太原理工大学 2013级研究生《数值分析》试题及解答

T
xT Ax c f ( x) ；
③三角不等式，因为
f ( x y ) ( x y )T A( x y ) xT Ax yT Ay xT Ay yT Ax xT Ax yT Ay 2 xT Ay
又因 A 是正定矩阵 ， 所以存在可逆矩阵 B ， 使 A B B ， 从而 xT Ay ( Bx)T ( By ) ，于
得按模最大特征值为 1
51 12.75 ， 4
T
16 1 对应的特征向量为 x1 1, , (1, 031373, 0.33333)T . 51 3
T n
证明 证明：
x R 有 二 次 型 x Ax 0， 故 得 ①正 定 性 ， 因 为 A 对 称 正 定 ， 所 以 对
n T
f ( x) xT Ax 0 ，且 f ( x) 0 当且仅当 x 0；
②奇次性，对 c R 有 f (cx) (cx) A(cx) c 2 xT Ax c
( x) 的不动点，则 xk (1) 若 x ( xk ) 称为不动点迭代法； ( x) ，称 x是 1
(2) 若 ( x) 满足下列三个条件，则结论成立 ① ( x) 在其定义域连续（ ( x) C[a, b] ）， ② ( x) 的值域是定义域的子集（ ( x) [a, b] ），
8. 设 A
。
3 2 ( A) ，则 || A || 5 , 2 1
7 。
9. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和 10. 设方程组 Ax b , A
C
k 0
n
(n) k
__1__。
0 0.5 ， 1.5 0
2 1 ，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 3 2
；
1) arctan x , x 1 的等价计算公式为 6. 避免损失有效数字， arctan( x
arctan
1 1 x ( x 1)
。
7. 5阶矩阵A作LU分解时的计算公式 l54
a54 (l51u14 l52u24 l53u34 ) u44
，
u34 a34 (l31u14 l32u24 )
二、每小题15分，共30分
a 2 1 x 1 1 1. 已知方程组 ， 2 a 2 x2 2 1 2 a x3 1
（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当 a 4 时，雅可比迭代法收敛； （3）取 a 5, x
T T
1 8 1 13 8 13 T x , , (0.1,0.32,0.1)T ， x (2) , , (0.052, 0.32, 0.052) . 10 25 10 250 25 250
2. 设（1）确定常数 A, B, C 及 使求积公式 数精度尽量高； （2）是否为高斯型求积公式？ （3）用上述公式计算 解
6
f ( x)dx 9
5
28 3 27 ，右 ，等式不 7 5 精确成立，故此积分公式代数精度为5；因为3点 n 2 ，且 2n 1 5 ，故为Guass型. (3) 由(1)结果，做积分变量变换 t ，计算积分为 2 x, dx 1 2 dt
(2) 显然当 f ( x ) x 时等式精确成立，当 f ( x ) x 时，左 ，得 f 0 f f ( x)dx 2 f (0.5t )dt 9 f 5 9 9 5
Ly
2
f ( x) f ( y ) ，
2 f ( x) f ( y ) 故 f ( x y ) ，所以有 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 。
2. 什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛 x 于 的不动点？ x 说明 说明：
T
2
f ( x y ) ( x y ) A( x y ) x Ax y Ay x Ay y Ax
2 T T T T T
xT Ax yT Ay 2 xT Ay f 2 ( x) f 2 ( y ) 2 xT Ay
而 x Ay ( Lx) ( Ly ) Lx
T T 2 2
Gauss-Seidel 法的迭代分向量式为 x1
(k 1)
1 (k ) 1 (k 1) 1) ( x2 ( b1 ) ， x2 3 x1( k b2 ) . 2 2
11.
l0 ( x ), l1 ( x ), , ln ( x ) 是 以 x0 , x1 , , xn 为 插 值 节 点 的 Lagrange插 值 基 函 数 ， 则
0 2 1 1 或 由Jacobi迭代迭代矩阵 B ，特征方程为 2 0 2 a 1 2 0 a 2 1 a 3 2 1 1 1 I B 3 2 a 2 3 a 4 a 2 a a 1 2 a a 3 2 a 1 3 a a 3 2 1 1 1 a 2 2 3 (a 1)((a )2 a 8) 0， a 0 0 a 1
法方程组是
n n xi i 1
n x yi i a i 1 i 1 n n b xi2 xi yi i 1 i 1
n
；
5. 改进欧拉法的局部截断误差的阶为
O(h2)
1 Βιβλιοθήκη Baidu2 1
1
2
5 3 8
8 5 e0 e 9 9
5 3
e
1
1
x2
1 2 dx e 2 2
t ( )2 2
5 dt e 9
3 5
3 5
1.498679589... .
三、每小题10分，共30分 1. 设A为n阶正定矩阵， f ( x ) x Ax , x R ，证明 f ( x ) 是一种向量范数。
n 2 时,
x l ( x ) _
i 1 2 i i
n
x2___．
(二) 单项选择题 单项选择题（ （每空2分，共10分） 1. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法．
3 2. 321.750 有5位有效数字,其误差限 . 10
( ×) ( × ) ( √ ) ( ×)
T
是有
xT Ay ( Bx)T ( By ) ( Bx)T ( Bx) ( By )T ( By ) xT Ax yT Ay
代入得
f ( x y ) xT Ax yT Ay 2 xT Ax yT Ay xT Ax yT Ay f ( x) f ( y )
故 f ( x) xT Ax , x R n 是一种向量范数. 或，存在可逆矩阵 L ，使 A L L ， f ( x) xT ( LT L) x ( Lx)T ( Lx) Lx
(0)
(
1 1 1 T , , ) ，求出 x (2) 。 10 5 10
解 (1) Jacobi 迭代法
1) (k ) (k ) x1( k 1 2 x2 x3 ) a (1 (k (k ) x2 1) 1 2 x1( k ) 2 x3 ) a (2 (k (k ) x3 1) 1 x1( k ) 2 x2 ) a (1 (2) 因为 a 4 时 A 为严格对角占优，所以Jacobi迭代法收敛；
( x) 满足L－条件，即存在常数 L(0 L 1) 及 ③ x1 , x2 [ a, b] 有
( x2 ) ( x1 ) L x2 x1 .
12 3 3 3. 使用乘幂法求矩阵 A 的最大特征值和对应的特征向量（只需计算 1 2 3 3 2 7
太原理工大学2013级《数值分析》试卷 《数值分析》试卷（ （A）
一、共40分 (一) 填空题 填空题（ （每空2分，共30分） 1. 已知 A
a 3 2 ,当a满足条件 a 2
4 3 2
a>4
时, A可作LLT分解, 其中L是对角线元
素均为正的下三角矩阵。 2. f ( x ) 2x 3x 5x 1以 2, 1, 0,1, 2, 3 为插值节点的五次插值多项式为
1 2
3. 求解微分方程初值问题的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 o( h 4 ) .
n 4. 对 A R n , m
lim Am 0 的充要条件是 A 的某种算子范数 A 1.
5. 方程组 Ax b 的系数矩阵 A 的条件数刻画了解对初始数据的灵敏程度，即 A 的条件数 越大，方程组的病态程度越严重． ( √ )
1 a 1 33 1 33 3.38 ，使谱半径满足 ( B) 1， 2a 2a a
T
得特征值为 1 , 2,3
即得 a 3.38 4 时Jacobi迭代法收敛； (3) a 5 时， x
(1) (0)
1 1 1 , , ，迭代结果为 10 5 10
A B C 4 ( A C) 0 2 16 (A C ) 3 3 ( A C) 0 4 (A C ) 64 5
得积分公式为
2 2
解得
10 A C , 9 16 B , 9 3 2 . 5
10 3 16 10 3 f 2 f 0 f 2 ， 5 9 9 5
(1,1,1) 。 前两次迭代的值）取初值 v 0
T
解
vk Auk 1, 2, 1, k 幂法公式为 ，初值 vk uk (1,1,1)T 计算如下 max(vk ) k uk vk / k T T vk uk k k
0 1 2 1， -5， 51/4, 1， 2， -4, 1 8 17/4 1 8 51/4 1， -3/4, 1, 1， 1/4, -16/51, 1 1 1/3
) Bf (0) Cf ( ) 的代 f ( x )dx Af (
2
2
e
1
1
x2
dx （保留4位小数）.
1 2k 1 (1) 当 f ( x) x 2 k 时，左 (C A) ， 0 ，右
对4个参数，取 f ( x ) 1, x , x 2 , x 3 , x 4 等式精确成立，得
L5 ( x ) f(x) 。
3. 求积公式
f ( x )dx f ( ) f ( ) f ( ) 3 4 3 2 3 4
0
1
2
1
1
1
2
3
具有
3
次代数精度。
1, 2, , n) ，用直线y＝a＋bx拟合这n个点，则参数a、b满足的 4. 已知数据对 ( xk , yk ) ( k