四点共圆的判定和性质
四点共圆的证明方法
四点共圆的证明方法
四点共圆的证明方法有以下几种：
1. 使用圆心角的性质：设四点为A、B、C、D，若角ABC和角ADC的度数相等，则四点A、B、C、D共圆。
这是因为在同一个圆上，圆心角的度数相等。
2. 使用弧的性质：设四点为A、B、C、D，若弧AB与弧CD的长度相等，则四点A、B、C、D共圆。
这是因为同一个圆上的弧长相等。
3. 使用球面几何：设四点为A、B、C、D，若ABCD四个点在同一个球面上，则四点A、B、C、D共圆。
这是因为球面上的所有点到球心的距离相等，四点在同一个球面上意味着它们到球心的距离相等，从而四点共圆。
4. 使用圆的定义：设四点为A、B、C、D，若存在一个圆，使得四点A、B、C、D都在这个圆上，则四点A、B、C、D共圆。
这是最直接的证明方法，通过构造一个圆，证明四点都在这个圆上即可证明四点共圆。
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四点共圆引言在几何学中，四点共圆是一个经典的概念，它指的是四个不在一条直线上的点可以构成同一个圆。
本文将介绍四点共圆的基本概念、性质以及证明方法。
基本概念四点共圆是指当给定四个不在一条直线上的点时，存在一个圆可以通过这四个点。
为了方便讨论，我们将这四个点依次标记为A、B、C和D，并假设它们不共线。
这样，我们可以通过构造圆来证明是否四点共圆。
性质根据四点共圆的定义，我们可以得出以下性质：•任意三个点确定一个圆，即如果取三个点A、B和C，那么存在一个圆可以通过这三个点。
•如果四个点A、B、C和D共圆，那么它们的任意三个点仍然共圆，即如果A、B、C和D共圆，那么A、B和C共圆，A、B和D共圆，以及B、C和D共圆等。
证明方法下面我们将介绍两种常见的证明方法，即推论法和向量法。
推论法推论法是一种常见的证明四点共圆的方法，它基于欧氏几何的公理和定理。
以下是一个简单的推论法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。
为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。
首先，选择其中三个点A、B和C。
根据性质1，存在一个圆可以通过这三个点，假设这个圆为O1。
接下来，我们选择点D。
我们希望证明点D也在圆O1上。
为此，我们需要证明点D和圆O1的半径相等。
利用欧氏几何中的定理，我们可以证明从圆心到半径上任意一点的距离相等。
因此，我们只需要证明点D到圆心O1的距离与其他三个点到圆心O1的距离相等。
通过推理，我们可以得出结论：点D也在圆O1上。
因此，四个点A、B、C和D共圆。
向量法向量法是另一种常见的证明四点共圆的方法。
它基于向量的运算和性质。
以下是一个简单的向量法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。
为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。
假设圆的圆心为O，我们需要证明向量OA、OB、OC和OD共面。
根据向量运算的性质，我们可以使用向量混合积来判断向量是否共面。
根据向量混合积的定义，我们有以下公式：(OA × OB) · (OC × OD) = (OA · OC) × (OB · OD) - (OA · OD) × (OB · OC)其中，× 表示向量的叉乘，·表示向量的点乘。
四点共圆的性质
四点共圆的性质四点共圆是指四个点在同一圆上的情况，这种情况下四个点之间有一些特殊的性质和关系。
下面我们来详细介绍一下四点共圆的性质。
第一、四点共圆的条件四点共圆的条件是：这四个点上的任意三点不共线。
如果这四个点共线，那么它们无法在同一个圆上，也就不可能满足四点共圆的条件。
第二、四点共圆的性质1. 相交弦定理这个定理指的是：如果通过四个共圆的点中的任意两个点，都可以画出它们之间的弦，那么这些弦两两相交的点也处于同一圆上。
2. 径与弦垂直这个性质是指，如果有一个圆和这个圆上的四个点，那么这个圆的直径将垂直于连接这个圆上的任意两个点的弦。
3. 相交角等于逆角相交角等于逆角是指，如果连接四个共圆的点中的任意两个点，再连接它们各自与另外一个点的连线，那么这两条连线的夹角等于这两个点的逆角（也就是不在这两点的连线上的那个角）。
4. 外接角等于逆角外接角等于逆角是指，如果在四点共圆的情况下，连接四个点中的任意三个点，再连接其中的两条线段的夹角，等于该角所对的另一个角的逆角。
5. 等角对应如果在四点共圆的情况下，有两个角相等，那么它们所对的弧也相等。
6. 关于圆心对称四点共圆的四个点关于这个圆的圆心对称。
这是因为圆心是连接圆上任意两点的直线的垂直平分线，所以两点关于圆心对称的点和它们的对应角度不存在差异。
7. 割线定理割线定理是指，如果通过四个共圆的点中的任意两个点作一条割线，那么它所分割的弦线段的积等于该割线上分离的两个线段的积。
换句话说，割线外的线段上的线段长度之积等于割线上的线段长度之积。
8. 正交性如果在四点共圆的情况下，有两条弦互相垂直，那么这两条弦所对的圆心角也是互相垂直的。
9. 重心结构四点共圆的任意三个顶点都是个点的重心，这个点是这个圆的圆心。
第三、应用四点共圆的性质在各种数学和几何问题中都有广泛的应用，比如，它们可以用于求解三角形、四边形、圆弧的性质；它们也可以用于解构各种形状如星形、轮廓（contour）等的几何图形。
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四点共圆四点共圆是一个几何学中的概念，指的是四个点在同一个圆上。
定义在平面几何中，给定四个不共线的点A、B、C和D，如果这四个点可以被一个圆围起来，使得这四个点都位于圆的周上，那么这四个点就被称为共圆点，同时被围住的圆称为这四个点共有的圆，也称为这四个点的外接圆。
特性四点共圆的特性如下：1.圆心定理：四个点共圆的圆心是这四个点连线的交点的中垂线相交处。
2.弦的性质：相交于圆弦上的两个弧被它们所包含的圆心角所对应的弧所等分。
3.弧度的性质：共圆的四个点所对应的弧所对应的弧度相等。
4.弧角的性质：共圆的四个点所对应的弧所对应的圆心角度相等。
判定判定四个点是否共圆有多种方法，下面介绍两种常用的判定方法：1.同样圆周角的测量方法：计算并对比四个可能的圆周角，如果它们的度数相等，则这四个点共圆。
2.使用外接圆标准方程判定：根据外接圆标准方程，计算四个点的坐标，并将它们带入方程来验证。
如果四个点坐标满足方程，则这四个点共圆。
应用四点共圆的概念在几何学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1.三角形外接圆：在一个三角形ABC中，如果三个顶点A、B、C共圆，则称这个圆为三角形ABC的外接圆。
外接圆在三角形的各个关系中有着重要的作用。
2.圆的切线：在切点的两侧，圆的切线与切点所对应的弧所对应圆心角的度数相等。
这个性质可以用于证明几何问题。
3.三点定圆：给定三个点，通过它们共圆的圆心和半径，可以确定一个唯一的圆。
这个性质被广泛应用于圆的构造和计算。
总结四点共圆是一个重要的几何学概念，它涉及到圆的构造和性质，具有一定的理论和实际应用价值。
通过学习四点共圆的定义、特性和判定方法，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关知识。
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆知识点总结
四点共圆知识点总结四点共圆是指如果四个点A、B、C、D在同一圆上，那么称这四个点共圆。
四点共圆是圆的性质之一，也是解几何问题中常见的题型。
在这篇文章中，我将对四点共圆的性质、证明方法、应用以及相关定理进行总结和归纳。
一、四点共圆的性质1. 四点共圆的定义四点共圆是指若四个点A、B、C、D在同一圆上，那么称这四个点共圆。
这就是四点共圆的基本定义。
2. 四点共圆的性质四点共圆具有以下性质：（1）任意三个点共圆，那么这三点构成的圆上的所有点也共圆。
（2）如果四个点共圆，那么这四个点所在的圆是唯一的。
3. 四点共圆的方法确定四点共圆的方法一般有以下几种：（1）利用圆的性质，通过证明四个点在同一圆上，从而得出四点共圆的结论。
（2）通过等角的关系来证明四点共圆。
二、证明四点共圆的方法1、利用圆的性质证明四点共圆的方法之一是利用圆的性质。
根据圆的性质，我们可以利用圆的直径、相交弦的性质等进行证明。
比如，通过证明四边形的对角线互相平分、垂直平分或者等长等等，从而得出四点共圆的结论。
2、利用等角关系利用等角的关系也是证明四点共圆的一种常见方法。
当我们能够找到四点共圆的特殊角度关系时，就可以得出四点共圆的结论。
比如，利用相交弦与此弦的交点处的两个相等角，利用垂径定理等等。
三、四点共圆在解题中的应用四点共圆是解几何问题中常见的题型，尤其是在证明题中经常会用到四点共圆的性质。
常见的应用有以下几个方面：1、辅助证明定理在证明定理的过程中，我们经常需要利用四点共圆的性质来推出结论。
比如，证明一个四边形为菱形或者矩形时，就可以利用四点共圆的性质。
2、判断点的位置在解题过程中，有时需要判断一个点是否在同一圆上，这就需要利用四点共圆的性质来确定。
3、证明等价关系在解题中，有时候需要利用四点共圆的性质来证明等价关系，比如利用四点共圆来证明辅助线与所给线段平行等等。
四、四点共圆的相关定理在几何中，和四点共圆相关的定理较多，下面介绍几个常见的定理：1、相交弦定理在一个圆上，如果两条弧所对的两条弦相交，那么这两个相交点和弦的两端点构成的四个点共圆。
四点共圆性质
四点共圆性质
四点共圆的性质是共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等、圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
如果同一个平面上的四个点在同一个圆上，则称之为圆，一般称为“四点圆”。
由一个圆的四个点连接的两个三角形的顶角相等。
如果同一个平面上的四个点在同一个圆上，则称之为圆，一般称为“四点圆”。
由一个圆的四个点连接的两个三角形的顶角相等。
四点共圆的判定
将四个被证明是共圆的点连接成两个有公共底边的三角形，两个三角形都在底边的同一侧。
如果能证明它们的顶角相等(同一个圆弧相对的圆角相等)，就可以确认这四个点是共圆的。
被证明是共圆的四个点被连接成两条相交的线段。
如果能证明由交点划分的两条线段的乘积相等，则四点可确认为共圆(相交弦定理的逆定理)。
或者将证明共圆的四个点成对连接起来，延伸相交的两条线段。
如果能证明两个线段从交点到一个线段的两个端点的积等于两个线段从交点到另一个线段的两个端点的积，则可以确认这四个点也是共圆的。
四点共圆的性质(龙老师)
四点共圆的性质、判定及应用一、四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
1、四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
2、四点共圆的判定方法：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆(或其一个外角等于其邻补角的内对角⇔四点共圆)． 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD ⋅BP =PC ⋅AP ⇔四点共圆． 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD ⋅PC =PB ⋅PA ⇔四点共圆． 判定定理6：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上⇔四点共圆． 判定定理7：四点到某一定点的距离都相等⇔四点共圆．二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD ⋅AC=BC ⋅AD+CD ⋅AB ． 托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：B 、E 、F 、C 四点共圆．2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是AC 、AB 边上的高，∠A ＝60°. 求证：BC ED 21=3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．4．已知：如图所示，P 为等边三角形ABC 的外接圆的上任意一点．求证：P A ＝PB + PC ．A D C BE5．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm 2．P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝5∶14．则PB ＝______.．6．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠B ，△ABD 的外接圆和BC 交于E ．求证：AD ＝EC ．7．已知：梯形 ABCD 中，AD ＝BC ，AB ∥CD ．求证：BD 2＝BC 2＋AB · CD ．8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么AC 的长等于______.9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD ．求证：AD · BC ＝BD · (AB + AC )．10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。
苏教版九年级四点共圆知识点详解
知识点
四点共圆的判定一：
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）
解析： 点A,B,C,D四点到O点的距离相同， 则A,B,C,D四点共圆
典例精讲
锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能
组成四点共圆的组数是（ ）
A、4组
B、5组
第一讲 四点共圆的性质及判定
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
P a r t 1 四点共圆的性质及判定
知识点
一.四点共圆的判定方法：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线的两个端点共圆。 5、若、两线段相交于点，且，则、、、四点共圆。 6、若、两线段延长后相交于点，且，则、、、四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。
证明 在△ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且 E、D 在 BC 的同侧， ∴E、B、C、D 四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB．
变式练习
在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB<MA， AC<MD），设 K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点， 求证：∠MKO=90°
P
四点共圆基本性质及证明精编版
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
(完整版)四点共圆
四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。
四点共圆的性质与判定
四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学 谭兵一、四点共圆的概念：二、四点共圆的性质： （1（2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等 四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上 四点共圆． 判定方法3：若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 判定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆． 判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于P ，若PD⋅BP =PC ⋅AP 四个顶点共圆．判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于PD ⋅PC =PB ⋅PA 四个顶点共圆若四边形ABCD 内接于圆 BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB ．此四边形必内接于圆。
若BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB 四边形ABCD 内接于圆．―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．D ED C A D CA6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．A B7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB ·CD．托勒密定理DC9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD,CD ．求证：)． 托勒密*8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，求AC 的长.**10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。
四点共圆专题（圆内接四边形）
四点共圆专题（圆内接四边形）展开全文2018中考数学1.四点共圆概概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
2.四点共圆性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
3.四点共圆判定：（1）若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；（2）把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
中考应用：习题：（1）四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD和∠BCD的度数。
（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且PA∥DB，求证：PD·BC＝AB·AD（3）如图，已知半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm 的弦，当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值。
（4）如图3，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧上的两点，∠D＝115°，则∠CAB的度数为（）（5）如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F的度数为（）（6）如图8，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C＝2∠A，则BD＝________.（7）如图11，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．（8）如图12，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．求证：(1)∠DCF＝∠DAB；(2)OE＝1/2CD。
四点共圆
四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆)(2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
解(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2212y x +=并化简得242210x x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则122626,44x x -+==， 1212121221,,2()2124x x x x y y x x +==-+=-++= 由题意得3123122(),()12x x x y y y =-+=-=-+=-，所以点P 的坐标为2(,1)2--. 经验证点P 的坐标2(,1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分(II)解法一【圆的定义】由P 2(1)-和题设知Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x = ① 设AB 的中点为M ，则21)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为214y x =+ ② 由①、②得1l 、2l 的交点为21(,)88N -于是22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+--=，32||4AM =， 22221133||()()4828MN =++-=22311||||||NA AM MN =+=||||NP NA =， 又||||NP NQ =，||||NA NB =，于是||||||||NA NP NB NQ ===,由此可知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …12分 解法二【对角互补】由(1)知2613,)42A ，22(,1),(,1)22P Q ，于是 13311122221226226244244AP AQ K K ，因此，90PAQ ，由轴对称可知90PQB 由对角互补，可知,,,A P B Q 四点共圆。
高中四点共圆知识点
高中四点共圆知识点高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
而在圆的相关知识点中，有一个特殊的性质叫做四点共圆。
本文将逐步介绍四点共圆的定义、性质以及相关解题方法。
定义四点共圆，顾名思义就是四个点共同位于同一个圆上。
形式化的定义是：对于给定的四个点A、B、C、D，如果这四个点都位于同一个圆上，那么我们就说它们四点共圆。
性质四点共圆的性质有很多，下面将介绍其中一些重要的性质。
性质1：共圆四点与圆心的关系设四点共圆的圆为O，那么O就是这个圆的圆心。
也就是说，如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们都位于圆O上，并且O是这个圆的圆心。
性质2：共圆四点所确定的圆唯一如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们所确定的圆是唯一的。
也就是说，不存在其他的圆可以同时包含这四个点。
性质3：四点共圆的充分必要条件四个点A、B、C、D共圆的充分必要条件是：ABCD四条弦的中垂线共点。
也就是说，如果四条弦的中垂线交于一点，那么这四个点必定共圆。
性质4：四点共圆的推论根据四点共圆的定义和性质，我们可以得到一些推论。
例如，如果一个三角形的三个顶点和三角形外接圆的圆心共圆，那么这个三角形是直角三角形。
解题方法在解决与四点共圆相关的问题时，我们可以运用以下方法：方法1：利用垂心定理垂心定理是指：对于一个三角形ABC，它的三条高线交于一点H，那么H就是这个三角形的垂心。
在解题中，我们可以使用垂心定理来判断四个点是否共圆。
方法2：利用勾股定理勾股定理是指：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
当我们已知一个三角形是直角三角形时，可以利用勾股定理来判断四个点是否共圆。
方法3：利用向量运算在二维平面上，我们可以使用向量运算来判断四个点是否共圆。
具体方法是，计算任意三个点所确定的两条向量，然后判断这两条向量是否垂直。
如果垂直，则四个点共圆。
总结四点共圆是高中数学中重要的几何概念之一。
通过了解四点共圆的定义、性质以及解题方法，我们可以更好地理解和应用这一知识点。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明方法一：共分四种情况设有四个点A，B，C，D，如果它们共圆，可分为以下四种情况进行判定。
第一种情况：四个点都在同一直线上。
当四个点都在同一直线上时，它们不可能共圆。
因为共圆的四个点是不能共线的，如果共线则无法满足圆的特性，即任意三点在同一直线上。
第二种情况：任意两条边都相交于圆心。
当四个点满足任意两条边都相交于圆心时，可以判定它们共圆。
因为在一个圆上，任意两条边都是过圆心的直径，所以四个点形成的四条边都是过圆心的直径，满足共圆的条件。
第三种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线外。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线外时，可以判定它们共圆。
因为圆上的任意三点都不能共线，所以剩下的一个点就是圆心，四个点共圆。
第四种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线上。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线上时，可以判定它们共圆。
因为根据圆的性质，任意三点在同一直线上时，中间的那个点就是圆心，四个点共圆。
方法二：利用圆的性质验证如果四个点共圆，可以通过验证它们是否满足以下条件来证明。
条件一：四个点在同一平面上。
三维空间中的四个点如果共在同一平面上，则可能共圆。
条件二：四个点两两之间的距离相等。
在共圆的情况下，四个点两两之间的距离必须相等。
条件三：任取三点组成的三角形的外接圆，必须包含第四个点。
构建三角形时，任取三点组成的外接圆上的任意一点，如果包含第四个点，则满足共圆的条件。
条件四：通过四边形的对角线的交点，若可以确定一个圆心，则四个点共圆。
可以通过构建四边形的对角线，找到交点，如果能确定一个圆心，即其中一条边的中垂线与另一边的中垂线相交于一点，且该点距离四个顶点相等，则可以判定四个点共圆。
方法三：利用向量运算判断设四个点的坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）。
则可以通过向量运算判断四个点是否共圆。
条件一：任取三个点A、B、C，判断它们是否共线。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB CD两线段相交于P点，且PA X PB=PO< PD,则A、B C D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。
7、若AB CD两线段延长后相交于P。
且PA X PB=P X PD,则A、B、C D四点共圆（割线定理）。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OI则A B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若/ A+Z C=180°或/ B+Z D=180°，则点A、B、C D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若Z B=ZCDE则A、B、C D四点共圆证法同上。
4 、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若Z A=Z D或Z ABD=Z ACD贝U A、B C D四点共圆。
D2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
P点，且PAX PB=PC< PD,则A、B C、D四点共圆（相交弦6、若AB CD两线段相交于定理的逆定理）。
如图2,若/ A=Z C=90° 贝U A B、C、D四点共圆。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明证明四点共圆的方法如下：1、对角互补的四边形，四点共圆。
2、外角等于内对角的四边形，四点共圆。
3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆。
4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
5、从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆6、把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆7、把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
、把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
四点共圆常用公式
四点共圆常用公式一、四点共圆的概念四点共圆是指平面上的四个点在同一圆上的几何关系。
如果四个点A、B、C和D共圆，即存在一个圆，使得这四个点都在圆上，那么我们称这四个点共圆。
二、四点共圆的性质1. 任意两条相交的弦所对的弧等于它们所夹的角这个性质可以用公式表示为：∠ACB = 1/2(α + β)，其中α和β为相交弦AB和CD所对的弧的度数。
2. 相交弦的交点到圆心的距离乘积相等如果弦AB和CD相交于点E，且E到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OE×OE'，其中OE'为E关于圆心O的对称点。
3. 弦上两点到圆心的距离乘积相等如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OA×OB。
4. 弦上两点到圆心距离的平方差等于弦长的平方如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，弦AB的长度为l，则有r1^2 - r2^2 = l^2。
三、常用公式1. 弦长公式已知弦所对的弧的度数为α，圆的半径为r，则弦的长度可以用公式表示为l = 2r×sin(α/2)。
2. 弦的中点与圆心的距离已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中点与圆心的距离可以用公式表示为d = sqrt((2r)^2 - l^2)。
3. 弦的中垂线长度已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中垂线的长度可以用公式表示为h = r - sqrt(r^2 - (l/2)^2)。
四、应用示例假设有一个圆心为O，半径为r的圆，其中AB和CD为两条相交的弦，交点为E。
已知弦AB的长度为l1，求弦CD的长度l2。
根据弦长公式，可得l1 = 2r×sin(α/2)，l2 = 2r×sin(β/2)。
其中α和β为弦AB和CD所对的弧的度数。
根据相交弦的交点到圆心的距离乘积相等的性质，可得r1×r2 = OE×OE'。
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四点共圆的判定和性质
四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．
方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.
方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．
方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180°
∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）
∠CBE=∠D（外角等于内对角）
△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）
AP×CP=BP×DP（相交弦定理）
AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）
托勒密定理及证明：
如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD
证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E
∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ACD
∴AB：AC=BE：CD
∴AB×CD=AC×BE
∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE
∴△ABC∽△AED
∴BC：DE=AC：AD
∴BC×AD=AC×DE
∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD
拓展延伸：
利用托勒密定理证明两角和公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
作图设圆内接四边形ABCD中,
AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β
作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°
sinα=BC/AC,sinβ=CD/AC
cosα=AB/AC,cosβ=AD/AC
sin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/AC
sinαcosβ+sinβcosα=(BC×AD+AB×CD)/AC=AC×BD/AC=BD/AC=sin(α+β)
由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα。
相交弦定理及其证明：
定义：是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等.
几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD.
相关定理：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理.
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB，PA×PB=PC×PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
比较：
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。
三条定理统称为圆幂定理。
其中|OP2-R2|称为P点对圆O的幂。
（R为圆O的半径）推论:
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。