人教A版《微积分产生的历史背景》PPT优质课件1

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微积分的创立
牛顿的“流数术” 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小 ○记号表示x的无限小且最终趋于零的增量．
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说牛顿发明了微积分。
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莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分的符号，他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果：
“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。
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重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635) 中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以 “卡瓦列里原理”著称
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在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉
莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为．如果是在区间上，由上的面积减去上的面积 :
伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。

高中数学《第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景》23PPT课件一等奖比赛优质课

第五讲产生的历史背景2.了解促使微生微积分产生的科学问题3.了解微积分诞生之前，众多数学家所作出的不懈努力重难点：重点：了解微积分产生的历史背景难点：理解微积分产生的历史过程和思想方法教学过程：十七世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得几何学之后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史崭新的一页。

那么微积分是在怎样的历史背景下产生的呢？微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。

微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝酿过程。

微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。

这两个方面由于笛卡尔和费马等人的工作，其基础已经具备。

恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进”到了十七世纪，由于解析几何的创立，使自然科学研究的中心转向自然界的运动和变化，古典算数或几何、代数方法，甚至解析几何对自然界的运动和变化都无能为力了，这就激起了不少数学家致力于寻找解决这些问题的新方法。

那么，促使微问积分产生的科学问题都是什么呢？一、瞬时速度问题二、切线问题三、函数的最值问题四、面积、体积、曲线长、重心和引力的计算瞬时速度问题已知物体移动的距离表示为时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数公式，求速度和距离，如何求不做匀速运动的物体的瞬时速度就成为数学家们的一个当务之急。

分析：如果物体的运动是匀速的，那么计算它的瞬时速度就是用运动时间去除运动距离。

如果物体的运动不是匀速的，它的瞬时速度就不能用运动时间去除运动距离，因为在给定的瞬间，移动的距离和所用的时间都是零，而零除以零是没有意义的。

已知物体的速度公式求运动的距离也会遇到同样的问题。

求变速运动的物体的瞬时速度或运动距离可以说是微分或积分概念最基本的现实原型之一。

切线问题马克思曾指出：“全部微分学本来产生于求任意一条曲线上任意一点的切线问题”。

人教版高中数学选修3-1数学史选讲《微积分产生的历史背景》

作业
谢谢
另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
函数的最值问题
早在16世纪，西欧各军事强国的火炮制造技术就已
经非常先进。那么，一个现实的问题就是，发射角多大时炮弹获得最大射程。
十七世纪初期，伽利略断定（在真空中）最大射程在发射角是45 时达到；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题，例如求行星离开太阳的最远和最近距离。
微积分产生的历史背景
导入新课
17世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得几何学后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史崭新的一页。那么微积分是在怎样的背景下产生的呢？
内容解析
微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、
天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝酿过程。
体积的方法，此法在17世纪时称“穷竭法”。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理
学家都为解决上述几类问题作了大量研究工作,如法
国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、沃利斯；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献。
虽然众多的数学家的研究工作为微积分的诞生做了
面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
面积与体积计算问题古已有之，如曲线围成的面积；
曲面围成的体积。17世纪上半叶，随着天文学的长足进步，这方面的问题变得更为突出。
如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星扫过的面积以及物体重心与引力等计算。

《微积分的创立》课件

2 导数和微分
导数是描述函数变化率的概念，微分则将导数应用于实际问题。
3 积分
积分是计算曲线下面积或累积变化的数学手段。
微积分的应用ห้องสมุดไป่ตู้
物理学
微积分在物理学中广泛运用于描述运动、力学、电磁学等现象。
统计学
微积分在统计学中用于概率分布、假设检验、参数估计等领域。
经济学
微积分在经济学中用于分析市场供需、边际效应、消费者行为等经济问题。
《微积分的创立》
微积分是现代数学的基石，它的创立是数学史上的一大里程碑。本课件将带您回顾微积分的创立历程以及其在各领域的应用。
引言
微积分是研究数量变化和累积变化的数学分支，其应用广泛涉及物理、统计、经济等领域。
微积分的发展历程
1
微分学、积分学
2
微积分分为两大分支：微分学研究变化率，积分学研究累积变化。
结论
微积分的重要性
微积分是现代科学和工程领域不可或缺的数学工具。
未来微积分的发展方向
微积分在数据科学、机器学习等领域中的应用将进一步扩大。
古希腊时期到牛顿时期
微积分的雏形可以追溯到古希腊时期，但真正的发展是在牛顿时期。
微积分的创立者
牛顿和莱布尼茨
牛顿和莱布尼茨都被认为是微积分的创立者，他们的贡献和争议至今仍存在。
两人的贡献与争议
牛顿发明了微积分的主要原理，莱布尼茨独立发明并推广了符号微积分。
微积分基本概念
1 极限
极限是微积分中最基本的概念，它描述了函数逼近某个点时的行为。

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第5讲微积分的诞生——人类精神的最高胜利牛顿IsaacNewton(1642—1727)，英国物理学家，数学家，天文学家，经典物理学理论体系的建立者．生平1642年生于英格兰林肯郡的乌尔索普镇的一个农民家庭，1727年卒于伦敦．中学时爱读书，对自然现象有强烈的好奇心，但学习成绩并不出众.1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院．在名师I.巴罗的教导下，牛顿学习了算术、三角、欧几里得的《几何原本》，读了J.开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《两大世界体系对话》、R.胡克的《显微图集》及早期的《哲学学报》等.1665年伦敦大疫，学校停课，牛顿返回故乡．在家乡居住的两年中，牛顿创立了级数近似法以及一般的二项式展开定理，创立了微分(正流数)法，研究了颜色理论和积分(反流数)法，因此他成为微积分发明人之一．牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到月球的运行轨道上去．这两年是牛顿一生的重大科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛顿重返剑桥上学.1668年3月1日选为三一学院的正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯讲座教授．写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部分及《宇宙体系》等手稿.1672年选为皇家学会会员，1703年为该学会主席.1699年任造币厂厂长，对英国造币及改革币制有功.1705年封为爵士.1715年，牛顿已经73岁的高龄，在和莱布尼茨为微积分发明权争论的时候，他接受对方解一道数学难题的挑战．经过造币厂工作一天的劳累，牛顿在睡觉以前解出了这道难题，找到了寻求与已知曲线族正交的曲线族的一般方法．晚年研究宗教．牛顿逝世后，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂．1．微积分学是微分学和积分学的总称．它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，在许多数学家工作的基础上，________和________分别独立地创立了微积分学．2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的________和沃利斯的________对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上创立微积分的道路．3．1664年秋，牛顿开始研究微积分.1665年11月发明________(微分法)，次年5月又建立了________(积分法).1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，现在称为________．这是历史上第一篇系统的微积分文献．4．牛顿在他的微积分文献《流数简论》中以速度形式引进了________(微商)的概念，提出了微积分的基本问题，建立了“微积分基本定理”．微积分基本定理揭示了“________和________之间的内在联系”．5．1687年，牛顿出版了他的力学名著________，在这本书中最早表述了牛顿创立的微积分学，使得该书成为数学史上的划时代著作．答案：1．牛顿莱布尼茨2.《几何学》《无穷算数》3．正流数术反流数术《流数简论》4．“流数”导数积分5．《自然哲学的数学原理》一、微积分创立的历史背景【例1】结合史料，谈谈微积分创立的时代背景和历史意义．答：微积分作为变量数学的开端，诞生于17世纪下半叶，绝不是偶然的，确有其历史的必然性．经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到空前的解放和提高．大量的实际问题推动着力学、天文学的发展．例如，航海事业需要确定船只在大海中的位置，就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进，必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而在战争中，要求炮弹打得准确，则导致弹道学或抛物体运动的研究．人们从大量这类课题的研究中，总结出力学的一些基本规律，诸如：开普勒关于行星运动的定律；伽利略提出落体定律和惯性定律；牛顿总结出力学运动三大定律等．在各种各样力学运动的研究中，最基本的核心问题有两个：一是已知路程求速度；一是已知速度求路程．在等速运动的情况下，只用初等数学就可以解决这两个问题：速度＝路程÷时间；路程＝速度×时间．但是，十七世纪人们面对着种种变速运动，初等数学就无能为力了．速度成为变量，初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系，这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围，寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学．微积分就是变量数学的基础内容．微积分创立的历史意义：①提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法；②解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要转变；③以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵着基本却又十分重要的数学思想；④微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立；⑤微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术)与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面．牛顿与莱布尼茨是怎样发明微积分的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？结合史料加以说明．二、微积分基本定理及其应用【例2】牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题，并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，创立了积分符号∫和微分符号dy，dx，并明确指出了积分和微分是互逆过程．因而，后人把微积分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系，同时它也提供了计算积分的一种有效方法．根据你对微积分理论的理解，解决下面的问题：一物体做变速直线运动，其速度函数图像如图所示，求该物体在～6s间的运动路程．解：根据定积分的意义可知，若已知做变速直线运动物体的vt函数，则物体在时间区间[t1，t2]内的路程s＝t1t2v(t)dt，其中v(t)≥0.由题图可知v(t)＝2,[0,1],2,[1,3],11,[3,6].3ttttt由变速直线运动的路程公式，可得s＝612v(t)dt＝1122tdt＋132dt＋3613t＋1dt＝1212t＋2t31＋16t2＋t63＝12.25(m)，即物体在12～6s间的运动路程为12.25m.自地面垂直向上发射火箭，已知火箭的质量为m.求：(1)当火箭距离地面的高度为h时，火箭克服重力所做的功；(2)当火箭距离地面的高度h→＋∞时，求火箭克服重力做功的极限．要做到这点，火箭的初速度应为多少？三、微积分在实际问题中的应用微积分的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域．它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分．几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分作为基本数学工具．下面就举例说明微积分在实际问题中的应用．【例3】(1)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，①当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？②当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：①当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．②当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0＜x≤120)．h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值，即当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．(2)如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b.求证：抛物线拱的面积S＝23bh.证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为y＝－ax2(a＞0)，将抛物线上一点b2，－h代入方程，则有－h＝－ab22，解得a＝4hb2，所以抛物线方程为y＝－4hb2x2.设抛物线拱一半的面积为s，则有2220422d2bbhSshxxb3220422.233bbhhxbhb某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)微积分是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用．微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过的准备工作，分别独立地建立了微积分学．微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)．换言之，计算导数的方法就叫微分学．微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率．积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，它为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法．答案：1．答：从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪．但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．刘徽在他的“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限的思想．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的要素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题．第二类问题是求曲线切线的问题．第三类问题是求函数的最大值和最小值问题．第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等求积问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论．为微积分的创立作出了贡献．十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作．他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．1684年，莱布尼茨发表了世界上最早公开发表微积分的文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字——《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献．莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨当时精心选用的．微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力．由此可见，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样．2．解：(1)根据万有引力定律，当火箭距离地面的高度为x时，引力f(x)＝G·Mm(R＋x)2，其中M，R分别为地球的质量和半径，G为万有引力常数．于是火箭所做的功为W＝0hf(x)dx＝0hG·Mm(R＋x)2dx＝GMm0h(R＋x)－2dx＝－GMm(R＋x)－1h0＝GMm1R－1R＋h，当x＝0时，f(x)＝mg，∴G·MmR2＝mg，即GM＝R2g.故W＝mgR21R－1R＋h.(2)limh→∞W＝limh→∞mgR21R－1R＋h＝mgR.由于所做的功是由最初火箭的动能转化而来，故mgR＝12mv20，从而有v0＝2Rg.将g＝9.8(m/s2)，R＝6.37×106(m)代入，得v0＝1.12×104(m/s)，这就是第二宇宙速度．3．解：每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)，由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，。

《微积分的发展》课件

19世纪的综合
高斯、黎曼等数学家对微积分进行了深入研究和综合，推动了数学的发展。
微积分在各个领域的应用
物理学
工程学
微积分被广泛应用于力学、电磁学等领域，如计算物体运动轨迹、电流强度等。
在机械工程、航空航天、土木工程等领域，微积分用于解决各种实际问题，如优化设计、控制系统分析等。
经济学
计算机科学
03
随着数学理论的发展，微积分的理论体系将进一步完善，为解决更复杂的问题提供更强大的工具。
系。
03
非标准分析
非标准分析是一种对传统微积分的补充和扩展，通过引入非标准实数系
统，对微积分的基础理论进行重新审视和改进。
微积分对未来科技发展的影响
科技突破
微积分作为数学的一个重要分支，将继续为未来的科技发展提供重要的理论支撑和方法论指导，推动各领域的科技创新和突破。
学科交叉
微积分的发展将促进数学与其他学科的交叉融合，如物理学、工程学、经济学等，推动多学科的协同创新和发展。
微积分在经济学、工程学、物理学、计算机科学等领域有着广
03
泛的应用，为这些领域的发展提供了重要的支撑。
微积分的未来展望
01ห้องสมุดไป่ตู้
随着科学技术的发展，微积分的应用领域将进一步扩大，其在解决实际问题中的作用将更加突出。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，微积分将与其他学科产生更多的联系和互动，推动相关领域的发展。
物理学和天文学的需求
为了解决运动和变化的问题，科学家们开始研究微积分的基本概念。
微积分发展的历史过程
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了微积分的基本思想和方法，而莱布尼茨则独立发展了微积分的符号系统和理论体系。

微积分的创立数学史课件

重要的数学工具。
古希腊时期，数学家们就开始研究无穷小的问题，为微积分的产生奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们在17世纪末分别独立地创立了微积分。
02
古代微积分思想的萌芽
古希腊时期的微积分思想
03
阿基米德的方法
通过穷竭法计算面积和体积，体现了微积分的核心思想。
欧多克索斯的穷竭法
微积分学的基本概念与定理
01
02
函数
导数
描述两个变量之间关系的数学表达式。
函数在某一点处的切线斜率，表示函数在该点的变化率。
微积分学的基本概念与定理
• 积分：求一个函数在某个区间内与x轴围成的面积。
微积分学的基本概念与定理
微分基本定理
若函数f(x)在点x处可导，则其导数f'(x)表示f(x)在x处的变化率。
01
工程应用
02
微积分在建筑、机械等领域有广泛应用，如计算面积、体积、长度等。
03
通过微积分可以优化工程设计，降低成本和提高效率。
微积分学在17世纪的应用
01
经济应用
02 微积分在经济学中用于分析成本、收益、利润等问题。
03 通过微积分可以求解最大利润、最小成本等经济问题。
04
18世纪微积分学的发展与完善
THANKS
微积分学与其他数学分支的联系
01
与分析学的联系
04
与代数学的联系
02
微积分学是分析学的重要组成部分，与分析学中的其他分支如实分析、复分析和泛函分析等有着密切的联系。
03
分析学中的许多概念和定理都与微积分学密切相关，如连续性、可微性、可积性和收敛性等。
05
微积分学与代数学在多个领域有交叉，如代数几何、代数拓扑和抽象代数等。

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40、人类法律，事物有规律，这是不容忽视的。— 事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来
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36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯

微积分产生的历史背景

微积分产生的历史背景数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。

恩格斯从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。

而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。

科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：（1）运动中速度与距离的互求问题（几何演示）即，已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0，而0/0是无意义的。

但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。

已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。

因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题（几何演示）这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

由于研究天文的需要，光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

微积分的历史背景PPT文档57页

微积分的历史背景
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
谢பைடு நூலகம்！

一微积分产生的历史背景

第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。
古希腊人研究过的面积问题
直观地看，
如
小矩形越多，其
何
面积和就越接近
求此面
于所求曲线下的面积。
积
的
精
确
值
？
牛顿与莱布尼茨
数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、牛顿、莱布尼茨、…… .
十七世纪的微积分
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。
古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题与坐标轴计算抛物线直观地看直观地看小矩形越多小矩形越多其其面积和就越接近面积和就越接近于所求曲线下的于所求曲线下的面积面积
聊聊天
微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.
很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者……
微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科学，用来处理较以前更为广泛的问题。
——狄德罗
哪些主要的科学问题呢?
Archimedes
有四种主要类型的问题.

微积分产生社会背景和数学渊源PPT18页

现令增量消失，它们的最终比为
1 nx n 1
这段话用今天的微积分可改写成： x0
(x x)n xn nn 1 x n (n 1 )xn 2 x & C
x
2Hale Waihona Puke 然后令 x0x n 的导数（流数）为 nxn1
Newton的成果受到一片欢呼和歌颂。
1727年，Newton因肺炎与痛风去世。他遗留的手稿中，仅数学部分就有5000多页。
3．第二次数学危机与微积分的发展和完善
N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。
英国哲学家、牧师 G.Berkeley（1685-1753）：《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指
牛顿的流数法。——— Berkeley悖论这就导致了第二次数学危机
Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极限基础上，Weirstrass的贡献是建立了分析基础的逻辑顺序：实数系——极限论——微积分。
微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学，旧数学是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态的，两者的关系就象解剖学与生理学，前者研究死的躯体，后者研究活的身体，旧数学涉及的只是固定的和有限的，新数学包含了运动、变化和无限。
在 Paris, Leibniz 结交了荷兰著名数学家和物理学家 Huygens，在他的指导下，钻研了笛卡尔、费马、帕斯卡的著作，它制造出能进行加、减、乘、除和开方运算的计算机。他曾写信给中国的康熙皇帝建议成立北京科学院，他主持出版了《中国近况》一书，他是最早关心中国科学事业的西方朋友。