2013届高考空间几何体的外接球与内切球问题专项突破复习

2013届高考球体问题专项突破复习

例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中

18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2

2

2

d R r -=求出球半径R ．

解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，

∴2

2

2

AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=

，∴22215)2

1

(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(442

2===R S ．

说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=

解题，我们可以通过两

个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求

222MC MB MA ++的值．

分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．

说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算． 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A .16π B .20π C .24π D .32π 答案:C

解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径

R =

44162

++=6.所以球的表面积是S =4πR 2

=24π. 2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π

C.33π

D.6π 答案:A

以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R =3,所以S 球=4πR 2

=3π.

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

解：将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ,球的半径为R ,则根据长方体的对角线性质,得

(2R )2=a 2+a 2+(2a )2,即4R 2=6a 2

.

所以R =62a .从而V 半球=2π3R 3=3

2π6a 32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=6π2a 3

,

V 正方体=a 3.

因此V 半球∶V 正方体=6π2

a 3∶a 3

=6π∶2. 4.一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π

C.33π

D.6π 答案:A

解析:以P A ,PB ,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P -ABC 的外接球,所以球

的半径R =222

1(6)32

++=2,所以球的表面积是S =4πR 2=16π.

5.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．

解：由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=

3

6

，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=

，所以222)36()33(R a R a --=得R a 3

62=．

6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ） A ．

4

3

3 B ．33 C ． 43 D ．123

7. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA === ,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =故此球的表面积为2

420R ππ=.

8．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 8

9.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A ．

3 B ．13π C ．2

3

π D ．3 答案 A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由2

84

⨯=

1a =，故选A 。

10.已知正方体外接球的体积是π3

32

，那么正方体的棱长等于（ D ）

A.22

B.

332 C.324 D.3

3

4 11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C )

A . 1∶3

B . 1∶3

C . 1∶33

D . 1∶9 12.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．(3

4π) 13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，

则此球的表面积为 ．14π

14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1

cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 2+