二次根式提高练习题(含答案)

一.计算题：
1． (235+-）（235--）；
2. 11
45-－
7
114-－7
32+
；
3.（a 2
m n －m
ab mn ＋m
n
n
m ）
÷a 2b
2m
n ；
4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a
+＋
a a
b b
-－ab b a +）
（a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝
2
323-+，y ＝
2
32
3+-，求
322342
3
2y
x y x y x xy x ++-的
值．
2.当x ＝1－
2
时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
22
2a
x x x a
x x +-+-＋221
a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2
5＋1）（211
+＋
3
21+＋431
+＋…
＋100991
+）
． 2.若x ，y 为实数，且y ＝
x 41-＋14-x ＋21
．求
x
y y x ++2－
x
y y x +-2的值．
计算题：
1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2
－2
)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝1116)114(5-+－711)
711(4-+－
79)
73(2--＝4＋
11－11－
7
－3＋
7＝1．
3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a 2
m n －m
ab mn ＋
m
n n m ）·2
21b a n
m
＝2
1b n
m m n ⋅－mab
1n
m mn ⋅
＋
2
2b ma n n m n m ⋅
＝21b －ab 1＋221b a ＝2221
b a ab a +-．
4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝b
a a
b b ab a +-++÷)
)(()
)(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--
＝
b
a b a ++÷)
)((2
2
2
2
b a b a ab b
a b ab b ab a a -++----
＝
b a b a ++·)
()
)((b a ab b a b a ab +-+-＝－
b a +．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 求值： 1．、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵
x ＝
232
3-+＝
2
)
23(+＝5＋26，
y ＝
2
32
3+-＝2
)
23(-＝5－26．
∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．
322342
32y
x y x y x xy x ++-＝
2
2)
())((y x y x y x y x x +-+＝)
(y x xy y x +-＝
10164⨯＝6
5
2． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据
解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．
2、【提示】注意：x 2
＋a 2
＝2
22
)(a x +，
∴ x 2＋a 2－x
2
2a
x +＝
2
2a
x +（2
2
a x +－x ），x
2－
x
2
2a
x +＝－x
（2
2a
x +－x ）． 【
解
】原
式＝)
(2
2
2
2
x a x a x x
-++－
)(222
2
2
x a x x a
x x -++-＋2
21a x +
＝
)
(()2(2
222
2
2
2
2
2
2
x a x a x x x x a x x a x x -+++
++-+-
＝
)
()(22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x a x a x x x
a x x a x a x x x -++-+++++-=
)
()(2
22
22
2222x a x a x x a
x x a x -+++-+＝
)()(2
2
2
2
2
222x a x a x x x a x a x -++-++
＝x 1．当x ＝1－
2时，原式＝2
11
-＝－1－2．【点评】本题如果将前
两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝
)
(2
222x a x a x x
-++－
)(2222
2
x a x x a
x x -++-＋221
a x +
＝
)
11(
2
2
2
2
a
x x
a x +-
-+－
)
11
(22x x a x --+＋221a
x +＝x 1．
解答题： 1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（25＋1）（121
2--＋2323--＋3434--＋…＋9910099
100--）
＝（25＋1）[（12-）＋（23-
）＋（34-）＋…
＋（99100-）]
＝（25＋1）（1100-）
＝9（25＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消
法． 2、【提示】要使y 有意义，必须满足
什么条件？]
.014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y
的值吗？]
.2141[⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==y x
【解】要使
y 有意义，必须⎩⎨
⎧≥-≥-0140
41[x x ，
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝4
1时，y ＝2
1
． 又∵
x y y x ++2－
x y
y x +-2＝
2)(x
y y
x +－2
)(x y y
x
-
＝|x y y x +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21
，∴ y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x
x
y +＝2y x 当x ＝41，y ＝21时，
原式＝22141＝2．【点评】解本
题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。