8欧式空间

8欧式空间234 第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广，然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念，而一般的向量空间里却没有得到反映。

这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。

学习中还要注意学习具体到抽象，再从抽象到具体的辩证的思想方法。

§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的，即 ||||cos ξηξηθ⋅=⋅，||ξ表示ξ的长度，θ表示ξ与η的夹角。

我们不能直接按上面方式定义内积，因为还没有定义长度和夹角。

我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在nR 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。

所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。

定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记235作(,)αβ，具有以卡性质：,,V αβγ∀∈,k R ∀∈ 1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α= (,)αβ叫做向量α与β的内积，V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。

在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。

在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。

几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。

例1 1212(,,,)',(,,,)'nnna a ab b b R αβ∀==∈L L ，规定α与β的内积为1122(,)'n na b a b a b αβαβ=+++=L ，则nR 作成一个欧氏空间。

如果定义 11122(,)2n na b a b na b αβ=+++L ，不难验证，nR 对1(,)αβ也作成一个欧氏空间。

这就是说，一个向量空间可以定义不同的内积作成不同的欧氏空间。

一般，我们说1(,)αβnR 都是指对内积(,)αβ而言的欧氏空间。

例2 在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数所成的向量空间[,]C a b 中，对于(),()[,]f x g x C a b ∈，定义内积236 (,)()()ba f g f x g x dx=⎰由定积分的性质不难证明，内积的性质都满足，[,]C a b 作成一欧氏空间。

可以举出很多各式各样的欧氏空间。

容易证明下面欧氏空间的一些基本性质：1) (0,)(,0)0αα==;2) 若 (,)0αα=，则0α=； 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+;5) 1111(,)(,)r s r si i j j i j i ji j i j a b a b αβαβ=====∑∑∑∑;的在几何空间中，向量α的长度为(,)αα类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进定义 2 非负实数(,)ααα的长度，记为||α。

向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： ||||||k k αα=，事实上，2||(,)(,)|(,)||||k k k k k k αααααααα====长度为1的向量称为单位向量。

如果α是一个非零向量，1||αα 就是一个单位向237量，用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化。

在解折几何中，向量α与β的夹角的余弦可以通内积来表示：(,)cos ||||αβθαβ=，为了在一般旳欧氏空间中能引人夹角的概念，我们需要证明不等式(,)1||||αβαβ≤。

定理1 ：,αβ∀，有 |(,)|||||αβαβ≤ 当且仅当,αβ线性相关时等号成立。

证明 若,αβ线性相关，则0α=，或k βα=，总有2(,)(,)(,)αβααββ=若,αβ线性无关，则不论t 取何值 0t αβ+≠，从而(,)0t t αβαβ++>，2(,)2(,)(,)0t t αααβββ++>，二次三项式的判别式2(2(,))4(,)(,)0αβααββ-<，即 2(,)(,)(,)αβααββ< |(,)|||||αβαβ<若等号成立，,αβ必线性相关。

定理1中的不等式称为柯西-布涅柯夫斯基不等式，也有的书称为柯西-施瓦兹不等式。

238 结合具体例子我们来看这个不等式的应用。

应用到例1中nR 就是，22222211221212n nn na b a b a b a a a b b b +++++++++L L L 应用到例2中[,]C a b 就是，()()1122()()()()b bba a af xg x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰例312,,,n a a a R∀∈L ，有 222121||()nin i a n a a a =+++∑L 。

证明 在nR 中，取12(1,1,,1),(||,|},,||)na a a ξη==L L ，应用柯西-布涅柯夫斯基不等式即可。

定义3 非零向量,αβ的夹角,αβ定义为(,),arccos ||||αββαβ=， 0,αβπ≤≤。

关于长度具有三角不等式：||||||αβαβ+≤+，事实上，2||(,)(,)2(,)(,)αβαβαβαααβββ+=++=++ 222||2||||||(||||)ααββαβ≤++=+，开平方得||||||αβαβ+≤+ 定义4 若(,)0αβ=，则说,αβ是正交的。

由定义可以看出两个向量非零向量正交，则,arccos02πβ==，也就是说、,αβ是垂直的，可以记为α⊥β，只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。

239在欧氏空间中勾股定理也成立，即：当α⊥β时，222||||||αβαβ+=+。

事实上， 222||(,)2(,)(,)||||αβαααβββαβ+=++=+。

这个结果可推广到n 个向量正交的情形。

定义5 设12,,,nαααL 是数域F 上的n 维向量空间V 的一组基，(,)ij i ja αα=111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L则称A 为基12,,,nαααL 的度量矩阵。

由 (,)(,)ijijjijia a αααα===，故A A '=。

,V ξη∀∈，有11221122n nn nx x x y y y ξαααηααα=+++=+++L L 1111(,)(,)n n n ni j i j ij i jj i j i x y a x y ξηαα======∑∑∑∑，若令12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭M ，12n y y Y y ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭M ，则(,)X AY ξη'=，当0ξ≠，则000X ⎛⎫ ⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭M ，有(,)0X AX ξξ'=>，由此可知，度量矩阵是正定的。

240 定理2 不同基下的度量矩阵是合同的。

证明：设12,,,nβββL 是V 的另一组基，1212(,,,)(,,,)n n Tβββααα=L L ，设111212122212n n n n nn t t t t t t T t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L ，则1ni li ll t βα==∑，1n jkj kk t βα==∑111111(,)(,)(,)nnnnnni j li l kj k l k li kj lk li kjl k l k l k t t t t a t t ββαααα=========∑∑∑∑∑∑则()11(,)'n n i j lk li kj n nl k n nB a t t T AT ββ⨯==⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑。

§2 正交组、标准正交基定义1 欧氏空间V 的一组两两正交的非零向量组叫做一个正交组，如果一个正交组中的向量都是单位向量，则这正交组叫做一个标准正交组；在n 维欧氏空间V 中，由n 个两两正交的向量组成的基称为正交基，若这n 个向量都是单位向量，则称为标准正交基。

定理1 正交组是线性无关的。

证明 设12,,,rαααL 是一个正交组，若有24112,,,r k k k R∈L ，使得11220r r k k k ααα+++=L依次用iα与上式作内积，得 (,)0iiik αα=，(,)0iiαα≠，故0ik =。

由此可得推论1 n 维欧氏空间V 中，由n 个向量组成的正交组就是正交基。

由n 个单位向量组成的正交组就是标准正交基。

标准正交基12,,,nαααL 满足1,(,)0,iji ji jαα=⎧=⎨≠⎩这说明标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，故一个基是标准正交基⇔ 这个基的度量矩阵是单位矩阵。

例1 1122,nnV x x x ξξααα∀∈=+++L11(,)(,)(,)(,)iiiiinniix x x x ξααααααα=++++=L L 即 1122(,)(,)(,)nnξξααξααξαα=+++L 。

若1122n ny y y ηααα=+++L ，则112211(,)(,)nni i j j n ni j x y x y x y x y X Y ξηαα=='==+++=∑∑L 。

设V 是数域F 上的n 维向量空间，任一组线性无关的向量均能扩充为V 的一组242 基，将其正交化，然后单位化即可得到标准正交基。

类似于第三章的推导，可以得出标准正交基的施米特正交化方法：若12,,,nαααL 是一组线性无关的向量，令112122111313233121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n n βααββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββββββββ----==-=--=----L L L L L L L L L L L L L L L LL则12,,,nβββL 两两正交，再单位化，令121212,,,n nnβββηηηβββ===L ，即为要求的标准正交向量组。

定理2 1) 由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 2) 若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么另外一组基也是标准正交基。

证明1) 设12,,,nαααL 与12,,,nβββL 是向量空间V 的两组标准正交基，且2431212(,,,)(,,,)n n Uβββααα=L L ，()ij n nU u ⨯= 1,(,)0,iji ji jββ=⎧=⎨≠⎩因为 1122i i i ni nu u u βααα=+++L ，1122j j j nj nu u u βααα=+++L即11221,(,)0,i ji j ni nj i j i j u uu u u u i jββ=⎧+++==⎨≠⎩L而1122i ji jni nju u u u u u +++L 是'U U 的第(,)i j 元素，故'U U E =，即为正交矩阵。