2015年上海中学自主招生数学试题

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2015年上海市中考数学试卷答案与解析

2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为(）A．B．C．πD．0考点：实数．分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．解答：解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确;π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．点评:此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）（2015•上海)当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（)A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a)2=﹣a2D．a=考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．解答：解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=,故此选项错误;C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=(a＞0)，故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）(2015•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=考点：正比例函数的定义．分析：根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．解答：解：A、y是x的二次函数，故A选项错误;B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数,故C选项正确;D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了正比例函数的定义：一般地,两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数,且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分)(2015•上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点: 多边形内角与外角．分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等,列式计算即可．解答：解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．点评：本题考查的是正多边形的中心角的有关计算,掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）（2015•上海)下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率考点：统计量的选择．分析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．解答：解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差,故选C．点评：本题考查了标准差的意义,波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）（2015•上海）如图，已知在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（)A．A D=BD B．O D=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB考点: 菱形的判定；垂径定理．分析：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．解答：解：∵在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD,DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理,熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．(4分)（2015•上海）计算：｜﹣2｜+2=4．考点：有理数的加法；绝对值．分析:先计算|﹣2｜，再加上2即可．解答：解:原式=2+2=4．故答案为4．点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）（2015•上海）方程=2的解是x=2．考点：无理方程．分析：首先根据乘方法消去方程中的根号,然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少,最后验根，求出方程=2的解是多少即可．解答：解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=,右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是:x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法,配方法,因式分解法,设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根,应注意验根．9．（4分）（2015•上海)如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0,列出算式，计算得到答案．解答：解:由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为:x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．(4分）（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根,那么m的取值范围是m＜﹣4．考点：根的判别式．分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m)＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4(﹣m)＜0,∴m＜﹣4,故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0,方程没有实数根．11．（4分）（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉)与摄氏度数x(℃）之间的函数关系是y=x+32,如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．点评:本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）（2015•上海)如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0,3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3．考点：二次函数图象与几何变换．分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b 的值．解答：解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A(0,3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）（2015•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考点：概率公式．分析：由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位同学报名,直接利用概率公式求解即可求得答案．解答:解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团"成员年龄的中位数是14岁．考点: 中位数．分析：一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列,第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解答：解:从小到大排列此数据,第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）（2015•上海)如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=,=，那么向量用向量，表示为﹣．考点：*平面向量．分析：由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解答：解:∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中,D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为:﹣．点评:此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线,交边CD于点F，那么∠FAD=22.5度．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得∠DAC=45°,再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．解答：解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF,∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°,∴∠FAD=22.5°．故答案为:22.5．点评：本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B 相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．(只需写出一个符合要求的数）考点: 圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．专题：开放型．分析:首先求得矩形的对角线的长,然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D 与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上,∴⊙B的半径为5,∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内,∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求,故答案为：14（答案不唯一）．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系,解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处,延长线段AD，交原△ABC的边BC 的延长线于点E,那么线段DE的长等于4﹣4．考点: 解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．解答：解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E,∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣(8﹣4)=4﹣4．故答案为4﹣4．点评:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）（2015•上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．点评:本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．(10分）(2015•上海)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析:先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答:解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为:．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．(10分)(2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1)这个反比例函数的解析式;（2）直线AB的表达式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值;（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标,运用待定系数法求出直线AB的表达式．解答:解:∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2)如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2)，设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的解得的求法,注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米? （2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?（精确到1米)（参考数据：≈1。

(高清打印版)2015上海数学自招复旦分校真题

/////////////////2015年复旦分校自主招生测试题数学试题1、若4,129x y z xy y +=+=+-，求32x y z ++。

2、若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、，与y 轴交于C ，且三角形ABC 是直角三角形，求ac 。

3、正方形DEFG EHLB NMKL 、、，边长分别为c a b 、、，求a b c 、、，满足的关系式。

4、若不等式组1252x x x a <->⎧⎪⎨-<<⎪⎩或只有整数2-一个解，求a 的取值范围。

5、若2(1)2(1)0a x x a -+-+=的根都是整数，则整数a 的取值范围？6、已知：Rt ABC ∆，3,4,BC AC D ==为AB 上一动点，作DE BC ⊥，求EF的最小值。

7、从1,2,...,100中取两个不同的数，使两数之和大于100，则有______种不同取法。

8、若12...n x x x 、、、只能取2,0,1-，且满足12...17,n x x x ++=-+22212...37,n x x x ++=+则33312..._______n x x x +++=。

9、已知：等腰ABC ∆，两圆外切且都与AB AC 、相切，两圆半径为1和2，求ABC ∆的面积。

10、已知：正五边形1AG =，_____FG JH DC ++=。

11、已知ABC ∆外接于O ，且AO BC ⊥，垂足为D ，且AB BC=(1)证明：ABC ∆是正三角形；(2)若1,=,,AB AE x PE y ==求y 关于x 的解析是及定义域；(3)在(2)的条件下，,PAC EPC αβ∠=∠=，当y 取何值时，22sin sin 1αβ+=。

12、(1)当04x <<，解22[]0x x x --=；(2)求所有实数x ，使3[]43x x =+。

2015上海数学自招大同中学真题

2015年大同中学自主招生测试题数学试题一、填空题1、已知二次函数2y ax bx c =++符合2()()()f x f x f x ⋅-=，则这样的二次函数有___________个。

2、一辆火车经过一个信号灯花了14分钟，经过600m 隧道用了34分钟，则火车速度为___________/km h 。

3、使完全平方数211n +成立的正整数n 为____________。

4、838,212称这两个数字为回文数，并且838212626-=也是回文数，便称(838,212)为回文数对，那么有________个(a b >)的(,)a b 的回文数对?5、有九个格子，三种颜色，每一列每一行三种颜色不重复，那么有_____种情况?6、当有一列数相加，每两个数字之间差不大于1，且第一个与最后一个数为1时，则称这个相加之后的数为“好数”，例如：12334543322133+++++++++++=，则称这些数是33的“好数”，已知2008是好数，那么它的好数至少有_______项？7、已知两个函数2(0)k y k x=<与y x =-+的图像相交于点P ，且OP =___k =。

8a +=，求a 。

9、已知：当n 为偶数时，()2,Snap n n =当n 为奇数时，()3,Snap n n =P 为大于2的质数，求[(1)]Snap snap p p --。

10、在一个直角三角形中，三边为等比数列，且最短边为2，求斜边长。

二、解答题1、4a b c ++=，22210a b c ++=，33322a b c ++=，求444a b c ++。

2、已知40AB BC ==，25CE =，求BD 的长3、已知二次函数二次项系数为a ，当()0f x =时两根为1和3，(1) 当()60f x a +=，。

求()f x 的解析式；(2) 当()f x 有最大值且最大值为正数时，求a 的范围。

2015年上海中学自招数学试卷及答案解析

2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。

【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题

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2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的面积为 16 ，那么线段 DE 的长度是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32

1 9

2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）

上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题(含答案)

2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。

为任意锐角），则。

、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。

上海中学自招真题解析

ABCDEF 的相似比为1: 3 ，因此面积比为1: 3 ．因为 ABCDEF 的面积是 6cm2 ，所以阴影部分的面积为 6 3 2(cm2 ) ．
10、已知 y1 2x2 4 m x 4 m 与 y2 mx 在 x 取任意实数时， y1 ， y2 至少有一个是正
数，m 的取值范围是________．【答案】 m 4 ．【解析】取 x 0 ，则 y1 4 m ， y2 0 ， 4 m 0 ， m 4，
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．
【答案】 45 ． 4
【解析】由题意知折痕是线段 AC 的中垂线，设它与 AB , CD 分别交于 M , N ．设 MB x ，
上海中学自主招生试题
1、因式分解： 6x3 11x2 x 4
．
【答案】 x 13x 42x 1 ．
【解析】容易发现 x 1是方程 6x3 11x2 x 4 0 的解，因此原式可以提出因式 (x 1) ，
得到 (x 1)(6x2 5x 4) ，对 (6x2 5x 4) 用十字相乘可以得到原式等于 (x 1)不相等的实数，x 是任意实数，化简：
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac
b
________．
【答案】1．
【解析】令
f
x
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac

自主招生历年数学真题专题讲解(上海)

一、专题讲解 (2)专题1、巧算 (2)专题2、找规律 (4)专题3、二次根式 (7)专题4、化简求值 (9)考点5、有理数无理数反证法 (152)考点6、不等式 (18)考点7、整式方程 (18)一、专题讲解考点1、巧算往届真题回顾【2015华二】【2015交大】2017考题预测考点2、找规律往届真题回顾：2017考题预测7、如图，直线l 1：1-=x y 与直线l 2：12-=x y 交于点P ，直线l 1与x 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 1，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 1；再沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 2，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 2，…依此规律，则动点C 到达点A 10所经过的路径总长为（）A ．1210- B ．2210- C ．1211- D ．2211-10、现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个小正方形．(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值．xyOB3B2A2A1B1l2l1PA（第7题图）考点3、二次根式往届真题回顾【2015交大】【2013交大】【2012复旦】【2015华二】已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。

【2014建平】有________个实数x ，可以使得120x -为整数.x 为1,2,3，……，2014，使得100x -为有理数的x 有_______个. x 为1,2,3，……，2014，使得5x 为有理数的x 有_______个.有________个整数x ，可以使得1202x -为整数 2017考题预测.考点4、化简求值往届真题回顾【2013华二】【2015复旦】【2016复旦】【2013交大】【2015黄冈】2017考题预测1.已知111a b a b+=+，则b aa b+=___________.【变式】已知：114a b a b+=+，则b aa b+=___________.【变式】已知：114a b a b-=+，则b aa b-=___________.【变式】已知：22114a b a b+=+，则22b aa b+=___________.【变式】已知：1baa b+=+，则aba+=___________.5、使得381n+是完全平方数的正整数n有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个考点5、有理数无理数反证法往届真题回顾：【2013交大】【2016华二】2017考题预测考点6、不等式往届真题回顾【2015上海中学】【2015交大】【2014交大】2017考题预测考点7、整式方程往届真题回顾【2014华二】【2015交大】【2015交大】【2016交大】2017考题预测。

高中2015年自主招生数学考试含答案

⾼中2015年⾃主招⽣数学考试含答案2015年⾃主招⽣考试⼀、选择题（每⼩题6分，共30分。

每⼩题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的。

请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分⾯积与算式2131242-??-++的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】①实数不是有理数就是⽆理数；② a ＜a ＋a ；③121的平⽅根是 ±11；④在实数范围内，⾮负数⼀定是正数；⑤两个⽆理数之和⼀定是⽆理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三⼝⼈准备在“五⼀”期间参加旅⾏团外出旅游。

甲旅⾏社告知：⽗母买全票，⼥⼉按半价优惠；⼄旅⾏社告知：家庭旅⾏可按团体票计价，即每⼈均按⼋折收费。

若这两家旅⾏社每⼈的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】 A 、甲⽐⼄更优惠 B 、⼄⽐甲更优惠 C 、甲与⼄相同 D 、与原标价有关4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆⼼O 移动的⽔平距离为【】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平⾯内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 ⼆、填空题（每⼩题6分，共48分）1、甲、⼄两⼈骑⾃⾏车，同时从相距65千⽶的两地相向⽽⾏，甲、⼄两⼈的速度和为32.5千⽶/时，则经过⼩时，两⼈相遇。

2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是。

3、某校把学⽣的笔试、实践能⼒和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的⽐例计⼊学期总评成绩，90分以上为优秀。

2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量

2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2．(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是A.−i B.1−i C.1+i D.i3．(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为A.±2B.2C.0D.0,−24．(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)= A.± B.,C.±D.,5．(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A. B. C. D.6．(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(−1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307．(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60°所得B.顺时针旋转120°所得C.逆时针旋转60°所得D.逆时针旋转120°所得8．(2011年复旦大学)设有复数=, =+isin ,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2 011=B. C. D.A.ω9．(2011年复旦大学)将复数z=(sin 75°+isin 15°)3 (其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC. D.10．(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有A.τστ=σB.τστ=σ−1C.τσ=στD.τστσ=σσ11．(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为A.−1B.2−C.+1D.2+12．(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为A. B. C. D.13．(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,a•b=m,则(t∈R)的最小值为A.2B.C.1D.14．(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A. B. C. D.15．(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且= ,则|z|=A. B. C. D.16．(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则A.a⊥eB.a⊥(a+e)C.e⊥(a+e)D.(a+e)⊥(a−e)17．(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧二、填空题。

上海中学自招数学真题(含答案)

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404mx -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

自招上海自主招生数学试题

B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39