仅有1个最大值点；③()f x 在区间π(0,)15上单调递增； ④ω的取值范围是115[,)62．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④12．设函数1()(ln 2)x e f x t x x x x=+--恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A．(1,)+∞UB ．{}[1,)3e+∞UC．}[1,)3e+∞U D ．[1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式52)x的展开式中2x -的系数是 ．14．袋中装有编号分别为1，2，3的三个黑球和三个白球，从中取出三个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为 ；取出球的编号恰有两个相同的概率为 ． 15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．过点F且斜率为M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ．直线NF 交y 轴于点D ．则||MD =_______． 16．在四面体ABCD 中，CA CB =，DA DB =，6AB =，8CD =，AB ⊂平面α，l ⊥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当四面体以AB 为轴旋转时，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且23S =，415S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n b ，2n T ，21n b +是否成等比数列？并说明理由．18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90DBC ∠=︒，2BC DE =，2AB AC ==，CE AE ==BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点．（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值．19．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中,x y 的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（12分）已知Q 为圆221x y +=上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA AP =u u u r u u u r，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(0,)5-的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2()cos 2x g x ax x x =+-．（1）当0x ≥时，总有2()2x f x mx ≤+，求m 的最小值；（2）对于[0,1]中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为(1,0)，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求2211MAMB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()f x x a=-．（1）若关于x 的不等式()0f x b +<的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值．。
2021年全国名校高考数学冲刺试卷(理科)(二)(附答案详解)
2021年全国名校高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合M ={x|log 2x <1}，集合N ={x|x 2−1≤0}，则M ∩N =( )A. {x|1≤x <2}B. {x|−1≤x <2}C. {x|−1<x ≤1}D. {x|0<x ≤1}2. 已知i 为虚数单位，则(2+i)(3−4i)2−i=( )A. 5B. 5iC. −75−125iD. −75+125i3. 某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,720]的人数为( )A. 10B. 11C. 12D. 134. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1165. 若双曲线C 1：x 22−y 28=1与C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为4√5，则b =( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)=a−2xa+2x是奇函数，则f(a)的值等于( )A. −13B. 3C. −13或3D. 13或38. 点G 为△ABC 的重心，设BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. 32a⃗ −12b ⃗ B. 32a⃗ +12b ⃗ C. b ⃗ −2a ⃗ D. 2a ⃗ +b ⃗9.将函数y=cosx−sinx的图象先向右平移φ(φ>0)个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y=cos2x+sin2x的图象，则φ，a的可能取值为()A. φ=π2,a=2 B. φ=3π8,a=2 C. φ=3π8,a=12D. φ=π2,a=1210.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且EF//平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是()A. 98B. √32C. 3√34D. √211.已知实数a，b满足2<a<b<3，下列不等关系中一定成立的是()A. a3+15b>b3+15aB. a3+15b<b3+15aC. b⋅2a>a⋅2bD. b⋅2a<a⋅2b12.在△ABC中，∠A=2∠B，AB=73，BC=4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为()A. 1B. 23C. 12D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为______．14.已知sin2α−2=2cos2α，则sin2α+sin2α=______ ．15.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1−p，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行6局比赛，设甲胜的局数为X，则DX=______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为√2的正方形．E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P−AMEN体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，a1=1，a2+a3+a4=21，数列{b n}满足b1=3，b n+1n =b na n+2．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n+log3b n+1}的前n项和．18.已知四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°，△SBC为等边三角形，平面SBC⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：BC⊥SD；(Ⅱ)若点E是线段SA上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值．19. 新型冠状病毒肺炎COVID −19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481632517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型： ①y ̂=bx 2+a ，②y ̂=dx +c 对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差e ̂i =y i −y ̂i )：经过计算得它∑(8i=1x i −x −)(y i −y −)=728，∑(8i=1x i −x −)2=42，∑(8i=1z i −z −)(y i −y −)=6868，∑(8i=1z i −z −)2=3570，其中z i =x i 2，z −=18∑z i 8i=1．(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；(2)根据(1)问选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数)；(3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在(2)问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(8i=1x i −x −)(y i −y −)∑(8i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e ，点(1,e)在椭圆E 上，A(a,0)，B(0,b)，三角形OAB 的面积为32． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，若直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2=−19，证明三角形OMN 的面积是定值，并求此定值．21. 已知函数f(x)=xe 2x −2ax +2，g(x)=alnx +2．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，若ℎ(x)在(0,+∞)上有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα(t 参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(5−4cos 2θ)=5．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值．23. 解关于x 的不等式|x +1|<2，其解集为A ={x|a <x <b|．(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)求√at +12+√bt 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合N={x|x2−1≤0}={x|−1≤x≤1}，则M∩N={x|0<x≤1}．故选：D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：(2+i)(3−4i)2−i =10−5i2−i=5(2−i)2−i=5．故选：A．3.【答案】C【解析】解：900人中抽取样本容量为45的样本，则样本组距为：900÷45=20；则编号落在区间[481,720]的人数为(720−481+1)÷20=12．故选：C．根据系统抽样的定义，求出对应的组距，再计算编号落在区间[481,720]的人数．本题主要考查系统抽样的定义，求出组距是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．由题意可得12=1×e−7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．【解答】解：由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2=−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．5.【答案】B【解析】解：双曲线C1：x22−y28=1的渐近线方程为y=±2x，由题意可得C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即有b=2a，又2c=4√5，即c=2√5，即有a2+b2=20，解得a=2，b=4，故选：B．求出双曲线C1的渐近线方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=2√5，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4．本题考查双曲线的虚半轴长，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题． 利用祖暅原理可得：A 、B 在等高处的截面积恒相等”，可得：A 、B 的体积相等，即可判断出p 与q 的关系． 【解答】解：设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等．由“A 、B 在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A 、B 的体积相等． 因此可得：A 、B 的体积不相等，必然：A 、B 在等高处的截面积不恒相等． 即p ⇒q ，反之不成立． ∴p 是q 的充分不必要条件． 故答案选A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法．可根据f(x)为奇函数即可得出a−2−x a+2−x=−a−2xa+2x ，从而可解出a =±1，从而可求出f(a)的值．解：f(x)是奇函数； ∴f(−x)=a−2−x a+2−x =−a−2x a+2x；整理得：(2a 2−2)2x =0； ∴2a 2−2=0； ∴a =±1；a =1时，f(a)=f(1)=1−21+2=−13； a =−1时，f(a)=f(−1)=−1−12−1+12=3．故选C ．8.【答案】C【解析】解：由题意知， EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −2a ⃗ ， 故选：C ．由题意作图辅助，从而利用线性运算求解即可．本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．9.【答案】D【解析】 【分析】本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的平移和伸缩变换问题的应用． 直接利用正弦型函数的平移和伸缩变换求出结果． 【解答】解：函数y =cosx −sinx =√2cos(x +π4)的图象先向右平移φ(φ>0)个单位， 得到y =√2cos(x −φ+π4)的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍， 得到y =cos2x +sin2x =√2cos(2x −π4)的图象， 所以：①a =12 ②−φ+π4=2kπ−π4，解得：φ=−2kπ+π2(k ∈Z)， 故当k =0时，φ=π2． 故选：D ．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查动点F 的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC 1、BC 、AB 、AA 1、A 1D 1的中点M 、N 、G 、Q 、P ，推导出平面EMNGQP//平面A 1BC 1，从而动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ，由此能求出动点F 的轨迹所形成的区域面积． 【解答】解：如图，分别取棱CC 1、BC 、AB 、AA 1、A 1D 1的中点M 、N 、G 、Q 、P ， 则PE//A 1C 1//GN ，EM//A 1B//GQ ，PQ//BC 1//MN ， 易得：平面EMNGQP//平面A 1BC 1，∵点F 在正方体内部或正方体的表面上，若EF//平面A 1BC 1， ∴动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ， ∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， ∴PE =EM =MN =NG =GQ =PQ =√22，PN =√2，∴E 到PN 的距离d =(√22)(√24)=√64，∴动点F 的轨迹所形成的区域面积： S =2S 梯形PNME =2×√22+√22×√64=3√34． 故选C ．11.【答案】D【解析】解：设f(x)=x 3−15x ，则f′(x)=3x 2−15=3(x +√5)(x −√5)． 当x ∈(2,√5)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(√5,3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若2<a <b <√5，则f(a)>f(b)，即a 3+15b >b 3+15a ；若√5<a <b <3，则f(a)<f(b)，即a 3+15b <b 3+15a ． ∴A ，B 均不一定成立． 设g(x)=2xx，则g′(x)=2x ⋅x⋅ln2−2xx 2=2x (xln2−1)x 2．令g′(x)=0，得x =log 2e ∈(1,2)． ∴当x ∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)为增函数， ∵2<a <b <3，2b b>2a a，即b ⋅2a <a ⋅2b ．故选：D ．分别构造函数f(x)=x 3−15x ，g(x)=2x x，利用导数研究其单调性，由单调性即可求得选项．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设AD =x ，则DB =73−x ， 设∠ACD =∠BCD =α，在△ACD 中，x sinα=CDsinA ， 在△BCD 中，73−xsinα=CD sinB，两式相除可得x73−x =sinBsin2B =12cosB ，在△ABC 中，4sinA=73sin(π−A−B)=73sin3B，即sin2B sin3B =2sinBcosB 3sinB−4sin 3B =127，整理可得24cos 2B −7cosB −6=0，解得cosB =23，(负值舍去)， ∴x 73−x=34，解得x =1． 故选：A ．设AD =x ，则DB =73−x ，可得x sinα=CDsinA ，73−x sinα=CD sinB，在△ABC 中，4sinA=73sin(π−A−B)=73sin3B，即24cos 2B −7cosB −6=0，解得cos B 即可求解．本题考查了三角恒等变形、正弦定理，考查了计算能力，属于中档题．13.【答案】±2√33【解析】解：根据定义，点P 与准线的距离也是2P ， 设M(x 0,y 0)，则P 与准线的距离为：x 0+p2， ∴x 0+p 2=2p ，x 0=32p ，∴y 0=±√3p ，∴点M 的坐标(32p,±√3p)． 直线MF 的斜率为：±√3p32p =±2√33．故答案为：±2√33．设P(x0,y0)根据定义点M与焦点F的距离等于P到准线的距离，求出x0，然后代入抛物线方程求出y0即可求出坐标．然后求解直线的斜率．本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出点M与焦点F的距离等于M到准线的距离，属于中档题．14.【答案】1或85【解析】解：∵sin2α−2=2cos2α，∴2sinαcosα−2=2(2cos2α−1)，即sinαcosα= 2cos2α，∴cosα=0或tanα=2．则sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=1+0=1；或sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=4+45=85，故答案为：1或85．利用同角三角函数的基本关系，求得cosα=0或tanα=2，从而求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15.【答案】43【解析】解：由题意可得，C32p2(1−p)⋅p=827，解得p=23，∵随机变量X服从二项分布B(6,23)，∴D(X)=np(1−p)=6×23×13=43．故答案为：43．由题意可得，C32p2(1−p)⋅p=827，解得p=23，再结合二项分布的方差公式，即可求解．本题主要考查了二项分布的方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】2√39【解析】解：连接MN ，交AE 于点F ，连接AC 、BD ，交于点O ，则F 为△PAC 的重心，AC =PA =PC =2， 如图所示：所以AE =2×√32=√3，所以AE 在底面的投影为AE 2AC =32， 所以V 四棱锥P−AMEN =V 三棱锥A−MNP +V 三棱锥E−MNP =13S △PMN ⋅32=12S △PMN ； 当S △PMN 最小时，四棱锥P −AMEN 的体积取最小值； 设PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1λ，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1μ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13μPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由M 、F 、N 三点共线知，13λ+13μ=1， 所以1λ+1μ=2|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+2|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3≥2√2|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅2|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥169， 当且仅当2|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |时取“=”，所以V 四棱锥P−AMNE =12S △PMN =12×12×|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin π3≥12×12×169×√32=2√39． 即四棱锥P −AMEN 体积的最小值为2√39． 故答案为：2√39． 连接MN ，交AE 于点F ，连接AC 、BD ，交于点O ，则F 为△PAC 的重心，且AC =PA =PC =2，求出AE 在底面的投影，得出V 四棱锥P−AMEN =V 三棱锥A−MNP +V 三棱锥E−MNP =12S △PMN，当S △PMN 最小时，四棱锥P −AMEN 的体积取最小值；利用平面向量的线性表示和基本不等式求出|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值，即可求出四棱锥P −AMEN 体积的最小值．本题考查了棱锥体积计算问题，也考查了运算求解能力与推理和转化思想，是难题．17.【答案】解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=1，a 2+a 3+a 4=21，∴3+6d =21，解得d =3． ∴a n =1+3(n −1)=3n −2． 数列{b n }满足b 1=3，b n+1n=b nan +2，∴b n+1n=bn3n−2+2，化为：b n+1b n=13．∴数列{b n }是等比数列，b n =3×(13)n−1=(13)n−2．(II)∴a n +log 3b n+1=3n −2+log 3(13)n−1=3n −2+1−n =2n −1．∴数列{a n +log 3b n+1}的前n 项和=n(1+2n−1)2=n 2．【解析】(I)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=1，a 2+a 3+a 4=21，利用通项公式可得d ，a n .代入b n+1n=b nan +2，利用等比数列的通项公式可得b n ．(II)代入利用对数运算性质可得a n +log 3b n+1，利用等差数列的求和公式即可得出数列{a n +log 3b n+1}的前n 项和．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(Ⅰ)取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，因为△SBC 为等边三角形，所以SF ⊥BC ； 又四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =120°， 所以△BCD 为等边三角形，所以DF ⊥BC ； 又SF ∩DF =F ，SF ⊂平面SDF ，DF ⊂平面SDF ， 所以BC ⊥平面SDF ，又SD ⊂平面SDF ， 所以BC ⊥SD ；(Ⅱ)解：因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC ∩平面ABCD =BC ， SF ⊥BC ，SF ⊂平面SBC ，所以SF ⊥平面ABCD ； 又DF ⊥BC ，所以SF 、BC 、DF 两两垂直；以点F 为坐标原点，FC 、FD 、FS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系F −xyz ，如图所示；不妨设AB =2，则A(−2,√3,0)，B(−1,0，0)，S(0,0，√3)； 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,√3)； 设平面SAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{x −√3y =02x −√3y +√3z =0，令y =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,1，−1)，又SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13SA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,√33,−√33)，所以E(−23,√33,2√33)， 又D(0,√3,0)，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2√33,2√33)， 设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ， 则sinθ=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |=|−2√33−2√33−2√33|√49+129+129×√3+1+1=3√10535．【解析】(Ⅰ)取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，证明BC ⊥平面SDF 即可； (Ⅱ)证明SF 、BC 、DF 两两垂直，由此建立空间直角坐标系F −xyz ，求出平面SAB 的一个法向量，再求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值．本题考查了空间中线面的位置关系应用问题，也考查了利用向量法求空间角的应用问题，是中档题．19.【答案】解：(1)选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好； (2)由(1)可知y 关于x 的回归方程为y ̂=bx 2+a ， 令z =x 2，则y ̂=bz +a ，由所给的数据可得：z −=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5， y −=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，b ̂=∑(8i=1z i −z −)(y i −y −)∑(8i=1z i −z −)2=68683570≈1.92，则a ̂=y −−b ̂z −≈50−1.92×25.5=1.04，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=1.92x 2+1.04；(3)将x =9代入回归方程，可得y ̂=1.92×92+1.04=156.56≈157(人)， 所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．【解析】(1)利用数形结合即可判断选择哪个模型；(2)先利用所给的数据求出变量的平均值，然后再利用已知的数据代入公式即可求解； (3)把x =9代入回归方程即可求解．本题考查了非线性回归方程的求解，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca12ab =321a 2+e 2b 2=1a 2=b 2+c 2可得a 2=9，b 2=1， 所以椭圆的方程：x 29+y 2=1；(2)证明i)：当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x =t(−3<t <3,t ≠0)， 代入椭圆中，可得y 2=1−t 29，则k 1k 2=√1−t29t ×−√1−t 29t=−1−t 29t 2=−19，解得t 2=92．则三角形OMN 的面积为12×2√1−t 29×|t|=32，当直线l 的斜率存在时，设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线l ：y =kx +mii)：联立直线与椭圆的方程：{y =kx +mx 29+y 2=1，整理可得(1+9k 2)x 2+18kmx +9m 2−9=0，△=(18km)2−4(1+9k 2)(9m 2−9)=36(9k 2−m 2+1)>0， 则x 1+x 2=−18km 1+9k 2，x 1x 2=9m 2−99k 2−1，k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=−9k 2+m 29m 2−9=−19，所以1+9k2=2m2，满足△>0，|MN|=√1+k2|x1−x2|=6√1+k2⋅√9k2−m2+11+9k2，又原点O到直线l的距离d=√1+k2，所以三角形OMN的面积S=12×|MN|×d=12×6√1+k2⋅√9k2−m2+11+9k2×√1+k2=3|m|√2m2−m22m2=32，所以三角形OMN的面积为定值32，综上可证，三角形OMN的面积是定值32．【解析】(1)由点的坐标，三角形的面积的值和a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(2)当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出交点的坐标，进而求出直线OM，ON的斜率，由斜率之积等于−19，可证得三角形的面积为定值；当直线的斜率存在时设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|MN|的表达式，再求原点到直线l的距离，求出三角形面积的表达式，再由直线OM，ON的斜率之积的值，可证得三角形的面积为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中难题．21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xe2x−2x+2，∴f(0)=2，f′(x)=(1+2x)e2x−2，∴f′(0)=e0−2=−1，∴切线方程为：y−2=−x，即x+y−2=0；(2)ℎ(x)=f(x)−g(x)=xe2x−2ax−alnx，若ℎ(x)在(0,+∞)上有2个零点，显然a≠0，由xe2x−2ax−alnx=0，得1a =ln(xe2x)xe2x，令t=xe2x，t∈(0,+∞)，则1a =lntt，令φ(t)=lntt ，则φ′(t)=1−lntt2，由1−lnt=0，得：t=e，故当t ∈(0,e)时，φ′(t)>0，当t ∈(e,+∞)，φ′(t)<0， ∴φ(t)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 故φ(t)的极大值为φ(e)=1e ，又当t →+∞时，φ(t)→0，当t →0+时，φ(t)→−∞， 故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个零点时，1a ∈(0,1e )， 故实数a 的取值范围是(e,+∞)．【解析】(1)代入a 的值，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可； (2)由xe 2x −2ax −alnx =0，得1a =ln(xe 2x )xe 2x，令t =xe 2x ，t ∈(0,+∞)，则1a =lnt t，令φ(t)=lnt t，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a 的取值范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−2+tcosαy =tsinα(t 参数)，消去参数t ，可得xsinα−ycosα+2sinα=0，∴直线l 的普通方程为xsinα−ycosα+2sinα=0． 由ρ2(5−4cos 2θ)=5得，5ρ2−4ρ2cos 2θ=5， 将x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2代入，得x 25+y 2=1，∴曲线C 的直角坐标方程为x 25+y 2=1；(2)根据题意，sinα≠0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的参数方程{x =−2+tcosαy =tsinα代入x 25+y 2=1，得(1+4sin 2α)t 2−4tcosα−1=0． 故t 1+t 2=4cosα1+4sin 2α，t 1t 2=−11+4sin 2α，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(4cosα1+4sin 2α)2+41+4sin 2α=2√51+4sin 2α． 点O 到直线l 的距离d =√sin 2α+cos 2α=2|sinα|． ∴S △OAB =12|AB|⋅d =12⋅2|sinα|⋅2√51+4sin 2α=2√51|sinα|+4|sinα|≤√52√1|sinα|⋅4|sinα|=√52．当且仅当1|sinα|=4|sinα|，即sinα=±12时取等号．∴△OAB面积的最大值为√52．【解析】(1)将直线l的参数方程消去参数t，即可得l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再利用直线参数方程中参数t的几何意义及弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式与基本不等式求解．本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)由|x+1|<2，得−2<x+1<2，解得−3<x<1，所以a=−3，b=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得√−3t+12+√t=√3⋅√4−t+√t≤√[(√3)2+12][(√4−t)2+(√t)2]=2√4−t+t=4，当且仅当√4−t√3=√t1，即t=1时等号成立，故√−3t+12+√t的最大值为4．【解析】(Ⅰ)根据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式即可求出不等式的解集，从而求出a，b的值；(Ⅱ)利用柯西不等式的性质即可求出最大值．本题考查绝对值不等式的解法、柯西不等式，考查运算求解能力，属于基础题．。
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小题冲刺训练!二"
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1-3
3!某店一个月的收入和支出总共记录了 6 个数据*&% *'%+%*6 %其中收入 记 为 正 数%支 出 记 为 负 数!该 店 用 下边的程序框图计算月总收入2 和月净盈利7!那么
在图中空白的判断框和处理框中%应分别填入下列四
个选项中的
1-对任意正数;%(!9);")(!:);"