太原理工大学 2013级研究生《数值分析》试题及解答

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太原理工大学数值计算方法题库讲解

数值计算方法试题一一、填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

《数值分析》所有参考答案

解：
等价三角方程组
，，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
，，，
16.已知，求，，。
解：
, ,
17.设。证明
，(II)
，
当时
当时
迭代格式(II)对任意均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当时
当时
迭代格式(III)对任意均收敛
4)
取格式(III)
，，，
4.用简单迭代格式求方程的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当时，，
1 2
当时
，
，
，，
1)
迭代格式，
,
当时，，
任取迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当时存在使得
，
,
所给为上的一个范数
18.设。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求，，及，。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设为上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
，使得
对一切均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]

2013年元月数值分析(题解)

工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3）设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______．（4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）．（6）给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________．（7）设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ．（8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶．（9）常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10）对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ；（2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵．七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ）（1）求上述求积公式（A ）的代数精度；（2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=．试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案（1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=；（7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根．根（a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛．（2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ．因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈．三. 解设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775．根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ．根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解（1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛．（2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解（1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(；当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=；当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=．则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有６位有效数字，求绝对误差限。

（4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分）解:{},88,4,1max 1==A１分{},66,6,1max ==∞A1分()AA A T max 2λ=1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T420⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001220-⎥⎥⎥⎦⎤440＝⎢⎢⎢⎣⎡00180⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分{}3232,8,1max )(max ==A A T λ1分24322==A3. 设32)()(a x x f -= （６分） ① 写出f(x ）＝0解的Ne ｗt ｏｎ迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,１……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①N ｅwton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分 ②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组A ｘ=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=０,１……)求解Ａx ＝b,问取什么实数α，可使迭代收敛(8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B ２分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α ２分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jaco ｂｉ迭代法的收敛性,并建立Gauss-Ｓeidel 迭代格式 (9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-21)(1U L D B J22--⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分,03213=====-λλλλλJ B I2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jaco ｂi 迭代收敛１分Gauss －Ｓeidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=０,1,2,3……) ３分6. 用Dool ｉttl ｅ分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i ＝1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (１2分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=ＬU 3分由Ly=ｂ1,即⎢⎢⎢⎣⎡111110⎥⎥⎥⎦⎤100ｙ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974得y ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分由Ｕｘ1＝y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得ｘ1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421ｘ2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111由Ly=ｂ2=x １，即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 １分由U ｘ2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 由L ｙ=ｂ3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分由U ｘ3＝y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+１)+2ｘ.ｘ(x ＋1）=232x x +3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表,并利用Ｎew ｔon 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i ＝0，１，2,3）为等距插值节点，则N ｅw ｔｏn 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f hx x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+= ＝4＋５ｘ＋x(ｘ-1)=442++x x4分9. 求f(x)=x 在[-1，1］上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差（8分)解:令22102)(x a x a a x P ++=2分取m ＝1, ｎ=x ， k=2x ，计算得：（m,m)＝dx ⎰-111＝0 (m,ｎ)=dx x ⎰-11=１ (m ，k)=dx x⎰-112＝0(n,k)=dx x⎰-113=0．5 （k,ｋ)=dx x⎰-114=０（m,y ）＝dx x ⎰-11=1(n,ｙ)=dx x ⎰-112＝０ (k ，y ）=dx x ⎰-113＝0.5得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+=１分平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据:用复合梯形公式，复合Ｓi ｍps ｏn 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位) （８分)解:用复合梯形公式: )}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3．1３９4分用复合Ｓimpso ｎ公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= ＝３.142４分11. 计算积分⎰=2sin πxdx I ，若用复合Simpso ｎ公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解: ①由Simp ｓon 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ２分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π,由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯１分12. 用改进Eu ｌe ｒ格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为０．1，计算y(1.１）的近似值（保留小数点后三位)[提示:sin1＝0.84,ｓi ｎ1.1=0．８9] （6分）解：改进Ｅul ｅr 格式为:⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y2分于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=０,1,2……) 2分由y(１）=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y2分即ｙ（1.1)的近似值为0.83８13. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明:]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出4分14. 证明:设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ａx=λｘ１分且λρ=)(A ,若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ1分而xx ⋅=λλx A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以1分故A A ≤)(ρ1分当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。

数值分析版试题及答案

数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。

解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

2013数学数值分析试题A

七、（本题满分 10 分）（从下列两题中选择一道题完成）
1、设 f (x) = x ,在[−1,1]求关于ϕ = span{1,x2} 的最佳平方逼近多项式。
解：定义内积（f , g）= ∫1 f (x)g(x)dx ， −1
记ϕ0 (x) = 1，ϕ1(x) = x2 ，则有
∫ (ϕ0 ,ϕ0 ) =
式。
解：（1）确定V = ϕ(i) 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这
些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取
V = a + bi
（2）建立法方程组。
1 1
1
2

1 4
A = ，-----------------------------2 分
−1
2

2
法方程为：

2 3
2 3 2 5

c0 c1

=

1 1 2

-------------------------------2
分
解得： c0
= 3, 16
c1
=
15 16
----------------------------------------2
A
A
数。解：由条件得， • A 的齐次性和三角不等式性是显然的，我们只需考虑正定性，
证明如下：考虑方程组 Ax = 0 解的情况： (1) 若 A 非奇异，则原方程组有唯一零解： x = 0 ，
由此可得
x = 0 ⇔ x A = Ax = 0 (2) 若 A 奇异，则原方程组有无穷解，不满足正定性。
1 6

2013研究生数值分析试题参考答案

太原科技大学硕士研究生2013/2014学年第1学期《数值分析》课程试卷公式提示：1、Legendre 多项式)(x p n 的递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x p n n x xp n n x p x x p x p n n n2、Chebyshev 多项式)(x T n 的递推关系式：⎪⎩⎪⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n一、填空题（每小题5分，共35分）1、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将x cos 1-改写为___22sin2x___ 2、已知x=0.03056是经过四舍五入得到的近似值，则x 有____5__位有效数字.3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则=∞)(A Cond ___21___.4、已知()sin 1f x x x =--，则牛顿法的迭代公式是_____1sin 1,0,1,2,...1cos k k k k kx x x x k x +--=-=-__________5、求解非线性方程310x x --=的一个收敛的简单迭代公式为_______10,1,2,...k x k +==________。

6、设,,2,1,0,,53)( ==+=k kh x x x f k 则=++],,[21n n n x x x f _______3h________。

7、若用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，则Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是应使a 满足______a <<_________。

二、（本题满分15分）（1）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x （2）写出用Jacobi 迭代求解上述方程组的迭代公式的分量形式。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

2013数值分析研究生试题

xk 1 xk
3 2 xk xk 1 2 3x k 2 x k
（5）
a 10 1 ，要使 lim A k 0 ，a 应满足___________； A 0 k 2
解
a 1
已知方程组
（6）
5 x 2 y 8 ，其雅可比法的迭代矩阵是______________， 3x 20 y 26
1 2 。 3 4
（1）求 A p , p 1,2, （2）求 A 的谱半径 ( A) 。解（1） A 1 max(4,6) 6, A max(3,7) 7 ，
10 14 AT A 。 14 20
2 T 由 | A A I | 0 ，得 30 4 0 。解得 15
证明 lim f [ x 0 , x1 , , x n ]
2
证明：查 p( x ) (f(x)-p(x), j ) =(f, j )- (p(x), j )
a
k 0 k
nk(ຫໍສະໝຸດ x)--------5 分
注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组
0 , 0 0 , 1 0 , n a 0 ( f , 0 ) 1 , 0 1 , 1 1 , n a1 ( f , 1 ) 两边的 j-th 分量为 , , , a ( f , ) n 1 n n n n n 0
3
f ( n) ( x 0 ) h 0 n! ( n) f ( ) 证明：因 f [ x 0 , x1 , , x n ] --------7 分 n! (x0 ,x0 +nh) 注意到 n 阶导数连续性，--------12 分两边取极限 ok! --------15 分 5. （10 分）设 f(x)在有限维内积空间＝span{0 , …, n }上的最佳平方逼近为 p(x), 试证明， f(x)-p(x)与中所有函数正交。

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。

**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。

以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。

以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。

2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。

......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。

解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。

2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。

请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。

高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。

求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。

步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。

硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)

硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有4位有效数字。

( ) 2. 设(0,1,2,3)i x i =是互异的点，()(0,1,2,3)i l x i =是Lagrange 插值基函数，则3224()4i ii x l x x==∑. ( )3. 设73()32f x x x =-+，则差商1234567[2,2,2,2,2,2,2]1f =。

( ) 4. 设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径()1A ρ<。

( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的整体截断误差是4()O h ，其中h 是步长。

( )二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设T(2,1,3,4)=-x ，2543A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 则 1||||x = , Cond()A ∞= .2. 设20()d I f x x =⎰，若用梯形求积公式计算I ，结果是4；用Simpson 求积公式计算I ，结果是2. 则(1)f = .3. 设S 是函数f 在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：()()22,01,()111,13,2x x S x x a x b x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+≤≤⎪⎩ 则a = ，b = ，(3)f '= .4. 设函数(0.8) 1.2,(0.9) 1.4,(1) 1.0,(1.1)0.2,(1.2)0.5f f f f f =-=-=-==, 步长0.2h =，则用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .5. 设函数()f x 是最高次项系数为1-的3次多项式，2()p x 是()f x 在节点1,0,1-上的Lagrange 插值多项式, 则余项2()()f x p x -= .三(本题满分8分)的近似值*x 的相对误差限是0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明理由。

《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案

工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出;碍于本人水平有限，部分题目未有解答。

祝各位考试顺利！一。

解答下列问题:1)下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么？ )：a ）对 e = 2.718281828459045…，取*x = 2.71828（答: 6 位（因为它是按四舍五入来的） )b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.（答： 7 位（按定义式621113355101415929.31415926.3-⨯≤-=- π 推得） ) c ）经过四舍五入得出的近似值12345,-0。

001， 90。

55000, 它们的有效数字位数分别为 5 位, 1 位， 7 位。

2) 简述下名词：a ）截断误差（不超过60字) （见书P 。

5)答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b ）舍入误差 (不超过60字）（见书P.6）答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入"，这时所产生的误差就是舍入误差.c) 算法数值稳定性 (不超过60字）（见书P.9)答：是指算法在执行过程中,某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。

（参考书P 。

7例1.2.3)4) 计算球体积334rVπ= 时,为使其相对误差不超过 0。

3% ,求半径r 的相对误差的允许范围。

（见书P 。

7例1。

2.3) 注意，有两种解法，任选其一。

5) 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时，为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?( 参考书P.43习题1.9（1)及其答案）6）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= （三位有效数字 ) 作近似计算，问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍? 这个计算过程数值稳定吗 ?（本题略）二。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

13级研究生数值分析习题

13级研究生数值分析习题第一章误差及相关问题内容及纲目：1）舍入误差和截断误差2）绝对误差和相对误差3）误差的传播和计算函数值4）算法的数值稳定性5）计算中需要注意的问题1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。

3.的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。

4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。

4. 227作为=3.1415926π有几位有效数字? 5. 误差的来源?计算中需要注意的几个问题.第二章函数插值内容及纲目：1）插值多项式的存在性与唯一性2）插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距节点的插值）3）带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法4）差分和差商的定义、性质和联系5）三次样条插值公式及误差估计1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。

2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。

3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1).)(x H 是不超过三次的多项式；2). ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。

4. 构造不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 bx a x f ≤≤|)(''|max 。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

研究生《数值分析》试题

数值分析试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。

332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。

六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。

七．（10分）根据已知函数表：建立不超过三次的Newton 插值项式。

八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。

九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。

10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？（在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）。

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T n
证明证明：
x R 有二次型 x Ax 0，故得 ①正定性，因为 A 对称正定，所以对
n T
f ( x) xT Ax 0 ，且 f ( x) 0 当且仅当 x 0；
②奇次性，对 c R 有 f (cx) (cx) A(cx) c 2 xT Ax c
( x) 的不动点，则 xk (1) 若 x ( xk ) 称为不动点迭代法； ( x) ，称 x是 1
(2) 若 ( x) 满足下列三个条件，则结论成立 ① ( x) 在其定义域连续（ ( x) C[a, b] ）， ② ( x) 的值域是定义域的子集（ ( x) [a, b] ），
法方程组是
n n xi i 1
n x yi i a i 1 i 1 n n b xi2 xi yi i 1 i 1
n
；
5. 改进欧拉法的局部截断误差的阶为
O(h2)
二、每小题15分，共30分
a 2 1 x 1 1 1. 已知方程组， 2 a 2 x2 2 1 2 a x3 1
（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式；（2）证明当 a 4 时，雅可比迭代法收敛；（3）取 a 5, x
8. 设 A
。
3 2 ( A) ，则 || A || 5 , 2 1
7 。
9. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和 10. 设方程组 Ax b , A
C
k 0
n
(n) k
__1__。
0 0.5 ， 1.5 0
2 1 ，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 3 2
得按模最大特征值为 1
51 12.75 ， 4
T
16 1 对应的特征向量为 x1 1, , (1, 031373, 0.33333)T . 51 3
n 2 时,
x l ( x ) _
i 1 2 i i
n
x2___．
(二) 单项选择题单项选择题（（每空2分，共10分） 1. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法．
3 2. 321.750 有5位有效数字,其误差限 . 10
( ×) ( × ) ( √ ) ( ×)
；
1) arctan x , x 1 的等价计算公式为 6. 避免损失有效数字， arctan( x
arctan
1 1 x ( x 1)
。
7. 5阶矩阵A作LU分解时的计算公式 l54
a54 (l51u14 l52u24 l53u34 ) u44
，
u34 a34 (l31u14 l32u24 )
T
2
f ( x y ) ( x y ) A( x y ) x Ax y Ay x Ay y Ax
2 T T T T T
xT Ax yT Ay 2 xT Ay f 2 ( x) f 2 ( y ) 2 xT Ay
而 x Ay ( Lx) ( Ly ) Lx
T T 2 2
1 a 1 33 1 33 3.38 ，使谱半径满足 ( B) 1， 2a 2a a
T
得特征值为 1 , 2,3
即得 a 3.38 4 时Jacobi迭代法收敛； (3) a 5 时， x
(1) (0)
1 1 1 , , ，迭代结果为 10 5 10
太原理工大学2013级《数值分析》试卷《数值分析》试卷（（A）
一、共40分 (一) 填空题填空题（（每空2分，共30分） 1. 已知 A
a 3 2 ,当a满足条件 a 2
4 3 2
a>4
时, A可作LLT分解, 其中L是对角线元
素均为正的下三角矩阵。 2. f ( x ) 2x 3x 5x 1以 2, 1, 0,1, 2, 3 为插值节点的五次插值多项式为
T
是有
xT Ay ( Bx)T ( By ) ( Bx)T ( Bx) ( By )T ( By ) xT Ax yT Ay
代入得
f ( x y ) xT Ax yT Ay 2 xT Ax yT Ay xT Ax yT Ay f ( x) f ( y )
故 f ( x) xT Ax , x R n 是一种向量范数. 或，存在可逆矩阵 L ，使 A L L ， f ( x) xT ( LT L) x ( Lx)T ( Lx) Lx
6
f ( x)dx 9
5
28 3 27 ，右，等式不 7 5 精确成立，故此积分公式代数精度为5；因为3点 n 2 ，且 2n 1 5 ，故为Guass型. (3) 由(1)结果，做积分变量变换 t ，计算积分为 2 x, dx 1 2 dt
(2) 显然当 f ( x ) x 时等式精确成立，当 f ( x ) x 时，左，得 f 0 f f ( x)dx 2 f (0.5t )dt 9 f 5 9 9 5
T
xT Ax c f ( x) ；
③三角不等式，因为
f ( x y ) ( x y )T A( x y ) xT Ax yT Ay xT Ay yT Ax xT Ax yT Ay 2 xT Ay
又因 A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵 B ，使 A B B ，从而 xT Ay ( Bx)T ( By ) ，于
Gauss-Seidel 法的迭代分向量式为 x1
(k 1)
1 (k ) 1 (k 1) 1) ( x2 ( b1 ) ， x2 3 x1( k b2 ) . 2 2
11.
l0 ( x ), l1 ( x ), , ln ( x ) 是以 x0 , x1 , , xn 为插值节点的 Lagrange插值基函数，则
T T
1 8 1 13 8 13 T x , , (0.1,0.32,0.1)T ， x (2) , , (0.052, 0.32, 0.052) . 10 25 10 250 25 250
2. 设（1）确定常数 A, B, C 及使求积公式数精度尽量高；（2）是否为高斯型求积公式？（3）用上述公式计算解
Ly
2
f ( x) f ( y ) ，
2 f ( x) f ( y ) 故 f ( x y ) ，所以有 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 。
2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛 x 于的不动点？ x 说明说明：
A B C 4 ( A C) 0 2 16 (A C ) 3 3 ( A C) 0 4 (A C ) 64 5
得积分公式为
2 2
解得
10 A C , 9 16 B , 9 3 2 . 5
10 3 16 10 3 f 2 f 0 f 2 ， 5 9 9 5
) Bf (0) Cf ( ) 的代 f ( x )dx Af (
2
2
e
1
1
x2
dx （保留4位小数）.
1 2k 1 (1) 当 f ( x) x 2 k 时，左 (C A) ， 0 ，右
对4个参数，取 f ( x ) 1, x , x 2 , x 3 , x 4 等式精确成立，得
(1,1,1) 。前两次迭代的值）取初值 v 0
T
解
vk Auk 1, 2, 1, k 幂法公式为，初值 vk uk (1,1,1)T 计算如下 max(vk ) k uk vk / k T T vk uk k k
0 1 2 1， -5， 51/4, 1， 2， -4, 1 8 17/4 1 8 51/4 1， -3/4, 1, 1， 1/4, -16/51, 1 1 1/3
0 2 1 1 或由Jacobi迭代迭代矩阵 B ，特征方程为 2 0 2 a 1 2 0 a 2 1 a 3 2 1 1 1 I B 3 2 a 2 3 a 4 a 2 a a 1 2 a a 3 2 a 1 3 a a 3 2 1 1 1 a 2 2 3 (a 1)((a )2 a 8) 0， a 0 0 a 1
பைடு நூலகம்
L5 ( x ) f(x) 。
3. 求积公式
f ( x )dx f ( ) f ( ) f ( ) 3 4 3 2 3 4
0
1
2
1
1
1
2
3
具有
3
次代数精度。
1, 2, , n) ，用直线y＝a＋bx拟合这n个点，则参数a、b满足的 4. 已知数据对 ( xk , yk ) ( k
1 2 1
1
2
5 3 8
8 5 e0 e 9 9
5 3
e
1
1
x2
1 2 dx e 2 2
t ( )2 2
5 dt e 9
3 5
3 5
1.498679589... .
三、每小题10分，共30分 1. 设A为n阶正定矩阵， f ( x ) x Ax , x R ，证明 f ( x ) 是一种向量范数。
( x) 满足L－条件，即存在常数 L(0 L 1) 及 ③ x1 , x2 [ a, b] 有
( x2 ) ( x1 ) L x2 x1 .