椭圆双曲线抛物线典型例题
椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)
椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。
（1）求椭圆C的方程。
（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。
中职数学 椭圆、双曲线、抛物线测试卷(含答案)
数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题：（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求）1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上，且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ，若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5，另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈，方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线，则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点，准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点，对称轴是y 轴，顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（2，-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题（本在题有15个小空，每空2分，共30分） 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0)，F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程，则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点，则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ，2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点，则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6，离心率2=e ，焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0，3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6，则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题：（本大题共45分）31.已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线24=y x 的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为 的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73，求此椭圆和双曲线的方程。
椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案
椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。
$2b^2/a$ B。
$b^2/a$ C。
$b/a$ D。
$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。
椭圆、双曲线、抛物线综合检测(含答案)
椭圆、双曲线、抛物线综合试题学校:___________姓名：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )2．已知焦点在x 轴上的椭圆，则a 的值为 ( ) ABD ．123．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4．椭圆2249144x y +=内的一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程A. 32120x y +-=B. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=5k 适合的条件是A ．2k <-或25k <<B ．22k -<<或5k >C ．2k <-或5k > D．25k -<<6．已知P 为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A的坐标是 （ ）(A)8 (B)(C)107 A 、0 B 、1 C 、2 D 、38（0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明9．已知P上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________;10．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 11．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若 线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．12．对任意实数k ,直线y kx b =+与椭圆,则b 的取值范围是三、解答题（题型注释）13．（本小题满分12分） 抛物线22y px =的焦点与双曲线. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.14．已知1F )0,1(-、2F )0,1(为椭圆的焦点，且直线 （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求△2ABF 的面积S 的最大值，并求此时直线的方程。
椭圆、双曲线与抛物线(有答案)
椭圆、双曲线与抛物线1. 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) 1515151515., .0, .,0.,133333A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( )A ．3B ．2C ．4D ．53．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－34．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( ) A ．32 B ．52C ．2D ．3 5. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝06. 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 7. 若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_____________．答案：x 2＋3y 22＝1 8．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案 39．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±110. 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x11．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2.又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2p y 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．12. 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 破题切入点 (1)将点代入易求方程．(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 由直线OA 到l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝15，解得t ＝±1. 又因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.13. 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因AC 与BD 同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ＝BD ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
专题15 椭圆、双曲线、抛物线(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C【解析】以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3，4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32. ∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A.3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B【解析】由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b 2＝1，⎝⎛⎭⎫62＋c 2＋12＋⎝⎛⎭⎫62－c 2＋12＝4c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．45 【答案】B【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝（－2）·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5. ∴双曲线的焦距2c ＝2 5.故选B.7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，由||F A ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．由y ＝k (x ＋1)得，x ＝yk －1，代入C ：y 2＝4x 并整理得ky 2－4y ＋4k ＝0，又y 1，y 2是该方程的两根，∴⎩⎨⎧3y 2＝y 1＋y 2＝4k， ①2y 22＝y 1y 2＝4kk＝4， ②∴由①②得，2＝y 22＝⎝⎛⎭⎫43k 2.∵k >0，∴k ＝223.故选B.9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2a 2＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D【解析】∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A (a ，0)，F (－c ，0)．∵抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于x 轴对称，可设B (m ，n )，C (m ，－n )． ∵四边形ABFC 是菱形， ∴m ＝12(a －c )．将B (m ，n )代入抛物线方程，得 n 2＝158(a ＋c )·12(a －c )＝1516b 2，∴B ⎝⎛⎭⎫12（a －c ），154b ，再代入椭圆方程，得⎣⎡⎦⎤12（a －c ）2a 2＋⎝⎛⎭⎫154b 2b 2＝1，即14·（a －c ）2a 2＝116， 化简整理，得4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝12(e ＝32>1不符合题意，舍去)．故选D.11．已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 【解析】由题意得|P A |＝|PB |，所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2.所以点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.【答案】D12．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( )A. 3B.32C.334D.338【解析】由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝2， 所以A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x . 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ，解得B (1，－3)， 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×1×3＝32.【答案】B13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________．【解析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4. 又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ |′＝3. 【答案】3 14．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________．【解析】由题设1＋p2＝5，所以p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且AM 平行一条渐近线，所以41＋a ＝3a，则a ＝3. 【答案】315．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝b a x ，根据题意得k PF ＝－ab ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝⎛⎭⎫a c ＋c a 2－14⎝⎛⎭⎫a c 2＝1，即14⎝⎛⎭⎫1e ＋e 2－14·⎝⎛⎭⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x 0a －y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x 0a ＋y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a 2b 2c 2， 则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝12，e ＝ 2. 【答案】216．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－217．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38. 【答案】 23或3818．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R)，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【解析】∵AP →＝(λ－1)OA →，∴OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线． ∵OA →·OP →＝72，∴|OA →||OP →|＝72，设线段OP 与x 轴的夹角为θ，设A (x ，y )，B 为点A 在x 轴的投影， 则线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72×11625|x |＋9|x |≤72×1216×925＝15. 当且仅当|x |＝154时等号成立．则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 【答案】1519．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．【解析】(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.20．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．【解析】(1)抛物线y 2＝46x 的焦点为(6，0)，又椭圆C 上有一点M (2，1)， 由题意设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝6＝a 2－b 2，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵l ∥OM ⇒k 1＝k O M ＝12，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线l ：y ＝12x ＋m .直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0， ∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}， 设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2， ∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．【解析】(1)由椭圆定义知， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22， 所以a ＝ 2.又由已知，得c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简， 得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32， 即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又点⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62. 由题意知Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94，且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 22．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根， 所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2. 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 203＝1，即y 20＝3－12x 20， 所以k 1k 2＝1－12x 20x 20－2＝－12为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9.理由如下：方法一：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21，所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22， 又因为k 1k 2＝－12， 所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝9＋18k 211＋2k 21＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22， 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即⎩⎨⎧y 21＝3－12x 21，y 22＝3－12x 22， 所以⎝⎛⎭⎫3－12x 21⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝6， 所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫3－12x 21＋⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．23．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．【解析】(1)设点P (x ，y )，由题意可得， （x －1）2＋y 2|x －2|＝22， 整理可得x 22＋y 2＝1. ∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2.当m ＝0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得⎝⎛⎭⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0， ∴Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2＞0， 则x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， ∴S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意． 24．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1，2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ 过点T (5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x得y 2－4my －4n ＝0.由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y 214，x 2＝y 224， ∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5.∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，∴直线PQ 过定点(5，－2)．(2)假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ .设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n .∵直线PQ 过点T (5，－2)，∴5＝m ·(－2)＋n ，∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x ＝my ＋2m ＋5.设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2m ＋5，y 2＝4x 得 y 2－4my －8m －20＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－8m －20.∵PQ 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 228，y 1＋y 22， 且y 21＋y 228＝（y 1＋y 2）2－2y 1y 28＝2m 2＋2m ＋5，∴PQ 的中点坐标为M (2m 2＋2m ＋5，2m )．由已知得2m －22m 2＋2m ＋5－1＝－m ， 即m 3＋m 2＋3m －1＝0.设g (m )＝m 3＋m 2＋3m －1，则g ′(m )＝3m 2＋2m ＋3>0，∴g (m )在R 上是增函数．又g (0)＝－1<0，g (1)＝4>0，∴g (m )在(0，1)内有一个零点．∴函数g (m )在R 上有且只有一个零点，即方程m 3＋m 2＋3m －1＝0在R 上有唯一实根，∴满足条件的等腰三角形有且只有一个．25.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．【解析】(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p .又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p . 又x 2＝2py 即y ＝x 22p ，∴y ′＝x p. ∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p.∴直线AN 与抛物线相切． 26．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．【解析】(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c . ∵椭圆E 的离心率等于223， ∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a. ∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a2＝1. 由⎩⎨⎧ b 2＝a 29，9b 4a 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0即x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交， ∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 29＋x 2＝1，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0， ∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用(优秀经典专题及答案详解)
A． 2
B． 2 2
C．2 3
D．4
【答案】C
【解析】∵ OF 2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标 3 2, 2 6 ，∴POF 的面
为
1 OF 2
yP
1 2
22
62
3．
【答案】D
【解析】设 P x,
y, A1 1,0, A2 1,0
，则 kPA1
y x 1 , kPA2
y ，则 x 1
kPA1
kPA2
y2 1 ， x2 1
又 kPA1
tan , kPA2
tan
，所以 tantan
1 ，则
2
，即 6
2
，所以
12
，
故选 D.
5.设 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，过点 P1,0 的直线l 交抛物线C 于 A, B 两点，点Q
为线段 AB 的中点，若 FQ 2 3 ，则 AB （ ）
PQ
2 k 2
2
2 k2
2
2
3 ，整理化简
1 可得： k 2
1
1 k2
2
0,
1 k2
2 .利用韦达定理有： x1 x2
42 1 2
1
6, x1x21 ， Nhomakorabea2
则 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 32 ，
1 k2
3 ，由弦长公式可得 2
AB 1 k 2 x1 x2 4 3 .
连接 PF1，PF2，F1M，F2N，
可得 |PM |2﹣|PN| 2＝（| PF 1| 2﹣r12）﹣（| PF2|2﹣r22） ＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1） ＝|PF 1|2 ﹣|PF 2| 2﹣3 ＝（|PF 1| ﹣|PF 2| ）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3 ＝2a（| PF1|+| PF2 | ﹣3＝2（|PF 1|+| PF 2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13 ． 当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13．故选：D．
中职拓展模块椭圆、双曲线-抛物线试题
中职拓展模块椭圆、双曲线、抛物线测试题（时间：60分钟 总分：100分）得分：_________一、单选题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1、 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D （0,1)2、抛物线28y x =的准线方程是 （ ）A ：x=2B ：x=-4C ：y=-2D ： y=-43、焦点为1(5,0)F -、2(5,0)F ，实轴长是6的双曲线的方程是（ ）A 、221169x y -= B 、221916x y -= C 、221169y x -= D 、22196x y -= 4、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．45、双曲线的渐近线方程是 （ ） A ： 2y x =± B ： 0.5y x =± C ： 2y x =- D ： 0.5y x = 6、一动圆圆心在抛物线y x 82-=上，且动圆恒与直线y =2相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2）7、过抛物线焦点任作一弦，以这弦为直径作圆，这圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定8、等轴双曲线的离心率是 （ ）A 、1BC 、1/2D 、不确定9、椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.1010、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.不能确定二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11. 双曲线221259x y -=的实虚轴长分别是 ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，渐近线方程是 ，离心率是 。
椭圆双曲线抛物线典型例题整理
椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。
2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程．二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．五、求椭圆的离心率问题。
例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。
2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长．3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积．七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ． 八、椭圆中的最值问题例 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．双曲线典型例题二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)
1．双曲线222x y -=的焦距为（ ）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（ ） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （ ） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线 的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（ ）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-， 、()20， ，并且过点(233， ，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==， 双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2． 【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8． 【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得： 令，得到 故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0， 则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。
椭圆双曲线抛物线基础测试题(100分钟)
椭圆、双曲线、抛物线基础测试题1椭圆、双曲线、抛物线基础测试题时间：100分钟 满分：100分 班级 姓名 成绩一.选择题（下列各题中只有一个正确答案，每小题4分共24分）1. 到两点F 1 (0, 3 )、F 2 (0, -3 ) 的距离之和等于10的动点M 的轨迹方程是 ( ) ( A )14522=+y x ( B ) 15422=+y x ( C ) 1162522=+y x ( D ) 1251622=+y x 2. 双曲线4x 2 - 3y 2 = 12的共轭双曲线是 ( ) ( A ) 4y 2 - 3x 2 = 12 ( B ) 3x 2 - 4y 2 = 12 ( C ) 3y 2 - 4x 2 = 12 ( D ) 4x 2 - 3y 2 = 123. 顶点在原点、坐标轴为对称轴，经过点P( 1, -2 )的抛物线方程是 ( ) ( A ) y 2 = 4x ( B ) x 2 =21-y ( C ) y 2 = 4x, x 2 = 4y ( D ) y 2 = 4x, x 2 =21-y 4. 若椭圆15922=+xy ，则9等于 ( ) ( A ) 两焦点间的距离 ( B ) 一焦点到长轴一端点的距离 ( C ) 两准线间的距离 ( D ) 椭圆上一点到准线的距离5. 当曲线1422=-+ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线时，则 ( ) ( A ) k > 0 ( B ) k > 4 ( C ) 0 < k < 4 ( D ) k > 4或k < 06. 双曲线的两条准线把连接两焦点的线段三等分，则双曲线的离心率是 ( ) ( A )3 ( B ) 3 ( C )33 ( D ) 33± 二.填空题（每空4分，共24分）1. 抛物线x 2 = 4y + 8的焦点坐标是 .2. 离心率为2的双曲线的渐近线的夹角等于 .3. 经过两点M(3, 0 )、N( 0, -2 )的椭圆的标准方程是 .4. 若椭圆的一焦点到短轴两端点的连线垂直，则椭圆的离心率是 .5. AB 是过椭圆x 2 + 2y 2 = 4焦点F 1的弦，它与另一焦点F 2所连成三角形的周长等于 .6. 当抛物线y 2 = 4x 上一点P 到焦点F 和点A( 2, 2 )的距离之和最小时，点P 的坐标是三.解答题（5道题，共52分）1、已知双曲线的一渐近线方程是x +2y = 0, 且过点M(-6, 4 )，求双曲线的标准方程. (10分)2、求直线y = 2x + 1与抛物线x 2 - y = 1相交所得的弦长. (共10分)3、一抛物线以双曲线 191622＝y x + 的右顶点为顶点，左焦点为焦点，求此抛物线的方程。
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椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。
解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM Θ，∴42=a ，∴1422=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。
例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c Θ ∴223a c =，∴3331-=e ．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。
解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长．4a ＝441.3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积．△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k k x k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．八、椭圆中的最值问题例 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。
例 3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F∴ο9021=∠PF F（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F∵ο9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ．∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。