Braess悖论与交通系统流量分配优化模型

12Braess悖论与交通系统流量分配优化模型

Ｂｒａｅｓｓ悖论与交通系统流量分配优化模型；刘奇志聂永革；（空军指挥学院，北京１０００８１）；摘要本文在分析Ｂｒａｅｓｓ悖论现象的基础上，探讨；法，通过讨论可以使我们对交通泉统的管理有更深捌的；关越词交通景坑藏量优化模曩悍论；ＢｒａｅｓｓＰａｒａｄｏｘａｎｄＯｐｔｉｍａｌＦ；ＬｈＱｉｚｈｉ；（ＡｉｒＦｏｒｃｅＣｏｍｍａｎｄＮｉｅＹｏａｇｇ；ｐｈｅｎ锄明ｏｎｏ

Ｂｒａｅｓｓ悖论与交通系统流量分配优化模型

刘奇志聂永革

（空军指挥学院，北京１０００８１）

摘要本文在分析Ｂｒａｅｓｓ悖论现象的基础上，探讨了交通系统中流量的优化分配模型及求解方

法，通过讨论可以使我们对交通泉统的管理有更深捌的认讽．

关越词交通景坑藏量优化模曩悍论

ＢｒａｅｓｓＰａｒａｄｏｘａｎｄＯｐｔｉｍａｌＦｌｏｗＭｏｄｅｌｏｎＴｒａｆｆｉｃＳｙｓｔｅｍ

ＬｈＱｉｚｈｉ

（ＡｉｒＦｏｒｃｅＣｏｍｍａｎｄＮｉｅＹｏａｇｇｅＣｏｌｌｅｇｅ，Ｂ嘶吨１００Ｄ８Ｉ）

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ｅｍ．ｓｙｓｔｅｍ，叩ｔｈａｌｆｌｏｗｍｏｄｅｌ，ｐａｒａｄｏｘ

一、前言

交通系统是整个社会体系的重要组成部分，随着经济的发展和汽车保有量的增加，交通拥堵已成为国内外大中城市常见的～个通病。比如，近年来，日益严重的堵车问题已成了北京交通的难题。造成交通拥堵的直观原因是城市道路建设速度赶不上机动车增长的速度。即车与路的矛盾。然而，如果车量不变，单靠扩充交通网络中道路的通行能力，就一定能缓解交通拥挤，减少交通阻塞吗Ｂｒａｅｓｓ交通悖论正是从这个角度向我们提出了值得深入研究的问题。

Ｂｒａｅｓｓ交通悖论原意是指：在交通网络中扩建道路，反而可能引起交通时间增加的现象。这个现象。听起来使人费解。实际上．Ｂｒａｅｓｓ悖论并不限于交通，在其它许多系统中（例如在经济系统、电路网络系统等）都有可能象运输系统一样产生相同的悖论行为。１９６８年Ｂｒａｅｓｓ悖论提出以后，有许多专家（Ｍｕｒｃｈｌａｎｄ（１９７０），Ｆｆａｌｌｋ（１９８１）、Ｓｔｅｉｎｂｅｒｇ和Ｓｔｏｎｅ（１９８８）、Ｆｒａｎｋ（１９８２）、Ａｒｎｏｔｔ和ＳｍａＵ（１９９４）、Ｐ∞和Ｐｄｎｃｉｐｉｏｎ（１９９７）、ＣｌａｕｄｅＭ．Ｐｅｎｅｈｉｎａ（１９９７）等）对ＢｒａｅｓＳ悖论从不同的角度进行过深入的研究。但他们的研究多限于悖论的成因。本文利用系统工程的方法，在分析悖论成因的基础上，提出交通系统流量分配优化模型并探讨了模型的求解方法。

二、问题描述

一个交通系统可以概瞎地分为两个侧面，一是使用道路的主体，即通过道路系统的流６１８（包括需要运送的人员、物资及装载人员、物资的车辆）。另一方面是承担交通流的客体。即道路系统的状况，也就是哪些点之闻有道路相联，这些道路的质量如何。二者之间还会相互作用，如通过某路段的通行能力可能会随流量的增大而变弱．

道路系统可用网络圈Ｇ＝（Ⅳ，Ａ）表示，其中Ⅳ是结点集，Ａ是弧（路段）集，为叙述方便，在一般情况下总假定两点之间没有相重的弧，即（Ａ￡Ⅳ×Ⅳ。对于使用交通系统的主体而言，假设他们有一个出发点ｓ和一个目的地ｔ，而且有一定的运输量。穿越网络的运输量构成了一个“流”。所谓“流”是指定义在Ａ上的一个非负函效，ｙ（ｉ．ｊ）∈Ａ，厶满足：

１．对不是出发点和目的地的点而言，流入的量必须等于流出的量，即

厶ｆｉ，一乙＾

ＪＪ对于一切ｉ∈Ｎ．ｉ≠ｊ，｛≠ｔ成立

２．对出发点Ｊ，流出量等于总流量Ｑ．同样，对目的地：，流入量也等于总流量Ｑ。即∑厶一∑厶一Ｑ

，，

在这个网络上，假设对任一条弧（ｆ，Ｊ）∈Ａ，流量凡遵过它的时间为：

ｔ．Ｊ一口。＋８。ｌｆｑ

其中ｂ为路段（ｉ，ｊ）上的通行时间％为路段（ｉ．ｊ）上的自由交通时间．它是一个常数，体现了路段的长短；

风为路段（ｆ，Ｊ）上的耽误系数（即在路段（ｆ。ｊ）上，每增加一个单位流量所增加的交通时间）它也是一个常数，体现了路段的质量．

如何使用交通系统，用什么指标来度量交通系统的效率，站在不同的立场观察同题可以得出不同的结论。但大致可分为四种情况．

１．对于使用系统的个体而言，它总是希望自己能够尽快地通过网络，如果个体用户不能得到交通系统的变化信息，则总是选那些自由交通时间最短的路，即一般意义下的最短路。２，如果所有用户都能了解交通系统中各路段的拥挤情况，允许个体自由竞争而不加任何限止，其结果是在从出发点到目的地的所有路上所花的时同都相等时，系统达到平衡。３．对于整个系统的管理者而言，不能仅考虑某个个体通过网络的快慢，丽是考虑系统的整体效益，度量系统的效益可能有多种指标，一种常用的指标是全部流量通过网络花费的总代价。

驿Ｕ（，）＝乙，ｉＪｏ。

｛ｌＪ）ｅ＾

其寺ｔ。Ｊ＝啦｜＋ｅ。｜ｆ。Ｊ

４．用全部流量通过网络时所花费的总时间作为度量目标。

、－、

即７１（／）＝ｍａｘ。‘■点，

，∈Ｐ【Ｊ）∈Ｐ

其中Ｐ是从出发点到目的地的所有流量不为０的路的集合。

作为系统的管理者，总是希望兼顾３和４中两个指标，即总代价不要太大，总的通过时间不要太长。６１９

三、Ｂｒａｃｓｓ悖论的启示

１９６８年，Ｂｒａｅｓｓ用一个四边网络指出了悖论现象。现在用本文给出的表达式叙述最初的示例。

假设有一个四边网络（如图１所示），出发点为ｓ，目的地为ｔ，从出发点到目的地有两条可能的路（５，ｐ，ｆ），（ｓ，ｑ，￡）。当增加一条新的路段（户，ｑ）Ｎ，从出发点到目的地有三条可能的路和（ｊ，Ｐ，￡），（５，ｑ，ｔ）和（ｓ，ｐ，ｑ，ｔ）。（如图２所示）

户

图１

假设在路段（户，幻和（５，ｑ）Ｊｌ，自由交通时间相等且为：～＝％＝５０

耽误系数相等为：卢，＝艮＝１

在路段（５，ｐ）和（ｑ，‘）上，自由交通时间及耽误系数亦分别相等且为：

ｄ，，＝ｄ－＝００ｑ＝８＿＝１０

又设从ｓ到ｔ的总流量Ｑ＝６

在图１所示的网络上，假设个体知道全局信息，允许个体自由竞争，最终导致从出发点到目的地的两条路上花的时间相等，以此为条件求出各路段弧上的流量，知

九

ｆ，＝ｆ，＝ｆ，＝，，＝鼍一３‘ｕ１

这时，总流量平均分配到路（ｓ，Ｐ，ｔ）和（ｓ，ｑ，ｔ）ｌ－，总代价为：

Ｕ＝｝。ｐｔ＋＋ｆ埘ｔＭ＋ｆ一，＋ｊ一，一４９８

花的总时间为：丁＝８３

当增加路段（ｐ，ｑ）后，设，ａ。＝ｌＯ，ｐ。一１，变为图２所示的五边网络。仍假定自由竞争以三条路上的通过时间相等为条件求出各路段弧上的流量，知