公式法解一元二次方程教案-人教版

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2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案

2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程一、学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上，从问题入手，推导求根公式，并能用公式法解简单系数的一元二次方程。

二、教学目标（1）知识目标1.理解求根公式的推导过程和判别公式；2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.（2）能力目标1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。

(3)情感态度让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．三、教学的重、难点及教学设计（1）教学的重点1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.2.熟练地用求根公式解一元二次方程。

（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。

四.教学方法在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位。

通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识。

五、教具准备彩色粉笔、幻灯片等。

六、教学过程1.复习导入新课在上课之前给出一个一元二次方程2x2-9x+8=0要求用配方法求解，并写出配方法的一般步骤。

（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-9x+8=0二次项系数化为1得x 2-92x+4=0；移项x 2-92x=-4；配方变形开方求解定解（1）所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的（2）总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备1. 呈现问题，层层递进，探索新知你能用配方法解般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)吗?化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到这步时，提出问题:①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？让小组交流、讨论达成共识。

用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。

所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

公式法解一元二次方程---教案

《公式法解一元二次方程》教案一、教学内容解析1.具体内容：《公式法解一元二次方程》这个内容在人教版教材中对应的是九年级上册第一章第三节《公式法》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.本节课的教学内容包括以下三个方面：①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.2.教育价值：在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.从运算的角度看，公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一.各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序.开平方运算不是总能进行的，要根据判别式的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由三个系数来确定.通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.3.与相关内容的联系：方程是初中数学的核心概念，在初中数学中占有重要的地位.在学习一元二次方程之前学生已经学会了解一元一次方程、二元一次方程和分式方程等，积累了一定的解方程的经验，体会到解分式方程时需要通过去分母将分式方程转化为整式方程，渗透了转化的数学思想，为研究一元二次方程的解法奠定了基础.，同时一元二次方程的“公式法”是在学习了直接开方法和配方法之后必须掌握的另一种解一元二次方程的方法，是配方法的一般化和程式化，利用它可以更便捷地解一元二次方程.另外，一元二次方程的解法为高中阶段学习二元二次方程组和一元高次方程的解法提供了方法的引领，发挥着重要的作用.从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，不仅是对已经学过的实数、整式、二次根式等知识的巩固，也为今后学习二次函数以及高中阶段的算法等知识奠定基础，起到了承上启下的作用.二、教学目标1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.三、学生学情分析学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的过程会遇到困难.2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b 2-4ac 取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.3.对 2244-2a ac b a b x ±=+的化简也会存在问题，有些学生会对由2244-2a ac b a b x ±=+到aac b a b x 2422-±=+的变化不理解. 4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a 、b 、c 的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.四、教学策略分析策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.策略2——当推导到22a 4ac 4-b ）a 2b （=+2x 这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能进行开方运算，于是针对22a 4ac4-b 展开进一步的探讨，渗透分类讨论的数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.策略3——对2244-2a ac b a b x ±=+ 进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为2244a acb -的化简结果就是a 2ac 4-b 2，没有考虑到4a 2开方的结果是a 2，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对aac b a b x 2422-±=+不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，∵a ≠0，当a ＞0时2244-2a ac b a b x ±=+ ，当a ＜0时aac b a ac b a b x 2424222-=--±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有2244-2a ac b a b x ±=+ ，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题.策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a 、b 、c ，再判断b 2-4ac ，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时揭示了“神器”的奥秘，引申出高中阶段要学习的算法知识，体现了知识的前后联系.五、教学过程第一环节情境引入活动内容：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准.用配方法解下列方程：(1)2x2-3x+1=0; (2)3x2-6x+4=0.找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在题单上运算.设计意图：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，即激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可以用配方法来求解，同时体验到配方法的局限性.由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够了.思考：（1）回忆用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？体现了哪种数学思想？设计意图：通过提问，一方面加深对学生数学思想方法的渗透，另一方面，与本节课公式法解一元二次方程的本质形成对比，增强学生对知识的理解和掌握.（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤为后面用配方法推导一元二次方程的求根公式做铺垫.（3）所有的一元二次方程都能用配方法求解吗？你喜欢配方法吗？为什么？（4）能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？出示 “计算神器”，指出只要知道a 、b 、c 就能很快判断出方程根的情况，并且很快计算出方程的根.用“计算神器”计算上面两个一元二次方程，并让学生随机说出一个一元二次方程，进行求解.设计意图：借助“计算神器”，一方面激发学生学习数学的兴趣，调动积极性；另一方面，使学生初步感受到一元二次方程的根的情况就是由系数a 、b 、c 决定的.特别是计算神器的原理又是高中阶段的算法的程序图，这样处理体现知识的前后联系.第二环节新知探究活动1：推导求根公式.用配方法解一元二次方程：ax 2+bx +c =0(a ≠0)学生阅读题单上小亮同学的用配方法解方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.解：∵a ≠0∴方程两边都除以a 得0ac x a b x 2=++ ，得 ac x a b x 2-=+ 配方，得 222ac x a b x ) () (+-=++ 即: 2x ）____（+=思考：（1）按照配方法的步骤，下一步应该做什么呢？（2）现在能直接两边开平方吗？如果能开平方，写出开平方后的结果，如果不能，说明理由.（学生小组内讨论）（3）什么情况下 04422≥-a ac b？引导学生分析∵ a ≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-aac b 只要 b 2-4ac ≥0即可.当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：2244-2a ac b a b x ±=+ （4）如何2244-2a ac b a b x ±=+对进行化简呢？（学生先独立思考再小组交流讨论）PPT 呈现：对2244-2a ac b a b x ±=+化简结果进行分析∵a ≠0当a ＞0时aac b a b x 2422-±=+ 当a ＜0时aac b a ac b a b x 2424222-=--±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 2422-±=+ 最后得出aac b b x 242-±-=设计意图：由于用配方法推导求根公式是本节课的一个难点，为了突破这个难点，于是将公式的推导过程分为两个部分，第一部分，只要学生知道配方法的步骤及每一步对应的依据就能很快完成推导过程，但是后一部分对开方的条件的判断以及对2244a ac b ab x -±=+的化简结果的讨论都是本节课上学生的困难所在，于是采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，大大降低了推导公式的难度，达到让学生跳一跳就能摘到桃子的效果.（5）如果b 2-4ac <0时，会出现什么问题？归纳：我们把a ac b b x 242-±-=称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，理解公式的结构特征，突出数学问题的本质.活动2：典例示范.例：用公式法解方程：2x 2-3x +1=0 .板书示范解：这里 a =2, b =-3, c =1.b 2-4ac =(-3)2-4×2×1=1>0.413221)3(±=⨯±--=x ,即，11=x , 212=x . 思考：例题与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程2x 2-7x +3=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟从特殊到一般、发现提出问题的方法.请模仿例题完成下面的做一做做一做：用公式法解下列方程（1）2x2-22x+1=0 ;（2）5x²-3x=x+1 ; （3）x2+17=8x .思考：（1）第（2）题与第一环节中的第（2）题对比，哪种解法更简捷？（2）通过例题与练习题的学习，请思考用公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？（3）观察这三道题，你还有什么发现？归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示.设计意图：通过解方程使学生进一步体会求根公式的实质是代数式求值的过程，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路.使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不用代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可以先确定判别式的值代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.第三环节巩固应用1.判断下列方程根的情况：（1）x 2+5x +6=0 （2）9x ²+12x+4=0设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度.第四环节感悟收获谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评完善. 既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.另外，用程序图表示用公式法解一元二次方程的步骤，揭开神器的秘密，学生的好奇心得到满足.第五环节当堂检测1.一元二次方程y 2＋3y －4=0的根的情况为（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.不能确定2.已知关于x 的一元二次方程x ²+2x +a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（） A. 1 B. -1 C. 41 D. 413.用公式法解方程4x2+9=12x设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学习水平，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实.第六环节布置作业必做题：习题2.5 知识技能第1、2、3题选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程2x²－3x+1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.六、教学反思本节课的设计目标明确，重点突出，课前以数学竞赛（用配方法解一元二次方程）引入，调动了学生学习数学的积极性，同时激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.公式的推导过程本来是本节课的难点所在，课前设计的各种为了突破难点的策略都发挥了极大的作用，学生在问题的引导下，同伴的互助下很顺利地推导出了一元二次方程的求根公式.公式的训练、落实有效，对判别式的归纳从特殊到一般思路很清晰，归纳也条理.在整个课堂教学活动中，不仅关注数学知识与能力的发展，同时也重视数学思想方法的渗透；不仅有学生独立思考解决问题的环节，同时也关注了学生之间的合作交流，培养了学生之间的合作精神，不仅注重了对学生基础知识和基本技能的评价，同时又注重了对学生情感态度的评价.。

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

人教九上数学21.2.2公式法解一元二次方程教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-运用求根公式计算出一元二次方程的解，并理解其意义。
-根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况（有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根）。
举例解释：以方程3x^2 - 5x + 2 = 0为例，重点讲解如何识别a、b、c的值（a=3, b=-5, c=2），并引导学生通过求根公式计算出具体的解（x1,2 = (5±√(25-4*3*2))/(2*3)），强调这一过程是解决一元二次方程的关键。
在小组讨论环节，虽然大部分同学都能够积极参与，但仍有个别同学显得较为沉默。我想在之后的课堂中，更多地关注这些同学，鼓励他们发表自己的观点，提高他们的自信心和表达能力。
最后，从整体来看，学生们对于一元二次方程的求解方法和应用有了基本的了解。但在教学过程中，我也意识到需要不断调整和优化教学方法，以提高教学效果。例如，增加课堂互动，让学生更多地参与到课堂教学中来；加强对重点难点的讲解，确保学生真正理解并掌握这些知识点。
3.增强学生的数据分析能力，使其能够根据判别式的值分析一元二次方程的根的情况，进而对问题进行深入理解与解决。在教学过程中，关注学生对于公式的理解与应用，引导他们形成系统的数学思维和方法。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程。
-能够准确地将一元二次方程转换为标准形式，识别出a、b、c的值。

公式法教案

移项，得：
二次项系数化为1，得：
学生跟随教师思考配方后的结果能否直接求解，体会公式的推导过程，仔细观察推导过程中的各种陷阱，并理解和记忆公式
先让学生用已学的知识：配方法解一般方程，然后教师再对其进行后续的推导，这样设计在学生的心中的印象会更加深刻
引导学生全面思考，对于开方法，开方时必须保证被开方数是非负的，培养学生理性思维的能力；同时，逐步推导，更加有利于学生理解和掌握求根公式的推导过程，也便于记忆求根公式
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2、了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
（2）过程与方法
1、通过从特殊到一般，理解公式的推导过程，进而记忆公式；
2、结合公式的背景，体会公式法的应用条件，进而选择合适的解方程的方法。
（3）情感态度与价值观
通过主动的探索与相互间的交流获得新的知识体系，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值。
提出问题（3min）
2.提出问题
解方程：
思考并在纸上写出详细解答过程：
解：移项，得：
二次项系数化为1，得：
配方，得：
由此可得；
通过解方程，使学生快速的回忆起配方法的具体运用，同时为本节课的推导做准备
探索新知（18min）
3.探索新知
由配方法的步骤容易知道，它对于任意的二次根式都能运用，随即提出：
对于一般的一元二次方程能否用配方法求出它的两根？
指出这里不管取正/负，由于前面有，结果始终为
因此，原方程的根为
整理得：
对于一般的一元二次方程的根为：
1 原方程无实数根；
2 ，方程有两个相同的实数根；
3
方程有两个不等的实数根。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，

《用公式法解一元二次方程》教案设计

《用公式法解一元二次方程》教案设计教学目标1.知识与技能：o掌握一元二次方程的一般形式 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)。

o理解一元二次方程的求根公式，并能正确应用公式求解。

2.过程与方法：o通过实例演示和练习，学会用公式法解一元二次方程。

o培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3.情感、态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣。

o培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。

教学重点与难点●教学重点：掌握求根公式的应用。

●教学难点：正确识别方程系数并代入求根公式。

教学准备●黑板或多媒体教学设备●一元二次方程的例子和练习题教学过程一、导入新课（5分钟）●回顾一元二次方程的定义和一般形式。

●提问学生：我们之前学过哪些解一元二次方程的方法？（如因式分解法）●指出本节课要学习的新方法——公式法。

二、讲授新课（15分钟）1.介绍一元二次方程的求根公式：o x = [-b ±√(b^2 - 4ac)] / (2a)o强调公式中各部分的含义和来源。

2.演示如何使用求根公式：o选择一个典型的一元二次方程（如 x^2 - 5x + 6 = 0）作为例子。

o引导学生识别方程的系数 a, b, c。

o代入求根公式，逐步计算。

o得出方程的解，并验证解的正确性。

3.讲解公式的适用条件：o强调公式适用于所有一元二次方程，但需注意 b^2 - 4ac 的值决定了方程的根的性质（实数根或复数根）。

三、课堂练习（10分钟）●分发练习题，让学生尝试用公式法解一元二次方程。

●巡视指导，及时纠正学生的错误。

●提问学生，让他们分享解题思路和答案。

四、总结提升（5分钟）●总结求根公式的应用要点。

●强调在解题过程中要注意的细节和常见错误。

●提出拓展问题，引导学生思考如何应用公式法解决更复杂的问题。

五、布置作业（5分钟）●布置相关练习题，要求学生课后完成。

●提醒学生注意解题步骤的规范性和准确性。

教学反思●课后反思教学过程，评估学生的掌握情况。

人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案

在小组讨论后，学生们的成果分享也是一个很好的学习机会。他们不仅能够从自己的实践中学习，还能从其他小组的经验中汲取教训。我觉得这个环节对提高学生的表达能力和批判性思维非常有帮助。
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。

《公式法解一元二次方程》教学设计2

《公式法解一元二次方程》教学设计一、教学目标1、知识目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况，会运用公式法解一元二次方程。

2、能力目标：通过对求根公式的发现和探索过程，提高学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

3、情感目标：发展学生独立思考，勇于探索的创新精神，向学生渗透转化思想，使其感受数学的内在美。

二、教学重难点：重点：运用公式法解一元二次方程难点：一元二次方程求根公式的推导三、教学方法:以练为主启发式探索法四、教学流程设计:（一）创设情景复习导入1：回忆配方法解一元二次方程步骤，并完成试题。

2x2+4x+2=0注：让学生独立去解决问题，然后同桌互相帮助定正答案，教师引导学生复习回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤。

2：出示问题2：用配方法解下面方程2x2-4x+10=0师：你们能够求出这个方程的根吗？生：不能。

师：从这个方程我们能够受到什么启示？生1：原来有的一元二次方程是没有根的。

生2:我非常想知道没有实数根的原因。

【设计说明】1。

复习巩固旧知识，为本节课一元二次方程求根公式的推导做铺垫。

2。

通过让学生对第二个问题的探讨，使学生认识到原来有的一元二次方程是没有实数根的，学生会很自然的产生为什么有的一元二次方程没有实数根的疑问，教师适时引导学生一元二次方程的根与一元二次方的什么有关系问题，从而激发学生的求知欲望。

（二）公式推导探究本质师：通过刚才同学们的探索，我们不难发现这样一个问题，如果一个一元二次方程没有实数根，而我们却按照我们所学的用配方法去求它的实数根的时候，会做很多的无用功。

那么有没有在解一元二次方程之前，先对它根的情况进行判断，然后再去解一元二次方程的方法呢？这就是我们本节课所要探讨的问题。

师：板书公式法解一元二次方程运用配方法对ax2+bx+c=0（a≠0）进行配方ax2+bx+c=0（a≠0）ax2+bx+c=0∵a≠0∴x2+ x =-配方得：( x + )2 =师问：我们下一步能否直接去进行开平方运算呢？然后让学生思考讨论开方过程，使学生充分认识到b2-4ac重要性。

解一元二次方程——公式法--教学设计

人教版初中数学九年级上册§21.2.2解一元二次方程——公式法《解一元二次方程——公式法》教学设计一、内容和内容解析：本节是在学生掌握了直接开平方法、配方法基础上，完成一元二次方程求根公式的推导.在推导求根公式的过程中，从)0(02≠=++a c bx ax 到()p n x =+2，是配方法求解方程的推广，体现了从具体到抽象的过程；而推导的结果，是将求解方程的配方过程转化为代数式求值过程，体现了化归思想.公式法是配方法解一元二次方程一般形式的结果，直接适用于所有的一元二次方程，正是这抽象的一般形式才具有广泛的应用价值.教学重点：理解一元二次方程求根公式的推导过程；使用公式法求解一元二次方程. 教学难点：运用分类讨论正确推导求根公式，突破分式的开平方运算.二、目标和目标解析：1. 经历一元二次方程的求根公式的推导过程，应用化归思想把一元二次方程的一般形式转化为()p n x =+2的形式，实现从“二次”方程降为“一次”方程，体会转化、分类、类比的数学思想.2. 通过推导求根公式，培养了学生的计算能力和推理能力，感受了数学公式的简洁美、对称美.3. 掌握公式结构，会运用求根公式进行求解一元二次方程.三、教学问题诊断分析：学生通过之前直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程降次求解）已比较熟悉.根据已有的调查，普通初三学生在用配方法解方程()200ax bx c a ++=≠，结果仅有约为7.5%推导过程完全正确，而83.6%的错误都是出在未对代数式24b ac -进行分类讨论.四、教学支持条件分析：在教学中运用类比方法，通过求解两个具体的一元二次方程，以此复习巩固配方法，再用配方法把一元二次方程的一般形式转化为()p n x =+2，为用配方法推导求根公式作好准备.由于对根的判别式的分类讨论及其代数式的运算复杂，因此在教学中教师注重引导分析，层层推进，推导过程中字母、符号多，分式运算复杂,让学生自己先推导，再小组讨论完善推导过程，经过多次思维碰撞，有利于学生理解和记忆公式，同时培养学生的运算能力.五、教学流程展示：用配方法求解一元二次方程：(1)0742=--x x (2)2470x x -+= 从数到式，用配方法求解：20(0)ax bx c a ++=≠问题1：能否直接进行开平方运算？222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭问题2：2244b aca -分式一定是非负数吗？剖析公式：1.公式之美——求根公式包含初中阶段学过的所有运算；2.公式实质——把配方法化归为代数式求值求解一元二次方程；3.根的判别式——由24b ac -的值正、负或为零可以判断根的情况.六、教学过程设计：2.以填空的形式帮20b 4a ac ≠∴-所以只讨论的非负性12211,211x x =+=-242(4)4421211b b ac x a-±-=--±=⨯=±七、目标检测设计：预计时间（分）教学内容教师活动学生活动设计意图15学以致用，深化认识 1.不解方程判断下列方程根的情况(1) 2470x x --= (2)2470x x -+= 2.用公式法解方程 (1) 222210x x -+= (2) 2351x x x -=+ (3) 2178x x +=3. 用流程图梳理公式法求解一元二次方程的一般步骤.4.课堂测试反馈（1）填空： ①方程21304x x --= 有_______实数根.②方程248411x x x ++=+根的判别式结果为______，方程_______实数根.（2）解下列方程 ①2460x x -= ②(24)58x x x -=-要求学生使用公式法求解各类一元二次方程：解：（1）a=1,b=-4,c=-7 △=24b ac -=2(4)41(7)--⨯⨯-=44>0方程有两个不等的实数根：流程图展示用公式法求根的过程，再次深化公式法的本质就是代数式求值的过程.会用公式法解一元二次方程.会正确使用公式法解一元二次方程.1.在用公式法求解方程的过程中，深化学生对求根公式的认识，体会公式法的实质就是代数式求值的过程.而例题1正是复习引用的题目，凸显根的判别式的意义，也是公式法解方程关键的第一步.2.规范学生使用公式法求解的步骤，这也是正确求解方程的要求.通过课堂测试，及时反馈学生的学习情况。

公式法因式分解教案设计三

公式法因式分解教案设计三篇7：公式法的说课稿今天我说课的内容是人教版九年级上册第22章《用公式法解一元二次方程》。

我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明。

一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。

通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。

一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。

（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。

数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。

解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。

情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。

（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。

难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。

学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。

三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入――呈现问题――例题讲解――巩固练习，课时小结――布置作业。

《用公式法求解一元二次方程》教案1

《用公式法求解一元二次方程》教案2学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生已学习了一元一次方程､二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能｡这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础｡学生活动经验基础:学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础｡教学任务分析课程标准对方程的要求是:能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理｡本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是:(1)通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气才能及个性｡教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行｡第一环节:知识回顾；第二环节:情境引入；第三环节:方案设计；第四环节:问题解答；第五环节:学以致用；第六环节:反思归纳；第七环节:布置作业｡第一环节:知识回顾活动内容:你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的:帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫｡第二环节:情境引入活动内容:师提出问题:现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半｡你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上的合作者｡通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人，激发学生的探究愿望｡教学效果:学生兴趣盎然｡第三环节:方案设计活动内容:学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示､交流自己的作品｡活动目的:通过征集设计方案，激发学生的内在动力｡先独立思考，独自设计，再合作交流､互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者､促进者､合作者｡教学效果:学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种｡(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)在学生自行设计和展现作品时，教师可以提出具有挑战性､开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题:(1)怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？(2)以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容｡此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨，这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求，又达到了适当拔高､激发学生学习兴趣以及培养能力的目的｡第四环节:问题解答问题解答:1.如何设未知数？怎样列方程？2.分组解答图(5)､(6)所列的方程｡图(5)的解答:解:设小路的宽为xm，由题意得:(16-2x)(12-2x)=16×12×21整理，得:x2-14x+24=0x2-14x+49=-24+49(x-7) 2=25x1=12 ，x2=2答:(略)问题:你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗？图(6)的解答:解:设扇形的半径为xm，由题意得:πx2=16×12×21πx2=96x=± ≈±5､5x1≈5､5 ，x2≈-5､5( 舍去)3､集体解答图(7):根据学生所列的方程进行解答｡活动目的:通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程｡教学效果:由于时间关系，分组解答图(5)和(6)，部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可｡第五环节:学以致用活动内容:在一幅长90cm､宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？(3)96出示图(2)和图(3)做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解:设金边的宽为xm，由题意得:(90+2x )(40+2x) ×72%=90 ×40活动目的:增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程｡教学效果:解答时准确率较低，原因有两点:一是本例数据较繁，而是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练，教学中如有可能可以给学生更多的时间｡第六环节:反思归纳通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？第七环节:布置作业作业:P43第2､3､4题｡。

利用公式法求解一元二次方程的教案

利用公式法求解一元二次方程的教案。

公式法是解一元二次方程的一种方法，它的基本思想是根据已知的参数，套用一定的公式求解。

下面就是一份利用公式法求解一元二次方程的教案，帮助初学者更好地理解和掌握这一方法。

一、教学目标：通过本课的学习，学生应该能够：1、了解一元二次方程的概念和基本形式。

2、掌握利用公式法求解一元二次方程的步骤和方法。

3、能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点：掌握利用公式法求解一元二次方程的步骤和方法。

三、教学难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，并根据公式求解。

四、教学过程1、引入老师出一道例题，让学生思考如何解决下列问题：小明买了一些苹果，花费了10元。

如果苹果的单价是1元，小明应该买多少个苹果？2、概念讲解引导学生理解一元二次方程的概念和基本形式，即a×x^2 + b×x + c = 0。

3、公式推导利用代数学知识，推导一元二次方程求根公式，即x1 = (-b + √(b^2-4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2-4ac)) / 2a4、公式应用结合具体的例题，引导学生利用公式法解决一元二次方程问题。

例1：求解 x^2 + 3x + 2 = 0。

解：a = 1, b = 3, c = 2，带入求根公式，得到x1 = (-3 + √(3^2 - 4×1×2)) / 2×1 = -1x2 = (-3 - √(3^2 - 4×1×2)) / 2×1 = -2因此，方程的解为 x1 = -1, x2 = -2。

例2：小明买了一些苹果，花费了10元。

如果苹果的单价是1元，小明应该买多少个苹果？解：设小明买了 x 个苹果，根据题意可得出一元二次方程：x^2 + x - 10 = 0根据求根公式，得到x1 = (-1 + √(1^2+4×1×10)) / (2×1) = 2x2 = (-1 - √(1^2+4×1×10)) / (2×1) = -5因此，小明应该买2个苹果。

公式法解一元二次方程说课稿2

《公式法解一元二次方程》说课稿迳口中学黄桂英各位评委，各位老师：大家好！我是来自花东镇迳口中学的数学教师黄桂英，今天我说课的内容是人教版数学九年级上册第22章一元二次方程中《公式法解一元二次方程》。

一、教材分析1、教材的地位和作用用求根公式解一元二次方程是在学完直接开方法、配方法的基础上学习的又一种重要的解法，它不但方便于解较复杂的一元二次方程，而且适用于解所有的一元二次方程，因此学习用公式法解一元二次方程是很有必要的，是不可缺少的一个重要内容。

它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用、二次函数等知识起到铺垫作用。

本节课的学习培养了学生由特殊到一般的解题思想。

2、教学目标知识目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程。

能力目标：在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力，同时通过使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生准确快速的计算能力。

情感目标：通过求根公式的推导，培养了学生由特殊到一般的解题思想、探索精神、独立思考的习惯及合作交流的意识。

3、重点与难点重点：正确、熟练地用一元二次方程的求根公式法解一元二次方程。

难点：求根公式推导及b2-4ac对一元二次方程的影响。

二、教法分析教法上采用启发引导，讲练结合的授课方式。

充分体现了“类比——探究——归纳“的模式”。

在教学中我通过新旧知识的类比来启发诱导学生深入思考，并通过合作交流推导出求根公式，这种教学方式有利于培养学生由特殊到一般的解题思想，探索精神，也充分发挥教师的主导作用，体现了学生主体地位，三、学法分析学习本节课以前，学生已学过用开平方法、配方法解一元二次方程，对解方程的基本思路已经比较熟悉。

依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，突出本节课的重点。

在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是采用层层递进的方式，二是以基本技能为主，而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章一元二次方程(教案)公式法教案

21.2解一元二次方程21.2.2公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274xx -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=±，112x =+212x =-2.用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成x 2＋px＋q =0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.x 2＋px＋(2p )2=－q＋(2p )2开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.(x+2p )2=－q＋(2p )2求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx＋c=0(a≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c.二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a .配方，得x 2+b a x+2(2b a =-c a +2()2ba ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a 当240,-b a c≥.22b x a a +=±x 1=-b+b 2-4ac 2a ，x 2=-b-b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=42b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0;（出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.4.2=x∴12=+x 22=x (2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a、b、c 的值分别是什么？解：2,21.==-=a bc 224(24210.△=-=--⨯⨯=ba c则方程有两个相等的实数根：12.2222-==-=-=⨯b x x a （3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --=1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根(4)46.22510-±--±±===⨯b x a 12464611,.10105+-====-x x （4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=acb△方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;⑶当∆=b 2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答.解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.6.23±=⨯x 13,3+=x 2.3=x 探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x－1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x－8=0；⑵x 2=4x－4；⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解.师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：12,;22b b x x a a-+--==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a-==（3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.师生共同讨论解答如下：解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,∵△=b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D⑵D出示课件23：例2m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0，∴m＞9 8-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=9 8-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜9 8-.∴当m＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]=m2+10m+37=m2+10m+52−52+37=(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12.解方程x 2﹣2x﹣1=0．3.方程x 2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠05.已知x 2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案：1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，4222x 122b a -±±===±1211x x =+=-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x 2＋mx＝1-2m ，即2210x mx m ++-=.，∵，∴△>0.∴x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。

用公式法解一元二次方程教学设计

三、教学重点及难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程的求根公式的推导．
四、教学过程
教师活动
设计意图
一、回顾旧知
用配方法解一元二次方程的步骤
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方,得
开方，得
ห้องสมุดไป่ตู้利用一道题具体回顾配方法解方程的步骤操作过程，为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.
二、新课导入
方程有两个不相等的实数根
方程无实数根
设置的题目的根的情况不同，体会公式的用法，在利用公式之前要先计算Δ，感受层次递进的学习过程
四、总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。
3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : 写出一元二次方程的根：
题目：人教版初中数学九年级 21.2.2 用公式法解一元二次方程
一、教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
二、教材分析
方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识基于以上分析，确定本节课的教学重点是会用公式法解特殊的一元二次方程。