湖南省长沙一中高二数学(理)第一学期期末
湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线3120mx y +-=在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为（）A.2B.3C.4D.52．设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为() A.128 B.129C.47D.03．若双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =，则双曲线C 的标准方程为（）A.221169x y -= B.221169yx -= C.2214x y -= D.2214y x -=4．二项式5(1)x +的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2B.8C.16D.325．已知双曲线221x y -=的右焦点为F ，则点F 到其一条渐近线的距离为（）A.1B.2C.3D.46．方程22141x y k k +=--表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A.512k << B.14k <<C.1k <或4k >D.542k <<7．已知函数()324f x x bx x d =+-+在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数b 的取值范围是（） A.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．若不等式210x ax ++≥在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则a 的最小值是（ ） A.0B.-2C.2512-D.52-9．己知命题2:,2n p n N n ∃∈>；命题||:,e 1∀∈≥R x q x ，则下列命题中为假命题的是（）A.p q ∧⌝B.p q ⌝∨C.p q ∧D.p q ∨10． “24m <<”是“方程22124x y m m+=--表示椭圆”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．命题“1x ∀≥，21x >”的否定形式是（）A.“1x ∀<，21x >”B.“1x ∃<，21x >”C.“1x ∃≥，21x ≤”D.“1x ∀≥，21x ≤” 12．已知两个向量(2,1,3)a =-，(4,,)b m n =，且//a b ，则m n +的值为（）A.1B.2C.4D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市望城区第一中学高二数学上学期期末考试试题 文
湖南省长沙市望城区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文本试卷共4页，总分150分，时量120分钟，考生务必将答案填在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A. 命题p一定是假命题B.命题q一定是假命题C.命题q一定是真命题D.命题q是真命题或者是假命题2. 下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝23. 已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是( )A．a＝b，b＝a B．a＝c，b＝a，c＝bC．a＝c，b＝a，c＝a D．c＝a，a＝b，b＝c4. 下面的程序框图输出的数值为( )A．62 B．126C．254 D．5105. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10)内的频数为a，样本数据落在[2，10)内的频率为b，则a，b分别是( )A．32，0.4 B．8，0.1C．32，0.1 D．8，0.46．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A．92，2 B．92，2.8C．93，2 D．93，2.87 ．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )8. 在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )A.56B.45C.23D.129. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d算得K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”10. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元11. 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )． A ．等于n (n ＋1) B ．等于n 2C ．等于n 4D ．等于n 312. 函数f (x )是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则 下列不等式中正确的是( )．A ．f (sin α)＞f (cos β)B ．f (cos α)＜f (cos β)C ．f (cos α)＞f (sin β)D ．f (sin α)＜f (sin β)第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为___ _____．14. 点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是___________．15已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝____ _____.16. 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.18（本小题满分12分）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )； (2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19. （本小题满分12分）求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．20. （本小题满分12分）(12分)先解答(1)问，再通过类比解答(2)问．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f x1－f x，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．21（本小题满分12分） 已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．22.（本小题满分12分）若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．望城一中2015下学期高二期末考试试卷（文科）1． D 2. B 3. D 4. B 5. A 6． B 7 ． A 8. C 9. C 10. B 11. D 12. C二、13. 32 14. 2x －y －15＝0 153 16. 4三、17．[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y .(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x .18（本小题满分12分）解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况， ∴P (A )＝525＝15.(2)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．19.[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1 [解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上，∴18a2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2， 即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.20.解：(1)证明：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝1＋tan x 1－tan x .(4分)(2)f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1＋f x ＋11－f x ＋1＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ，(6分) ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋2＝f (x )，(10分)∴f (x )是周期函数．(12分) 21解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3， 所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)， 即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)， 因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形的面积为 S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.22.解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2(2， ＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 283 －43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－3，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.。
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学上学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或 2.若复数2a i i b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是A. 1-B. 1±C. 1D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EH C. HG D. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 15 D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为A. 312e -B. 112e -C. 21e -D.11e- 10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A.6π B. 4π C. 3π D. 512π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为 . 14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为 元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++，其中n N *∈，若有()24a f n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ；（2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln a g x ax x x=-+在其定义域上存在极值.（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xea R e -=∈为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.。
湖南省长沙市一中高二数学上学期第一次月考(理)
长沙市一中09-10学年上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）试卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线,19422=-y x 那么其焦点坐标为（ ）A ．(0,,B ．,(C ．(0,,D ．, ( 2. 命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （ ）A ．∃0x ∉R, 02x>0 B ．∃0x ∈R, 02x >0C ．∀x ∈R, 2x≤0 D ．∀x ∈R, 2x>03. 已知P 是△ABC 所在平面外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影．若PA ＝PB ＝PC ，则O是△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心 4.平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |+|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2=60º,∠PF 2F 1=30º,则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C D 17. 若关于x 320kx k -+=有且只有一个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．5(,]12-∞ B ．53(,]124 C ．3(,)4+∞ D ．53{}(,)124⋃+∞8．已知a ≠b ，且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ，b 2sin θ+b cos θ－4π=0，则连接（a ，a 2），（b ，b 2）两点的直线与单位圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9. 命题“若f(x)正弦函数，则f(x)是周期函数”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．10.椭圆71622y x +=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．11．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的一般式方程是 ．12．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．13．以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线方程为 ．14．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ⋅的最大值为 ．15．已知椭圆42x +32y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右焦点为F ，数列{|FP n |}的公差不小于11004的等差数列，则n 的最大值为 ．长沙市一中2009-2010年度上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.10. 11. 12.13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 设F1、F2分别为椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C 上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标、离心率.17．(本小题满分12分)一个圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，且圆心在直线035:2=-y x l 上．（Ⅰ）求该圆的方程； （Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．18．(本小题满分12分) 焦点在x 轴上的双曲线过点P （- 3），且点Q （0，5）与两焦点的连线互相垂直，（Ⅰ）求此双曲线的标准方程;（Ⅱ）过双曲线的右焦点倾斜角为45º的直线与双曲线交于A 、B 两点，求|AB|的长．19．(本小题满分13分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不a x <+对一切正实数x 均成立，若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求PC 与面PAD 所成的角的正切； （Ⅲ）求二面角M-AC-B 的正切．21．(本小题满分13分) 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点．（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使M A MB --→--→⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．附加题（5分）：椭圆22162x y +=的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .（Ⅰ）求证：CF FB λ--→--→= (λ∈R )；（Ⅱ）求MBC ∆面积S 的最大值.湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.假 10. 16 11. x+3y=0 12. 14- 13.22182x y -=14. 4 15. 2009三、解答题：本大题共6小题，共75分。
湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)
2018 — 2019学年度咼二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分： ________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.—3+ i 1 . 复数=A . 1+ 2iB . 1 — 2iC . 2+ iD . 2— i2. 已知全集U = R ,函数y = ln(1 — x)的定义域为M ,集合N = ｛x|/ — x<0｝,则下列结论 正确的是A . M n N = NB . M n (?U N)=町C . M U N = UD . M i@.(?uN)13. 已知命题 p ：联 a € R ,且 a>0, a +》2,命题 q ： x ° € R , sin X 0 + cos X 0= , 3,贝Ua下列判断正确的是A . p 是假命题B . q 是真命题C . p A (綈q)是真命题D .(綈p)A q 是真命题4. 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,若a 1, a 3, a 4成等比数列，则｛ a n ｝的前10项和为 A . 10 B . 8 C . 6 D . — 8a5. 已知函数f(x) = e x + e x (a € R),若f(x)为奇函数，贝U 曲线y = f(x)在x = 0处的切线方程 为 A . y = — 2x B . y =— x C . y = 2x D . y = x6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE = 1 T 1 T A.^AB — AD B . — ^AB + AD T 1 T T 1 T C.AB + 2AD D.AB — ?AD7. 某产品的销售收入 y 1(万元)是产品x(千台)的函数，y 1= 17/;生产总成本y 2(万元)也 是x 的函数，y 2= 2x 3— x xi (x >0),为使利润最大，应生产A . 9千台B . 8千台C . 6千台D . 3千台~T 1 ->8 .正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM = ?MC 1, N 为B 1B 的中点， 则|MN|为x y + 1 = 0，点P 为抛物线y 2= 4x 上的任意一点xi x , x < 0,10 .已知f(x) =g(x) = f(x) + x + m ,若g(x)存在两个零点，贝U m 的取值范围log 2x , x>0,A . [ — 1, +s )B . [ — 1, 0)C . [0, +s )D . [1 , 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，F i 、F 2分别为双曲线 乡一a9.已知直线 11： x =— 1, I 2： 直线l 1,A . l 2的距离之和的最小值为 2 B/.2 C. 1 D.^A 21 o 6 厂15 f 15A. aB. aC. aD. a6 6 6 3P是双曲线左支上一点，M是PF i的中点，且0M丄PF i, 2|PF i|= |PF2|,则双曲线的离心率为A. .6B. 2C. ,5D. .3a (i)12. 已知函数f(x) = xln x, g(x)=—x3+ x2+ 5•若对任意的x i, x2€ 2，2 ,都有f(x i)—g(X2)w 0成立，贝实数a的取值范围是A. ( — 8,2 —4ln 2] B . ( — m , i]1 , 1 V 1C. 2—4ln 2, + 4“ 2D. —m , ?+ ：ln 213.已知x>1 ,观察下列不等式:1x+ x>2；x2+ 2>3;x ， o 3x3+_ >4;x ，按此规律,第n个不等式为___________ .2x—y+ 3 w 0,14. 若x, y满足约束条件x—1 w 0, __ 则z= —x+ y的最小值为.y—1 > 0,15. 1寸1 —x2 dx —n sin xdx = _______ .0 016. _________________________________________________________________ 若函数f(x) = ax2+ xln x有两个极值点，贝U实数a的取值范围是___________________________ .三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分.17. (本小题满分12分)在厶ABC中，角A , B, C的对边分别是a, b, c,其面积为S,且b2+ c2—a2= ^s. (I )求 A ;- 4(n )若a= 5 , 3, cos B = 5,求c.)1(a>0, b>0)的左、右焦点,已知数列{a n} , S n是其前n项和，且满足3a n= 2S n+ n(n € N*).1(I)求证：数列a n+ 2是等比数列；(n )记T n = S i + S2+…+ S n,求T n的表达式.如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD 上.(I )证明：平面SAB丄平面SAD;(II)若AB= 1 ,求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值.已知圆M: x2+ y2+ 2 2y- 10 = 0和点N(0, 2), Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.(I )求曲线E的方程；(II)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x = ty+ m交E于B、C两点，直线AB, AC 的斜率分别是k i, k2,若k i • k2= 9,求：①m的值；②厶ABC面积的最大值.已知函数f(x) = x2+ ax+ In x(a € R).(I )讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(n )令函数g(x) = e x_1+ x2+ a —f(x), e= 2.718 28…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m,判断m与e的大小，并说明理由.(二)选考题：共10分。
长沙市第一中学高二数学第一学期第一次阶段性检测试卷
长沙市第一中学高二第一学期第一次阶段性检测数学（理科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题1.命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是A.0x ,2000<+∈∃x R xB.0x ,2000≥+∈∃x R xC.0x ,2000<+∈∀x R xD.0x ,2000≤+∈∀x R x2.已知两定点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是（ ）A ．||PF 1|﹣|PF 2||=0B ．||PF 1|﹣|PF 2||=±3C ．|PF 1|﹣|PF 2|=±4D ．||PF 1|﹣|PF 2||=±53.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．1y 422=+x B ．14y 1622=+xC ．1x 4y 22=+ D ．14x 1622=+y 4.“1<m<2”是“方程1m-3y 1222=+-m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知直线l ：y=kx+k ，椭圆C 1x 422=+y ，则直线与椭圆的位置关系式（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交6.经过椭圆1222=+y x 的有焦点F 作斜率为2的直线l ，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则AB =A.32B.322 C.928 D.9210 7.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子有钥匙，金盒子上写有命题P ：钥匙在这盒子里；银盒子上写有命题q ：钥匙不在这盒子里；铅盒子上写有命题r:钥匙不在金盒子里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则钥匙在A.金盒子B.银盒子C.铅盒子D.不能确定8.若有，则1a 11-+<a a A.最小值为3 B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-19．关于x 的不等式x 2﹣2ax +a>0对x ∈R 恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ≤21D ．a ≥1或a ≤010. 已知两点A （1,0），B （-1,0），点p 为平面内一动点，过点p 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若2=•，则动点P 的轨迹方程A.122=-x y B.122=-y x B. 1222=-x y D.1222=-y x11. 有下列命题；①“若x+y>0，则x>0且y>0”的否命题；②；）（、βαβαβαcos cos cos ,+=+∈∃R ③;x 1log 21)31,0(x 2x <∈∀），（ ④设222111c b a c b a 、、，、、均为非零实数，不等式和01121>++c x b x a 02222>++c x b x a 的解集分别为M 、N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的充分不必要条件.其中是真命题的个数是A.1B.2C.3D.412．已知A 、B 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2≠0．若|k 1|+|k 2|的最小值为2，则椭圆的离心率（ ）A ．B ．C ．D ．42 二．填空题13.与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且经过点M （6,24-）的双曲线的标准方程________________.14.已知x>0,y>0，且291=+yx 则x+y 的最小值_______. 15.设F 1,F 2分别是椭圆1152522=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（7，-3），则1PF PM +的最大值____________.16.已知直线l ：x+y=1与双曲线C ：)0(1222>=-a y ax ，若l 与C 有两个不同的交点，则双曲线C 的焦点的焦距的取值范围___________.三．解答题17．设命题p ：函数f （x ）=lg （x 2﹣4x +a 2）的定义域为R ；命题q ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立．如果命题“p ∨q”为真命题，且“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．18．已知P:012:3122≤-++≤m x x q x ；－（m ＞0）； （1）若m=1，问p 是q 的什么条件？（2）若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知E 与椭圆12622=+y x 有公共焦点，且离心率为2. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）过A （2,1）能否作一条直线l ，与双曲线E 交于点P ，Q 两点，且点A 是线段PQ 中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．20．已知一动圆M 与圆内切）（外切，与圆）（121313222221=+-=++y x C y x C . （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）求△C 1C 2M 的重心G 的轨迹.21．某单位建造一间地面面积为48m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为600元/m2，房屋侧面的造价为400元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为25200元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度x为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？22．已知F 1，F 2为椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，P （5541，）为椭圆E 上一点，且椭圆E 的离心率为55． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过P 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积的最大值.。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测数学试题(原卷版)
长沙市第一中学2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}-1,0,1,2,32,3,0,1U A B ===，，则()U C A B = （）A.∅B.{}0,1 C.{}0 D.{}12.24x <的一个必要不充分条件是（）A.02x <≤ B.20x -<< C.22x -≤≤ D.13x <<3.如图，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNP 的位置关系为（）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内4.已知平面向量(2,3)a x =，(1,9)b = ，如果a b ∥，则x =（）A.16B.16-C.13D.13-5.下列一组数据的25%分位数是（）2.8,3.6,4.0,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,3.3A.3.0B.4C.4.4D.3.36.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.254B.9C.16D.257.实数,x y 满足2220x y x ++=,则1y xx --的取值范围是（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是510.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0,(π,π)ωϕ>∈-）相邻的两个零点为π5π,36，则（）A.函数()f x 的图象的一条对称轴是π6x =B.函数()f x 的图象的一条对称轴是π12x =C.ϕ的值可能是π3D.ϕ的值可能是5π611.如图，在三棱锥-P ABC 中，2PA AB AC BC ====，若三棱锥-P ABC 的体积为3V =，则下列说法正确的有（）A.PA BC⊥B.直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为64C.点A 到平面PBC 的距离为233D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积28π3S =12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()3f x x =是“[]1,1-封闭”函数B.定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,Na b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，化简2i1i-+的结果为__________.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则密码被成功破译的概率为________．15.已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=和两点(,0),(,0) (0)A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为_____________．16.设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2340x y -+=与直线2l ：30x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线1l 垂直的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线3l ：250x y -+=平行的直线l '的方程．18.移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2a c C b b=-．（1）求角B ；（2）已知21b a c =-=，，求ABC 的面积．20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点，OCD 是边长为1的等边三角形，且36A BCD V -=.（1）证明:OA CD ⊥;（2）若2ED AE =，求二面角B EC D --的余弦值.21.已知函数()2()log 1(0,1)xa f x a kx a a =++>≠为偶函数．（1）求k 的值；（2）设函数()()25f x x x g x a a +=-，若[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，求a 的取值范围．22.已知圆O 的方程为2216x y +=，直线l 与圆O 交于,R S 两点．（1）若坐标原点O 到直线的距离为32，且l 过点(3,0)M ，求直线l 的方程；（2）已知点(4,0)P -，Q 为RS 的中点，若,R S 在x 轴上方，且满足π4OPR OPS ∠+∠=，在圆O 上是否存在定点T ，使得PQT △的面积为定值？若存在，求出PQT △的面积；若不存在，说明理由．。
湖南省长沙市望城区第一中学高二数学上学期期末考试试
湖南省长沙市望城区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：120分钟；总分：150分一、选择题（每小题5分，共12小题，总60分）1．设()f x 是定义在R 上的函数，则“函数()f x 为偶函数”是“函数()xf x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若0()2f x '=，则000()()lim2k f x k f x k→--等于（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．123．以椭圆1492422=+y x 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ）A ．1242522=-y xB ．1252422=-y xC ．1242522=-x yD ．1252422=-x y4．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．125．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)2(=f ,当>x 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不 等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)6．若12()2()f x x f x dx =+⎰，则1()f x dx ⎰＝（ ）A ．－1B ．－13 C ．13D ．1 7．已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则与的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλFB AF ， 则λ等于（ ）A ．12+B ．13+C ．15+D ．322+9．登山族为了了解某山高()y km 与气温()x C ︒之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作气温x （°C ） 1813 10 -1山高y （km ） 24 34 38 64由表中数据，得到线性回归方程$$$2()y x a a R =-+∈，由此请估计出山高为72（km ）处气温的度数为（ ） A ．-10 B ．-8 C ．-4 D ．-6 10．如图，在ABC ∆中，ο60=∠B ，ο45=∠C ，高3=AD ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1<BM 的概率为A ．52 B ．53 C ．51 D ．5411．设12,F F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点，过点12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．512- B ．312- C ．22D ．3212．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数21()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在31(,0)2x ∈-内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 二、填空题（每题5分，共4题，总20分） 13．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6223846x y ,,,,,的同学都在样本中，则x y += ．14．如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其平均分为______．FEDC BAP15．已知(2,1,2)a =-r ，(1,3,3)b =--r ，(13,6,)c λ=r ，若向量,,a b c r r r共面，则λ= ．16．方程||||(0)169x x y y λλ+=<的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）①函数()y f x =在R 上是单调递减函数；②函数()y f x =的值域是R ；③函数()y f x =的图象不经过第一象限；④函数()y f x =的图象关于直线y x =对称； ⑤函数()4()3F x f x =+至少存在一个零点. 三、解答题（共6题，共70分）17．（本题10）如图，四棱锥ABCD P -的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PB 与DC 所成角为ο45， F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点.（Ⅰ）证明：PE AF ⊥；（Ⅱ）若AB BE BC 322==，求直线AP 与平面PDE 所成角的大小.18．（本小题满分10分）据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 215 3 20 工资5 5005 0003 500 3 0002 5002 0001 500（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．19．（本小题12分）已知命题p :方程221210x y t t +=+-表示双曲线；命题q ：11m t m -<<+（0m >）,若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p 的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于),(11y x A ，),(22y x B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）求OAB ∆的面积．21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，点B 在直线l ：1x =-上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M ． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过（1）中轨迹E 上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E 相交于11(,)C x y ，22(,)D x y 两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．22．（本题13分）已知函数)0(1)(>--=a ax e x f x，（e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的最小值；（2）若0)(≥x f 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n高二理科数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11．A 12．C 13．44 14．62 15．316．①②③ 17．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．z yxFED CBAP设2==AB AP ，a BE = 则），，（000A ，），，（），，，（），，，（110200020F P B ，），，（02a E 于是，)2,2,(-=a PE ，)1,1,0(=AF ， 则0=⋅AF PE ，所以AF PE ⊥．………………6分（Ⅱ）若AB BE BC 322==，则)0,0,34(D ，),2,0,34(-=PD )2,2,32(-=PE ， 设平面PDE 的法向量为),,(z y x n =， 由⎝⎛=⋅=⋅00PE n PD n ，得：⎩⎨⎧=-+=-022320234z y x z x ，令1=x ，则3,32==y z ，于是)32,3,1(=n ，而)2,0,0(=AP 设AP 与平面PDE 所成角为θ，所以23||||sin ==AP n AP n θ， 所以AP 与平面PDE 所成角θ为ο60．18．（1）2091,1500,1500 （2）3288,1500,1500（3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平 19．实数m 的取值范围为03m <≤．20．（Ⅰ）24y x = （Ⅱ）1021．（1）x y 42= （2）是定值，为-1,过程见解析．22．（1）min ()ln 1f x a a a =--；（2）1=a ；（3）见解析。
湖南省长沙一中高二数学上学期期末考试 理【会员独享】
湖南长沙市一中2010年下期高二期末考试理 科 数 学满 分：150分 时 间：115分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确选项填在答卷上）1．“200,10x R x ∃∈+<”的否定是（ A ）A ．2,10x R x ∀∈+≥B ． 2,10x R x ∀∈+<C ． 200,10x R x ∃∈+≥D ． 20,10x R x ∃∈+<2． 设x x f =)(，则=)3(/f 为（ D ）A ．33 B ． 23 C ． 33- D ． 63 3． 定积分2 0sin 2xdx π⎰的值为（ B ）A ． 1-B ．1C ． 21-D ．124．如图，由曲线2xy e =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是 （ C ） A ． () 20 2x e dx -⎰ B ． () 22x e dx -⎰C ．202x e dx -⎰D ．()() ln 22 0ln 22 2x x e dx e dx -+-⎰⎰5． 函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示，记()y f x =导函数为()/y f x =，则不等式()/0f x ≤的解集为（ A ） A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31[,]1,222- D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭6． 如图，已知点()2,2C -，过点C 作两条互相垂直的直线12,l l 、CB ，12,l l 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为（ A ） A ．20x y -+= B ．20x y ++= C ．20x y --=D ．20x y +-=7． 设a R ∈，若函数3xy e ax =+(x R ∈)有小于零的极值点，则（ B ） A ．30a -<< B ．103a -<< C ．3a <- D ． 13a <- 【解析】 /3xy e a =+，令/0y = 有3xe a =-∴0a <()ln 30ln1x a =-<=31a ∴-< ， 13a >- 故 1,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭8．已知函数()(1)ln f x a x =+，2()4g x ax x =+，若()()()h x f x g x =+在(0,)+∞上为减函数，则a 的取值范围是（ C ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞-C ．(,2]-∞-D ．[2,)-+∞ 二、 填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将正确选项填在答卷上） 9． 已知椭圆224640x y +-=上一点P 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于 12 ．10． 抛物线()220x py p =>上一点M 到焦点的距离是2p a a ⎛⎫>⎪⎝⎭，则点M 的纵坐标是 2p a -11． 已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是()(),21,-∞--+∞12．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面，14,3,5AB AD AA ===，60BAD ∠=︒，则1AC ．13．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b -=，则双曲线的离心率为214．“正三角形中，其内切圆与外接圆的半径比为1:2”，类比到空间，请你写出一个正确的结论 ．正四面体的内切球与外接球的半径比为1:3．15． 已知函数()32f x ax bx =+的图象在点()1,2-处的切线恰好与30x y -=垂直，则（Ⅰ）,a b 的值分别为 1，3 ；（Ⅱ）若()f x 在[],1m m +上单调递增，则m 的取值范围是(,3][0,)-∞-+∞．【解析】()()()()/232/3212212323313f x ax bxf a b a f x x xa b b f =+-=⎧-+==⎧⎧⎪∴⇒⇒⇒=+⎨⎨⎨-=-=-=-⎩⎩⎪⎩ ()()/23632f x x x x x ∴=+=+()f x ∴在(),2-∞-与()0,+∞上是增函数12m ∴+≤-或0m ≥． 故(,3][0,)m ∈-∞-+∞为所求．三、 解答题（本大题共6小题，第16、17、18题各12分，第19、20、21题各13分，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16． 如图，设()2,4A 是抛物线2:C y x =上的一点．（Ⅰ）求该抛物线在点A 处的切线l 的方程； （Ⅱ）求曲线C 、直线l 和x 轴所围成的图形的面积． 解：（Ⅰ）2y x = /2y x ∴=∴直线的斜率/24x k y ===l ∴：()442y x -=- 即44y x =-为所求． …………………………6分 （Ⅱ）面积24230412*******y S y dy y y y ⎛⎫⎛=+=+-⨯= ⎪ ⎝⎝⎭⎰∴曲线C 、直线l 和x 轴所围成的图形的面为23． …………………………12分 17． 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点,M N 分别为1A A 和1B B 的中点． （Ⅰ）求异面直线CM 与1D N 所成角的余弦值； （Ⅱ）求点1D 到平面MDC 的距离．【解析】 （Ⅰ）分别是以1DA 、 1DC 、 1DD 所成在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()2,0,1M ()0,2,0C ()2,2,1N ()10,0,2D()2,2,1MC ∴=-- ()12,2,1D N =--………………3分14411,339cos MC D N --<>==-⨯ …………………………5分∴异面直线CM 与1D N 所成角的余弦值为19． …………………………6分（Ⅱ）()2,0,1DM ∴= ()0,2,0DC = ()10,0,2DD = 设面DMC 的法向量为(),,n x y z = 则()201,0,20x z n y +=⎧⇒=-⎨=⎩ …………………………9分∴点1D 到平面MDC的距离15DD n h n⋅=== …………………………12分 18． 设数列}{n a 满足关系式：2, 1122n n p a p a p a -==-（p 是常数）．（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想}{n a 的通项公式，并证明． （Ⅰ）解：1221a p p ==221322p a p p a ∴=-=232423p a p p a =-=243524p a p p a =-= …………………………4分（Ⅱ）猜想：1n n a p n+=， 下面用数学归纳法证明．…………………………6分 证明： 1°当1n =时，1221a P P ==， 命题已成立：2°假设n k =时，命题成立，即1k k a P k+=，则()()()()22121211221111k k k P PK k P k P P ka P P P a k pk k k ++-+++⋅=-=-===++++故1n k =+时，命题仍然成立．综上所述：对任何N n *∈，均有1n n a P n+=．…………………………12分 19． 湖南日报12月15日讯：今天，长沙飞起了今冬以来的第一场雪，省会城管部门采取措施抗冰除雪，确保道路畅通．铲雪车是铲冰除雪的主力，铲雪车行驶的费用分为两部分，第一部分是车的折旧费及其他服务费，每小时480元，第二部分为燃料费，它与车速的立方成正比，并且当速度为10km/h 时，燃料费为每小时30元． 问车速为多少时，才能使行驶每公里的费用最小？并求出这个最小值以及此时每小时费用的总和． 解：设第二部分的燃料费为t (元/小时)，速度为x （公里/小时），则3t kx =⋅ 将10x =，30t =代入上式．解得，3100k =，33100t x ∴=⋅ …………………………2分 设每公里费用的总和为y (元/公里),则32313480480(0)100100y x x x x x ⎛⎫=+⋅=+> ⎪⎝⎭…………………………7分/2348050y x x=-，令/0y =，有20x = y ∴在(0,20)上单调递减，在(20,)+∞上单调递增，当20x =时，y 有最小值为36 …………………………11分 所以，速度为20公里/小时时，每公里费用最小，最小值为36元/公里，此时，每小时费用的总和为720元/小时． …………………………13分 另解： 331480100y x x ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭=23480100x x +=23240240100x x x ++36≥=． 当且仅当23240100x x=，即20x =时，等号成立，此时，每小费用的总和为720． 所以，速度为20公里/小时时，每公里费用最小，最小值为36元/公里，此时，每小时费用的总和为720元/小时． 20．已知函数()ln 1af x x x=+-． （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()y f x =的图象相切?若存在，有多少条?若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意函数)(x f 的定义域为),0(+∞，…………………………1分2()x af x x-'=…………………………2分当0>a 时， 此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，()()ln f x f a a ∴==极小值，无极大值． …………………………5分当0<a 时，2()0x af x x-'=> 所以函数在(0,)+∞上是增函数，无极大、极小值． …………………………7分 (Ⅱ) 假设存在这样的切线，设其中一个切点)1ln ,(0000x x x x T --， 切线方程：)1(1120--=+x x x y ，将点T 坐标代入得：220000)1(11ln x x x x x -=+--，即0113ln 2000=--+x x x ， ①……………………10分 设113ln )(2--+=x x x x g ，则3)2)(1()(xx x x g --='． 0x >，()g x ∴在区间)1,0(，),2(+∞上是增函数，在区间)2,1(上是减函数，故1()(1)10,()(2)ln 204g x g g x g ==>==+>极大值极小值． 又11()ln12161ln 43044g =+--=--<， 注意到()g x 在其定义域上的单调性，知()0g x =仅在1(,1)4内有且仅有一根 所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．……………………13分21．如图，12,F F 是双曲线221x y -=的两个焦点，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ：y kx b =+与圆O 相切，并与双曲线交于A 、B 两点． (Ⅰ)根据条件求出b 和k 的关系式;（Ⅱ）当21OA OB k ⋅=+时，求直线l 的方程；（Ⅲ）当()21OA OB m k ⋅=+，且满足24m ≤≤时，求AOB ∆面积的取值范围．解：（Ⅰ）22:2O x y +=圆()()22222111bd b k k k ∴===+≠+…………………………3分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y 由221y kx bx y =+⎧⎨-=⎩得：()()2221210k x kbx b ---+=12221kbx x k∴+=- 212211b x x k +⋅=-- …………………………5分()()()()2212121212121OA OB x x y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=+=++=++++()222222121111b kbk kb b k k k ⎛⎫+∴+⋅-+⋅+=+ ⎪--⎝⎭，22,k k b ===:l y ∴=±． …………………………8分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知：211m k -=- 211k m∴=+ 于是2222b k k -=+1221AB x k ∴=-=-……………………10分又O 到AB 的距离d =12AOBS AB d ∆⎡∴=⋅==⎣ (13)。
湖南省2022高二数学上学期1月期末联考试题(含解析)
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）令 可得 ，当 时，利用 即可得 ，求出数列 的通项公式后代入即可得数列 的通项公式；
（2）由 ，利用裂项相消法即可直接得解.
【详解】（1） ，
当 时， ， ，
当 时， ， 即 ，
，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的概念，属于基础题.
2.设复数 ( 为虚数单位)， 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得 ，则 ，根据复数的几何意义即可得解.
【详解】由题意 ，则 ，
（2）若选取的是前面4组数据，求 关于 的线性回归方程 ，并判断是否是“恰当回归方程”；
附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，前四组数据的 .
【答案】（1） （2） ，是恰当回归方程.
【解析】
【分析】
（1）列出所有基本事件，找到两组数据相邻的事件，即可得2个数据相邻的概率，再用1减去2个数据相邻的概率即可得解；
【详解】（1） 为矩形，且平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，， ， ， Nhomakorabea，， ， ，
在梯形 中， ， ， ，
， ， ，
从而 .
在 中， ，可知 ，
在 中， ，可知 ，
又 ，
平面
（2）取 的中点 ，连接 ， ，由 知 ，
由 知 ，
为二面角 的平面角.
由（1）知 平面 ， ，
湖南省长沙市铁路一中高二数学上学期期末考试试题理
长铁一中2018年下学期期末考试高二年级数学科试题（理科）时量:110分钟 满分:150分一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设命题02,:2<-∈∀x R x p 则p ⌝为 （ ）02,.200>-∈∃x R x A 02,.200≥-∈∃x R x B02,.2>-∈∀x R x C 02,.2≥-∈∀x R x D2.按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．63.命题1:2≥x p 是命题1:≥x q 的 条件（ ） A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4. 复数12z i =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为 （ ） A.15 B. 25C.35 D.456.准线方程为1=y 的抛物线的标准方程是( ) A.y x 42-= B.y x 22= C.x y 22-= D.x y 42=7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，化简1AB AD CC +-=uu u r uuu r uuu r（ ）A ．1AC uuu rB ．1CA uuu rC ．1BD uuu r D ．1DB uuu r8. 曲线12)(3++=x x x f 在点()()0,0f 处的切线的方程为 ( ) A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．21y x =- D ．21y x =+9．凸六边形有多少条对角线（ ）A ．6B ．9C ．12D ．1810．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则异面直线DE 与11AB 所成角的正切值为(D)211.设'()f x 是函数()f x 的导函数，的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 ( )12．在平行六面体1111ABCD A B C D -中, 14,3,5,AB AD AA === 且1160o BAD BAA DAA ∠=∠=∠=,求1A C 的长A ．B ．CD 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分为20分） 13．计算42xdx =⎰14.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：则加奥运会的最佳人选是15.从6本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，有多少种不同送法16.如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>0y -=平行，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题满分10分）命题:p 22≥-x x ，命题:q Z x ∈，若“q ⌝”与“p ∧q ”都是假命题，（1）求不等式22≥-x x 的解集 （2）求x 的值．18．（本小题满分12分）四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)若AB=AD=AP=2,求直线PC 与平面AEC 所成角的余弦值19.（本小题满分12分）省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取100所进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A 、B 、C（Ⅰ）求根据上表求的值并估计这100所学校评估得分的平均数；（Ⅱ）从评定等级为D 和A 的学校中，任意抽取2所，求抽取的两所学校等级相同的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率12e =，左右焦点为12,F F ，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是4。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
3 sin2 C sin2 B sin2 A 2 sin Asin B sin C ．
(1)求角 A 的大小；
(2)若
1 b
,
1 a
,
1 c
成等差数列，
a
1
，求
ABC
的面积．
19．某袋中装有大小相同、质地均匀的 6 个球，其中 4 个黑球和 2 个白球．从袋中随机
取出 2 个球，记取出白球的个数为 X．
三、填空题 13．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有
“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，
记事件 A 为“4 名同学所报项目各不相同”，事件 B 为“只有甲同学一人报走进社区项目”，
则 P A | B 的值为
.
14．已知函数 f (x) ex1 a ln x a ，若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
(1)写出 X 的分布列，并求出 E X 和 D X 的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为 Z，求出 E Z 和 D Z 的
值．
20．如图，在多面体 ABCD A1C1 中，四边形 ACC1A1 是矩形， AD∥ BC ， AA1 平面 试卷第 3页，共 4页
T7 T8 T9 ，则下列结论正确的是（ ）
A． q 1
B． a8 1
C． T10 T6
D． T7 与 T8 均为 Tn
的最大值
10．如果存在定义在 R 上的奇函数 y f x ，对任意两个不相等的实数 x1, x2 ，都有
x1 x2 f x1 f x2 0 ，则称函数 y f x 为“H 函数”，下列函数为 H 函数的是（ ）
湖南省长沙市高二数学上学期期末试题文(含解析)(2021学年)
湖南省长沙市２016－２017学年高二数学上学期期末试题文(含解析) 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(湖南省长沙市2０16－2０１７学年高二数学上学期期末试题文（含解析)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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２016-２０１7学年湖南省长沙市高二(上)期末数学试卷（文科)一、选择题:本大题共15小题，每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。
1．命题“若ａ＞b，则2ａ>２b"的逆否命题是（）Ａ.若a≤b，则２ａ≤2bﻩB．若a＞b,则2a≤2bC.若2ａ≤２b，则ａ≤ｂD.若2a≤2b,则 a＞ｂ2．用反证法证明命题“设a，ｂ为实数,则方程x3+aｘ+ｂ=0至少有一个实根"时,要做的假设是( ）A．方程x3+ａｘ＋b=0没有实根Ｂ.方程x３+aｘ＋b＝0至多有一个实根C.方程x３+ａx+b=０至多有两个实根D．方程x３+ax+b=0恰好有两个实根3．双曲线的焦点坐标是( )Ａ.ﻩB．ﻩ C.（±２,0) D.（0,±２）4．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是( )Ａ． B．ﻩ C.D.5．设f（x)=xｌｎｘ,若f′（x0)=2,则ｘ０=（ )A.ｅ2B.eﻩC.D．ln26.如图是2０16年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为( )A.84，84 Ｂ．84,８５ C.86，84 Ｄ.８４,８6７.如图,M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点Ｎ,连接MN，则弦MN的长度超过Ｒ的概率是（ )A. B.ﻩC．ﻩD．8.已知a为函数ｆ（x）=ｘ3﹣12ｘ的极小值点,则a=（)A.﹣4 Ｂ．﹣2ﻩC．4ﻩ D.2９．对具有线性相关关系的变量ｘ,ｙ有一组观测数据(xｉ,y i）（i=1，2,…8）,其回归直线方程是x＋a,且x1+ｘ2+x3＋…+ｘ8＝2（y1+y2+ｙ3+…＋y8)=6,则实数a的值是（)Ａ．ﻩＢ．C．ﻩＤ．１0．若抛物线ｙ2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ )A.(7,±）B.（14,±）C.(7，±２）ﻩD．（﹣７,±2)1１.已知函数f(x)=x3﹣ａx２+1在区间(0，2)内单调递减，则实数ａ的取值范围是（）A．a≥３B．a=3 Ｃ．a≤3 D．0<ａ＜3１2.已知有相同两焦点Ｆ1、F2的椭圆和双曲线,P是它们的一个交点，则△F1PＦ2的形状是( ）A．锐角三角形ﻩB．B直角三角形C.钝有三角形D．等腰三角形１３．若命题“∀x∈R，aｘ2﹣ax﹣2≤０”是真命题，则实数ａ的取值范围是( )A．[﹣８，0] B.(﹣8,0］ﻩC．［﹣８，０)ﻩ D.(﹣８,0)14.设ｆ（ｘ),g（x）是定义域为Ｒ的恒大于零的可导函数，且f'(x)•ｇ(x）﹣f(ｘ）•g′(x)＜0，则当a＜x＜b时,有( )A.f(x)•ｇ(x）＞ｆ（b)•ｇ（ｂ)ﻩＢ.f(x）•g（a）>f（a)•ｇ（x)ﻩＣ．f（x)•g（b)>ｆ(b)•g （ｘ) D.f(x)•g(x）＞f（a)•g（a)1５．已知抛物线C:ｙ2=4x的交点为F,直线y=x﹣1与C相交于A,B两点，与双曲线Ｅ:﹣=2(a＞0,b＞0)的渐近线相交于M,N两点，若线段AB与ＭN的中点相同，则双曲线E离心率为（）Ａ.ﻩB．２ﻩＣ．ﻩD．二、填空题：本大题共５小题,每小题3分,共15分。
湖南省长沙市一中2020届高二期末模拟试卷 数学试题
湖南省长沙市一中2020届高二期末模拟试卷数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．双曲线22145x y -=的离心率为（ ） A ．23 B ．43 C ．32D ．2 2．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则p ⌝为( )A 、,25x x R ∀∉=B 、,25x x R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠3．设f （x ）＝xln x ，若f ′（x 0）＝2，则x 0＝（ ）A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2 4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5．若曲线32y x x =+-在点0P 处的切线平行于直线410x y -+=，则点0P 的一个坐标是A ．(0,2)-B ．(1,1)C ．(1,4)--D ．(1,4) 6．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的一条渐近线的距离为（ ）7．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如右图所示，则该函数的图象是（ ）8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 9．过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q ∆的周长是（ ）A ．28B ．14-．14+ D ．10．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于( ) A.4 B. C. D.11．当1x >时，不等式1+1a x x ≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(),2-∞ B ．[)2+∞， C ．[)3+∞， D ．(],3-∞12．过点()2,0M -作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于,A B 两点，线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅等于A ．13B ．3C ．13- D ．3-二、填空题（4*5=20）13．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为_________________14．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB＝ ．15．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是 ．16．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题17．（10分）命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 23x <≤（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（12分）已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19．（12分）如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ．求线段QN 的中点P 的轨迹方程．20．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点(01)B -，． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若 0BP BQ ⋅<，求实数k 的取值范围．21．（12分）设函数()()21ln f x x b x =-+．（1）若函数()f x 在2x =时取得极小值，求b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求b 的取值范围．22．（12分）已知抛物线24y x =，作斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点M ，弦AB 的中点为P ．（1）若(2,0)M ，求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）设(,0)M m ，若点P 满足111AM BM PM+=，求m 的值．数学参考答案一1．C2．D3．B4．C5．C6．C7．B8．D9．C10．B 11．D 12．B二 13．1+=x y 14．8 15．d ． 16．3[1,)2三17．（Ⅰ）23x <<;（Ⅱ）12a <≤.试题解析：解：（Ⅰ）p ：3a x a <<，1a =时, 13x << ，q ：23x <≤ 2分 p q ∧为真，132323x x x <<⎧⇒<<⎨<≤⎩ 5分（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，则q p ⇒ 7分∴02,33,a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤． 10分 考点：1命题;2充分必要条件.18．（1）（－∞，－1），（3，＋∞）；（2）-7试题解析：（1）f’（x ）＝－3x 2＋6x ＋9．----2令f ‘（x ）<0，------3解得x<－1或x>3，------4所以函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．--------5（2）因为f （－2）＝8＋12－18＋a=2＋a ，------6 f （2）＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f （2）>f （－2）--------8．因为在（－1，3）上f ‘（x ）>0，所以f （x ）在[－1, 2]上单调递增，-------9又由于f （x ）在[－2，－1]上单调递减，因此f （2）和f （－1）分别是f （x ）在区间[－2，2]上的最大值和最小值，------10于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． ------11故f （x ）=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f （－1）＝1＋3－9－2＝－7，即函数f （x ）在区间[－2，2]上的最小值为－7．-------12考点：函数的单调性与导数及求最值．19．2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0试题解析：设动点P 的坐标为（x ，y ），点Q 的坐标为（x 1，y 1），则N 点的坐标为（2x －x 1，2y －y 1）． ∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2，①------3又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2． ∴11y y x x --＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，②--------6 由①、②联立，解得113112213122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩-----------9又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴22111x y -=， 即2231131112222x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------10 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0， 这就是所求动点P 的轨迹方程．------12考点：动点的轨迹方程 20．（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）13(,)210k ∈-． 试题解析：（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：1422=+y x ．------5 （Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去y ，得：)(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k -------7 依题意：直线)2(:+=x k y l 恒过点)0,2(-，此点为椭圆的左顶点，所以21-=x ，01=y ① ，由（*）式，)41(162221k k x x +-=+ ②， ------8 可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+ ③， ------9 由①②③，2224182k k x +-=，22414kk y += 2221+1BP BQ x y =-=（，），（，）∴22210BP BQ x y ⋅=-++< ． ----10 即0141441416222<++++-kk k k ，---11 整理得034202<-+k k ． 解得：13(,)210k ∈-．------12 考点：1、椭圆方程；2、含参直线恒过定点；3、平面向量数量积． 21．（1）4b =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．试题解析：（1）()22b f x x x '=-+，即()24202b f '=-+=，即4b =- 经检验可知4b =-满足题设．--------5（2）可得，函数的定义域为），（∞+0，()222x x b f x x-+'=，--------7 由题知()0f x '≥或()0f x '≤在定义域内恒成立-------8易知()0f x '≤不可能恒成立，所以2220x x b -+≥恒成立， ------9即()2max 22b x x ≥-+--------10所以b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭-------12考点：✍函数的极值问题；✍由单调性求参数范围．22．（1）22(4)(2)24x y -+-=；（2）2m =+试题解析：（1）2122248044y x y y y y y x =-⎧⇒--=⇒+=⎨=⎩，------2∴中点为(4,2)，------4AB ==-------5 ∴圆的方程：22(4)(2)24x y -+-=；----6（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，224404y x m y y m y x =-⎧⇒--=⎨=⎩12124161604y y m m y y =-⎧⎪⇒∆=+>⎨⎪+=⎩1m ⇒>-，------8由题意：0m ≠， ①当0m >时，1y ，2y异号，∴121212111142P y y y y y y y m -+====，解得：2m =±，-----10 ②当10m -<<时，1y ，2y 同号，∴1212121114142P y y y y y y y m ++====，解得：2m =±（都舍）------11综上：2m =+-----12。
湖南省高二上学期1月期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则数列的图象是（ ） 32n a n =-{}n a A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一个圆 D ．一群孤立的点【答案】D【分析】数列的通项公式为，可以看作为关于n 的一次函数，由变量即可{}n a 32n a n =-n a n N *∈得出答案.【详解】数列的通项公式为，可以看作为关于n 的一次函数，变量， {}n a 32n a n =-n a n N *∈数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点.故选：D ．2．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的a b c m a b =+ n a b =-m n 另一个基底的向量是A ．B ．C ．D ．a b c2a 【答案】C【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可a b c a b c【详解】向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，a b c a b c对于选项A ：，故，，共面，故A 错误， ()()111222a ab a b m n ⎡⎤=++-=+⎣⎦a m n对于选项B ：[（）﹣（）]，故，，共面，故B 错误，12b = a b + a b -1122m n =- b m n 对于选项C ：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C 正确，c m n对于选项D ：由选项A 得：2，故2，，共面，故D 错误，a m n =+a m n 故选C ．【点睛】本题考查了空间向量基本定理、空间向量的基底，属简单题3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C ABC 一定共面的是（ ）A ．B ．OM OA OB OC =++ 111333OM OA OB OC =++C ．D ．1123OM OA OB OC =++ 2OM OA OB OC =-- 【答案】B【分析】根据四点共面的性质进行判断即可.【详解】M 与A 、B 、C 共面的条件是，且，OM xOA yOB zOC =++1x y z ++=故B 选项正确， 故选：B4．已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且x 2+y 2=1}，B=|（x ，y ）|x ，y 为实数，且x+y=1}，则A∩B 的元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【详解】由题得 221,{1,x y x y +=+=∴或A∩B={(1,0),(0,1)}. 1,{0,x y ==0,{1,x y ==故选C.5．在等比数列中，如果，，那么（ ） {}n a 1240a a +=3460a a +=78a a +=A ．135 B ．100C ．95D ．80【答案】A【分析】根据已知条件求得，从而求得正确答案. 2q 【详解】设等比数列的公比为，，{}n a q 0,0n a q ≠≠， 121222234124040, 1.56060a a a a q a a a q a q +=+=⎧⎧⇒=⎨⎨+=+=⎩⎩.()()242278346060 1.5135a a a a q q +=+⋅=⨯=⨯=故选：A6．函数的图象大致为（ ）e ()xf x x=A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】求出给定函数的定义域，再分析当和时的函数值范围，即可判断作答. 0x <102x <<【详解】函数的定义域为，选项A 不满足；e ()xf x x=(,0)(0,)-∞+∞ 当时，，有，选项B 不满足；0x <e 0x>e ()0xf x x=<当时，，则恒有，选项C 不满足；102x <<1<e x<e ()2x f x x=>显然选项D 符合题意. 故选：D7．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足1F 2F 22221(0,0)x y a b a b -=＞＞P ，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为212PF F F =2F 1PF A ． B ． C ． D ．340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=【答案】C【详解】试题分析：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF 1|="2"根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得 = ∴双曲线渐进线方程为y=±x ，即4x±3y=0ba 4343故选C【解析】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用．点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案．8．青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．531355274【答案】B【分析】将实际问题转化成坐标系中的双曲线模型，列方程求解.【详解】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：,AM BN y 155,4AM BN ==15,3MN OC ==，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合22221(,0)x y a b a b-=>3OC =(3,0)3a =,A B ,m n 图像可知，由可得：，，解得，0,0m n ><155,4AM BN ==222519m b -=2225116n b-=43,34b b m n ==-根据可知，，解得，于是.15MN =431534b b +=365b =135e ==故选：B二、多选题9．（多选）在棱长为1的正方体中，M 是线段上一个动点，则结论正确的是1111ABCDA B C D ﹣11A C （ ）A ．直线垂直于直线11D B AC B ．存在点M 使得二面角为的二面角 M BD C --90︒C ．存在点M 使得异面直线与所成角为 BM AC 90︒D ．三棱锥的体积为1A ABD -13【答案】ABC【分析】根据正方体的性质，结合平行线的性质、二面角的定义、三棱锥体积公式、异面直线所成角定义逐一判断即可.【详解】由题意可知，，，∴，A 正确；1111D B A C ⊥11//A C AC 11D B AC ⊥当M 为中点时，二面角的平面角为，所以B 正确；11A C M BD C --90MOC ∠=︒异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，BM AC BM 11A C为正三角形，当M 为中点时，，C 正确；11BA C △11A C 11BM AC ⊥三棱锥的体积为，D 错误．1A ABD -1111111113326A ABD ABD V S AA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=A 故选：ABC ．10．已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ） {}n a n n S 10a >0d <A ．数列单调递减 B ．数列没有最小项 {}n a {}n a C ．数列单调递减 D ．数列有最大项{}n S {}n S 【答案】ABD【分析】首先判断数列的单调性，即可判断A 、B ，再根据等差数列求和公式及二次函数的性质判断C 、D.【详解】解：数列的前项和为，，由于，故数列为单调递减数列， {}n a n n S 10a >0d <{}n a 且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，故A 正确、B 正确；{}n a {}n a 又，，二次函数开口向下，对称轴为， 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭02d <102d n a d -=>-故数列有最大项，没有最小项，故D 正确，{}n S 因为，无法判断与的大小，即的取值，故无法判断数列的增减111022n a d d da ==+-->-1a d -n {}n S 性，故C 错误． 故选：ABD ．11．下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．ln 32<ln π<C D ．ln 33<3eln 28>【答案】AC【分析】选项A,构造函数，选项B 构造函数，选项D 构造函数()22log f x x x =-()ln g x x =，由导数确定单调性后可比较大小得不等式结论，选项C 利用对数的运算法则和不()eln h x x x =-等式性质判断．【详解】选项A ，令，∴，∴时， ()22log f x x x =-22ln 2()1ln 2ln 2x f x x x -'=-=()0,2x ∈()0f x >′即在上单调递增，∵，()f x ()0,2()20f =∴，即，即，即，故A 正确； 0f <22log 0<3<ln 32<选项B ，令，∴∴时，， ()ln g x x =()g x ='()0,4e x ∈()0g x '>即在上单调递增，又，∴，即B 错误；()g x ()0,4e ()e 0g =()0g π>ln π>选项C ，故C 正确；ln 33=<选项D ，令，∴，∴时，， ()eln h x x x =-e ()xh x x-='(e,)x ∈+∞()0h x '<即在上单调递减，，∴，即，即，故D 错误； ()h x ()e,+∞()e 0h =()80h <eln880-<3eln28<故选：AC ．12．在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列,A B 22:(2)2C x y -+=P ()0,2判断正确的有（ ） A ．面积的最大值为1ABC A B ．的取值范围为APB ∠π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若为直径，则AB PA PB +=D ．若直线过点.则点到直线距离的最大值为P A 【答案】ABD【分析】根据三角形面积公式即可判断A ，根据直线与圆相切可判断B,根据向量的加法法则可判断C,根据点到直线的距离可判断D.【详解】，（如图1） 11sin sin 22ABC S OA OB AOB AOB AOB =⋅⋅∠=∠=∠A 由于，所以，()0,2πAOB ∠∈sin 1AOB ∠≤当时，取最大值为1，故 的面积最大值为1，A 正确； π2AOB ∠=sin AOB ∠ABC A 设当直线分别与圆相切时，此时最大，（如图2）,PA PB APB ∠由于中， ，因此，故B 正PC r =Rt APC △30APC ∠= 260APB APC ∠=∠= 确；当是直径时，是的中点，则故C 错AB C AB 2,22PA PB PC PA PB PC +=⇒+==⨯=误；当时，此时圆心到直线的距离最大，且最大值为 ,（如图3） l CP ⊥CP 故点到直线距离最大值为D 正确；A CP r +==故选：ABD三、填空题13．在长方体中，，则点到平面的距离为1111ABCD A B C D -14,3,2AB AA AD ===1C 1A BC ________． 【答案】## 1252.4【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代1A BC 入点到直线的距离公式计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以()()()()110,0,3,0,4,0,2,4,0,2,4,3A B C C ，设平面的一个法向量为，则()()()110,4,3,2,0,0,0,0,3B BC A CC -=== 1A BC (),,n x y z =，，则点到平面的距离为. 14300200y z n A B x n BC ⎧-=⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩()0,3,4n =1C 1A BC 1125CC n d n ⋅== 故答案为：12514．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且，则an =_______ 3122n n S a =-【答案】13n -【分析】根据即可求出结果.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时，，所以， 1n =1113122a S a ==-11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-，131312222n n n a a a -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13n n a a -=即，所以数列{an }是1为首项，3为公比的等比数列， 13nn a a -=故.13n n a -=故答案为：.13n -15．已知三棱锥的每个顶点都在球O 的球面上，两两互相垂直，且-P ABC ,,PA PB PC ，若球O 的表面积为 _____．24PB PA PC ===【答案】36π【分析】把三棱锥补成成长方体，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，-P ABC则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线， -P ABC 设球的半径为R ，又， 24PB PA PC ===∴，故 ()2222224436R =++=29R =∴球O 的表面积为． 4π936π⨯=故答案为：36π16．，若关于x 的方程在上有根，则实数m 的取值范围是()33f x x x m =-+()0f x =[]0,2_____．【答案】．[]22-,【详解】问题化为在上有根，令，由导数求得在上的值33x x m -+=[]0,2()33g x x x =-+()g x [0,2]域即得．【解答】若关于x 的方程在上有根，即在上有根，()0f x =[]0,233x x m -+=[]0,2令，则，()33g x x x =-+()()()233311g x x x x =-+=-+-'时，，时，，01x ≤<()0g x '>12x <≤()0g x '<则在上单调递增，在上单调递减，()g x []0,1[]1,2，，()00g =(),22g =()12g =-所以，()[]2,2g x ∈-若使在上有根， 330x x m -+=[]0,2则． 22m -≤≤故答案为：．[]22-,四、解答题17．圆，直线.()()22:1225C x y -+-=()():211740l m x m y m +++--=（1）求证：直线过定点；l（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.l C m【答案】（1）证明见解析；（2）被圆截得的弦长最小值为.l C 34m =-【解析】（1）将直线的方程变形为，解方程组，即可求l ()()2740m x y x y +-++-=27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线所过定点的坐标；l （2）分析出当时，直线被圆截得的弦长最短，利用直线与直线的斜率之积为可AC l ⊥l C AC l 1-求得实数的值.m 【详解】（1）将直线的方程变形为，l ()()2740m x y x y +-++-=解方程组，解得，27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩31x y =⎧⎨=⎩因此，直线过定点；l ()3,1A （2）如下图所示，设直线交圆于、两点，l C M N设圆心到直线的距离为. C l d ①当时，； l AC ⊥d AC =②当不与垂直时，. l AC d AC <综上所述，d =所以， MN ==此时，，由已知可得，解得. l AC ⊥21211131AC l m k k m -+⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪-+⎝⎭34m =-【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则r d l l =（2. 2x 18．设数列的前n 项和为，，．{}n a n S 11)*(n n n n S S S S n N ++-=-∈11a =(1)求证：数列是等差数列；1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)设，求数列的前n 项和．nn 2n b S ={}n b n T 【答案】(1)证明见解析(2)()1212n n T n +=+-⋅【分析】（1）推导出，利用等差数列的定义可证得结论成立； 1111n nS S +-=（2）求得，利用错位相减法可求得.2nn b n =⋅n T 【详解】（1）证明：由，， 11)*(n n n n S S S S n N ++-=-∈11a =可得， 111111111n n S S S a +-===，则数列是首项为1，公差为1的等差数列；1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）可得，则， 111n n n S =+-=1n S n=所以， 22nn n nb n S ==⋅则， 21222...2n n T n =⋅+⋅++⋅，23121222...2n n T n +=⋅+⋅++⋅上面两式相减可得，()2112122222212n n n n n T n n ++--=++⋯+-⋅=-⋅-化简可得()1212n n T n +=+-⋅19．如图， 三棱柱中，侧面，已知，，111ABC A B C -AB ⊥11BB C C 13BCC π∠=1BC =12AB C C ==，点是棱的中点E 1C C(1)求证：平面： 1C B ⊥ABC (2)求二面角的余弦值； 11A EB A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，利用余弦定理求出，进1BC =1BC BC ⊥而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值. 【详解】（1）连接1BC∵，，， 1BC =12CC =1π3BCC ∠=∴由余弦定理得： 1BC ==∴，∴，22211BC BC CC +=1BC BC ⊥又侧面，平面，∴， AB ⊥11BB C C 1BC ⊂11BB C C 1AB BC ⊥又，，面，∴平面；AB BC B ⋂=AB BC ⊂ABC 1C B ⊥ABC （2）由题意及（1）中的垂直关系，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，B BC 1BC BA x y z建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ()0,0,0B ()0,0,2A ()1B-()12A-12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0C 则，，1,2EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()110,0,2B A =设平面的一个法向量为，1AEB ()111,,n x y z =则，即，100n EA n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111111202302x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令，得，所以11x =1y =11z =()n =r设平面的一个法向量为，11A EB ()222,,m x y z =则，即， 11100m EB m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22230220x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩令，求得21x =()m =cos ,n m n m n m ⋅===⋅∴由图知二面角 11A EB A --20．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In }，{In }表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.02In ﹣0.2．策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.08In ﹣0.46． 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？ 【答案】(1)分类讨论，答案见祥解； (2)第9周.【分析】（1）分三种情况讨论即可； 111131313,[1,],(,8]333I I I =∈∈（2）根据题意，时，选择策略B ，根据策略B 的数列，求出数列的通项公式，根据条件13I ={}n I 列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）策略A ：， 1 1.020.2n n I I +=-策略B ：， 1 1.080.46n n I I +=-当，可得， 1.080.46 1.020.2n n I I -=-1133I =当时，两者相等， 1133I =当时，用策略B 将使第二周的虫害的严重程度更小； 113[1,)3I ∈当时，用策略A 将使第二周的虫害的严重程度更小； 113(,8]3I ∈（2）由（1）可知：当时，选择策略B ， 113[1,)3I ∈所以当时，选择策略B ，13I =因为，所以数列是递减数列，1 1.080.46n n I I +=-{}n I ，也即，1 1.080.46n n I I +=-1 5.75 1.08( 5.75)n n I I +-=-由等比数列的通项公式可得：，12.75 1.08 5.75n n I -=-⨯+正整数范围内解不等式，得 12.75 1.08 5.751n --⨯+<9n ≥所以虫害的危机最快在第9周解除．21．已知椭圆过点，点为其左顶点，且 ()2222:10x y C a b a b +=>>M ⎛ ⎝A MA (1)求的方程；C(2)、为椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为，求证直线过定点．P Q C AP AQ 16-PQ 【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由直线的值，利用点在椭圆上可得出的值，由此可得MA a M 2b 出椭圆的方程；C （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：在直线的斜率不存在时，设直线的方程为PQ PQ PQ ，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据y kx t =+()11,P x y ()22,Q x y PQ 可得出、所满足的关系式，可求得直线所过定点的坐标；在直线的斜率不存16AP AQ k k =-k t PQ PQ 在时，直接验证即可.综合可得出结论. 【详解】（1）解：因为，所以，(),0A a -MAk ==2a =因为点在椭圆上，所以，可得，M 216144b+=22b =所以椭圆的方程为.C 22142x y +=（2）证明：由（1）可得，()2,0A -当直线的斜率存在时，设直线的直线方程为，设、，PQ PQ y kx t =+()11,P x y ()22,Q x y 联立，整理可得， 2224y kx t x y =+⎧⎨+=⎩()222124240k x ktx t +++-=，可得，()()222216412240k t k t ∆=-+->2224t k <+由韦达定理可得，，122412kt x x k -+=+21222412t x x k -=+则 ()()()()()()221212121212121212222224AP AQkx t kx t k x x kt x x t y y k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅==+++++++， 2222222222222444121224828841212t ktk kt t t k k k t kt t k ktk k --⋅+⋅+-++==--+-++++由题意可得，整理可得，解得或， 2222412886t k t k kt -=--+2220t kt k --=2t k =t k =-当时，则直线的方程为，直线恒过定点（舍）；2t k =PQ ()22y kx k t x =+=+()2,0A -当时，则直线的方程为，直线恒过定点；t k =-PQ ()1y kx k k x =-=-()1,0当直线直线的斜率不存在时，设直线，代入椭圆的方程可得，可得PQ 1x =232y=y =设、，则，显然直线也过定点. P ⎛ ⎝1,Q ⎛ ⎝16A AQ P k k ⋅==-PQ ()1,0综上所述，直线恒过定点．PQ ()1,0【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+明.22．已知函数．()()e ln xf x x m =-+(1)已知点在函数的图象上，求函数在点P 处的切线方程． ()1,e P ()f x ()f x (2)当时，求证． 2m ≤()0f x >【答案】(1)； ()e 110x y --+=(2)证明见解析【分析】（1）求出，由求得，然后计算出，用点斜式得切线方程并化简； ()f x '(1)e f =m (1)f '（2）求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为()f x '()f x '()f x '0x 极小值点，由得间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合已知条件得证0()0f x '=0,x m 0()f x 结论．【详解】（1）由解得，()()1e ln 1e f m =-+=0m =所以，，()e ln x f x x =-1()e xf x x'=-所以，，切线方程为，()1e f =()1e 1f '=-()()e e 11y x -=--即所求切线方程为；()e 110x y --+=（2）证明得定义域为，， ()f x ：(,),m -+∞1()e xf x x m'=-+设，则，故是增函数， 1()()e xg x f x x m'==-+21()e 0()xg x x m '=+>+()f x '当时，，时，，x m →-()f x →-∞x →+∞()f x →+∞所以存在，使得①，且时，，单调递减，()0,x m ∈-+∞001e x x m=+()0,x m x ∈-()0f x <′()f x 时，，单调递增，()0,x x ∈+∞()0f x >′()f x 故②，由①式得③，()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+()00ln x x m =-+将①③两式代入②式，结合2m ≤得：， min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥=-≥++当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，01x m =-()00e 0xf x =>故恒成立．()0f x >【点睛】方法点睛：用导数证明不等式的方法：利用导数求得的最小值，证明最小值()0f x >()f x 大于0即得，问题常常遇到最小值点不能直接求出，只有利用零点存在定理确定为，为此可利用0x 的性质：确定与参数的关系，从而化为一个变量的函数（一元函数），然后由0x 0()0f x '=0x 0()f x 不等式的知识或函数知识得出其大于0.。
湖南省长沙市一中2020届高二期末模拟试卷 数学试题
湖南省长沙市一中2020届高二期末模拟试卷数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．双曲线22145x y -=的离心率为（ ） A ．23 B ．43 C ．32D ．2 2．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则p ⌝为( )A 、,25x x R ∀∉=B 、,25x x R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠3．设f （x ）＝xln x ，若f ′（x 0）＝2，则x 0＝（ ）A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2 4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5．若曲线32y x x =+-在点0P 处的切线平行于直线410x y -+=，则点0P 的一个坐标是A ．(0,2)-B ．(1,1)C ．(1,4)--D ．(1,4) 6．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的一条渐近线的距离为（ ）7．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如右图所示，则该函数的图象是（ ）8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 9．过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q ∆的周长是（ ）A ．28B ．14-．14+ D ．10．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于( ) A.4 B. C. D.11．当1x >时，不等式1+1a x x ≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(),2-∞ B ．[)2+∞， C ．[)3+∞， D ．(],3-∞12．过点()2,0M -作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2213y x -=交于,A B 两点，线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅等于A ．13B ．3C ．13- D ．3-二、填空题（4*5=20）13．曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程为_________________14．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB ＝ ．15．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是 ．16．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题17．（10分）命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 23x <≤（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（12分）已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19．（12分）如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ．求线段QN 的中点P 的轨迹方程．20．（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B -，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若 0BP BQ ⋅<，求实数k 的取值范围．21．（12分）设函数()()21ln f x x b x =-+．（1）若函数()f x 在2x =时取得极小值，求b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求b 的取值范围．22．（12分）已知抛物线24y x =，作斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点M ，弦AB 的中点为P ．（1）若(2,0)M ，求以线段AB 为直径的圆的方程；（2）设(,0)M m ，若点P 满足111AM BM PM+=，求m 的值．数学参考答案一1．C2．D3．B4．C5．C6．C7．B8．D9．C10．B 11．D 12．B二 13．1+=x y 14．8 15．d ． 16．3[1,)2三17．（Ⅰ）23x <<;（Ⅱ）12a <≤.试题解析：解：（Ⅰ）p ：3a x a <<，1a =时, 13x << ，q ：23x <≤ 2分 p q ∧为真，132323x x x <<⎧⇒<<⎨<≤⎩ 5分（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，则q p ⇒ 7分∴02,33,a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤． 10分 考点：1命题;2充分必要条件.18．（1）（－∞，－1），（3，＋∞）；（2）-7试题解析：（1）f’（x ）＝－3x 2＋6x ＋9．----2令f ‘（x ）<0，------3解得x<－1或x>3，------4所以函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．--------5（2）因为f （－2）＝8＋12－18＋a=2＋a ，------6 f （2）＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f （2）>f （－2）--------8．因为在（－1，3）上f ‘（x ）>0，所以f （x ）在[－1, 2]上单调递增，-------9又由于f （x ）在[－2，－1]上单调递减，因此f （2）和f （－1）分别是f （x ）在区间[－2，2]上的最大值和最小值，------10于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2． ------11故f （x ）=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f （－1）＝1＋3－9－2＝－7，即函数f （x ）在区间[－2，2]上的最小值为－7．-------12考点：函数的单调性与导数及求最值．19．2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0试题解析：设动点P 的坐标为（x ，y ），点Q 的坐标为（x 1，y 1），则N 点的坐标为（2x －x 1，2y －y 1）． ∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2，①------3又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2． ∴11y y x x --＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，②--------6 由①、②联立，解得113112213122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩-----------9又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴22111x y -=， 即2231131112222x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------10 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0， 这就是所求动点P 的轨迹方程．------12考点：动点的轨迹方程20．（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）13(,)210k ∈-． 试题解析：（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：1422=+y x ．------5 （Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去y ，得：)(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k -------7 依题意：直线)2(:+=x k y l 恒过点)0,2(-，此点为椭圆的左顶点，所以21-=x ，01=y ① ，由（*）式，)41(162221k k x x +-=+ ②， ------8 可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+ ③， ------9 由①②③，2224182k k x +-=，22414kk y += 2221+1BP BQ x y =-=（，），（，）∴22210BP BQ x y ⋅=-++< ． ----10 即0141441416222<++++-k k k k ，---11 整理得034202<-+k k ． 解得：13(,)210k ∈-．------12 考点：1、椭圆方程；2、含参直线恒过定点；3、平面向量数量积． 21．（1）4b =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．试题解析：（1）()22b f x x x '=-+，即()24202b f '=-+=，即4b =- 经检验可知4b =-满足题设．--------5（2）可得，函数的定义域为），（∞+0，()222x x b f x x-+'=，--------7由题知()0f x '≥或()0f x '≤在定义域内恒成立-------8易知()0f x '≤不可能恒成立，所以2220x x b -+≥恒成立， ------9即()2max 22b x x ≥-+--------10 所以b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭-------12考点：✍函数的极值问题；✍由单调性求参数范围．22．（1）22(4)(2)24x y -+-=；（2）2m =+ 试题解析：（1）2122248044y x y y y y y x=-⎧⇒--=⇒+=⎨=⎩，------2∴中点为(4,2)，------4AB ==-------5 ∴圆的方程：22(4)(2)24x y -+-=；----6（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，224404y x m y y m y x =-⎧⇒--=⎨=⎩12124161604y y m m y y =-⎧⎪⇒∆=+>⎨⎪+=⎩1m ⇒>-，------8由题意：0m ≠， ①当0m >时，1y ，2y异号，∴121212111142P y y y y y y y m -+====，解得：2m =±，-----10②当10m -<<时，1y ，2y 同号，∴1212121114142P y y y y y y y m ++====，解得：2m =±（都舍）------11综上：2m =+-----12。
2021届湖南省长沙市第一中学高二上学期数学期末复习卷(附答案)
A. 7 米/秒
B. 6 米/秒
C. 5 米/秒
D. 8 米/秒
2. 同时抛掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 1
2
3
4
D. 3 4
3. 下列选项中，正确的是 ( )
A. a > b 是 a2 > b2 的充分条件
B. a > b 是 a2 > b2 的必要条件
C. a > b 是 ac2 > bc2 的必要条件
(
)
4
44
10. P 为双曲线 x2 − y2 = 1 的右支上一点，M ，N 分别是圆 (x + 5)2 + y2 = 4 和 (x − 5)2 + y2 = 1 上的点， 9 16
则 |P M | − |P N | 的最大值为 ( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
11. 设 f (x) 是定义在 R 上的可导函数，且满足 f ′ (x) > f (x)，对任意的正数 a，下面不等式恒成立的是 ( )
16. 已知定点
F
(
1
,
) 0
和直线
l
:
x
=
−
1
，过定点
F
且与直线
l
相切的动圆圆心为点
C．
2
2
(1) 求动点 C 的轨迹方程；
(2) 已知点 A (3, 2)，点 P 在动点 C 的轨迹上，求 |P F | + |P A| 的最小值，并求取得最小值时点 P 的坐标．
17. 已知函数 f (x) = x3 − ax2 − a2x + b． (1) 若 a = 3，b = 2，求 f (x) 在 [−2, 2] 上的最大值与最小值； (2) 讨论 f (x) 的单调区间．
2022年湖南省长沙市第一高级中学高二数学理期末试卷含解析
2022年湖南省长沙市第一高级中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内参考答案：D考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．解答：解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．点评：本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题．2. 已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．2 B．C．D．2参考答案：C【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，运算求得结果．【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．3. 已知A，B，P是双曲线上的不同三点，且AB连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率e=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得结论．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA?k PB=，A，B代入两式相减可得=，∵，∴=，∴e2=1+=，∴e=．故选：B．4. 复数为虚数单位)的共轭复数( )A. B. C. D.参考答案：C5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－C． D．2参考答案：D6. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C7. “”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】解得方程表示焦点在y轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在y轴上的双曲线?,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意8. 中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B=________A. 11：8B. 3：8C. 8：3D. 13：8参考答案：A9. 已知函数：①；②；③；④．其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量，使得成立的函数是( ) Ａ．③Ｂ．②③Ｃ．①②④Ｄ．④参考答案：A 略10. 已知定义在R 上的奇函数满足，当时，，( )A ．B ．C ．D ．参考答案： B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为_________.参考答案：6. 【分析】先求均值，再根据方差公式求结果.【详解】12. 已知直线的倾斜角大小是,则_____________；参考答案：略 13. 若圆与圆外切，则的值为__________．参考答案：圆心，半径， 圆心，半径，两圆圆心距，∴．14. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）参考答案：57 【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.【详解】由题得的通项为，令r=0得的常数项为,令-r=-2，即r=2,得的的系数为.所以的常数项为1+2×28=57.故答案为：57【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15. 若函数在处取极值，则．参考答案：略16. 已知椭圆的两焦点为, 点满足,则||+|的取值范围为____________.参考答案：略17. 下面的程序运行后的结果为__________(其中：“（a+j） mod 5”表示整数(a+j)除以5的余数）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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长沙市一中高二理科数学考试卷时量：115分钟 满分：150分 命题人：胡雪文 校审人：江楚珉一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.选对的得5分，错选或不答得0分.） 1．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b 与c 不平行，则（ ） A ．a 与c 平行B ．a 与c 不平行C ．a 与c 是否平行不能确定D ．a 与c 是异面直线2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．A 1C 1与A 1D 成90°角 B ．A 1C 1与AC 是异面直线 C ．AC 与DC 1成45°角D ．A 1C 1与B 1C 成60°角3．下列命题正确的是（ ）A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B ．平行于同一个平面的两条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ ） A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交5．空间四边形OABC 中，OA = a ，OB = b ，OC = c ，点M 是在OA 上且OM = 2MA ，N 为BC 的中点，则MN 等于（ ） A ．12a 23-b +12cB ．23-a +12b +12cC ．12a +12b 23-cD ．23a +23b 12-c6．若直线l 与平面α所成角为3π，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ） A ．2[0,]3πB ．2[,)33ππC ．2[,]33ππD ．[,]32ππ7．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）A ．12B ．24C ．D ．8．设地球半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为（ ）AB．6RπC．56RπD．23Rπ9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线10．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点F，作渐近线by xa=的垂线与双曲线左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．1＜e＜2 B．1＜eC．eD．e＞2二、填空题（每小题5分，共20分）11．若A (1, –1, 1)，B (–2, 0, 3)，则||AB= .12．过抛物线y2 = 8x的焦点，倾斜角为45°的直线的方程是.13．方程221259x ym m+=-+表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.14．正四面体A—BCD的棱长为1，则A到底面BCD的距离为. 15．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长相等，M是BB1的中点，则面AC1M与面ABC成的锐二面角是. AD C1MB1C1A1B AC湖南省长沙市第一中学考试答卷一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．三、解答题（75分）16．（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB = 90°，点D 是AB的中点.（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1.17．（12分）△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(–6, 0)，(6, 0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于常数λ（λ≠0，λ∈R ），讨论顶点C 的轨迹是什么？18．（12分）在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = AA 1= 1，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB = 60°. （1）求对角线AC 1的长；（2）求异面直线AC 1与B 1C 的夹角.19．（12分）已知三棱锥A —BCD 的侧棱AB ⊥底面BCD ，BC = CD ，∠BCD = 90°，∠ADB= 30°，E 、F 分别是侧棱AC 、AD 的中点. （1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求平面BEF 和平面BCD 所成的角.20．（13分）抛物线212y x =-上有两点A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，且OA OB ⋅= 0，又知点M (0, –2). （1）求证：A 、M 、B 三点共线； （2）若2MA MB =-，求AB 所在的直线方程.E DF ABA B CDA 1D 1C 1B 121．（14分）如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1 = 4CP.（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平面ABD1的距离.湖南省长沙市第一中学高二数学期末考试参考答案（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．D 10．C 二、填空题（每小题5分，共25分）1112．x–y– 2 = 0 13．8＜m＜25 1415．45°三、解答题16．（12分）（1）证：∵棱柱ABC—A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，又∵AC⊥B C，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥BC1.（2）设BC 1∩B 1C = E ，连结DE ，∵D 、E 分别为AB 、BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. 又∵AC 1⊄平面CDB 1，DE ⊂平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. 17．（12分）解：设顶点的坐标为C (x , y )，则,66AC BC y yk k x x ==+-(x ≠±6). 而k AC ·k BC =λ，即2236y x λ=-，化简得2213636x y λ-=(x ≠±6).（1）当λ＜–1时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并去掉A 、B 两点. （2）当λ= –1时，顶点C 的轨迹是以原点为圆心的圆，并去掉A 、B 两点. （3）当–1＜λ＜0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并去掉A 、B 两点. （4）当λ＞0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线. 并去掉A 、B 两点. 18．（12分）解：（1）设AB = a ，AD = b ，1AA = c ，则|a | = |b | = |c | = 1，〈a ，b 〉=〈b ，c 〉=〈a ，c 〉= 60°，21AC =(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2a ·b + 2b ·c + 2a ·c = 6，∴1||6AC =. （2）∵1B C =b – c ，∴11AC B C ⋅= (a + b + c )·(b – c ) = a ·b + b 2 + b ·c –a ·c –b ·c –c 2 = 0. ∴11AC B C ⊥，∴异面直线AC 1与B 1C 的夹角为90°.19．（12分）解：（1）∵AB ⊥底面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵BC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC .∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点，∴EF ∥CD . ∴EF ⊥平面ABC ，∴平面BEF ⊥平面ABC .（2）设平面BEF 与面BCD 交线为l ，则B ∈l (如图). ∵EF ∥DC ，⊂EF 面BEF ，∴DC ∥面BEF . ∵面BCD ∩面BEF = l ，⊂DC 面BCD ，∴DC ∥l .又DC ⊥平面ABC ，∴l ⊥面ABC . 面ABC 与面BEF 、面BCD 交于BE 、BC ，∴∠EBC 是二面角BEF —l —BDC 所成的平面角. 过E 作EG ⊥BC 于G ，又AB ⊥BC ， ∴EG ∥AB ，且EG =21AB . 设BC = CD = 1，则BG =21，BD =2， 又∠ADB = 30°，∴66,36==EG AB .∴tan ∠EBG =362166=. ∴平面BEF 和平面BCD 所成的角为arctan 36.20．（13分）解：设22112211(,),(,)22A x x B x x --，∵0OA OB ⋅=，∴22121214x x x x += 0 (x 1x 2≠0). ∴x 1x 2 = – 4.又∵21111122122AM x k x x x -==-，22222122122BM x k x x x -==-. 代124x x -=代入k AM 得222221(4)21422AM BM k x k x x x-=-⋅=-=-， ∴A 、M 、B 三点共线.（2）∵2MA MB =-，∴12221221122(2)22x x x x =-⎧⎪⎨-+=--+⎪⎩ ∴2222224x x -+=-，∴2x =即21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴1),(4)B A ---或(1),4)B A --，∴AB的方程为2y =-. 21．（14分）（理）解：如右图，（1）解：∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角主浊∠APB . 如右图建立空间直角坐标系，坐标原点为D . ∵CC 1 = 4CP ，CC 1 = 4，∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0, 4, 1)，B (4, 4, 0). ∴(4,4,1),(4,0,1)PA PB =--=-. ∵160117PA PB ⋅=++=, ∴cos∠||||33PA PB APB PA PB ⋅==⋅. ∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为（2）证明：连结D 1O ，由（1）有D 1 (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)， ∴11(2,2,0),8800D O PA D O =⋅=-+=.∴1PA D O ⊥.∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，∴D1H⊥AP. （3）解：连结BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q. ∵AB⊥平面BCC1B1，PQ⊂平面BCC1B1，∴PQ⊥AB.∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.在Rt△C1PQ中，∠C1QP = 90°，∠PC1Q = 45°，PC1 = 3，∴PQ，即点P到平面ABD1.。