2.2 空间向量及其加减运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量及其加减与数乘运算
新课
定义:平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量 定义:平行四边形 (包括它的内部)平移向量a 的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体 平行六面体, 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体,并 记作平行六面体ABCD—A1B1C1D1. 平行六面体的六个 记作平行六面体 面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱 平行六面体的棱. 面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 已知平行六面体ABCD— 例 : 已知平行六面体 D1 C1 A1B1C1D1 , 化简下列向量表达 A1 B1 并标出化简结果的向量. 式,并标出化简结果的向量.
(1) AG (2)BH (3)EF
�
[小结 : 理解空间向量的概念及其加法,减法 ,数 小结]:理解空间向量的概念及其加法,减法, 小结 乘运算, 了解这三种算法的运算律; 乘运算 , 了解这三种算法的运算律 ; 掌握平行六面 体及其相关概念. 体及其相关概念. 练习: 练习:P27,练习:1,2 ,练习: , G D1 C1 作业: 作业: H 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1 A1 在平行六面体 B1 F 中 , E , F , G , H 分 别 是 AB , CC1,C1D1,A1D1的中点,设 的中点, D C 用a,b,c AB = a, AD = b, AA1 = c 表示下列向量: 表示下列向量: B A E
a (1) AB+ BC (2) AB + AD + AA1 D C 1 CC1 (3) AB + AD + 2 B A (4) 1 ( AB + AD + AA1) 3 (5)BA + CC1 + A1D1(6) A1 A + BC + CD A1D(7) AA1 AB + D1B1
空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算
(3)特殊向量
①零向量:规定 长度为0 的向量叫做零向量,记为0.
②单位向量: 模为1 的向量称为单位向量.
③相反向量:与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量,称为a的相反向量
,记为 -a
.
④相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量.在空间,
同向且等长
的有向线段表示同一向量或相等向量.
答案:①②
易错警示 (1)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素,即 大小和方向,两者缺一不可. (2)要注意零向量的特殊性.对于零向量,应明确: ①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量应明确: ①当a与b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线,也 可能是平行直线; ②共线(平行)向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c就不一定成立,因为 b=0时,虽然有a∥b,b∥c,但a不一定与c共线,若a,b,c都不是零向量,则具有传 递性.
(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中
的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有
个,模
为 的所有向量为
.
题型二 空间向量的加减和数乘运算
方法技巧 (1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法,一般地 ,可以找到的封闭图形不是惟一的,但无论哪一种途径,结果应是惟一的. (2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前 提,一定要熟练掌握.
题型四 空间向量共面问题
方法技巧 (1)证明空间三个向量共面,常用如下方法: ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若 a=xb+yc,则向量a,b,c共面; ②寻找平面α,证明这些向量与平面α平行. (2)对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
空间向量及其加减运算(第一课时)
线性组合的几何意义
01
线性组合在几何上表示向量之间 的加权和，其中权重由标量确定 ，向量由各个向量确定。
02
当标量为正数时，线性组合表示 向量的延长或收缩；当标量为负 数时，线性组合表示向量的缩短 或反向延长。
线性组合的性质
03
向量的数乘
数乘的定义
总结词
数乘是向量的一种基本运算，通过与实数相乘，改变向量的长度和方向。
详细描述
数乘的定义是给定向量$vec{a}$和实数$k$，数乘的结果为$kvec{a}$，其中$kvec{a}$的长度为 $|k||vec{a}|$，方向与$vec{a}$相同或相反，取决于$k$的正负。
05
空间向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加减运算，可以 表示和计算物体受到的合 力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体运动的方向和大 小。
电磁学
在电磁学中，电场和磁场 都可以用向量表示，从而 描述电场和磁场的方向和 强度。
向量在几何中的应用
数乘的几何意义
总结词
数乘的几何意义是放大或缩小向量的 长度和方向。
详细描述
数乘的几何意义是将向量$vec{a}$按 比例放大或缩小。当$k>0$时， $kvec{a}$与$vec{a}$方向相同，长度 为$k$倍；当$k<0$时，$kvec{a}$与 $vec{a}$方向相反，长度为$|k|$倍。
02
向量的减法运算
向量的减法定义
总结词
向量减法的定义是两个向量相减，等于一个向量加上另一个 向量的相反向量。
2.2空间向量及其运算(1)
2.2空间向量及其运算（1）一、课程标准经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
二、教学目标1.理解空间向量的概念。
2.掌握空间向量的线性运算。
3.掌握共线向量定理及其应用。
三、内容与学情分析本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第2课《空间向量及其运算》第1课时，介绍空间向量的基本概念，空间向量的加减法，向量与实数相乘等部分内容。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。
本小节的主要内容可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始章节，是在学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
四、教学重难点重点：空间向量的有关概念，掌握空间向量的线性运算，掌握共线向量定理，掌握共线向量定理及其应用。
难点：理解空间向量的概念，掌握共线向量定理及其应用。
五、教学过程设计（一）情景引入国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？（二）新知探究思考1：基本概念的类比a，ABa，|AB|方向相同且长度相等方向相反且长度相等的向量思考2：线性运算法则的类比ka（k为正数，负数，零）思考3：运算律的类比加法 交换律 a b b a +=+加法 结合律 ()()a b c a b c ++=++向量加法分配律和实数加法的分配律()a b a b λλλ+=+ 1212+a a a λλλλ=+（）结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
空间向量及其加减运算 课件
(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．
空间向量及其加减运算
[典例 2] 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′，化简 下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA→′－C→B； (2)AA→′＋A→B＋B′→C′.
解： (1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝ A→A′＋A→D＝A→A′＋A→′D′＝A→D′.
(2)A→A′＋A→B＋B→′C′＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′＝A→B′＋B→′C′＝ A→C′，
2．几类特殊向量
特殊向量
定义
表示法
零向量 长度为 0 的向量
0
单位向量 模为 1 的向量
|a|＝1 或|A→B|＝1
与 a 长度相等而方
相反向量 向相反的向量称为
－a
a 的相反向量
方向相同且模相等 相等向量
的向量
a＝b 或A→B＝C→D
温馨提示 两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模 相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．
向量A→D′、A→C′如图所示．
归纳升华 1．化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三 角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用 相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法 之间可相互转化． 2．化简的结果要在图中标注好．
类型 3 空间向量加减运算的应用(误区警示) [典例 3] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，化简D→A－ D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B. 易错提示：对向量减法的三角形法则理解错误致 误．如D→A－D→B＝A→B是错误的，而应有D→A－D→B＝B→A.
防范措施：掌握向量加减的运算法则及向量加法的交 换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算 式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率．
空间向量及其加减、数乘运算
A1C , BD1, DB1 .
D1
C1
A1C AB AD AA1
Hale Waihona Puke A1B1BD1 AA1 AD AB
DB1 AB AA1 AD
D
C
始点相同的三个不共A面向量之和，B 等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的对角线所示向量
向量的数乘运算
在平面上，实数 与向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.已知点M在平面ABC内，并且对平面ABC外任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
, 则x的值为(
1
D
)
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，MC=2AM，A1N=2ND，
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
在一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc .
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
空间向量及其加减运算课件
[一点通] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件． (2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运 算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
[例 2] 化简( AB－CD)－( AC － BD)． [思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向 量的起点、终点．
[一点通] (1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题 的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类 题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范． (2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时 可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
定义 在空间，把具有 大小 和方向 的量叫做空间向量. 几 ①零向量：规定 长度为0 的向量叫做零向量，记 类 为0 . ②单位向量： 模为1 的向量称为单位向量. 特 ③相反向量：与向量a长度 相等 而方向 相反 的向 殊 量称为a的相反向量，记为 －a . ④相等向量：方向 向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量．在空间，
[精解详析] 法一：∵ AB－CD＝ AB＋ DC ， ∴( AB－CD)－( AC － BD)＝ AB＋ DC － AC ＋ BD ＝ AB＋ BD＋ DC ＋CA＝ AD＋ DA＝0. 法二：( AB－CD)－( AC － BD)＝ AB－CD－ AC ＋ BD ＝( AB－ AC )＋( DC － DB)＝CB＋ BC ＝0.
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小.
2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样， 0与任何空间向量平行.
空间向量及其加减运算
设AB a, AD b, AA c, 用a,b, c表示BD
D
A
C B
BD b c a
cD
Ab
a
C B
例2、空间四边形ABCD中，
求证：AD BC AC BD
证明： AD BC AC BD B
= (AD AC) (BC BD)
= CD DC
C
=0
AD BC AC BD
加法交换律
运
a + b = b + a；
算
加法结合律
律
(a + b) + c = a + (b + c)
A a+b+c
= AB +BC +CD
= AC +CD
= AD
结论1： 首尾顺次相接的若干向量之和
a
D
BC
b
c
=__由_起__始__向__量__的_起__点__指__向__末_尾__向__量__的__终_点__的__向__量_ ．
桓台二中 ** ** **
问题:
如图:三个相互垂直的力 F1 , F2 , F3 作用于
同一个物体上,请标出其合力.
F2
F3 F1
|F1|=10N |F2|=15N |F3|=15N
一、空间向量的概念
概念
平面向量
空间向量
定义
表示 方法
既有大大小小又有方方向向的量 既有大小又有方向的量
几何表示：
几何表示：
a a 字母表示： AB
字母表示： AB
相等
模：
向量 方向：
相等 相同
模： 方向：
相等 相同
相反
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算教案 北师大版选修2-1-北师大版高二
空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。
空间向量及其加减运算 课件
一、空间向量的定义与表示法 1.定义：在空间，既具有_大__小__，又具有_方__向__的_量__叫做空间 向量． 2.表示法： (1)几何表示法：用有向线段 AB表示，A叫做向量的_起__点__，B 叫做向量的_终__点__． (2)字母表示法：用字母 a,b,c, 或_a_,_b_,_c_,_…表示.
类型 二 空间向量的加减运算 【典型例题】
1.化简： AB CD AC BD ________.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，AB a,BC b,AD c, 试用a,b,c表示向量 AC，BD，CD.
【解题探究】1．使用向量加法的平行四边形法则应注意什么 要素？ 2．使用向量加减法的三角形法则应注意什么要素？ 探究提示： 1．使用向量加法的平行四边形法则应注意的要素是：“起点 相同”． 2．使用向量加法的三角形法则的要素是：“首尾相接，指向 终点”；减法的要素是：“起点相同，指向被减”.
其中假命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连 接的向量中，与向量 AA 相等的向量有______；与向量 AB 相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
【解题探究】1.如何对向量的有关概念性问题进行辨析？ 2.相等向量与相反向量有何区别与联系? 探究提示： 1.应与平面向量进行对比，注意空间向量与平面向量的联系 与区别，准确把握空间向量的概念是解答问题的关键． 2.相等向量的模相等，且方向相同；相反向量的模也相等， 但方向相反.
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB化简BA. (3)利用 AB OB把 O各A个，向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
空间向量及其加减与数乘运算解读
b
a
a
三角形法则
平行四边形法则
加法交换律： a + b = b + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)；
⑵向量的减法 三角形法则
b a
a
b
a
c
b
c
（3）向量的数乘运算 a，其模长是a 的| | 倍 a 与 a 同向 当 0 时，
a 与 当 0 时，
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
⒈定义：空间中既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示；
用字母a、b等或者用有向线段 字母表示法：
的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
零向量、单位向量、相反向量； 空间任意两个向量都是共面向量.
⒉空间向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
1 AB ( BD BC ) （ 2） 2 1 AF ( AB AC ) （ 3） 2
4．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N分别 1 1 在对角线BD,AE上，且 BM BD, AN AE 3 3 求证：MN//平面CDE E F
N A B M C
空间向量及其运算说课稿(2)
《2.2空间向量及其运算》各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明.本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。
其中重点是概念的形成和概念的深化。
首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。
我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结；通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B 的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。
《空间向量及其加减运算》教学设计
二、 重点 难 点
问题 ３平 面 内多个 向量 的加法 公式能推 广到 空间吗 ？ ： 推 广 １首 尾相 接 的若 干 向量 之和 ， ： 等于 由起 始 向量 的 起 点指 向末尾 向量 的终 点 的 向量 ，即 ：Ａ。 ＋ ，ＡＡ Ａ ＋ ，
幻灯片 １ 著名的台球神童—— 丁俊晖 ！大家请பைடு நூலகம்他 ：
好像遇到了难题 ？你能帮助他解决吗？
幻 灯 片 ２ 这 是荆 州 长江 大桥 ， 拉索 与 Ａ型塔 柱 的受 ： 斜 力情 况 。 幻 灯 片 ３ 一 正三 角 形钢 板 ， 顶 点用 等长 的绳 子 绑 ： 三
活 动设 计 ： 生 思考 ， 右 边 的 图验 证 学 用 问题 ４ ：平面 向量 的加 法 运算 律有 哪 些 ？能推广 到 空 间 吗 ？你 能 验证 向量 加 法结 合律 吗 ？
们 的和 为零 向量 ， ： Ａ Ａ ＋ 即 Ａ． ＋ Ａ，Ａ ＋ Ｌ 。 ＝ Ｌ＋ ０
Ｃｌ
四、 教学过程
（＿创 设情 境 ， 一） 引入课 题
师： 在必修 ４中我们学习了一个新的量——向量， 今天 就让我们继续来研究它， 首先， 请看屏幕 。
出示 幻 灯 片 ， 引导 学生观 察 几 个 向量 不共 面 的情 况 。
Ｎ２第总５ 年期第期 ０ ７ 论） 京 氖 １ （１ ｔ ７ 磋 坛
《 问向量 及其 加减运算 》教学设 计 空
牟军伟
公 安县第 三 中学 ，湖北
一
公安
４４ ０ ３３０
、
教 学 目标
活 动设 计 ： 件 展示 ， 课 学生 讨论 、 答 作 师 ： 间任 意 两个 向量 都 可 以平移 到 同一个 平面 内。 空 因此 凡 是涉及 空间任 意 两个 向量 的 问题 ， 面 向量 中有关 平
空间向量及其加减运算课件
1.空间向量的概念 (1)两个特征:_大__小__,_方__向__. (2)向量的模(长度):指的是向量的_大__小__,也可看作表示向量 的有向线段的_长__度__. (3)表示法:①几何表示法:空间向量用_有__向__线__段__表示; ②字母表示法:用字母表示,若向量的起点是A,终点是B, 可记作a.也可记作__A_B_,其模记为|a|或__A_B__.
(3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内, 成为同一个平面内的两个向量.
2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向 量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零 向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.
.
【解析】(1) AB－AC＋BC－BD－DA＝AB＋BC＋CA＋AD＋DB
＝AC＋CA＋AD＋DB＝AB.
答案：AB (2)方法一：因为 AB－CD＝AB＋DC，
所以 AB－CD －(AC－BD)
＝AB＋DC－AC＋BD ＝AB＋BD＋DC＋CA ＝AD＋DA＝0.
方法二： AB－CD －(AC－BD)
③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是
.
【解析】①若|a|=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确.
答案:②③
知识点2 空间向量的加法、减法运算 1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起 点相同,尾尾相连,指向被减”.
(2)图形叙述: ①向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连
高二数学空间向量及其加减运算
概念 加法 减法 运算 运 算 律
空间向量的加减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
C’ B’
解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA'
AC AA'
A’
AC CC' AC'
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体 ABCD ABCD, 已知下列四式中： 中， D’
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量
a、 b 满足| a || b |，则 a b
；
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC AC ； 1 1
（4）若空间向量 m 、 n、 p 满足 m 题的个数是（ C A.1 B.2 C.3 ） D.4
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B C A’ D’ B’
C’
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
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B’
D A
C B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
解：⑵ ⑵AABB
AD AD
AA'； AA'
AC AA'
AC CC'
D’ A’
C’ B’
AC'
D
C
A
B
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
b a
C
a+b
B
O
A
OB OA AB
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
例题
例 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC；
D’
C’
A’
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a
加法结合律
成立吗？
空间向量的加法、减法运算
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！
（1）加法交换律： a b b a （2）加法结合律： （a b） c a (b c)
a
b
c
a
b
c
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
推广
⑵AB AD AA'；
起点相同的三个不共面 向量之和，等于以这三 个向量为棱的平行六面 体的以公共起点为起点
的对角线所示向量
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
你能解决吗？
概念 加法 减法 运算
运 算 律
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 加法:三角形法则或
平行四边形法则
平行四边形法则
减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
C
3、平面向量的加法运算律
b
加法交换律：
A
a
B
ab ba
加法结合律：
向量减法的三角形法则
(a b) c a (b c)
4.推广:
（1）首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量； A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为: 零向量
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a、b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
a
A
C
2、平面向量的加法、减法
C
D
C
b
A
a
B
向量加法的三角形法则
b
A
a
B
向量加法的平行四边形法则