单纯形法的综述及其应用-文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

单纯形法的综述及其应用

一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关

主题争论焦点）

1.写作目的

本文主要在于介绍单纯形法的历史背景，基本计算方法，改进的计算方法，以及单纯形法的应用．目的在于对单纯形法的历史背景，计算方法等进行综述，并总结单纯形法在生活各个领域的应用，单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法，通过对单纯形法的进一步了解，最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解．

2.有关概念

LP 问题的一般形式[1]

()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L

()()()11112211211222221122

12..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥⎧⎪+++≤≥⎪⎪⎨⎪+++≤≥⎪⎪≥⎩

L L L

L L 线性规划问题的标准型为[2]

()

()()11221111221121122222m1122

12min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++⎧+++=⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥=⎩

L L L L L L 为目标函数（1）

为决策变量 其矩阵形式为

min s.t.0S CX

AX b X ==⎧⎨≥⎩（2）

其中，()12,,,n C c c c =L ，决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L ．

A 为约束条件中的系数矩阵, 即

1112121

22212

n n m m mm a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]：设矩阵A 的秩为m ，矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵，则B 为一个基矩阵．矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分，记成B x 和N x ，B x 的分量与B 的列对应，称为基变量；N x 的分量与N 中的列对应，称为非基

变量．在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时，得到解10B N x B b x x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，称为相

应于B 的基本解．

定义2[3]：基本解得基变量都取非负值时，即满足10B x B b -=≥的基本解为基本可行解．

定义3[4]：满足式（1）各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1min n j j j Z c x ==

∑达到最大值的可行解称为最优解.

定义4[4]：设A 为约束方程组1

(1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ⨯阶系数矩阵，

设(n m >),其秩为m ，B 为矩阵A 中的一个m m ⨯阶的满秩子矩阵，称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性，设

11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量；与基向量j α对应的变量j x 称为基变量.基变量以外的的变量称为非基变量.

定义5[4]：在约束方程组1(1,...,)n ij

j i j a x b i m ===∑中，令所有非基变量

12...0m m n x x x ++====.

此时约束方程组有唯一解()12,,,T

B m X x x x =L .将此解加上非基变量取０的值，有()12,,,,0, 0

m X x x x =L ，称X 为线性规划问题的基本解.基本解总数不超过m n C 个.

3.综述范围

通常，求解LP 模型时，常用基本单纯形方法、大M 法、两阶段法等，所以在文献[5-8]具体介绍了求解线性规划的单纯形法的一些计算方法．根据对模型中是否存在单位基矩阵、存在怎么样的基矩阵等特征的判断来选择方法或判断解的存在与否等情况．这就是说，在求解线性规划的单纯形法中，初始基(矩阵)的确定是一个基本问题．通常使用大M 法和两阶段法，通过人工构造，人为地在系数矩阵中形成一个单位矩阵作为初始基，再进行单纯形法的迭代[9]．

由于越来越多的领域借助于线性规划来做出最优决策，完善线性规划理论及其有效解法已成为重要研究课题．单纯形法作为求解线性规划问题较实用而有效的算法已在实际中得到广泛应用．本文在文献[10-11]简述关于单纯形算法的讨论、优化设计与实现，分析了单纯形算法的主要特点．

最后本文例举一些单纯形法在实际问题应用例子来说明单纯形法是处理运筹学模型的一种重要方法．

4.主题的争论

各种资源的最优配置已成为当今节约型社会的研究热点．它广泛应用于国防、科技、工业、农业、交通运输、环境工程、教育、经济及社会科学等领域，是指在一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何合理利用这些资源完成最多任务或得到最大效益的方法．线性规划的资源最优配置是研究在一组线性约束之下，目标线性函数的最小值或最大值问题[3]．

Dantzig 在1947年提出了求解线性规划问题的单纯形算法．单纯形算法是寻找最优基本可行解的一种行之有效的算法[12].

二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）

（一）历史背景

单纯形法是求解线性规划问题的通用方法．它是是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首