高中数学人教版必修应用举例作业(系列五)
湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学习题必修五1-2解三角形应用举例练习题
1.2 解三角形应用举例一、填空题1.海上有三个小岛,其中两个小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B,C间距离是_______．解析 180-60-75=45, 根据正弦定理.答案海里2.从A处望B处的仰角为从B处望A处的俯角为则、的关系为______．解析根据仰角和俯角的定义可知.答案3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30 (m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．答案10 34．某人向正东方向走x k m后，他向右转150°，然后朝新方向走3 k m，结果他离出发点恰好 3 k m，那么x的值为________．解析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检测均合题意．答案3或2 35．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB 的长为________．解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .① 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .② 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 答案 22a6．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________. 解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·32＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°， 所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ， ∴∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3，所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°， 故所求角为60°. 答案 60°7．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝102(米)．在Rt△ABC中，tan 60°＝ABBC，AB＝BC tan 60°＝106(米)．答案10 68．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，∴AO＝2063(米)．答案206 39．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 k m，速度为1 000 k m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 k m)________．解析AB＝1 000×1 000×160＝50 0003(m)，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝50 00032(m)．∴航线离山顶h＝50 00032×sin 75°≈11.4 (k m)．∴山高为18－11.4＝6.6 (k m)．答案 6.6 k m10．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°， ∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063(m)． 答案1063m 11．如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________________时，该船没有触礁危险．I解析 由题可知，在△ABM 中， 根据正弦定理得BM －α＝m α－β，解得BM ＝m cos αα－β，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βα－β＞n ，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险． 答案 m cos αcos β＞n sin(α－β)12．某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 k m/h ，则宝塔到铁路线的垂直距离等于________k m. 解析 如图，∠BCA ＝45°－30°＝15°，AB ＝10060＝53(k m)，AC ＝ABsin ∠BCA· sin ∠ABC ＝53(3＋1)(k m)，所以宝塔到铁路线的垂直距离＝AC ·sin 30°＝56(3＋1)(k m)．答案56(3＋1)13．知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是________．解析如图，设AB＝AC＝2x，则在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cos A，所以cos A＝5x2－3 4x2.所以sin A＝1－cos2A＝－9x4＋30x2－94x2，所以S△ABC＝12(2x)2sin A＝12－9x4＋30x2－9.故当x2＝53时，(S△ABC)max＝12－9⎝⎛⎭⎪⎫532＋3053－9＝1216＝2.答案 2二、解答题14.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75,求山顶的海拔高度.解析在△ABP中-根据正弦定理,.sin75sin(45+30.所以,山顶P的海拔高度为千米).15．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28(海里)． 所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12(海里)，∠BAC ＝120°，BC ＝28(海里)，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314. 16．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t2＋400－2·30t －＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.17．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东θ方向沿直线前往B 处救援，问θ的正弦值为多少？解析 如题干图，在△ABC 中，AB ＝20海里，AC ＝10海里，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝202＋102－2×20×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700.∴BC ＝107海里．由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝ABBC·sin∠BAC ＝20107·sin 120°＝217.∴sin θ＝sin(30°＋∠ACB )＝sin 30°cos∠ACB ＋cos 30°·s in ∠ACB ＝5714∴乙船应沿北偏东sin θ＝5714的方向沿直线前往B 处救援．18．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解析由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．所以救援船到达D点需要1小时．。
高中数学必修五：正余弦定理应用举例(必考题)含解析
第一章正余弦定理应用举例（必考题）含解析1.2第1课时基础巩固一、选择题1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°[答案] D[解析]根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B．3a kmC．2a km D．2a km[答案] B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5n mlie B．53n mlieC．10n mlie D．103n mlie[答案] C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[答案] C[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.6．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)( )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[答案] C[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m) 二、填空题7．如图所示，为了测量河的宽度BC ，最适宜测量的两个数据是________．[答案] AC 与∠A ．[解析] 由图可知，AB 与BC 不能直接测量．8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案] 5.2[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BS sin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行.能力提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为( )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[答案] D[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.2．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是( )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[答案] B[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[答案] A[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．4．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[答案] B[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过________min ，海盗船到达商船．[答案]403[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ×CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．6.如图，一艘船上午在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是________n mile/h.[答案] 16[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午在A 地，在B 地，∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题7．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.第一章 1.2 第2课时基础巩固一、选择题1．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆B 、C 的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h ，则两个场馆B 、C 间的距离为( )A ．h sin αsin βsin (α－β)B ．h sin (β－α)sin αsin βC ．h sin αsin βsin (α－β)D ．h sin βsin αsin (α－β)[答案] B[解析] 在Rt △ADC 中，AC ＝hsin β，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)sin αsin β.2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．1002mB ．1003mC ．50(2＋6)mD ．200m[答案] A[解析] 如图，由条件知，AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°) ＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°) ＝25(6＋2)，CD ＝100cos75°＝25(6－2)，BD ＝AD tan30°＝25(6＋2)33＝25(32＋6)．∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2) ＝1002(m)．3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)．4．若甲船在B 岛的正南方A 处，AB ＝10km ，甲船以4km /h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A ．1507minB ．157hC ．21.5minD ．2.15h [答案] A[解析] 当时间t <2.5h 时，如图．∠CBD ＝120°，BD ＝10－4t ，BC ＝6t . 在△BCD 中，利用余弦定理，得CD 2＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝202×28＝514(h)，即1507min 时，CD 2最小，即CD 最小为6757. 当t ≥2.5h 时，CF ＝15×32，CF 2＝6754>CD 2， 故距离最近时，t <2.5h ，即t ＝1507min.5．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．2030mD ．30m[答案] D[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠ABD ＝45°，∠ACD ＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝303，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝900，∴BC ＝30.6．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )A ．5002mB ．200mC ．1 0002mD ．1 000m[答案] D[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 二、填空题7．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile 后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或“无”)．[答案] 无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．8．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30°[解析] 如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°， 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题9．如图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m 的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C 、D 间的距离是12 m ，计算烟囱的高AB .(精确到0.01 m)[解析] 在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析] 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝ 6.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∴∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD ，∴103t sin120°＝10tsin ∠BCD，∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.能力提升一、选择题1．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．2．渡轮以15km /h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )A ．14.5km /hB ．15.6km/hC ．13.5km /hD ．11.3km/h[答案] C[解析] 由物理学知识，画出示意图，如图．AB ＝15，AD ＝4， ∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ×CD ×cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)． 故选C ．3．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40.4.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．156mB ．206mC ．256mD ．306m[答案] D[解析] 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得 cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为306m. 二、填空题5．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.[答案] 30°[解析] 如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°.6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m .[答案] 150m[解析] 本题考查解三角形中的应用举例． 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°， ∴AC ＝100 2.在△AMC 中，∠CAM ＝75°，∠ACM ＝60°， ∴∠AMC ＝45°.由正弦定理知AM sin60°＝1002sin45°，∴AM ＝100 3.在Rt △AMN 中，∠NAM ＝60°， ∴MN ＝AM ·sin60°＝1003×32＝150(m)． 三、解答题7.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12n mile ，渔船乙以10n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解析] (1)在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°.即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.8．据气象台预报，在S 岛正东距S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．[分析] 设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t h 到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .[解析] 如图，设台风中心经过t h 到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30t cos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270即SB2≤2702，化简整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－6≤t≤5＋6，所以从现在起，经过(5－6)h S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(h)．答：S岛从现在起经过(5－6)h受到台风影响，且持续时间为26h.。
高中数学新人教A版必修5习题 1.2 应用举例1
正、余弦定理在三角形中的应用cos A ＝32＋32－222×3×3＝13， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 在△ABC 中利用正弦定理得BC sin A ＝AB sin C， ∴sin C ＝AB sin A BC ＝3×2234＝66，故选D. 答案：D 7．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cos C ＝35. 根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.答案：48．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，∴BD ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos60°＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.答案： 39．在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足：2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解：由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，C ＝60°，又∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6，∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证： a b －b a ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B b －cos A a . 证明：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，代入等式右边，得 右边＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22abc－b 2＋c 2－a 22abc ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －b a＝左边， ∴a b －ba ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B b －cos A a . B 组 能力提升11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积为( )A ．16 B.352C ．18D ．32解析：如右图，设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝18，65＋17＝2a 2＋b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9，a 2＋b 2＝41，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝4， ∴cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35， ∴sin ∠BAD ＝45，从而S ▱ABCD ＝4×5×45＝16.法二：a2sin2B＋b2sin2A＝(2R sin A)2·2sin B cos B＋(2R sin B)2·2sin A cos A ＝8R2sin A sin B(sin A cos B＋cos A sin B)＝8R2sin A sin B sin(A＋B)＝8R2sin A sin B sin C＝2·2R sin A·2R sin B·sin C＝2ab sin C.所以原式得证．。
(2018-2019)学年高中数学人教A版必修5应用举例课件(27张)
塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得
∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔
顶A的仰角为θ，求塔高AB.
【思路点拨】
求∠CBD → 利用正弦定理求BC →
在△ABC中求AB
【解】 在△ BCD 中，∠ BCD＝ α，∠ BDC ＝β， ∴∠CBD＝180° －(α＋β)， BC s ∴ ＝ ， sin β sin[180° －α＋β] BC s 即 ＝ . sin β sinα＋β sin β ∴BC＝ · s. sinα＋β
知新盖能 1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角．目标视线在水平视线_____ 上方 时叫仰 下方 时叫俯角，如图 角，目标视线在水平视线_____
所示．
2. 方向角是指从指定方向线到目标方向线的 水平角,如北偏东300,南偏西450. 方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的角. 3.坡度是坡面与水平面所成的角的度数.
【解】 在△ABD 中， ∠ADB＝60° ，∠DAB＝75° ， ∴B＝45° . 2 12 6× 2 ABsin B ∴AD＝ ＝ ＝24(n mile)． sin∠ADB 3 2 即 A 与 D 间的距离为 24条件不变的情况下，求灯塔C
与D间的距离．
解： 在△ADC 中， 由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2 －2AD· ACcos 30° ， 代入数据，解得 CD＝8 3(n mile)． 即灯塔 C 与 D 间的距离为 8 3 n mile.
方法感悟
1．解与三角形有关的应用题的基本思路和步骤 (1)解三角形应用题的基本思路
(2)解三角形应用题的步骤 ①准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理 解应用题中的有关名词和术语； ②画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
2017-2018学年高二数学人教版(必修5)应用举例测试题Word版含答案
2017-2018学年高二数学人教版（必修5）应用举例测试题1．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sinBC ． （1）求tan C 的值；（2）若a =ABC △的面积．【答案】（1（2）2． 【解析】（1）因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin 3A ==，C ＝sin B ＝sin （A ＋C ）＝sin A cos C ＋cos A sin C 2sin 3C C +．所以tan C =2．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】1小时．【解析】由题意知5(3AB =海里，906030,DBA=-= ∠ 904545,DAB =-= ∠ 所以180(4530)105ADB =-+= ∠， 在ADB △中，有正弦定理，得.sin sin DB ABDAB ADB=∠∠sinsin AB DAB DB ADB ⋅===∠∴∠ 又在DBC △中，60.DBC =∠2222cos60900.DC DB BC DB BC =+-⨯⨯⨯=∴30.DC =∴该救援船到达D 点需要的时间为30130=小时． 3．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝4π，b 2－a 2＝12c 2． （1）求tan C 的值；（2）若ABC △的面积为3，求b 的值．【答案】（1）2-；（2【解析】（1）由b 2−a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B −12＝12sin 2C ，所以−cos2B ＝sin 2C ． 又由4A π=，即B ＋C ＝34π，得−cos2B ＝3cos[2()]sin 2=2sin cos 4C C C C π--=--，解得tan C ＝2-．（2）由tan C ＝-2，C ∈（0，π）得sin C cos C ＝又因为sin B ＝sin （A ＋C ）＝sin()4C π+，所以sin B c ＝ ，又因为4A π=，1sin 3,2bc A =所以bc =b4．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β．（1）求BC 的长；（2）若24,45,75,30l αβθ==︒=︒=︒，求信号塔CD 的高度．【答案】（1）sin()sin()l αθβα--；（2）24-【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．（3）选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．5．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其中b =6，ABC △的面积为15，其外接圆半径为5．（1）求sin2B 的值； （2）求ABC △的周长．【答案】（1）2425；（2）6+ 【解析】（1）由正弦定理，得2sin b R B =，∴sin B =325b R =． 又∵△ABC 的面积为15，∴1sin 15.2S ac B ==∴ac =50>b 2．∴a ，c 有一个比b 大，即B 是锐角，∴cos B =45，∴sin2B =2sin B cos B =34242.5525⨯⨯=（2）由（1）及余弦定理，得2224cos 25a cb B ac +-==，∴a 2+c 2=116，∴（a +c ）2=216，∴a +c =ABC 的周长为a +b +c =6+6．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ．并测量得到数据：90ACD ∠= ，60ADC ∠= ，30ACB ∠= ，105BCE ∠= ， 45,CEB ∠= DC =CE =2（百米）．（1）求CDE △的面积； （2）求A ，B 之间的距离．【答案】（1（2）【解析】（1）连接DE ，在CDE △中，=3609030105=135DCE ∠--- ，． （2）依题意知，在Rt ACD △中，． 在BCE △中，1801801054530CBEBCE CEB ?-??--=．由正弦定理BC CE=，得． 在△ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠可得．7．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,a b c ≠=22cos cos cos A B A A --cos .B B（1）求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，求ABC △的面积．【答案】（1）3π；（2．（2）由c =4sin 5A =，由正弦定理sin sin a c A C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以ABC △的面积为118sin 225S ac B ==．8．如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD CD AC === （1）求cos CAD ∠的值;（2）若cos BAD ∠=，sin CBA ∠=，求BC 的长．【答案】（1；（2）3． 【解析】（1）由余弦定理可得，在ADC △中，222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=，所以cos 7CAD ∠=． （2）因为BAD ∠为四边形的内角，所以sin 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>，则由正余弦的关系可得sin BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==，再由正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠(147=-==再由正弦定理可得，在ABC △中，sin sin AC BC CBA BAC=∠∠3BC ⇒==．9．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且 （1（2，求角C 的大小．【答案】（1）5；（2）2π．即7c t =．又0C <<π 10．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点,A B 两地相距100米，60BAC ∠= ，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30 ．（1）求,A C 两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）．【答案】（1）420米；（2 【解析】（1）设BC x =，由条件可知 在△ABC 中，由余弦定理，可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠，解得380x =．所以38040420AC =+=（米）．故,A C 两地的距离为420米．（2）在ACH △中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒，，11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ．已知12,cos , 3.3BA BC B b ⋅=== 求：（1）a 和c 的值； （2）cos （B －C ）的值． 【答案】（1）a ＝3，c ＝2；（2）2327．（2）在ABC △中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 3c C B b === 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此7cos .9C ===于是cos （B －C ）＝cos B cos C ＋sin B sin C＝1723+.393927⨯= 12．海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处（假设游船匀速行驶）．（1）求该船行驶的速度（单位：米/分钟）．（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远．【答案】（1）20米/分钟；（2（2）在Rt BCD △中，=30BCD ∠ ， 又因为=15DBE ∠ ，所以=105CBE ∠ ， 所以=45CEB ∠ ．在BCE △中，由正弦定理可知．故又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E13．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足（1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，，求△ABC 的面积．【答案】（1）π；（2） 【解析】（1，即222cos 2()bc A ac b a -=-，∴由余弦定理，知222222()b c a ac b a +--=-，∴222a c b ac +-=，则 （2）方法1：在△ABD 中，由余弦定理得①．在△ABC 中，由正弦定理，得②． 由①②解得75b c =⎧⎨=⎩．方法2：延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，在△ABE 中， 2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅⋅∠，由,,DE BD AD DC == 得四边形ABCE 是平行四边形． ∴AE BC =，∴22129c a a c =++⋅③．由③④解得5,8c a ==，14．在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足（1）求A 的大小；（2）现给出三个条件：①2a =；②45B = ；③．试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积（只需写出一个方案即可，写多种方案以第一种方案记分）． 【答案】（1）6π；（2）见解析．【解析】（1在△ABC 中，sin sin()=+B A C2cos sin 0=A C C ，∵sin 0≠C ，∴cos =A ，则6π=A ．（2）方案一：选择①②．方案二：选择①③．由余弦定理得2222cos b c bc A a +-=，则222334b b b +-=，则15．（2017山东文）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-，3ABC S =△，求A 和a ． 【答案】3π4A =，a = 【思路分析】先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，由此求A ，再利用余弦定理求a ．【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 16．（2015安徽）在△ABC中，3π=64A AB AC ∠=，，，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．【解析】如图，设△ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得222223π2cos 626cos1836(36)904=+-∠=+-⨯⨯=+--=a b c bc BAC ，所以a =又由正弦定理得sin sinb BAC B a ∠===．由题设知π04<<B ，所以cos B ===在△ABD 中，由正弦定理得sin 6sin 3=sin(π2)2sin cos cos ===-AB B B AD B B B B．17．（2017新课标全国I 理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长．【答案】（1）23；（2）3． 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =．由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =，故2sin sin 3B C =．18．（2017新课标全国II 理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【思路分析】（1）利用三角形内角和定理可知A C B +=π-，再利用诱导公式化简sin()A C +，利用降幂公式化简21cos sin22B B -=，结合22sin cos 1B B +=即可求出cos B ；（2）利用（1）中结论15cos 17B =，结合三角形面积公式可求出ac 的值，根据6a c +=，进而利用余弦定理可求出b 的值． 【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边同时平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =可得8sin 17B =，故ABC 14=sin 217S ac B ac =△，又=2ABC S △，所以172ac =．由余弦定理及6a c +=得：2222172cos ()2(1cos )3622b a c ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯15(1)417+=，所以2b =． 【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．19．（2016新课标全国I ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c ABC △ABC △的周长．【答案】（1）π3；（2）5 【解析】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=， 即()2cos sin sin C ΑΒC +=． 故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，又0C <<π，所以π3C =．（2）由已知，1sin 2ab C =． 又π3C =，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为520．（2015新课标全国II ）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】（1）12；（2）BD =1AC =． 【解析】（1）1sin 2△=⋅∠ABD S AB AD BAD ，1sin 2△=⋅∠ADC S AC AD CAD ，因为2△△=ABD ADC S S ，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =． 由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．21．（2015陕西）△ΑΒC 的内角Α,Β,C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()a =m 与(cos ,sin )ΑΒ=n 平行． （1）求Α；（2）若a =2b =，求△ΑΒC 的面积．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0≠B，从而tan A 由于0<<πA ，所以3π=A ． （2）方法1：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，由2a b ，=3π=Α， 得2742c c =+-，即2230c c --=， 因为0c >，所以3c =． 故△ΑΒC的面积为1sin 22bc A =． 方法22sin sin 3=Β，从而sin B 又由a b >，知A B >，所以cos 7B =． 故()sin sin sin()sin coscos sin 33314C A B B B B πππ=+=+=+=所以△ΑΒC的面积为1sin 2ab C =22．（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）1 040 m ；（2）3537；（3）1250625[,]4314．（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ， 此时，甲行走了（100＋50t ）m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理，得222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为10400130t ≤≤，即0≤t ≤8，所以当3537t =分钟时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B =， 得12605sin 500(m)63sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m ），还需走710 m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ， 由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min ）范围内．。
人教A版数学必修5作业 1-2-1应用举例(第一课时)
课时作业(五)1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的()A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为()A．120°B．90°C．60°D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距() A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理，得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos30°，解得BC ＝30.5．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3答案 C6．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B7．海上有A 、B 、C 三个小岛，已知A 、B 相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里 C ．5 2 海里 D ．5 6 海里 答案 D 8.如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5 海里B ．5 3 海里C ．10 海里D ．10 3 海里 答案 D10．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A ，B 两船的距离为( )A ．2 3 kmB ．3 2 km C.15 km D.13 km 答案 D11．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案6013．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B点，在B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案56(3－1)214．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°. ∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)．∴A到BC的距离d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h后，该船实际航行为()A．215 km B．6 kmC.84 km D．8 km答案 B2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C、D，在某天10∶00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案6 4解析在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，∴BC＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CD sin45°＝AC sin30°，AC ＝22. 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟． 3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案 救船到达D 点需要1小时．解析 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12 ＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900. ∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)． 答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a 是海面上一条南北向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离．(结果精确到0.01 km) 答案 (1)PB ＝x －12 km ，PC ＝18＋x km 1327(2)17.71 km。
高中数学人教版必修5应用举例 课件PPT
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
又∵AD＝CD，∴CD＝800( 3＋1)(m)．
答案：800( 3＋1)m
探究一 测量底部不可到达的高度 [典例 1] 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以 选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 和 D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在 点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ，求塔高 AB.
[解析] 在△ABC 中，BC＝50 米，∠ABC＝105°，
∠BCA＝45°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA
＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理得sin∠ABBCA＝sin∠BCBAC，
所以 AB＝BCs×ins∠inB∠ABCCA＝50×sinsi3n0°45°
50× ＝1
此类问题的关键是把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
地上画了一个角，∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行走 10 m 后，拐弯往另一方 向行走 14 m 正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一 点，我们将该点记为点 B，则点 B 与 D 之间的距离 为________ m.
∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BDC 中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
BC＝
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
则在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝(
3)2＋
人教A版高中数学必修5精选优课习题 1.2应用举例例题[ 高考]
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习题1.2 解三角形应用举例—测距离1.仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．2.视角：被观察的两点与眼晴连线的夹角。
一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为()A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°2. 若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的()A．南偏西45°10′B．南偏西44°50′C．南偏东45°10′D．南偏东44°50′3、设甲、乙两楼相距30 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()A.303m，203m B．103m,203mC．10(3－2) m,203m D.153m，203m4、为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，A、B两点与树底部在地面上的点共线，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A．30＋303m B．30＋153mC．15＋303m D．15＋33m答案 A5、从高出海平面a米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A ．3a 米 B.2a 米C. 2a 米 D ．22a 米答案 C6、在某个位置测得某楼仰角为α，对着楼在平行地面上前进a m 后测仰角为β，则该山峰的高度是( )A ．)sin(cos sin αββα-a m B ．)sin(sin sin αββα-a m C ．)sin(sin cos αββα-a m D ．)sin(cos cos αββα-a m7、一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 0分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(3＋2) 海里/小时 D ．20(3－2) 海里/小时二、填空题8．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、C ，望对岸边上一标记物B ，测得∠ACB ＝30°，∠CAB ＝75°，AC＝120 m，则河的宽度为______解析在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝75°，∴∠ABC＝75°.∠ABC＝∠CAB.∴CB＝AC＝120 m.作BD⊥AC，垂足为D，则BD即为河的宽度．9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．三、解答题10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．11、如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为2km，∠ADB＝30°,∠CDB＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．。
人教版高中数学必修五课时作业18：1.2 应用举例
1.2 应用举例1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c ：b 等于( ) A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：32．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( ) A ．32 2 B ．16 2 C ．4 2 D ．163．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 65．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 36．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－513，则sin B ＝________.7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地距离为________ km.9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.10．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ 3 km，当目标出现在B点时，测得∠BCD＝75°，∠CDB＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．参考答案1．【解析】由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43.【答案】D2．【解析】由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2Bsin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2. 【答案】B3．【解析】由正弦定理及题设条件知，sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin A cos A ＝sin Bcos B， 得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】B4．【解析】由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 【答案】A5．【解析】如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ， ∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin C.即BC ＝AB sin ∠BACsin C ＝10×2212＝102(m)．【答案】C6．【解析】∵cos A ＝－513，∴sin A ＝1213.由正弦定理，可得3sin A ＝2sin B ，∴sin B ＝2sin A 3＝23×1213＝813.【答案】8137．【答案】 3【解析】在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.8．【解析】如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.【答案】79．【解析】如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．【答案】1063cm10．解：∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105° ＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3.∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.。
高中数学：1.2应用举例第二课时：测量高度问题(新人教A版必修5)
1. 2应用举例第二课时：测量高度问题一、教学目标：1、能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法：利用仰角和俯角等条件测量底部不可到达的建筑物高度这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。
二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
难点：底部不可到达的建筑物高度的测量。
三、名词解释：1、仰角：朝上看时，视线与水平面夹角为仰角。
2、俯角：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角。
3、方位角：从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角。
4、坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率。
四、例题讲解：例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。
设计一种测量建筑无高度AB 的方法。
解：选择一条水平基线HG ，使H ，G ，B 三点在同一条直线上。
由在H ，G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为βα,，a CD =，测角仪器的高度为h 。
在ACD ∆中，βα-=∠CAD∴在ACD ∆中，由正弦定理可得：在ACE ∆中，()βαβαα-==sin sin sin sin a AC AE 例2、在某建筑物顶部有一铁塔，在铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角 45=α，在塔底C 处测得A 处的俯角30=β。
已知铁塔BC 部分高为30m ，求出此建筑物的高度CD 。
（精确到m 01.0）解：由已知条件可知 4590=-=∠αABC ， 6090=-=∠βACD ，在ABC ∆中，由正弦定理可得：()13304262230sin sin +=-⨯=∠∠=BAC ABC BC AC , 在直角ACD ∆中， 60,90=∠+∠=∠=∠CAB ABC ACD ADC所以，山的高度约为98.40米。
人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
人教版高中数学必修五 解三角形应用举例-高度问题 附答案解析
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0. ③
由①②③,解得 h=30 6 或 h= 30 6 (舍去),即建筑物的高度为 30 6 m.
答案:D
4.解析:c= a2 b2 2ab cosC
= 9 16 2 3 4cos 60o 13 .
答案: 13
第3页共5页
5.解析:如图,由于 CD⊥AD,∠CAD=45°,
第2页共5页
参考答案
1.解析:由题意,可知∠BAC=30°,
∠OAC=∠ACB=30°,AC=
OA cos 30o
2 200 3
.
又∠B=120°,在△ABC
中,由正弦定理
AC sin120
o
BC sin 30o
,得
BC=
AC sin 30o sin120o
400 1 32 3
400 3
(m).
答案:800( 3 +1) m
6.解析:如图,设湖面上高 h m 处为 A,在 A 处测得云 C 的仰角为α,测得云在湖中影子 D 的
俯角为β,CD 与湖面交于 M,过 A 的水平线交 CD 于 E.
设云高 CM=x,则 CE=x-h,DE=x+h,
AE=
CE tan CAE
x h tan
.
又
AE=
∴h≈13.3(m).
∴旗杆的高度约为 13.3 m.
9.解:如图,过 C 作 AB 的垂线,垂足为 D.
依题意,AB=3 000×8=24 000(m). 又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°, 故 BC=AB=24 000 m. 在 Rt△CBD 中,CD=BC·sin 60°≈24 000×0.866=20 784(m), 故山顶的海拔高度约为 25 000-20 784=4 216(m).
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》一、选择题1.在△ABC 中，A=60°，b=1，其面积为3，则asin A等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c=2，b=6，B=120°，则△ABC 的面积等于( )A.62 B ．1 C.32 D.223.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC =14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 4.在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a=2csin A ，c=7，且a ＋b=5，则△ABC 的面积为( ) A.332 B.92 C.532 D.725.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acos C=4csin A ，若△ABC 的面积S=10，b=4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263 D.2836.如图，四边形ABCD 中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 37.已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534 B.154 C.2134 D.932二、填空题8.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b=3，c=2，△ABC 的面积为2，则sin A=________. 9.若△ABC 的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB 的长度等于________．10.锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则AB=________.11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为________．12.在△ABC 中，若a=2，B=60°，b=7，则BC 边上的高等于________．三、解答题13.已知△ABC 中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC 的面积．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B=A ＋C ，且AB=1，BC=4，求边BC 上的中线AD 的长．15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B ＋bcos A)=c.(1)求C ；(2)若c=7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．16.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．答案解析1.答案为：A ；解析：由S △ABC =12bcsin A=3可知c=4.由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=1＋16－8cos 60°=13，所以a=13.所以a sin A =13sin 60°=2393.2.答案为：C ；解析：由正弦定理得6sin 120°=2sin C ，∴sin C=12，∴C=30°或150°(舍去)．∵B=120°，∴A=30°，∴S △ABC =12bcsin A=12×6×2×sin 30°=32.3.答案为：B ；解析：∵S=12bcsin A=14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A=b 2＋c 2－a 22bc =cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A=π4.4.答案为：A ；解析：由3a=2csin A 及正弦定理得a c =2sin A 3=sin Asin C，∵sin A≠0，∴sin C=32，故在锐角△ABC 中，C=π3. 再由a ＋b=5及余弦定理可得7=a 2＋b 2－2abcos π3=a 2＋b 2－ab=(a ＋b)2－3ab=25－3ab ，解得ab=6，故△ABC 的面积为12ab·sin C=332.5.答案为：B ；解析：由3acos C=4csin A ，得a sin A =4c3cos C.又由正弦定理a sin A =c sin C ，得c sin C =4c 3cos C ，∴tan C=34，∴sin C=35.又S=12bcsin A=10，b=4，∴csin A=5.根据正弦定理，得a=csin A sin C =535=253，故选B.6.答案为：B ；解析：连接BD(图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC=180°－120°2=30°，∴∠ABD=90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C，知BD 2=22＋22－2×2×2cos 120°=12，∴BD=23，∴S 四边形ABCD =S △ABD ＋S △BCD =12×4×23＋12×2×2×sin 120°=5 3.7.答案为：A ；解析：由题目条件，知a=c ＋4，b=c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A=32， 解得A=60°(舍去)或A=120°.由余弦定理，得cos A=cos 120°=c 2＋c ＋22－c ＋422c c ＋2=－12， 解得c=3，所以b=5，所以S △ABC =12bcsin A=1534.8.答案为：23；解析：∵S △ABC =12bcsin A ，∴sin A=2S △ABC bc =223×2=23.9.答案为：2；解析：在△ABC 中，由面积公式，得S=12BC·AC·sin C=32AC=3，∴AC=2，∴△ABC 为等边三角形，∴AB=2.10.答案为：13；解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C=33，sin C=32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C=60°.根据余弦定理AB 2=16＋9－2×4×3×12=13.AB=13.11.答案为：8；解析：因为0<A<π，所以sin A=1－cos 2A=154，又S △ABC =12bcsin A=158bc=315，∴bc=24，解方程组{ b －c ＝2bc ＝24得b=6，c=4，由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14=64，所以a=8.12.答案为：332；解析：由余弦定理b 2=a 2＋c 2－2accos 60°，即7=4＋c 2－2×2c×12，整理得c 2－2c －3=0，解得c=3.所以BC 边上的高为csin B=3×sin 60°=332.13.解：由正弦定理，得sin C=ABsin B AC =23sin 30°2=32.∵AB>AC ，∴C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，S △ABC =12AB·AC=23；当C=120°时，A=30°，S △ABC =12AB·ACsin A= 3.故△ABC 的面积为23或 3.14.解：∵2B=A ＋C ，∴A ＋B ＋C=3B=180°，∴B=60°，∵BC=4，D 为BC 中点，∴BD=2， 在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos B =12＋22－2×1×2·cos 60° =3，∴AD= 3. 15.解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)=sin C ， 即2cos Csin(A ＋B)=sin C ．故2sin Ccos C=sin C ，可得cos C=12，所以C=π3.(2)由已知得，12absin C=332.又C=π3，所以ab=6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C=7，故a 2＋b 2=13，从而(a ＋b)2=25，所以a ＋b=5. 所以△ABC 的周长为5＋7.16.解：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S=S △ABD ＋S △BCD =12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C.∵A ＋C=180°， ∴sin A=sin C.∴S=12(AB·AD＋BC·CD)·sin A=12(2×4＋6×4)sin A=16sin A.在△ABD 中，由余弦定理， BD 2=AB 2＋AD 2－2AB·ADcos A=22＋42－2×2×4cos A=20－16cos A. 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=62＋42－2×6×4cos C=52－48cos C. ∴20－16cos A=52－48cos C. ∵A ＋C=180°， ∴cos A=－cos C ， ∴64cos A=－32，∴cos A=－12，∴A=120°.∴S=16sin 120°=8 3.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--高度、角度问题》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--高度、角度问题》一、选择题1.某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55°2.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D. 2a km3.从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521 mB ．10 m C.4 90013m D ．35 m4.如图，从山顶A 望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．50 3 米C ．502米D ．50(3＋1)米5.一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．15海里/时B ．5海里/时C ．10海里/时D ．20海里/时6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A 沿北偏东30°方向前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m7.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A．240(3－1)m B．180(2－1)mC．120(3－1)m D．30(3＋1)m二、填空题8.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB 高是______米．9.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24米，则乙楼高CD=________米．10.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m，则旗杆的高度为________m.11.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，则山高MN=________m.12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=____________m.三、解答题13.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．14.甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？15.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m，求建筑物的高度．16.海岛O上有一座海拔1 km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？答案解析1.答案为：D ；解析：如图可知，D 项正确．2.答案为：B ；解析：∵∠ACB=120°， AC=BC=a ，∴由余弦定理知 AB=3a.3.答案为：A ；解析：作出示意图，设塔高OC 为h m.在△OAC 中，OA=h tan 60°=33h ，OB=h.AB=35，∠AOB=150°，由余弦定理求得h=521.4.答案为：D ；解析：在△ACD 中，CD=100米，∠D=30°，∠DAC=∠ACB －∠D=45°－30°=15°，∴AC sin ∠D =CD sin ∠DAC .∴AC=CDsin D sin ∠DAC =100sin 30°sin 15°=50sin 15°. 在△ABC 中，∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=50sin 15°米，∴AB=ACsin 45°=50sin 45°sin 15°=50(3＋1)米．5.答案为：C ；解析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC 中，可得AB=5，于是这只船的速度是10海里/时．6.答案为：A ；解析：设水柱高度是h ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC=60°，AC=h ，AB=100，BC=3h ，根据余弦定理得，(3h)2=h 2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000=0， 即(h －50)(h ＋100)=0，解得h=50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.7.答案为：C ；解析：∵tan 15°=tan(60°－45°)=tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°=2－3，∴BC=60tan 60°－60tan 15°=120(3－1)(m)，故选C.8.答案为：106；解析：在△BCD 中，CD=10，∠BDC=45°，∠BCD=15°＋90°=105°，∠DBC=30°，由正弦定理得BC sin 45°=CD sin 30°，则BC=C Dsin 45°sin 30°=10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°=ABBC，所以AB=BCtan 60°=10 6.9.答案为：32；解析：ED=AB=24米，在△ACD 中，∠CAD=α＋β=30°＋60°=90°，AE ⊥CD ，DE=24 米，则AD=DE sin β=24sin 60°=163(米)，则CD=AD cos ∠ADC =AD cos 30°=16332=32 (米)．10.答案为：30；解析：如图，设旗杆高为h ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC=h sin 60°=233h.在△ABC 中，AB=10 6 m ，∠CAB=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=30°，由正弦定理，得106sin 30°=233h sin 45°，故h=30 m.11.答案为：150；解析：在Rt△ABC 中，∠CAB=45°，BC=100 m ，所以AC=1002m. 在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，AC sin 45°=AMsin 60°，因此AM=1003m.在Rt△MNA 中，AM=100 3 m ，∠MAN=60°， 由MN AM =sin 60°得MN=1003×32=150(m)．12.答案为：1006；解析：依题意，∠BAC=30°，∠ABC=105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB=180°，所以∠ACB=45°，因为AB=600，由正弦定理可得600sin 45°=BCsin 30°，即BC=3002m ，在Rt△BCD 中，因为∠CBD=30°，BC=300 2.所以tan 30°=CD BC =CD3002，所以CD=1006m.13.解：在△ABC 中，由正弦定理可知，BC=AB·sin∠BAC sin ∠ACB =100sin 15°sin 45°－15°=50(6－2)．在△BCD 中，sin ∠BDC=BC·sin∠CBD CD=506－2·sin 45°50=3－1.由题图，知cos θ=sin ∠ADE=sin ∠BDC=3－1.14.解：设AB=10海里，两船在C 处相遇，∠CAB=θ，乙船行驶了x 海里，则AC=3 x 海里． 由题意，知∠ABC=180°－60°=120°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin θ=BCsin ∠ABC AC =12，∴θ=30°或θ=150°.由题意知θ=30°.∴∠ACB=180°－(∠ABC ＋θ)=180°－(120°＋30°)=30°， ∴BC=AB=10海里，60°－θ=60°－30°=30°.故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里． 15.解：设建筑物的高度为h ，由题图知，PA=2h ，PB=2h ，PC=233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA=602＋2h 2－4h22×60×2h，①cos ∠PBC=602＋2h 2－43h22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC=180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC=0.③由①②③，解得h=306(m)或h=－306(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.16.解：(1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB=OAcot 60°=33，OC=OAcot 30°= 3. 在△BOC 中，由余弦定理得BC=OB 2＋OC 2－2OB·OC·cos∠BOC=393， ∵由C 到B 用的时间为1060=16(h)，∴该船的速度为39316=239(km/h)．(2)在△OBC 中，由余弦定理，得cos ∠OBC=BC 2＋OB 2－OC 22BC·OB =51326，∴sin ∠OBC=1－cos 2∠OBC=33926， ∴sin ∠OEB=sin(∠OBE ＋∠EOB)=sin ∠OBE·cos∠EOB ＋cos ∠OBE·sin∠EOB=1313， 在△BEO 中，由正弦定理得 OE=OB·sin∠EBO sin ∠OEB =32.BE=OB·sin∠BOE sin ∠OEB =396， ∴从B 到E 所需时间为396239=112(h)，即所需时间为5 min. 即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5 km.。
2020-2021学年人教A版必修五 解三角形的实际应用举例 作业
第1课时 解三角形的实际应用举例1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝ 30°，则其跨度AB 的长为A.12 mB.8 mC.3 3 mD.4 3 m解析 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，sin C AB ＝sin B AC，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.答案 D2.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝100米，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是60°，30°，则A 点离地面的高度AB 等于A.503米B.1003米C.50米D.100米解析 因为∠DAC ＝∠ACB －∠D ＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形. 所以AC ＝DC ＝100米，在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin 60°＝503米. 答案 A3.在高出海平面200 m 的小岛顶上A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.解析 过点A 作AH ⊥BC 于点H ，由图易知∠BAH ＝45°，∠CAH ＝60°，AH ＝200 m ， 则BH ＝AH ＝200 m ，CH ＝AH ·tan 60°＝200 3 m. 故两船距离BC ＝BH ＋CH ＝200(3＋1)m. 答案 200(3＋1)4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)解析根据已知的图形可得AB＝46sin 67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin 30°＝BCsin 37°，所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m).答案60[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，所以∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.所以α＝10°，即A在B的北偏西10°.故选B.答案 B2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为A.(30＋303)mB.(30＋153)mC.(15＋303)mD.(15＋153)m解析 由正弦定理可得60sin （45°－30°）＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°.h ＝PB ·sin 45°＝30sin 15°·sin 45°＝(30＋303)(m).故选A.答案 A3.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km解析 由题意得∠ACB ＝120°，AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，所以AB ＝3a .故选B. 答案 B4.设在南沙群岛相距10 n mile 的A ，B 两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C 非法进入我领海.若在A 望C 和B 成60°的视角，在B 望C 和A 成75°的视角，则船只C距离最近观测站A.5 n mileB.5 3 n mileC.5 6 n mileD.5 2 n mile解析 结合题意作图如图， 由B ＞A 得BC ＜AC ， 故船只C 距离观测站B 近. 因为在△ABC 中，因为BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝AB ·sin 60°sin 45°＝10×3222＝56(n mile).故选C.答案 C5.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为A.30 mB.1523 m C.15 3 mD.45 m解析 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC ＝152＋102－（519）22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m). 答案 B6.(能力提升)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析 设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ， 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时).答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7.一艘海轮从A 处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处.在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是________海里.解析 如图所示，A ＝30°，B ＝105°，C ＝45°，AB ＝10，由正弦定理可得BC ＝10sin 30°sin 45°＝5 2.答案 5 28.在山底测得山顶的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶的仰角∠DSB ＝75°，则山高BC ＝________.解析 如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝45°－15°＝30°， 所以∠ASB ＝180°－15°－30°＝135°.在△ABS 中，由正弦定理得AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，所以BC ＝AB sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m). 答案 1 000 m9.(能力提升)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过______分钟，海盗船到达商船.解析 如图，设观测站、商船分别位于A 、B 处，开始时，海盗船位于C 处，20分钟后，海盗船到达D 处.在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.则∠ADC ＝60°.在△ABD 中，由已知，得∠ABD ＝30°，∠BAD ＝60°－30°＝30°， 所以BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟).答案403三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126海里处；在A处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83海里处；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离.解析 由题意，画出示意图，如右图所示. (1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin 45°sin 60°＝24(海里).(2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，得CD ＝83(海里).答：A 处与D 处的距离为24海里，灯塔C 与D 处的距离为83海里.11.(12分)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin （γ－β）sin （γ－α）.证明 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β， ∠BPA ＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，根据正弦定理，APsin ∠ABP ＝ABsin ∠APB，即AP sin （180°－γ＋β）＝asin （γ－α），AP ＝a ×sin （γ－β）sin （γ－α），所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin （γ－β）sin （γ－α）.12.(12分)(能力提升)在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B 、C 、D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示.某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B 、C 、D 三市的距离.解析 在△ABC 中，由题意AB －AC ＝1.5×8＝12(km).在△ACD 中，由题意AD －AC ＝1.5×20＝30(km). 设AC ＝x km ，则AB ＝(12＋x )km ，AD ＝(30＋x )km.在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－（12＋x ）22×20×x ＝256－24x 40x ＝32－3x5x .在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－（30＋x ）268x ＝256－60x 68x ＝64－15x17x.∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x5x ，即64－15x 17＝3x －325. 解得x ＝487，∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587km ，即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327 km ，487 km ，2587 km.。
人教A版高中数学必修五同步练测：1.2+应用举例.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.2 应用举例（必修5人教实验A版）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某人朝正东方向走了x km后，向左转150︒后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x=（）A. B.2C.或2D.2.在△A B C中，已知2s i nA c o s B=s i n C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰3.一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10 000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为（）米．A.2 000B.2 500C.5 000D.7 5004.在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，1AB AD⋅=，则||AC=( )A. B.C. D.25.把一30厘米长的木条锯成两段，分别作为钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120︒，当AB=（）厘米时，才能使第三条边AC最短.A.13B.14C.15D.166.在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且BCACA222sinsinsinsinsin=⋅-+，则角 B =( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）7.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD， AD = 10， AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒，则BC= .8.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB =45︒，∠CBA=75︒，AB=120米，则河宽= 米.9.某人在草地上散步，看到他正西方向有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南偏西45︒方向上，另一根标杆在其南偏西︒30方向上，此人步行的速是米/分．10.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距米.三、解答题（共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（14分）在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值.12.（14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．13.（16分）某海轮以30海里/时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．14.（16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．1.2 应用举例答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7． 8． 9． 10．三、解答题11.12.13.14.1.2 应用举例参考答案1.C 解析：由余弦定理知3=x2+32-6xcos 30 ，解得x =3或23.故选C.2.D 解析：由2sin Acos B = sin C，知2sin Acos B = sin(A+B)，∴2sin Acos B = sin Acos B+cos Asin B，即cos Asin B-sin Acos B = 0.∴ sin (B -A )=0，∴ B =A .故选D.3.C 解析：设飞机与地面目标C 的距离为x 米，由正弦定理得10 000sin 45sin 30x︒︒=，得x =50002. 故选C.4.B 解析：由||||cos 1AB AD AB AD A ⋅=⋅=，得cos A =12， A = 60︒，故B = 120︒. 由余弦定理知：AC 2=12+22-4cos 120︒=7， 故||AC =7.故选B.5.C 解析：在△ABC 中，设AB = x （0＜x ＜30）厘米 ，由余弦定理，得 AC 2=x22)30(x -+－2x （30-x ）cos 120︒ =900-30x +x 2=（x -15）2+675，所以当AB=15厘米时第三条边AC 最短.故选C. 6.A 解析：由正弦定理可设sin sin sin a b cA B C===k ，则 sin ,sin ,sin .a b cA B C k k k===代入已知式，可得ac b c a =-+222，由余弦定理，得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，故3B π=.故选A. 7.82 解析：在△ABD 中，设BD =x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ， 整理得 096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）.由正弦定理得BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC . 8. 60+203 解析：把AB 看成河岸，要求的河宽就是C 到AB 的距离，也就是△ABC 的边AB 上的高.在△ABC 中，由正弦定理，得BC =120sin 45sin 60︒︒=406（米）. 则河宽为h =BCsin 75︒=406×426+=(60203)()+厘米. 9.3＋3 解析：如图所示，A 、B 两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C 点时，测得∠BCO =︒45， ∠ACO =︒30，∴ ∠BCA =∠BCO －∠ACO =︒45－︒30=︒15． 由题意，知∠BAC =︒120，∠ABC =︒45．在△ABC 中，由正弦定理，得ABC AC ∠sin =BCAAB∠sin ，即AC = BCA ABC AB ∠∠⋅sin sin =︒︒⨯15sin 45sin 6=36＋6．在直角三角形AOC 中，有OC = AC ·cos ︒30= (36＋6)×23= 9＋33． 设步行速度为x 米/分，则x =3339+= 3＋3． 10.30 解析：设炮台顶部位置为A ，炮底为O ，两船位置分别为B 、C. 在Rt △AOB 中，BO=30米；在Rt △AOC 中，CO=303米. 在△BOC 中，由余弦定理，得BC 22230(303)230303cos30900=+-⨯⨯︒=，所以 BC=30米.11.解法一：由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A . 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理，得BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=-=︒︒B B B B解得,2cot =B 从而.21tan =B 解法二：由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A . 由222a bc cb =-+，得.41532133411)(1)(22=--+++=-+=b c bc ba所以.215=b a ① 由正弦定理得231sin sin 2155b B A a ==⨯=. 由①式知,b a >故∠B <∠A ，因此∠B 为锐角，于是22cos 1sin 5B B =-=， 从而.21cos sin tan ==B B B 12.解：（1）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即222123223104b =+-⨯⨯⨯=， ∴10b =．（2）方法一：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=41091082210+-==⨯⨯.∵C 是△ABC 的内角，∴ 236sin 1cos 8C C =-=． 方法二：∵1cos 4B =，且B 是△ABC 的内角，∴215sin 1cos 4B B =-=．根据正弦定理sin sin b cB C=，得153sin 364sin 810c B C b ⨯===．13.解：如图，在△ABP 中，AB = 30×6040= 20， ∠APB =︒30，∠BAP =︒120. 由正弦定理，得BPA AB ∠sin =BAPBP∠sin ，即2120=23BP ，解得BP =320． 在△BPC 中，BC = 30×6080= 40， 由已知∠PBC =︒90，∴ PC ==+22BC PB 2240)320(+=720 (海里)．∴ P 、C 间的距离为720海里．14.解：（1）由正弦定理，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--．∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．所以，|m +n |min 22=．。
人教版数学高二B版必修5同步训练1.2应用举例
1.2 应用举例5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3 ，则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶3∶2 B.1∶2∶3 C.2∶3∶1 D.3∶2∶1 解析：由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根据正弦定理可知有CcB b A a sin sin sin ==, a ∶b ∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶3∶2.答案：A2.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β 的关系为（ ） A.α＞β B.α+β=90° C.α=β D.α+β=180° 解析：由仰角、俯角的定义可知α=β. 答案：C3.在△ABC 中，a=2,b=3,c=4，则cosC=___________，其形状是___________.解析：由余弦定理得cosC=413224322222222-=⨯⨯-+=-+ab c b a ＜0,C 是钝角，故其形状是钝角三角形. 答案：41-钝角三角形 4.在△ABC 中，∠A ∶∠B=1∶2，a ∶b=1∶3，则∠A=___________,∠B=___________, ∠C=___________. 解析：由已知及正弦定理得31sin sin ==B A b a ，又B=2A ， ∴A A A A A A cos 21cos sin 2sin 2sin sin 31===,cosA=23,A=6π,B=3π,C=2π.答案：6π 3π 2π10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若三角形的三个角的比是1∶2∶3，最大的边是20，则这个三角形的面积为（ ） A.350 B.1003 C.253 D.100 解析：由已知得A=30°,B=60°,C=90°，根据正弦定理可知有CcB b A a sin sin sin ==，a ∶b ∶c=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶3∶2，最小边为10. 答案：A2.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.90°B.120°C.135°D.150°解析：本题只要先确定边长为7这边所对的内角，然后由三角形内角和定理，从而可求得最大角与最小角的和.设边长为7的边对应的角为B ，则cosB=21852785222=⨯⨯-+，∴B=60°． ∴A+C=120°．答案：B3.如右图，为测量障碍物两侧A 、B 间的距离，用a 、b 分别表示角A 、B 的对边，则下列给定四组数据中，测量时应当测的数据为（ ）A.a ，b ，∠AB.a ，∠A ，∠BC.b ，∠A ，∠BD.a ，b ，∠C 解析：由正余弦定理及生活实际容易得知. 答案：D4.甲船在岛B 的正南方A 处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A.7150分钟 B.715分钟 C.21.5分钟 D.2.15分钟 解析：AC 2=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t 2-20t+100=28(t-145)2+7725故当t=145小时，即t=145×60=7150分钟时，甲乙两船距离最近. 答案：A5.已知一个平行四边形的两条邻边的长分别为2、3，且其中的一个内角为30°，则这个平行四边形的面积为___________. 解析：本题可以围绕着平行四边形的面积公式来考虑，或者连结其对角线将原平行四边形分成两个全等的三角形，从而由三角形的面积公式来求得结果，S=2×3sin30°=3. 答案：36.一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，求树干原来的高度.解析：根据题意画出如图示意图，问题转化到Rt △ABC 中，BC=20，B=30°，tan30°=BCAC,AC=BCtan30°=20×332033=，∴AB=2AC, AC+AB=3AC=320(米).答案：即树干原来的高度为320米. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.某人朝正东方向走了x km 后，向右转150°，再向前走了3 km ，结果他离出发点恰好为3 km ，那么x 的值是（ ）A.3B.23C.3或23D.3 解析：由题意画出示意图，设出发点为A ，则由已知可得AB=x 千米，BC=3千米，∠ABC=180°-150°=30°. AC=3，∴CABBCAC ∠=︒sin 30sin . ∴CAB ∠=sin 3213,∴sin ∠CAB=23. ∴∠CAB=60°或∠CAB=120°.当∠CAB=60°时，∠ACB=180°-30°-60°=90°.x=32千米;当∠CAB=120°，∠ACB=180°-120°-30°=30°.∴x=AC=3千米.答案：C2.如右图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于（ ）A.)cos(sin sin αββα-a B.)sin(sin sin αββα-aC.)sin(cos sin αββα-a D.)cos(cos cos αββα-a解析：在Rt △ABC 与Rt △ADC 中， tan β=BC AB ，tan α=BDAB,BC=ABcot β, BD=ABcot α，DC=BD-BC=AB(cot α-cot β)=a ， AB=)sin(sin sin cos cot αββαβα-=-a a .答案：B3.(2006高考全国卷Ⅰ，文12)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A.58cm 2 B.106cm 2 C.553cm 2 D.20 cm 2 解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为106cm 2.答案：B4.如右图，已知|F 1|=20 N ，|F 2|=30 N,|F 3|=40 N ，三力互成120°的角，求合力的大小.解：如下图，F 1、F 2的合力的大小|F|2=|F 1|2+|F 2|2-2|F 1||F 2|cos60°=700 N.∴F≈26.46 N ，合力的大小为|F 3|-|F|=13.54 N.5.甲、乙两人去测大河两岸A 、B 两点的距离（如右图）.当他们到达A 处时才发觉只带了测角仪，甲转身要回去拿工具.乙看见A 处那根24米长的电杆，忙说：“不用去了，能测出来.”甲用疑惑的目光望着乙.你能帮甲想一个办法吗？解：在A 点测得∠CAB ，在C 点测得∠BCA ， 然后可求得∠B=180-（∠CAB+∠BCA ）， 根据正弦定理∵)sin()180sin(sin sin C A AC C A AC B AC C AB +=--︒==∴AB=)sin(sin C A C+×AC, 带入实验数据即可求得A 、B 两点的距离. 解：在△ABC 中，∠B=152°-122°=30°，∠C=180°-152°+32°=60°，∠A=180°-30°-60°=90°，BC=235， ∴AC=43530sin 235=︒. 所以货轮与灯塔间的距离为354海里．6.如右图，货轮在海上以35海里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°．求此时货轮与灯塔之间的距离．7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长. 求证：Ac b Ab c C B cos cos cos cos --=. 证法一：由正弦定理得AC C A AB B A AC R B R A B R C R A c b A b c cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin 2sin 2cos sin 2sin 2cos cos -+-+=--=--CBC A B A cos cos cos sin cos sin ==.证法二：由余弦定理得CBabcabacbcabcabcbcabcacbcbbcacbbcAcbAbccoscos222222coscos222222222222222222=-+-+=-+-+=-+⨯--+⨯-=--.8.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是3a海里/小时，甲船沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇?解：设甲船在C处追上乙船，并设所用的时间为t时，由已知得∠ABC=120°，BC=at，AC=at3.由正弦定理得BACBCABCAC∠=∠sinsin即BACatat∠=︒sin120sin3，∴sin∠BAC=21，即∠BAC=30°.∴甲船沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇.9.在山坡上有一棵垂直的大树.试一试：不用爬树怎样可测出大树的高度.解：在山坡上有一棵垂直的大树，通过“标准步”及简易测角工具，计算出大树的高度，具体步骤为：（1）把每一步跨度基本相同的跨步方式称为标准步，每个人可用“标准步”走若干步（例如20步），反复几次，量出每次所走距离，并计算几次走动中每步的平均距离就能获得自己的“标准步”.（2）可用量角器加指针作为简易测角工具.具体操作步骤：从大树底部A向下跨a步“标准步”到了B，用简易测角工具测得∠ABP=α，再向上跨了b步“标准步”到了C(a＞b)，测得∠ACP=β,该同学测出自己眼睛至脚底的高度大约是h cm，每步“标准步”跨度约为l cm,∴PA=)sin(cossin2)(sinsin2222αβαβαββ--+-abab这样就可知这棵大树的高度，PD=PA·l+h.10.在一个正三角形中画一条分割线（可以是直线、折线或曲线），把这个正三角形的面积两等分．（1）试设想各种画分割线的方法，并比较各条分割线的长短；（2）在你所画出的所有分割线中，哪一种最短？这是不是所有可能的分割线中最短的？证明你的结论.解：（1）图1、图2是容易想到的两种分法，分别计算分割线的长度（设正三角形的边长为1），得AD=23≈0.866 0(图1)；DE=22≈0.707 1(图2).图3这种分割线是否一定比图2的分割线长？答案是肯定的，以下证明这一点．如图3，设AD=m,AE=n, 则21mnsin60°=2143⨯,得mn=21. 于是DE 2=m 2+n 2-2mncos60°=m 2+n 2-mn≥2mn -mn=mn=21. 当且仅当m=n=22时等号成立，这说明DE min =22． 图4的情形一般被认为不可能是最短的，但计算验证一下又何妨？图4设AD=AE=AF=m ，由条件得:2×21m 2sin30°=83，故m 2=43． 于是DF 2=2m 2-2m 2cos30°=(23-)m 2=4332-. 因此，分割线的长为DF+EF=2DF=332-≈0.681 3＜0.707 1. 这是一个令人咋舌的结论，用圆弧来分割是否会最短呢? 如图5，不难计算=123π≈0.673 4．图5（2）图5中为最短的分割线，证明如下：如图6，将六个全等的正三角形拼成一个正六边形，六段分割线形成一个封闭的图形．问题转化为：给定面积，画一个周长最短的封闭图形，显然圆的周长最短．图6。
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1.2 应用举例目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题． 知识梳理1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一． 作业设计 一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B 解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157 小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CDsin 30°， ∴CD ＝60(m) ∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)． 即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0， ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里． 反思感悟1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。