几何最值问题(讲义及答案)

是对角线 AC 上的一动点，若 PM+PB 的最小值为 3，则 AB
的长为__________．
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12，AD=3，E，F 分别为 AB， CD 上的动点，则 AF+FE+EC 的最小值为________．
4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点， 若 P，Q 为 BC 边上的两个动点，且 PQ=2，则当 BP=______ 时，四边形 APQE 的周长最小．
12. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，AD=CD=4， 点 E，F 分别在线段 AB，AD 上，将△AEF 沿 EF 翻折，点 A 的对应点记为 P．当点 P 落在线段 CD 上时，PD 的取值范围 是________________．
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【参考答案】
知识点睛 1. ①两点之间，线段最短
8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 边上，则以 AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小 值为_____________．
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9. 如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM， ON 上，当点 B 在 ON 上运动时，点 A 随之在 OM 上运动， 且矩形 ABCD 的形状和大小保持不变．若 AB=2，BC=1，则 在运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_____________．
的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则 OP·OQ= _________．
Байду номын сангаас
7. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为 BC 边上一 动点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F．若 M 为 EF 的中点， 则 AM 长度的最小值为____________．
2. 轴对称最值模型
求 PA+PB 的最小值，使点在线异侧，转化为求 PA+PB′的最小值．
固定长度线段 MN 在直线 l 上滑动，求 AM+MN+BN 的最小值， 需平移 BN（或 AM），转化为求 AM MB 的最小值．
求|PA-PB|的最大值，使点在线同侧，转化为求|PA-PB′|的最大值．
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精讲精练
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 3，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最 小，则这个最小值为_________．
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，M 是 AB 边的中点，P
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5. 如图，两点 A，B 在直线 MN 的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8， B 到 MN 的距离 BD=4，CD=4，点 P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值为_________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 点 A，B 均在由面积为 1 的相同小长方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 PA PB
第 9 题图
第 10 题图
10. 如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，
当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴
上运动，则在运动过程中，点 P 到原点的最大距离是_______．
11. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示， 折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为 PQ，当点 A′ 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动．若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的 最大距离为________________．
②垂线段最短 ③三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 精讲精练 1．3 2． 2 3 3．15 4．4 5． 4 2 6．3 7． 12 5 8．3 9．1 2 10．1 3 11．2 12． 8 4 3 ≤PD≤4
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几何最值问题（讲义）
知识点睛
1. 解决几何最值问题的通常思路： ①分析定点、动点，寻找不变特征． ②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助 基本定理解决问题． 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢． 理论依据： ①___________________________（已知两个定点） ②___________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________（已知两边长固定或其和、差固定）