一-初中几何常见辅助线口诀

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初中几何辅助线大全及口诀

初中几何辅助线大全及口诀

作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二:垂线、分角线,翻转全等连。

如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三:边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似,和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六:两圆相切、离,连心,公切线。

如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。

七:切线连直径,直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。

如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。

初中几何辅助线秘籍:常见辅助线作法口诀

初中几何辅助线秘籍:常见辅助线作法口诀

初中几何辅助线秘籍:罕见辅助线作法口诀之答禄夫天创作三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形罕见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

名师总结,初中几何学习辅助线“口诀”整理

名师总结,初中几何学习辅助线“口诀”整理

初中几何辅助线“口诀”大全及练习一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形问题巧转换,变为△和□。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

注意点辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

二、由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

十大辅助线口诀

十大辅助线口诀

十大辅助线口诀在进行几何作图时,辅助线的作用是不可忽视的。

正确使用辅助线可以大大提高作图效率,减少错误率,更加准确地画出所需图形。

为了帮助大家更好地理解和掌握辅助线的使用方法,我们整理出了“十大辅助线口诀”,便于大家记忆和应用。

第一大辅助线口诀:“中点万能定位,利用中垂线交点作图”。

这是一个非常实用的口诀,利用中点和中垂线可以快速定位图形的位置和大小。

例如,在画平行四边形时,只需画出其中一条对角线的中垂线,然后在中垂线上取一点作为原点,再利用对角线的中点和原点连线即可准确画出整个平行四边形。

第二大辅助线口诀:“平移移动平行线,平行四边形任意成”。

这个口诀可以帮助我们在画平行四边形时更加方便灵活。

只要确定两条平行线段,就可以通过平移移动其中一条线段使其与另一条平行线段重合,然后连接相应点即可。

第三大辅助线口诀:“圆周角相等,利用等角、同弦定位”。

在画与圆有关的图形时,这个口诀非常实用。

只需利用圆周角相等的性质,画出等角或同弦即可确定圆上的点位置。

第四大辅助线口诀:“切线垂直半径,直角可随便”。

这个口诀是在画圆和圆内的图形时比较常用的。

利用切线垂直半径的性质,可以确定直角位置,使作图更加准确。

第五大辅助线口诀:“直角三角形,利用勾股定位”。

这个口诀是在画直角三角形时非常实用的。

只要确定两条直角边的长度,就可以利用勾股定理求出第三条边的长度,并画出整个三角形。

第六大辅助线口诀:“四边形内对角线,对半分线交于一点”。

这个口诀是在画四边形时非常实用的,只需将对角线对半分,再连接相应线段的中点即可确定四边形的位置和大小。

第七大辅助线口诀:“平行线分段比,适用比例定位”。

这个口诀是在画平行线间的图形时非常实用的,只需利用线段比例的性质来确定每个点的位置。

第八大辅助线口诀:“正多边形内角和,等于360度”。

这个口诀是在画正多边形时非常实用的,只需根据内角和为360度的性质来确定每个角度,即可画出整个正多边形。

第九大辅助线口诀:“等腰三角形,利用对称轴对称”。

初中数学几何辅助线技巧

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连.线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

三角形中两中点,连接则成中位线.三角形中有中线,倍长中线得全等.四边形平行四边形出现,对称中心等分点.梯形问题巧转换,变为三角或平四.平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯.等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径联。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨.是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全.圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完.要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆.如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面.要作等角添个圆,证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等:如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形.另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等:如图,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证:∠ADC+∠B=180分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形:如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE.分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。

初中几何辅助线大全及口诀

初中几何辅助线大全及口诀

作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二:垂线、分角线,翻转全等连。

如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三:边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似,和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六:两圆相切、离,连心,公切线。

如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。

七:切线连直径,直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。

如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。

初中几何辅助线口诀

初中几何辅助线口诀

初中几何辅助线口诀(含经典题解析)BC=AB+CD。

如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证:∠ADC+∠B=180
如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。

中线。

已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

分析:利用中线分等底和同高得面积关系。

CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证:∠BGE=∠CHE。

如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。

分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值围是。

∠C=180
由全等三角形想到的辅助线
如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE 的度数
BC=17. 求CD的长。

分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。

的面积。

在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。

证:EF//AD
(2)在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

初中数学辅助线歌诀

初中数学辅助线歌诀

初中几何常见辅助线作法歌诀
几何证题难不难,关键常在辅助线;知中点、作中线,中线处长加倍看;底角倍半角分线,有时也作处长线;线段和差及倍分,延长截取证全等;公共角、公共边,隐含条件须挖掘;全等图形多变换,旋转平移加折叠;中位线、常相连,出现平行就好办;四边形、对角线,比例相似平行线;梯形问题好解决,平移腰、作高线;两腰处长义一点,亦可平移对角线;正余弦、正余切,有了直角就方便;特殊角、特殊边,作出垂线就解决;实际问题莫要慌,数学建模帮你忙;圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;弦心距、要垂弦,遇到直径周角连;切点圆心紧相连,切线常把半径添;两圆相切公共线,两圆相交公共弦;切割线,连结弦,两圆三圆连心线;基本图形要熟练,复杂图形多分解;以上规律属一般,灵活应用才方便。

初中几何辅助线口诀

初中几何辅助线口诀

初中几何辅助线口诀 Prepared on 24 November 2020初中几何辅助线口诀(含经典题解析)三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形问题巧转换,变为三角或平四。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径联。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线❖一、截取构全等如图,AB❖证:BD=2CE。

的中线。

已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

分析:利用中线分等底和同高得面积关系。

如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的求CD的长。

分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD分析:联DF并延长,利用全等即得中位线。

初中几何辅助线作法口诀与作法大全

初中几何辅助线作法口诀与作法大全

初中几何辅助线作法口诀与作法大全一.几种常见图形添加辅助线的口诀1、三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

2、四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

3、圆半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

二.添辅助线有二种情况:1、按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2、按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

初中几何常见辅助线作法口诀大全

初中几何常见辅助线作法口诀大全

初中几何常见辅助线作法口诀大全人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接那么成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上假设有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

假设是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

初中数学几何辅助线技巧

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形问题巧转换,变为三角或平四。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径联。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个接圆,角平分线梦圆。

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等:如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等:如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证:∠ADC+∠B=分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形:如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。

40句几何辅助线顺口溜!太好记了!

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40句几何辅助线顺口溜!太好记了!很多同学都说几何难,不知道从哪里入手!其实,主要还是辅助线的添加问题,那么该怎么添辅助线呢?现在给大家推荐一些歌诀,对你一定有帮助!初中几何常见辅助线作法歌诀辅助线人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

▽ 三角形▽图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

三角形□ 四边形□平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

辅助线☉ 圆☉半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

初中几何常见辅助线作法歌诀

初中几何常见辅助线作法歌诀

初中几何常见辅助线作法口诀河南省平顶山市杨书山三角形中辅助线,重要线段分析看。

面积问题若出现,添加高线最常见。

出现角的平分线,可向两边作垂线;如果不能把事办翻折对称试试看。

角平分线平行线,等角等边必出现。

角平分线加垂线,三线合一用用看。

如果出现中垂线,常向两端把线连。

中点中线中位线,中线要作倍中线。

线段和差若出现,截长补短记心间。

要证线段倍与半,延长缩短试试看。

四边形中辅助线,常常添加对角线。

梯形添加辅助线,平移一腰作高线,平行移动对角线,延长两腰也常见。

相似形中辅助线,要添就添平行线。

等积式子比例换,横查竖查是关键。

直接证明有困难,中间比来作代换。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆中要添辅助线,连半径是最常见。

半径弦长要你算,勾股定理最方便。

如果圆中有切线,要把切点半径添。

要想证明是切线,半径垂线细分辨。

直径半圆条件现,想成直角径连弦。

弧弦中点圆心连,垂径定理记周全。

作三角形外接圆,就作两边中垂线。

作三角形内切圆,就作两角平分线。

如果图中遇两圆,它们心心要相连。

如果相交两个圆,常常要作公共弦。

如果相切两个圆,常常要作公切线。

如果要求公切线,快把切点半径添,构矩形把垂线添,解三角形最方便。

证明等角添个圆,同弧等角等找完。

如果图形较分散,对称旋转试试看。

如果结论较复杂,化繁为简关系现。

辅助线,是虚线,辅助线,如何添?你想添加辅助线,把握定理和概念,基本图形很关键,平时掌握要熟练。

解题规律常总结,切勿盲目乱添线。

分析综合方法选,方法灵活应多变。

虚心勤学加苦练,定能巧添辅助线。

初中几何辅助线秘籍:常见辅助线作法口诀

初中几何辅助线秘籍:常见辅助线作法口诀

初中几何辅助线秘籍:罕见辅助线作法口诀之蔡仲巾千创作三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形罕见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

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一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形问题巧转换,变为△和□。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心半径连。

切线长度的计算,勾股定理最方便。

要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

注意点辅助线,是虚线,画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线;②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。

通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线(一)、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1,∠AOC=∠BOC ,如取OE=OF ,并连接DE 、DF ,则有△OED ≌△OFD ,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1. 如图1-2,AB//CD ,BE 平分∠BCD ,CE 平分∠BCD ,点E 在AD 上,求证:BC=AB+CD 。

分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段图1-1B图1-2DBC的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。

简证:在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ,再证明CF=CD ,从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2. 已知:如图1-3,AB=2AC ,∠BAD=∠CAD ,DA=DB ,求证DC ⊥AC 分析:此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

例3. 已知:如图1-4,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ,求证:AB-AC=CD分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢?练习 1.已知在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠B=2∠C ,求证:AB+BD=AC2.已知:在△ABC 中,∠CAB=2∠B ,AE 平分∠CAB 交BC 于E ,AB=2AC ,求证:AE=2CE3.已知:在△ABC 中,AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线,M 为AD 上任一点。

求证:BM-CM>AB-ACABC图1-4ABC4. 已知:D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点,连接DB 、DC 。

求证:BD+CD>AB+AC 。

(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1. 如图2-1,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证:∠ADC+∠B=180分析:可由C 向∠BAD 的两边作垂线。

近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。

例2. 如图2-2,在△ABC 中,∠A=90 ,AB=AC ,∠ABD=∠CBD 。

求证:BC=AB+AD分析:过D 作DE ⊥BC 于E ,则AD=DE=CE ,则构造出全等三角形,从而得证。

此题是证明线段的和差倍分问题,从中利用了相当于截取的方法。

例3. 已知如图2-3,△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

求证:∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析:连接AP ,证AP 平分∠BAC 即可,也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

练习:1.如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ,PC//OA ,PD ⊥O A ,如果PC=4,则PD=( )A 4B 3C 2D 1图2-1BC图2-2ABC图2-3ABC 图2-4OAD2.已知在△ABC 中,∠C=90 ,AD 平分∠CAB ,CD=1.5,DB=2.5.求AC 。

3.已知:如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ,CE ⊥AB ,AE=21(AB+AD ).求证:∠D+∠B=180 。

4.已知:如图2-6,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC上的点,∠FAE=∠DAE 。

求证:AF=AD+CF 。

5.已知:如图2-7,在Rt △ABC 中,∠ACB=90 ,CD ⊥AB ,垂足为D ,AE 平分∠CAB 交CD 于F ,过F 作FH//AB 交BC 于H 。

求证CF=BH 。

(三):作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。

例1. 已知:如图3-1,∠BAD=∠DAC ,AB>AC,CD ⊥AD 于D ,H 是BC 中点。

求证:DH=21(AB-AC ) 分析:延长CD 交AB 于点E ,则可得全等三角形。

问题可证。

例2.已知:如图3-3在△ABC 中,AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线,过顶点B 作BFAD ,交AD 的延长线于F ,连结FC 并延长交AE 于M 。

BD图2-6ECD图2-7DBAB求证:AM=ME 。

分析:由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线,可得EA ⊥AF ,从而有BF//AE ,所以想到利用比例线段证相等。

例3.已知:如图3-4,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,AD=AB ,CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。

求证:AM=21(AB+AC ) 分析:题设中给出了角平分线AD ,自然想到以AD 为轴作对称变换,作△ABD 关于AD 的对称△AED ,然后只需证DM=21EC ,另外由求证的结果AM=21(AB+AC ),即2AM=AB+AC ,也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ,然后只需证DF=C F 即可。

练习: 1.已知:在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 是BC 中点,AE 是∠BAC 的平分线,且CE ⊥AE 于E ,连接DE ,求DE 。

2.已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线,AF ⊥BF于F ,AE ⊥BE 于E ,连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ,求证MN=21BC(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

图4-2图4-1ABC BIG例4 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB -AC>BD -CD 。

C例5 如图,BC>BA ,BD 平分∠ABC ,且AD=CD ,求证:∠A+∠C=180。

例6 如图,AB ∥CD ,AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ,求证:AD=AB+CD 。

练习:1. 已知,如图,∠C=2∠A ,AC=2BC 。

求证:△ABC 是直角三角形。

2.已知:如图,AB=2AC ,∠1=∠2,DA=DB ,求证:DC ⊥ACBDCAAB EC DCAB A 1 23.已知CE、AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:AC=AE+CDAEB D4.已知:如图在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:BC=AB+ADADB C 三由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:例1、 已知如图1-1:D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明:(法一)将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N , 在△AMN 中,AM+AN>MD+DE+NE;(1) 在△BDM 中,MB+MD>BD ;(2) 在△CEN 中,CN+NE>CE ;(3) 由(1)+(2)+(3)得:AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (法二:图1-2)延长BD 交AC 于F ,廷长CE 交BF 于G ,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有:AB+AF>BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边) (1)GF+FC>GE+CE (同上)(2) DG+GE>DE (同上)(3) 由(1)+(2)+(3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。

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