第5章信号的抽取与插值

第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。

但是，在实际工作中，我们经常会s遇到抽样率转换的问题。

一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。

例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。

因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。

得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。

3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。

以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。

近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。

“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。

抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。

前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。

我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。

5.2信号的抽取设nTs t t x n x ==|)()(，欲使s f 减少M 倍，最简单的方法是将)(n x 中每M 个点中抽取一个，依次组成一个新的序列)(n y ，即)()(Mn x n y = n =-∞~+∞ (5.2.1)现在我们证明，)(n y 和)(n x 的DTFT 有如下关系：∑-=-=10/)2()(1)(M k Mk j j eX Me Y πωω（5.2.2）证明： 由（5.2.1）式，)(n y 的z 变换为∑∑∞-∞=∞-∞=--==n n nnzMn x zn y z Y )()()( （5.2.3）为了导出)(z Y 和)(z X 之间的关系，我们定义一个中间序列)(1n x ：⎩⎨⎧=0)()(1n x n x 其它,,2,,0ΛM M n ±±= (5.2.4) 注意，)(1n x 的抽样率仍示s f ，而)(n y 的抽样率是M f s /。

)(n x 、)(1n x 及)(n y 如图5.2.1（a ），（b ）和（c ）所示，抽取的框图如图（d ）所示。

图中符号M 倍抽取。

由该图，显然 )()()(1Mn x Mn x n y ==，这样，有∑∑∞-∞=∞-∞=--==n n Mn nzn x zMn x z Y /11)()()( 即 )()(/11Mzx z Y =(5.2.5)现在的任务是要找到)(1z x 和)(z x 之间的关系。

令∑∞-∞=-=i Mi n n p )()(δ为一脉冲序列，它在M 的整数倍处的值为1，其余皆为零，其抽样频率也为s f 。

由1.8节的Possion 和公式及DFS 的理论，)(n p 又可表示为：∑-=-=101)(M k kn MWMn p , Mj M eW /2π-= (5.2.6)因为)()()(1n p n x n x =，所以：∑∑∞-∞=∞-∞=--==n n n k MnzWn x Mzn p n x z X ))((1)()()(1即：∑-==101)(1)(M k k MzWX Mz X(5.2.7)将该式代入（5.2.5）式，有∑-==101)(1)(M k k MW zX Mz Y(5.2.8)令ωj ez =代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。

（5.2.8）式又常写成如下形式∑-==10)(1)(M k k MMzWX Mz Y(5.2.9)图5.2.1信号抽取示意图，M =3, 横坐标为抽样点数()a 原信号()x n ，1()()b x n ，()c 抽取后的信号()y n ，（d ）抽取的框图（5.2.2）式的含意是，将信号)(n x 作M 倍的抽取后，所得信号)(n y 的频谱等于原信号)(n x 的频谱先作M 倍的扩展，再在ω轴上作k Mπ2（1,,2,1-=M k Λ）的移位后再迭加。

如图5.2.2的（a ），（b ），（c ）,（d ）及（e ）所示。

图5.2.2 信号抽取后频谱的变化, 图中3M =由抽样定理，在由)(t x 抽样变成)(n x 时，若保证c s f f 2≥，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。

对)(n x 作M 倍抽取得到)(n y ，若保证由)(n y 重建出)(t x ，那么，)(ωj e Y 的一个周期（,M M ππ-）也应等于)(t x 的频谱)(Ωj X 。

这就要求抽样频率s f 必须满足c s Mf f 2≥。

图5.2.2正是这种情况。

图中()j X e ω的频谱限制在33ππ-:内，而又正好作M ＝3的抽取，因此)(ωj eY 中没有发生频谱的混迭，如图（e ）所示。

但是，如果c s Mf f 2≥的条件不能得到满足，那么)(ωj e Y 中将发生混迭，因此也就无法重建出)(t x 。

如图5.2.3（a ）所示，()j X e ω的频谱在2ωπ≥的范围内仍有值，因此，即使作M ＝2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b ）所示。

由于M 是可变的，所以很难要求在不同的M 下都能保证c s Mf f 2≥。

为此，防止抽取后在)(ωj e Y 中出现混迭的方法是在对)(n x 抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c ）所示。

令)(n h 为一理想低通滤波器，即⎩⎨⎧=01)(ωj e H其它M πω2||≤ (5.2.10)如图（d ）所示，令滤波后的输出为)(n υ，则∑∞-∞=-=k k n x k h n )()()(υ令对)(n υ抽取后的序列为)(n y ，则∑∞-∞=-==k k Mn x k h Mn n y )()()()(υ∑∞-∞=-=k k Mn h k x )()( （5.2.11）由前面的推导不难得出：∑-==1011)()(1)(M k kM Mk M MW zH W zX Mz Y(5.2.12a)及∑-=--=10)2()2()()(1)(M k Mk j Mk j j eH eX Me Y πωπωω(5.2.12b))(n υ的频谱()j V e ω如图（e ）所示，)(ωj e Y 如图（f ）所示。

由该图可以看出，加上频带为（M M ππ,-）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。

因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。

在图5.2.3（f ）中使用了变量“y ω”，现对此稍作解释。

在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“ω” 也就具有不同的含义。

例如，在图5.2.1（d ）中，若令相对)(ωj e Y 的圆周频率为y ω，相对对()j X e ω的圆周频率为x ω，则y ω和x ω有如下关系：22()2y y s s x f f f f M Mf f M ωπππω==== (5.2.13)若要求y ωπ≤，则必须有x M ωπ≤，这正是（5.2.10）式对()j H e ω频带所提要求的原因。

同时使用y ω和x ω两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。

故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用ω表示之。

只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。

图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M =2（a ）()j X e ω，（b ）没滤波就抽取得到的()j Y e ω，（c ） 信号抽取框图，（d ）)(ωj e H ，（e ）)(ωj eV ，（d ）滤波后再抽取得到的)(ωj e Y5.3信号的插值如果希望将)(n x 的抽样频率s f 增加L 倍，即变成s Lf ，那么，最简单的方法是将)(n x 每两个点之间补L -1个零。

设补零后的信号为)(n υ，则⎩⎨⎧=0)()(L n x n υ其它Λ,2,,0L L n ±±=(5.3.1)如图5.3.1（a ）和（b ）所示。

图5.3.1信号的插值（a ）原信号)(n x ，（b ）插入1-L 个零后的)(n υ，3=L 。

现在来分析)(n x 、)(n υ各自DTFT 之间的关系。

由于∑∑∞-∞=∞-∞=--==n n nj nj eL n x en e V j ωωυω)()()(∑∞-∞=-=k kLj ek x ω)(即)()(L j j e X e V ωω=(5.3.2) 同理)()(L z X z V =(5.3.3)式中，)(ωj e V 和)(ωj e X 都是周期的，)(ωj e X 的周期是π2，但)(L j e X ω的周期是Lπ2。

这样，)(ωj e V 的周期也是L π2。

（5.3.2）式的含意是：在ππ~-的范围内，)(ωj e X 的带宽被压缩了L 倍，因此，)(ωj e V 在ππ~-内包含了L 个)(ωj e X 的压缩样本，如图5.3.2所示。

图5.3.2 插值后对频域的影响，2=L （a ）插值前的频谱，（b ）插值后的频谱由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期（ππ~-）内，)(ωj e V 出现了L 个周期，多余的L -1个周期称为)(ωj eX 的映像，我们应当设法去除这些映像。

实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。

自然，我们需要用)(n x 中的点对这些为零的点作出插值。

实现插值的方法是用)(n υ和一低通滤波器作卷积。