基本不等式课件.ppt
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北师大课标必修5·§3.3
3.3.1 基本不等式
主讲人：秦明伟
1.情景导入
如图是在北京召开的第24界国 际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗 使它看上去象一个风车。你 能在这个图案中找出一些相 等关系或不等关系吗？
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全
D HG C
A EF
x2 y2 2xy
B
2．得到结论：
一般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取" "号)
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b分别代替a、b ，可得
通常我们把上式写
作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2
式中取等号）
3．1）认识基本不等式
如果a,b都是非负数，那么 a b ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们把 a b ab 称为基本不等式
2
（均值不等式）
ab 2
称为a,b的算术平均数
ab 称为a,b的几何平均数
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 a b ab
2
（1）
只要证 a b 2 ab
（2）
要证（2），只要证 a b2a2b ab 0 （3）
要证（3）,只要证
2
a b 0 （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
几何解释
D
令AC= a , CB= b
ab 2 ab
A
因为 OD≥CD
OC B
所以 a b ab 2
当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立
证明：∵x，y都是正数
∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0
∴ x＋y≥2 xy >0
x2＋y2≥2 x2 y2 >0 x3＋y3≥2 x3 y3 >0
（当且仅当x=y时，等号成立）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy ·2 x2 y2 ·2 x3 y3
＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，等号成立）
看下图，试比较CE,CD大小
观察会发现，
C
CD CE
ab
1 a
2
1 b
A
a+b Ｅ2 ab
aO D b B
CD2 CE OC
CE CD2 ab 2 OC a b 1 1 2 ab
例题讲解
例１ 设a，b均为正数，
证明不等式
ab
1 a
2
1 b
证明 因为a,b均为正数，由基本不等式，
可知
1 a
1 b
1Leabharlann Baidu
即
2
ab
ab
1 a
2
1 b
当且仅当a=b时，等号成立
随堂练习
1、 已知x、y都是正数，求证：
y x ≥2；
xy
证明：∵x，y都是正数
∴ x ＞0， y ＞0
y
x
x y 2 yx
x y yx
=2 即 x y 2 yx
（当且仅当x=y时，式中取等号。）
2、已知x、y都是正数，求证： (x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.
课后作业
1. 课本94页 习题3-3 A组3题 和B组1题 2. 预习3.2节
D
ab 2 ab
A
OC B
思考交流
对基本不等式，用语言文字可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 从几何的角度可叙述为：
圆的半径不小于弦长的一半. 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中 项.
想一想？
由基本不等式，例1和练习题你能给出
这几式子的大小关系吗？
ab 2
a2 b2 2
2 ab 1 1
ab
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
课堂小结
1.两个重要的不等式
ab 2
ab(a 0,b 0)
a2 b2 2ab(a,b R)
2.基本不等式的联系和体会
3.对基本不等式和例1及练习题的总结
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时,等号成立
等的直角三角形。设直角三
角形的两条直角边长为x,y，
那么正方形的边长为 x2 y2
D
这样，4个直角三角形的面 H G C
积的和是2xy，正方形的面积 A E F
为 x2 y2
B
➢ 由于4个直角三角形的面积 小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：
x2 y2 2xy
当直角三角形变为等腰直角三 角形，即x=y时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有
3.3.1 基本不等式
主讲人：秦明伟
1.情景导入
如图是在北京召开的第24界国 际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗 使它看上去象一个风车。你 能在这个图案中找出一些相 等关系或不等关系吗？
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
在正方形ABCD中有四个全
D HG C
A EF
x2 y2 2xy
B
2．得到结论：
一般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取" "号)
特别的，如果a>0,b>0,我们用 a , b分别代替a、b ，可得
通常我们把上式写
作 ab a b (a>0,b>0) (当且仅当a=b时， 2
式中取等号）
3．1）认识基本不等式
如果a,b都是非负数，那么 a b ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们把 a b ab 称为基本不等式
2
（均值不等式）
ab 2
称为a,b的算术平均数
ab 称为a,b的几何平均数
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 a b ab
2
（1）
只要证 a b 2 ab
（2）
要证（2），只要证 a b2a2b ab 0 （3）
要证（3）,只要证
2
a b 0 （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
几何解释
D
令AC= a , CB= b
ab 2 ab
A
因为 OD≥CD
OC B
所以 a b ab 2
当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立
证明：∵x，y都是正数
∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0
∴ x＋y≥2 xy >0
x2＋y2≥2 x2 y2 >0 x3＋y3≥2 x3 y3 >0
（当且仅当x=y时，等号成立）
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy ·2 x2 y2 ·2 x3 y3
＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. （当且仅当x=y时，等号成立）
看下图，试比较CE,CD大小
观察会发现，
C
CD CE
ab
1 a
2
1 b
A
a+b Ｅ2 ab
aO D b B
CD2 CE OC
CE CD2 ab 2 OC a b 1 1 2 ab
例题讲解
例１ 设a，b均为正数，
证明不等式
ab
1 a
2
1 b
证明 因为a,b均为正数，由基本不等式，
可知
1 a
1 b
1Leabharlann Baidu
即
2
ab
ab
1 a
2
1 b
当且仅当a=b时，等号成立
随堂练习
1、 已知x、y都是正数，求证：
y x ≥2；
xy
证明：∵x，y都是正数
∴ x ＞0， y ＞0
y
x
x y 2 yx
x y yx
=2 即 x y 2 yx
（当且仅当x=y时，式中取等号。）
2、已知x、y都是正数，求证： (x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.
课后作业
1. 课本94页 习题3-3 A组3题 和B组1题 2. 预习3.2节
D
ab 2 ab
A
OC B
思考交流
对基本不等式，用语言文字可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 从几何的角度可叙述为：
圆的半径不小于弦长的一半. 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中 项.
想一想？
由基本不等式，例1和练习题你能给出
这几式子的大小关系吗？
ab 2
a2 b2 2
2 ab 1 1
ab
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
课堂小结
1.两个重要的不等式
ab 2
ab(a 0,b 0)
a2 b2 2ab(a,b R)
2.基本不等式的联系和体会
3.对基本不等式和例1及练习题的总结
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时,等号成立
等的直角三角形。设直角三
角形的两条直角边长为x,y，
那么正方形的边长为 x2 y2
D
这样，4个直角三角形的面 H G C
积的和是2xy，正方形的面积 A E F
为 x2 y2
B
➢ 由于4个直角三角形的面积 小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：
x2 y2 2xy
当直角三角形变为等腰直角三 角形，即x=y时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有