2.2 空间向量及其加减运算
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解：⑴AB BC AC
B’
D A
C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
解：⑵ ⑵AABB
AD AD
AA'； AA'
AC AA'
AC CC'
D’ A’
C’ B’
AC'
D
C
A
B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
b a
C
a+b
B
O
A
OB OA AB
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！
C
3、平面向量的加法运算律
b
加法交换律：
A
a
B
ab ba
加法结合律：
向量减法的三角形法则
(a b) c a (b c)
4.推广:
（1）首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量； A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为: 零向量
⑵AB AD AA'；
起点相同的三个不共面 向量之和，等于以这三 个向量为棱的平行六面 体的以公共起点为起点
的对角线所示向量
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
你能解决吗？
概念 加法 减法 运算
运 算 律
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 加法:三角形法则或
平行四边形法则
平行四边形法则
减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
（1）加法交换律： a b b a （2）加法结合律： （a b） c a (b c)
a
b
c
a
b
c
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
推广
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a、b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
a
AHale Waihona Puke Baidu
C
2、平面向量的加法、减法
C
D
C
b
A
a
B
向量加法的三角形法则
b
A
a
B
向量加法的平行四边形法则
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
加法结合律
成立吗？
空间向量的加法、减法运算
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC；
D’
C’
A’
B’
D A
C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
解：⑵ ⑵AABB
AD AD
AA'； AA'
AC AA'
AC CC'
D’ A’
C’ B’
AC'
D
C
A
B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
b a
C
a+b
B
O
A
OB OA AB
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！
C
3、平面向量的加法运算律
b
加法交换律：
A
a
B
ab ba
加法结合律：
向量减法的三角形法则
(a b) c a (b c)
4.推广:
（1）首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量； A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为: 零向量
⑵AB AD AA'；
起点相同的三个不共面 向量之和，等于以这三 个向量为棱的平行六面 体的以公共起点为起点
的对角线所示向量
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
你能解决吗？
概念 加法 减法 运算
运 算 律
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 加法:三角形法则或
平行四边形法则
平行四边形法则
减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
（1）加法交换律： a b b a （2）加法结合律： （a b） c a (b c)
a
b
c
a
b
c
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
推广
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a、b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
a
AHale Waihona Puke Baidu
C
2、平面向量的加法、减法
C
D
C
b
A
a
B
向量加法的三角形法则
b
A
a
B
向量加法的平行四边形法则
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
加法结合律
成立吗？
空间向量的加法、减法运算
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC；
D’
C’
A’