数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
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• 作出简化假设(船速、水速为常数, 方向一致); • 用符号表示有关量(x, y表示船速和水速)； • 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20公里）。
录象机计数器的用途
经试验，一盘录像带从头走到尾， 时间用了183分30秒，计数器读数从 问 0000变到6152。在一次使用中录像带已 题 经转过大半，计数器读数为4580，问剩 下的一段还能否录下1小时的节目？ 要 不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与 求 录像带转过时间的关系——一个数学模型!
C
模型 将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)>0可
求解
知g(
2
)>0,f(
2
)=0
令续即h函f((tt0数))== 。gf((tt)0根)-。g据(t)连,则续h(函0)>数0和的h基(2本) 性<0质，,由必f存和在g的t0 （连0续<t性0<知2 ),h使也h是(t0连)=0，
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
为了便于学习掌握，可对数学模型做适当 的分类：
数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模
型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图 论模型、逻辑模型、稳定性模型等。
◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科） 分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模 型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、 污染模型、经济模型、社会模型等。
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
数学建模指建立数学模型的全过程。
——包括模型建立、求解、分析、检验。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
数学建模三大功能——解释, 判断, 预见 1. 解释——孟德尔遗传定律的“3:1”
2.判断——放射性废物处理
美国原子能委 员会提出如下处理 浓缩放射性废物： 封装入密封性很好 的坚固的圆桶中， 沉 入 300ft 的 海 里 ， 而一些工程师提出 质疑？需要判断方 案的合理性。
你碰到过的数学模型——航行问题
甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行 需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速 度是多少？
用x表示船速，y表示水速，列出方程： ( x y) 30 750 ( x y) 50 750
求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里.
航行问题建立数学模型的基本步骤
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
80 3466 183.5 6152
用最小二乘法可得
a 2.51106 , b 1.44102.
模型检验
应该另外测试一批数据检验模型：
t an2 bn (a 2.51 106 , b 1.44 102 )
模型应用
1. 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分, 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可 以录制60分钟的节目。
2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b 即可。
日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?
思考 本题中计数器读数是均匀增长的吗？
观察或分析: 计数器读数增长越来越慢！ 问 题 分 析 录象机计数器的工作原理
左轮盘 录象带
右轮盘 主动轮
0000 计数器
磁头
压轮
录象带运动
录象带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录象带运动速度是常数
右轮转速不是常数
数，则该图可一笔画.
例2 人狗鸡米过河问题
是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机 编程求解。
模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;
如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河, 人、鸡没有等;
可取状态：24－6＝10种
(1111) (1110) (1101) (1011) (1010) (0000) (0001) (0010) (0100) (0101)
数学建模讲义
建模概论与初等模型
一、数学建模概论
什么是数学模型
我们常见 的模型
玩具、照片…… 风洞中的飞机… 地图、电路图…
——实物模型 ——物理模型 ——符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
数学模型 (Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling)
决策—— 每一步(A到B或B到A)船上的人员 要求——在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河!
模型构成
xk~第k次渡河前A岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前A岸的随从数 k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
A
彩票问题
B
车灯优化设计
A
SARS预测
B
露天矿车辆安排
A
奥运会临时超市网点设计
B
电力市场的输电阻塞管理
A 2005
B
A 2006
B
A 2007
B A 2008 B A 2009 B A 2010 B
长江水质的评价和预测
DVD在线租赁 出版社的资源配置
艾滋病疗法的评价及疗效的预测 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 数码相机定位
数学建模的方法和步骤 基本方法
根据对客观事物特性的认识，找出反 •机理分析 映内部机理的数量规律。 •测试分析 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的
统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
四、近几年全国大学生数学建模竞赛题
A 1994
B A 1995 B A 1996 B A 1997 B A 1998 B
ຫໍສະໝຸດ Baidu
思考
1. 3种建模方法得到同一结果
[(r wkn)2 r 2 ] wvt
(r wkn)2kdn vdt
2.模型中有待定参数 r, w, v, k,
确定参数的一种办法是测量或调查，试设计 测量方法——参数估计.
参数估计
将模型改记作 t an2 bn , 只需估计 a , b ,
理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可；
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法分析
眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标定 2010年上海世博会影响力的定量评估
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想象力 洞察力
判断力
创新意识
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
由假设3，椅子在任何位置至少有三 只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少 D 有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f(t)>0, 原题归结为证明如下的数学命题：
y A
B
t
x
O
B
已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)D=0,
C
且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0
数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数
学工具，得到的一个数学结构。
数量关系
数学建模——是利用数学方法解决实际问题的一种 实践过程. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后, 将实际问题用数学方式表达，以建立起数 学模型, 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行 求解.
逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 洗衣机节水问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线
1999 2000 2001 2002 2003 2004
A
自动化车床管理
B
钻井布局
A
DNA序列分类
B
钢管订购和运输
A
血管三维重建
B
公交车调度
模型假设
• 录象带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 . 建 模 目 的 建立时间t与读数n之间的关系
(设v，k ，w ，r 为已知参数)
最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。
y
A
A
方法 总结
模型 推广
1) 一个变量t表示位置；
2) 引入距离函数(只设两个)； 3) 证明技巧——转动90度。 D
1) 若对象是4条腿同长的长方
形桌子，结果怎样？
D
B
t
x
O
B
C C
2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路 径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在
v300 40 ft / s
3.预见——谷神星的发现
f阻 0.08v
F浮
行星的轨 R 1 4 3 2n
道半径
10
n 10,0,1,2, ,4,5
水、金、地、火、木、土
1781年, 利用这个结果发现了天王
F重
星, 1802年，发现了谷神星与3对 应(有故事)，之后还发现了海王星、
冥王星。
可取过河方式：4种——(1100) (1010) (1001) (1000) 运算方式：——按位异或运算(xor)
例：一次运算过程
(1100) (0011) X
(1111)xor
(1010) (1001)
(0101) (0110)
O X
(1000) (0111) X
图论解法：
(1111) (1110) (1101) (1011) (1010)
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，
为什么？
(数学解法、巧妙的形象解法)
建模示例4 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 河 一旦随从的人数比商人多,
就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决 定.商人们怎样才能安全过河?
问题分析 多步决策过程
3名商人 3名随从
(0000) (0001) (0010) (0100) (0101)
示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题
四条腿一样长的方椅子一定能在任意不平的地面上 放稳吗?
模 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四
型 脚的连线呈正方形;
假 设
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没 有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面;
录象机计数器的用途
经试验，一盘录像带从头走到尾， 时间用了183分30秒，计数器读数从 问 0000变到6152。在一次使用中录像带已 题 经转过大半，计数器读数为4580，问剩 下的一段还能否录下1小时的节目？ 要 不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与 求 录像带转过时间的关系——一个数学模型!
C
模型 将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)>0可
求解
知g(
2
)>0,f(
2
)=0
令续即h函f((tt0数))== 。gf((tt)0根)-。g据(t)连,则续h(函0)>数0和的h基(2本) 性<0质，,由必f存和在g的t0 （连0续<t性0<知2 ),h使也h是(t0连)=0，
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
为了便于学习掌握，可对数学模型做适当 的分类：
数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模
型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图 论模型、逻辑模型、稳定性模型等。
◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科） 分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模 型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、 污染模型、经济模型、社会模型等。
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
数学建模指建立数学模型的全过程。
——包括模型建立、求解、分析、检验。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
数学建模三大功能——解释, 判断, 预见 1. 解释——孟德尔遗传定律的“3:1”
2.判断——放射性废物处理
美国原子能委 员会提出如下处理 浓缩放射性废物： 封装入密封性很好 的坚固的圆桶中， 沉 入 300ft 的 海 里 ， 而一些工程师提出 质疑？需要判断方 案的合理性。
你碰到过的数学模型——航行问题
甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行 需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速 度是多少？
用x表示船速，y表示水速，列出方程： ( x y) 30 750 ( x y) 50 750
求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里.
航行问题建立数学模型的基本步骤
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
80 3466 183.5 6152
用最小二乘法可得
a 2.51106 , b 1.44102.
模型检验
应该另外测试一批数据检验模型：
t an2 bn (a 2.51 106 , b 1.44 102 )
模型应用
1. 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分, 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可 以录制60分钟的节目。
2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b 即可。
日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗?
思考 本题中计数器读数是均匀增长的吗？
观察或分析: 计数器读数增长越来越慢！ 问 题 分 析 录象机计数器的工作原理
左轮盘 录象带
右轮盘 主动轮
0000 计数器
磁头
压轮
录象带运动
录象带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录象带运动速度是常数
右轮转速不是常数
数，则该图可一笔画.
例2 人狗鸡米过河问题
是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机 编程求解。
模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量;
如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河, 人、鸡没有等;
可取状态：24－6＝10种
(1111) (1110) (1101) (1011) (1010) (0000) (0001) (0010) (0100) (0101)
数学建模讲义
建模概论与初等模型
一、数学建模概论
什么是数学模型
我们常见 的模型
玩具、照片…… 风洞中的飞机… 地图、电路图…
——实物模型 ——物理模型 ——符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
数学模型 (Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling)
决策—— 每一步(A到B或B到A)船上的人员 要求——在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河!
模型构成
xk~第k次渡河前A岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前A岸的随从数 k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
A
彩票问题
B
车灯优化设计
A
SARS预测
B
露天矿车辆安排
A
奥运会临时超市网点设计
B
电力市场的输电阻塞管理
A 2005
B
A 2006
B
A 2007
B A 2008 B A 2009 B A 2010 B
长江水质的评价和预测
DVD在线租赁 出版社的资源配置
艾滋病疗法的评价及疗效的预测 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 数码相机定位
数学建模的方法和步骤 基本方法
根据对客观事物特性的认识，找出反 •机理分析 映内部机理的数量规律。 •测试分析 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的
统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
四、近几年全国大学生数学建模竞赛题
A 1994
B A 1995 B A 1996 B A 1997 B A 1998 B
ຫໍສະໝຸດ Baidu
思考
1. 3种建模方法得到同一结果
[(r wkn)2 r 2 ] wvt
(r wkn)2kdn vdt
2.模型中有待定参数 r, w, v, k,
确定参数的一种办法是测量或调查，试设计 测量方法——参数估计.
参数估计
将模型改记作 t an2 bn , 只需估计 a , b ,
理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可；
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法分析
眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标定 2010年上海世博会影响力的定量评估
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术!
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想象力 洞察力
判断力
创新意识
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
由假设3，椅子在任何位置至少有三 只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少 D 有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f(t)>0, 原题归结为证明如下的数学命题：
y A
B
t
x
O
B
已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)D=0,
C
且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0
数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数
学工具，得到的一个数学结构。
数量关系
数学建模——是利用数学方法解决实际问题的一种 实践过程. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后, 将实际问题用数学方式表达，以建立起数 学模型, 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行 求解.
逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 洗衣机节水问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线
1999 2000 2001 2002 2003 2004
A
自动化车床管理
B
钻井布局
A
DNA序列分类
B
钢管订购和运输
A
血管三维重建
B
公交车调度
模型假设
• 录象带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 . 建 模 目 的 建立时间t与读数n之间的关系
(设v，k ，w ，r 为已知参数)
最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。
y
A
A
方法 总结
模型 推广
1) 一个变量t表示位置；
2) 引入距离函数(只设两个)； 3) 证明技巧——转动90度。 D
1) 若对象是4条腿同长的长方
形桌子，结果怎样？
D
B
t
x
O
B
C C
2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路 径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在
v300 40 ft / s
3.预见——谷神星的发现
f阻 0.08v
F浮
行星的轨 R 1 4 3 2n
道半径
10
n 10,0,1,2, ,4,5
水、金、地、火、木、土
1781年, 利用这个结果发现了天王
F重
星, 1802年，发现了谷神星与3对 应(有故事)，之后还发现了海王星、
冥王星。
可取过河方式：4种——(1100) (1010) (1001) (1000) 运算方式：——按位异或运算(xor)
例：一次运算过程
(1100) (0011) X
(1111)xor
(1010) (1001)
(0101) (0110)
O X
(1000) (0111) X
图论解法：
(1111) (1110) (1101) (1011) (1010)
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，
为什么？
(数学解法、巧妙的形象解法)
建模示例4 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 河 一旦随从的人数比商人多,
就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决 定.商人们怎样才能安全过河?
问题分析 多步决策过程
3名商人 3名随从
(0000) (0001) (0010) (0100) (0101)
示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题
四条腿一样长的方椅子一定能在任意不平的地面上 放稳吗?
模 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四
型 脚的连线呈正方形;
假 设
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没 有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面;