线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

相信自己加油

（1）3

81141

1

02---； （2）b

a c a c b

c b a （3）222111c b a c b a

； （4）y

x y x x y x y y x y x

+

++.

解 注意看过程解答（1）

=---3

811411

2

811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯

)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-

（2）=b

a c a c

b

c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++

3333c b a abc ---=

（3）

=2

2

2

1

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=

（4）

y

x

y

x x y x y y

x y x

+++

yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 …)12(-n

2 4 …)2(n ；

（6）1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为

2

)

1(-n n ：

3 2 1个 5 2，5

4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 …………………

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

（6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 …………………

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 …………………

)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为

43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p

已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：多练习方能成大财

（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥⎢⎢⎢

⎢⎣⎢-2605232112131412； （3）⎥⎥⎥⎦

⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥

⎥⎥⎦

⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a

100110011001 解

(1)

7

1100251020214

214

34327c c c c --01

0014

23

102021

10214---

=34)1(14

3102211014+-⨯---

=14

310221

10

14

--3

21

13

2c c c c ++1417172001099-=0 (2)

2605232112131

412-24c c -2

605032122130412-

24r r -0

4

12032122

130

4

12-14r r -0

00032122130412-=0

(3)ef

cf bf de cd bd ae

ac ab ---=e

c b e c b

e c b ad

f ---

=1

111111

11

---adfbce

=abcdef 4

(4)

d

c b a 100110011001---21ar r +

d c

b a ab 10

01

10011

010

---+

=1

2)

1)(1(+--d

c

a a

b 10

1

101--+2

3dc c +0

10111-+-+cd c ad a ab

=

2

3)

1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明:

(1)11

1

2222b b a a b ab a +=3)(b a -;

(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz

ay bx

az bz

ay by

ax +++++++++=y

x z

x z y z y

x

b a )(33+;