瑕积分的收敛判别法

当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.
例1
讨论瑕积分
1 0
1 xp
dx
(
p
0)的收敛性.
解: 由于x 0是瑕点，且
1
x1pdx
1
1
p
(1
1
p
),
p 1,
ln
,
p 1.
(0
1),
故当0 p 1时， 瑕积分收敛， 且
11
11
1
0
x
p
dx
lim
0
x
p
dx
1
; p
当p 1时, 瑕积分发散于 .
§8.4 瑕积分的收敛与计算
一、无界函数的广义积分
定义4.1 设f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a的右
邻域内无界,但对 (0,b a), f ( x)在[a ε,b]上
可积，若 lim b f ( x)dx存在, 则称此极限为f ( x)在 0+ a
(a,b]上的广义积分（也称瑕积分），记
0
0
1 x p1 (1 x)q1 dx a
当x 0时, x p1(1 x)q1 ~ x p1 ,
故当p 0时, 第一个积分收敛;
当x 1时, x p1(1 x)q1 ~ (1 x)q1 , 故当q 0时, 第二个积分收敛;
综上，原积分在p 0,q 0时收敛.
故积分定义了一个二元函数B( p,q). －－Beta函数
x
dx条件收敛,
1
O(
1 x2
)dx
绝对收敛,
所以 I2条件收敛.
故 I当0 1 时条件收敛.
2
例12
讨论积分0＋
arctan xp
x
dx的收敛性.
解：
原积分＝01
arctan xp
x
dx
＋
1
arctan xp
x
dx
由arctan x ~ 1 ( x 0)可知,
xp
x p1
当 p 2时第一项积分收敛；
lim
0
2 0
ln
xdx
lim [ x
0
ln
x
x]2 ε
存在，
故所给积分收敛.
例11
设
0,讨论积分0[(1
sin x ) x
1]dx的收敛性.
解：易见 x 0 是瑕点, 为此, 把积分分成两部分:
I
1
0
1
sin x
x
1dx
1
1
sin x
x
1dx
I1 I2
现讨论 I 的收敛性: 1
| sin t | 1 , 由比较判别法可知.
t 2 p
t 2 p
3o. 当1 p 2时, 积分条件收敛. 当1 p 2时, t p2单调地趋于0,
由Dirichlet判别法, 积分收敛.
而此时,
1
|
sint t 2-p
|dt是发散的,
所以
例10判断积分01
ln 1
x x
2
dx的敛散性.
性质２若f ( x)的瑕点为x a, 且 c (a,b)为任意常数，
则瑕积分 b f ( x)dx与 c f ( x)dx同敛散，且
a
a
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
( x)dx.
三、瑕积分收敛的判别法
１.定理4.1(柯西准则)
若f ( x)在(a,b]上有定义，且lim f ( x) , 0, f ( x)在
.
故原广义积分发散.
注意 （1） 瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区
间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
（2） 瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分
公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。
问题： 如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f ( x) 的瑕点, 作代换x a 1 , 则 y
x 6
故当 1 时, I '收敛.
2
1
由于 sin x x
1,
故I1'绝对收敛.
再讨论 I2 的收敛性 : | sin x | 1, 由二项式展开得, x
所以,
1
sin x
x
1
sin x x
O( 1 ). x2
1
sin x
x
1
sin x
x
O(
1 x2
).
因为积分
1
sin x
xa
[a
,b]上可积，则
b
a
f
( x)dx
(a为瑕点)收敛的充要条件是
0, 0,只要当a u1 u2 a δ,有
2. 定理4.2
u2
u1
f
( x)dx
.
若f ( x)在(a,b]上有定义,a为瑕点,且 b f ( x)dx 收敛， a
则 b f ( x)dx 收敛,|
b
f ( x)dx |
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
sin2 x
例8
0 xm dx
1<m<3,收敛
解：
0
sin2 xm
xdx
1 0
sin2 xm
x
dx
sin2 x 1 xm dx
lim
x0
x
m2
sin2 xm
瑕点为积分上限或者中间值时, 有类似的结果.
例4
1 ln x ln(1 x) dx
0 x(1 x)
解
ln x ln(1 x)
lim
x0
x(1 x) 1
lim
x0
1
x4
ln
x
lim
x0
ln x
1
4 lim x0
1
1 1
0
x4
xx 4
1
x4
收敛
例5 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x 解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
0+ a
(2) 若c (a,b),且f ( x)在c点无界，则f ( x)在[a,b]
上的积分为
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0+ a
0+ c
当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；
x
1,
m
2
1,
m
3
收敛
由于
sin2 x xm
1 xm
，m
1
收敛
sin2 x 1 cos 2x m 1, xm 2xm
发散
例9
设p
0,
讨论积分
1 0
sin xp
1
xdx的敛散性.
解： 易见 x 0 是瑕点, 作变换 1 t, 得
x
1
0
sin xp
1
xdx
1
sin t dt,
t 2 p
1o. 当p 2时, 积分发散.
这是因为若取A' 2kπ, A'' 2(k 1) ,则当k 时，
|
2( k1)
2 k
t
p2
sin
tdt
|
(2k
)
p2
0
sin
tdt
2(2k ) p2 2,
所以由Cauchy收敛原理, 当p 2时, 积分发散.
2o. 当0 p 1时, 积分绝对收敛.
3
例2 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
解： 由于x 1为瑕点，所以
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
2
( x 1)3
lim 0
0
2 3 ( x 1)3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
由arctan x ~ ( x )可知，
xp
2x p
当 p 1时第二项积分收敛.
所以当1 p 2时积分收敛，其他情况发散.
例13
讨论积分
＋
0
e
sin
x cos xp
x
dx的敛散性.
解：原积分＝01
e sin
x cos xp
x
dx
＋
1
e sin
x cos xp
x
dx
由esinx cos x ~ 1 ( x 0)可知，
显然 I 的收敛性和 1
I' 1
1
0
1
sin x
x
dx的收敛性相同.
因为当x 0时,
sin x x 1 x3 O(x5), 3!
所以 ,
1 sin x 1 x2 O( x4 ) 1 x2 (1 O( x2 )).
x 3!
6
因而当x 0时,
1
sin
x
~ 1
x 2 .
xp
xp
当p 1时第一项积分收敛；
又当p
0时
＋
1
e sin
x cos xp
x
dx发散，
当p
1时
＋
1
esinx cos xp
x
dx发散，
当0
p 1时，＋ esinx 1
cos xdx
例7
研究积分(s)
0
e
x
x
s1dx
(s
0)的敛散性.
解： 当s 1时, x 0是瑕点,
(s)
但它又是无穷积分.
下面我们把它拆成两个部分来讨论 :
o
s
e x x s1dx 1 e x x s1dx e x dx x s1
0
0
1
当x 0时, ex x s1 ~ x s1 ,
所以第一个积分当s 0时收敛.
1
当0
l
时,
b
a
f
(
x
)dx与
b
a
g( x)dx同敛散；
2
当l＝0时，ab
g( x)dx 收敛
b
a
f
( x)dx收敛；
3
当l＝ 时,
b
a
g(
x)dx
发散
b
a
f ( x)dx发散.
5. 定理4.5(Dirichlet判别法)
设f ( x), g( x)在(a,b]上有定义，且f ( x)有唯一瑕点x a,
为 b a
f
( x)dx.
即：
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
a
0+ a
这时也称瑕积分收敛, a称为瑕点.
当上述的极限不存在时, 称瑕积分发散.
类似地，可以定义
(1) f ( x)在区间[a,b)上瑕积分，b为瑕点，
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
a
解： 由于
1
0
ln 1
x x2
dx
1
2 0
ln 1
x dx
x2
1
1 2
ln 1
x x
dx,
2
又因为
ln
lim x1
1
x x2
1, 2
所以，x
1不是瑕点，因此11 2
ln 1
x x
2
dx存在.
1
对于02
ln 1
x dx，由于对充分小的 x2
x,|
ln 1
x x2
|
2
|
lnx
|, 而
1
1
1
2 0
ln
xdx
b
f ( x)dx.
a
a
a
绝对收敛 收敛. 收敛 绝对收敛.
3. 定理4.3（比较判别法）
设f ( x)，g( x)在(a,b]上有定义，瑕点同为 x a, 且对
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，对充分靠近a的
x ( x a),如果有0 f ( x) g( x),则
由洛必达法则知：
1
1
lim( x
x10
1) ln
x
lim
x10
1
1 0,
x
根据判别法极限形式,所给广义积分发散.
例6
研究
1
0
x
p1 (1
x )q1
dx
的敛散性.
解：当p 1时, x 0是瑕点; 当q 1时, x 1是瑕点.
故取a (0,1), 把积分拆成两部分:
1 x p1 (1 x)q1 dx a x p1 (1 x)q1 dx
lim
0
b
f ( x)dx lim
a
0
1
ba 1
f (a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分 约定 : 积分下限a是瑕点, f ( x), g( x) R[a ,b]
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
二. 瑕积分的性质
性质１若f1 (
x),
当x 时, x e x 2 x s1 0,
所以第二个积分不论 s为何值都收敛.
因此原积分当 s 0时收敛.
该积分定义了一个以s为变量的函数(s).
函数
－函数的几个重要性质：
１．递推公式(s 1) s(s) (s 0). ２．当 s 0 时，(s) . 3．余元公式 (s)(1 s) (0 s 1).
1o
若 b a
g( x)dx 收敛
b
a
f
( x)dx 收敛;
2o
若 b a
f
( x)dx 发散
b
a
g( x)dx 发散.
常用的比较对象：
b dx
当 p 1 时收敛；
a ( x a)p (a 0) 当 p 1 时发散．
4. 定理4.4（比较判别法极限形式）
设f ( x), g( x) 0, 且 lim f ( x) l，则 xa g( x)
f1 (
x)的瑕点同为x
a
,
k1
,k
为任意常数，
2
则当瑕积分ab
f 1
(
x
)dx与ab
f ( x)dx都收敛时， 2
瑕积分ab[k1 f1 ( x) k2 f2 ( x)]dx也收敛，且
b a
[k1
f1(x)
k2
f2 ( x)]dx
k b 1a
f1( x)dx
k b 2a
f2 ( x)dx.
设f ( x), g( x)在(a,b]上有定义，且f ( x)有唯一瑕点x a, 0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果 f ( x), g( x)满足
下列条件：
1
b
a
f
( x)dx 收敛;
2 g( x)在(a,b]中单调有界.
则 b a
f
( x)g( x)dx 收敛.
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果f ( x), g( x)满足
下列条件：
1 M 0, 使得对0 b a，有
| b a
f
( x)dx
|
M;
2 g 在(a,b]上单调,且 lim g( x) 0, xa
则 b a
f
( x)g( x)dx 收敛.
6. 定理4.5(Abel判别法)
3 3 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
2 dx
例3
计算广义积分
1
. x ln x
解
2 dx
2 dx
1
x ln x
lim 0
1
x ln x
lim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim ln(ln
0
x)
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0