第2讲矢性函数

y Ay (t )
矢性函数
z Az (t )
矢性函数 微分
r xi yj zk dr dxi dyj dzk
dr ( dx) 2 ( dy) 2 ( dz) 2
微分的模
5.矢性函数的微分
dr ds
常矢：矢量的模和方向都保持不变。
变矢：模和方向或其中之一发生变化。
标量函数：标量 u 随参量 t 的变化。
u u(t ) 矢量函数：矢量 A 随参量 t 的变化。
A A(t )
1.矢性函数的概念
矢性函数：设有数性变量 t 和变矢 A ，如果 对于 t 在某个范围 G 内的每一个数值， A 都 有一个确定的矢量和它对应，则称 A 为数性
矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。
3.矢性函数的极限和连续性
连续性定义：若矢性函数 A(t ) 在点 t 0 的某个
领域内有定义，而且有：
lim A(t ) A(t 0 )
t t 0
则称 A(t ) 在 t 0 处连续。 矢性函数 A(t ) 在 t 0 处连续的充要条件是：
设有矢性函数 A A(t ) ，把 ' (dt t ) dA A (t ) dt 称为 A(t ) 在 t 处的微分。
微分与导矢的几何意义 相同，为矢量矢端曲线的 切线。 dt 0 ，与导矢的 dt 0 ，与导矢 方向一致； 的方向相反。
dA(dt 0)
的几何意义：
ds 0
M0
M
l
ds 0
弧长微分 ds (dx) 2 (dy) 2 (dz) 2 即：
dr ds
矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧 微分的绝对值。
dr dr dr ds ds ds ds
5.矢性函数的微分
4.矢性函数的导数 例2：设
e ( ) cos i sin j e1 ( ) sin i cos j
' e1 ( ) e ( ) e ( ) e1 ( )
试证明
' e ( ) e1 ( )
证： e ( ) e1 ( ) (cos )( sin ) (sin )(cos )
dA A lim t 0 t dt
Ay j Ax i Az k lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t dAx dAy dAz i j k dt dt dt
' ' ' ' A (t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
t t 0 t t 0 t t 0
3.矢性函数的极限和连续性
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
lim A(t ) lim Ax (t )i lim Ay (t ) j lim Az (t ) k
t t 0 t t 0 t t 0 t t 0
2.矢端曲线 自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可 以认为这两个矢量相等。 矢端曲线：
z
矢量 A(t )的终点 M 随参量 t 的 变化曲线 l 称为矢性函数 A(t )的
矢端曲线，也称为矢性函数的图
x
A( t )
o
M
y l
形。
2.矢端曲线 矢量方程：
z
A A(t )
变量 t 的矢性函数，记作：
A A(t ) 并称 G 为函数 A 的定义域。
1.矢性函数的概念
矢性函数的坐标函数分量也是 t 的函数。 z
Ax (t )
A y (t )
Az (t )k
A( t )
Ay (t ) j
Az (t )
Ax (t )i
o
y
x
A A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
r a(t sin t )i a(1 cos t ) j
3.矢性函数的极限和连续性 矢性函数极限与数性函数完全类似。 定义：设矢性函数 A(t ) 在点 t 0 的某个领域内 有定义（但在 t 0 处可以没有定义）， A 为一常
0
矢，若对于任意给定的正数 ，都存在一个正
在 t 处的导数（简称导矢），表示为：
' dA A A(t t ) A(t ) A (t ) lim lim t 0 t t 0 dt t
增量的比值为：
4.矢性函数的导数 导数的分量表示： Ax , Ay , Az 在点 t 处可导。
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
y Ay (t )
o x
A( t )
M
z Az (t )
y l
r A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
矢性函数 A(t ) 对应矢端曲线 l 的参数方程。 矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。
2.矢端曲线
4.矢性函数的导数
例1：圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）：
r ( ) a cos i a sin j bk
' 求导矢 r ( )
解： r ' ( ) (a cos ) ' i (a sin ) ' j (b ) ' k a sin i a cos j bk
4.矢性函数的导数 例2：设
e ( ) cos i sin j e1 ( ) sin i cos j
' ' 试证明： e ( ) e1 ( ), e1 ( ) e ( ), e ( ) e1 ( )
矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。
5.矢性函数的微分
例3：设 r ( ) a cosi b sin j ，求 dr 及 dr 。
解：
dr d (a cos )i d (b sin ) j a sin di b cosdj (a sin i b cos j )d
例：圆柱螺旋线的参数方程（P3图1-3）：
x a cos
其矢量方程为：
y a sin
z b
r a cos i a sin j bk
2.矢端曲线
例：摆线的参数方程（P3图1-4）：
x a(t sin t )
其矢量方程为：
y a(1 cos t )
x
A( t )
o
M
l
y
A A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
为矢性函数 A(t ) 的矢量方程。 当定义随 增大的方向为 的走向，则矢 t l 端曲线 l 为有向曲线。
2.矢端曲线
参数方程：
z
x Ax (t )
0
e ( ) e1 ( )
4.矢性函数的导数
e ( ) 为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，
因此也叫做圆函数。
y
e1 ( ) 亦为一单位
矢量，其矢端曲线也为
e1 ( )
e ( )

o
x
一单位圆。
4.矢性函数的导数
A(t ) t
是在 l 的割线 MN 上的一个矢量。
数 ，使当 t 满足 0 t t0 时，有：
成立，则称 A0 为矢性函数 A(t ) 当 t t0 的极限，
记作：
A(t ) A0
lim A(t ) A0
t t 0
3.矢性函数的极限和连续性
矢性函数极限的运算法则 u(t ) 为数性函数； A(t ) ， B (t ) 为矢性函数， 当 t t0 均存在极限。
lim u (t ) A(t ) lim u (t ) lim A(t ) t t 0 t t 0 t t 0 lim [ A(t ) B (t )] lim A(t ) lim B (t ) t t 0 t t 0 t t 0 lim [ A(t ) B (t )] lim A(t ) lim B (t ) t t 0 t t 0 t t 0 lim [ A(t ) B (t )] lim A(t ) lim B (t )
dr (a sin d ) 2 (b cos d ) 2 a 2 sin 2 b 2 cos 2 d
5.矢性函数的微分
dr ds
的几何意义：
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
x Ax (t )
Ax , Ay , Az 都在 t 0 处连续。
4.矢性函数的导数 矢性函数的增量：
A(t ) OM A(t t ) ON
M
A(t )
o
A A(t t )
N
l
A(t t ) A(t ) MN
为 A(t ) 的增量，表示为：
A A(t t ) A(t )
4.矢性函数的导数
导数的定义：设矢性函数 A(t ) 在点 t 的某一
领域内有定义，并设 t t 也在这个领域之内，
A A(t t ) A(t ) t t 在 t 0 时，其极限存在，则称此极限为 A(t )
《矢量分析与场论》
第2讲 矢性函数
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 矢性函数的概念 2. 矢端曲线
3. 矢性函数的极限和连续性
4. 矢性函数的导数 5. 矢性函数的微分 6. 矢性函数的导数公式 教材：第1章，第1节，第2节
1.矢性函数的概念
M
dA(dt 0)
A(t )
l
' A (t )
o
5.矢性函数的微分
微分的计算表达式：
' dA A (t ) dt ' ' A x (t )dti A y (t )dtj A z (t )dtk
'
wenku.baidu.com或：
dA dAx (t )i dA(t ) j dAz (t ) k
' ' ' 证： e ( ) (cos ) i (sin ) j
sin i cos j
e1 ( )
4.矢性函数的导数 例2：设
e ( ) cos i sin j e1 ( ) sin i cos j
' e1 ( ) e ( ) e ( ) e1 ( )
试证明
' e ( ) e1 ( )
' ' ' 证： e1 ( ) ( sin ) i (cos ) j cos i sin j
e ( )
' A (t )
t 0 时 ， 其 极 限
为 M 点的切线位置。
' A(t ) A (t ) lim t 0 t
A(t )
M
o
A A(t t )
N
l
A t
导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，并
始终指向对应
t 增大的方向。
5.矢性函数的微分 微分的概念：