高中数学重要二级结论

函数二级结论

1.若奇函数()f x 在原点处有定义,则(0)0f =,若奇函数()f x 周期为T ,则

()0,()02

T

f T f ==(需在相应点有定义)

2.幂函数()a y x a Z =∈,当a 为奇数时为奇函数，当a 为偶数时为偶函数.

3.形如()()y f x f x =+-的函数为偶函数,形如()()y f x f x =--的函数为奇函数.

4.形如()y f x =的函数为偶函数.

5.形如1

1

x x a y a -=+的函数为奇函数

6.形如)

log a

y bx =的函数为奇函数

7.形如(

)2log 1bx

a y a bx =+-的函数为偶函数

8.形如x n y a m =

+的函数关于点(log ,)2a

n

m m

中心对称 9.形如()(2)y f x f a x =+-的函数关于x a =轴对称,形如()(2)y f x f a x =--的函数关于点(,0)a 中心对称.

10.形如()y f x a =-的函数关于x a =轴对称. 11.若()f x 满足()()x b f x a f -=+,则()f x 关于2

b

a x +=

轴对称（括号内相加除以2）. 12.若()f x 满足()()c x b f x a f 2=-++,则()f x 关于点⎪⎭

⎫

⎝⎛+c b a ,2中心对称；

13.函数()f x a +与函数()f b x -关于2

b a

x -=

轴对称（括号内零点之和除以2）. 14.函数()f x a c ++与函数()d f b x --关于点(,)22

b a

c d

-+中心对称 15.若()f x 满足()()f x a f x b +=+,则()f x 周期为a b - 16.若()f x 同时关于x a x b ==和轴对称,则()f x 周期为2a b - 若()f x 同时关于(,)(,)a m b m 和中心对称,则()f x 周期为2a b -

若()f x 关于(,)a m 中心对称,同时关于x b =轴对称,则()f x 周期为4a b -

17.若函数()f x 满足：()+()()f x a f x b C C ++=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若()()f x a f x +=-,则()f x 周期为2a .

18.若函数()f x 满足：()()()f x a f x b C C +⋅+=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若1

()()

f x a f x +=±

,则()f x 周期为2a . 19.若函数()f x 满足1()

()1()

f x f x a f x -+=

+,则()f x 周期为2a .

若函数()f x 满足()1

()()1

f x f x a f x ++=

-,则()f x 周期为2a .

若函数()f x 满足1()

()1()

f x f x a f x ++=

-,则()f x 周期为4a .

若函数()f x 满足()1

()()1

f x f x a f x -+=

+,则()f x 周期为4a .

20.若函数()f x 满足1

()1()

f x a f x +=

-,则()f x 周期为3a .

21.若函数()f x 满足()()(2)f x f x a f x a =+-+,则()f x 周期为6a 22.函数奇偶性的叠加：

==//==,/= /±±⨯÷⎫

⨯÷⨯÷⎬⨯÷⎭

奇奇奇,偶偶偶

奇偶奇奇偶,奇偶偶偶

偶奇 奇（奇）=奇，奇（偶）=偶，偶（奇）=偶，偶（偶）=偶；（内偶则偶，内奇同外） 23.若()f x 为奇函数则()f x '为偶函数,若()f x 为偶函数则()f x '为奇函数. 24.32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像关于点(,())33b b

f a a

--中心对称.

三角函数二级结论

1.当A B C π++=时,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅

2.当4

A B π+=时,(1+tan )(1tan )2A B += 当3

A B π+=

时

,)(1)4A B +=

当6

A B π

+=

时

,4(1+

tan )(1tan )333

A B += 3.在△ABC 中,sin()sin cos()cos tan()tan A B C A B C A B C +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩,sin 2()sin 2cos 2()cos 2tan 2()tan 2A B C A B C A B C +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩,sin cos 22cos sin 221tan 2tan 2

A B C A B C A B C ⎧

⎪+=⎪

⎪

+⎪

=⎨⎪

+⎪

=⎪⎪⎩

4.△ABC 中,若1122(,),(,)AB x y AC x y == ,则12211

2

ABC S x y x y =-

5.△ABC 三边长分别为,,a b c ,

则)2

ABC a b c

S p ++=

=

6.△ABC 三边长分别为,,a b c ,内切圆半径为r ,则=,()2

ABC a b c

S p r p ++⋅=

7.△ABC 三边长分别为,,a b c ,外接圆半径为R ,=

4ABC abc

S R

8.积化和差：[][][]

[]1cos cos =cos()cos()21sin sin =cos()cos()21sin cos =sin()sin()21

cos sin =sin()sin()2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧

⋅-++⎪⎪

⎪⋅--+⎪⎨⎪⋅++-⎪⎪⎪⋅+--⎩

和差化积：+cos +cos =2cos cos 22+cos cos =2sin sin 22+sin sin 2sin cos 22+sin sin 2cos sin 22

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧⋅⎪⎪

-⎪--⋅⎪⎨

-⎪+=⋅⎪⎪-⎪-=⋅⎩

9.正弦平方差公式：2

2sin()sin()sin

sin αβαβαβ+⋅-=- 余弦平方差公式:2

2cos()cos()cos

sin αβαβαβ+⋅-=-