计算方法数值积分资料

xi
aih
在每个 [xi , xi1] 上用梯形公式：
(i 0, ... , n)
xi1 xi
f
(x)dx
xi1 2
xi [ f
(xi )
f
(xi1)] ,
i 0, ... , n 1
b a
f (x)dx
n1 i0
h 2 [ f (xi )
f (xi1)]
h 2
f
(a)
2
n1 i1
xk1 xk
f
(x) dx
h[ f 6
(xk ) 4 f
(
xk
1 2
)
f
( xk 1 )]
xk
xk
1 2
x k 1
b
f
a
(x)dx
h[ f 6
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
xk
1 2
)
2
k 0
f
(xk1)
f
(b)]
= Sn
R[
f
]
b
a
h
4
f
(4) ( )
180 2
复化Simpson公式积分法
90
2
四、复化求积公式
高次高插阶值N可有ew采Rt用ounn分-gCe段o现t低e象s次公，插式怎值会么来出办解现？决
可将积分区数间值不a,稳b定分。成若干小
区而间低，阶在Ne每w个to小n-区Co间te上s公用式 有低时阶又求不积能公满式足计精算度，要然求后，求怎和么。办？
➢ 复化梯形公式：
h ba, n
a 2!
1 h3 f ( ) , [a,b] , h b a
12
1
n = 2:
C(2) 0
1, 6
C(2) 1
2, 3
C(2) 2
1 6
Simpson 公式
b a
f
(x)dx
b
6
a[
f
(a)
4
f
(
) ab
2
f
(b)]
代数精度 = 3
R[ f ] 1 h5 f (4) ( ) , (a,b) , h b a
f (xk )
f (b)
=
Tn
n1
R[ f ]
h n1
3
[
i0 12
f
(i
)]
h2 12
(b
a)
i0
f (i )
n
/*中值定理*/
h2 (b a) f (), (a,b)
12
复化梯形公式积分法
➢ 复化 Simpson 公式：
ba h n , xk a k h (k 0, ... , n)
4
2 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549
计算积分
I*
14 0 1 x2 dx
解： 这个问题有明显的答案
I * 4arctgx |10 3.1415926...
取n = 8用复化梯形公式
化工计算：数值积分
一、数值积分的必要性
主要讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) a f (x)dx
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
bBiblioteka Baidu
I ( f ) a f (x)dx F(b) F(a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x为初等函数．
1、定积分的几何意义 y
f x
b
I ( f ) f (x)dx
a
oa
b
x
2、数值积分的理论依据
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x,
在a,b内存在一点 ,使得
f ?
b
I ( f ) a f (x)dx (b a) f ( )
称 f 为区间a,b 的平均高度.
3、求积公式的构造
1 x2 2x2 3 3 x 2 x2 3 9 ln( 2 x 2 x2 3 )
4
16
16 2
3. f x没有解析表达式，只有数表形式:
x 12 3
f x 4 4.5 6
45 8 8.5
原来通呵过呵原…函这数就来需计要积 算积分分有的它数的值局方限法性来。帮
那…忙…啦。
怎么办呢？
二、数值积分的基本思想
实际问题
1. f x的原函数 F x不能用初等函数表示
例如函数:
sin x2 ,cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , e x2 x ln x
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
f x
f
a
b 2
O
a
ab b x
2
右矩形公式： I f f bb a
y
f x
f b
O
a
bx
➢ 若取 a, b 两点，并令 f f a f b ，则可得梯形公
2
式（两点求积公式）
I f f a f bba
2
y
f b
f a
Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
a
b 2
这类求积方法称为机械求积:
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
称为数值 求积公式
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ),
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：
I
f
f
a
2
b
b
a
右矩形公式： I f f bb a
左矩形公式： I f f ab a
y
f x
f a
Oa
bx
中矩形公式：
y
I
f
f
ab 2
b a
k 0
称为求积公式 余项(误差).
三、几种常用的低阶求积公式
n = 1:
C (1) 0
1, 2
C (1) 1
1 2
b f (x)dx b a[ f (a) f (b)]
a
2
梯形公式
代数精度 = 1
/* 令 x = a+th, h = ba, 用中 值定理 */
R[ f ] b f (x )(x a)(x b) dx
➢ 收敛速度与误差估计：
定义：
若一个积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]
C
，
且 C 0 ，则称该公式是 p 阶收敛的。
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
例:
利用数据表
xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1
f xk
并令
f
f
a
4
f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地 ，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
处的高度 f xi ,i 0,1,...,n
通过加权平均的方法近似地得出平均高度 f