高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末评估验收卷新人教A版选修1-2

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新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入检测

第三章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ,b ∈R ,则“a=b ”是“(a-b )+(a+b )i 为纯虚数”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a-b )+(a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a ,b 满足{a -b =0,a +b ≠0,即a=b ,且a ≠-b ,也就是a=b ≠0.故选B .2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.Dz=a+b i(a ,b ∈R ),则其共轭复数为z =a −bi,所以表示z 与z 的两点关于x 轴对称.故选B .3.设i 是虚数单位,若复数a −103-i (a ∈R )是纯虚数,则a 的值为( )A.-3B.-1C.1D.3,得a−103-i =a−10(3+i)(3-i)(3+i)=a−10(3+i)10=a−3−i,∵复数a−103-i为纯虚数,∴a-3=0,即a=3.4.设z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+iz=1+i,∴2z +z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i,故选D.5.设a,b为实数,若复数1+2ia+bi=1+i,则()A.a=32,b=12B.a=3,b=1C.a=12,b=32D.a=1,b=31+2ia+bi=1+i,可得1+2i=(a-b)+(a+b)i.由两复数相等可以得到{a-b=1,a+b=2,解得{a=32,b=12,故选A.6.设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=()A.-iB.iC.-1D.1=-i+2i(1-i)2=1.7.已知复数z=(a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈R )不是纯虚数,则有( )A.a ≠0B.a ≠2C.a ≠0,且a ≠2D.a ≠-1z 为纯虚数,则{a 2-a -2=0,|a -1|-1≠0,解得a=-1. 而已知z 不是纯虚数,所以a ≠-1.故选D .8.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M ,则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a )i,所以复数z 在复平面内对应的点M 的坐标为(a+2,1-2a ),所以点M 在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a >12,故选C .9.投掷两枚骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为( )A .13B.14C.16D.112(m+n i)(n-m i)=2mn+(n 2-m 2)i 为实数,所以n 2=m 2.因为骰子的点数为正数,所以m=n ,则可以取1,2,…,6,共6种可能.所以所求概率为66×6=16.故选C .10.复数z=(x-2)+y i(x ,y ∈R )在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8|z|=2,所以√(x-2)2+y2=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|=√x2+y2,它表示点(x,y)与原点的距离,结合图形(图略)易知|z+2|的最大值为4,故选B.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算1-2i2+i的结果为.i12.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是.i(z+1)=-3+2i,∴z+1=-3+2ii =-2-3i-1=2+3i.∴z=1+3i.故z的实部为1.13.设复数z在对应法则f的作用下和复数w=z·i对应,即f:z→w=z·i,则当w=-1+2i时,复数z=.f:z→w=z·i,且w=-1+2i,∴z·i=-1+2i,则z=2+i.∴z=2−i.-i14.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是.z=m2-4m+(m2-m-6)i所对应的点在第二象限,∴{m 2-4m <0,m 2-m -6>0,解得3<m<4.15.若关于x 的方程x 2+(2-i)x+(2m-4)i =0有实数根,则纯虚数m= .m=b i(b ∈R ,且b ≠0),方程的实根为x 0,则有x 02+(2−i)x0+(2bi −4)i =0,从而有(x 02+2x0−2b)−(x0+4)i =0.于是{x 0+4=0,x 02+2x 0-2b =0.解得{x 0=-4,b =4.于是m=4i .三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m 2−6m 1-i−2(1−i),求实数m 取什么值时,复数z 是: (1)零; (2)虚数; (3)纯虚数;(4)复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.z 化简整理为a+b i(a ,b ∈R )的代数形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.m ∈R ,所以复数z=(2+i)m 2-3m (1+i)-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i .(1)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2=0,即m=2时,z 为零. (2)当m 2-3m+2≠0,即m ≠2,且m ≠1时,z 为虚数.(3)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2≠0,即m=−12时,z 为纯虚数. (4)当2m 2-3m-2=-(m 2-3m+2),即m=0或m=2时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17.(8分)设复数z 的共轭复数为z,已知(1+2i)z =4+3i,(1)求复数z z(2)求满足|z 1-1|=|z|的复数z 1对应的点的轨迹方程.)z =4+3i1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2−i.故z=2+i .z=2+i 2-i =3+4i 5=35+45i. (2)设z 1=x+y i(x ,y ∈R ),则|(x-1)+y i |=√5,故(x-1)2+y 2=5.即复数z 1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2=5.18.(9分)已知z=1+i,a ,b 为实数.(1)若ω=z 2+3z −4,求|ω|;(2)若z 2+az+b z 2-z+1=1−i,求a,b 的值.∵ω=z 2+3z −4=(1+i)2+3(1−i)−4=−1−i,∴|ω|=√(-1)2+(-1)2=√2.(2)由条件z 2+az+b z 2-z+1=1−i,得(1+i )2+a (1+i )+b(1+i )2-(1+i )+1=1−i, 即(a +b )+(a +2)i i=1−i, ∴(a+b )+(a+2)i=1+i,∴{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2.19.(10分)已知复数z 满足|z|=√2,z2的虚部为2,z 所对应的点在第一象限.(1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC.设z=x+y i(x ,y ∈R ).∵|z|=√2,∴x2+y2=2.①又z 2=(x+y i)2=x 2-y 2+2xy i,∴2xy=2,∴xy=1.②由①②可解得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.∴z=1+i 或z=-1-i .又x>0,y>0,∴z=1+i .(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i .如图所示,∴A (1,1),B (0,2),C (1,-1),∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3), ∴cos ∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√10=2√5=2√55. 20.(10分)已知复数z 1=cos α+isin α,z 2=cos β-isin β,且z 1+1z 2=12+√32i,求复数z1,z2.,再结合三角函数的知识求解.z 1+1z 2=12+√32i, 得cos α+isin α+1cosβ-isinβ=12+√32i,∴cos α+isin α+cos β+isin β=12+√32i,即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=12+√32i. ∴{ cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=√32.∴{ cosα=12-cosβ,sinα=√32-sinβ. ∴cos 2α+sin 2α=(12-cosβ)2+(√32-sinβ)2=1,整理,得cos β=1−√3sin β,① 将①代入sin 2β+cos 2β=1,可解得sin β=0或sin β=√32.当sin β=0时,cos β=1,cos α=−12,sin α=√32;当sin β=√32时,cos β=−12,cos α=1,sin α=0. ∴z 1=−12+√32i,z2=1或z 1=1,z 2=−12−√32i.。

(教师用书)高中数学第三章数系的扩充与复数的引入综合检测新人教A版选修1-2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入综合检测新人教A 版选修1-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数－i ＋1i＝( )A ．－2i B.12iC ．0D ．2i【解析】－i ＋1i ＝－i ＋(－i)＝－2i ，故选A.【答案】 A2．复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3iD ．1－2i【解析】 z －i ＝2＋ii ＝2＋i －ii·－i＝1－2i ，z ＝i ＋1－2i ＝1－i.【答案】 B3．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12i D ．12＋12i 【解析】依题意得i 2＋i 3＋i41－i ＝－＋－＋11－i＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i ，选C. 【答案】 C4．(2013·福建高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．【答案】 D5．a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2 D ．1【解析】 |a ＋ii|＝|－1＋a i|＝2，即a 2＋1＝2.a 2＋1＝4，∴a 2＝3.又a 为正实数， ∴a ＝ 3. 【答案】 B6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34【解析】 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对【解析】设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．【答案】 C8．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9．若i 为虚数单位，图1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是 ( )图1A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】由题图知z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i ，故对应点为H .【答案】 D10．(2013·深圳高二检测)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．复数z ＝1i 的共轭复数是________．【解析】 z ＝1i ＝ii2＝－i ，∴z ＝i.【答案】 i 12.||＋－＋＝________.【解析】||＋－＋＝||－＋－＝|－3－i|＝10. 【答案】1013．(2013·泰安高二检测)设x ，y 为实数且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________.【解析】 x1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x＋－＋＋y＋＋－＝＋－＋⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 【答案】 414．(2013·太原高二检测)若复数z ＝2－i 1＋2i ，则复数z 的虚部为________．【解析】由z ＝2－i 1＋2i ＝－2i 2－i 1＋2i ＝－＋1＋2i ＝－i 知，复数z ＝2－i1＋2i的虚部是－1.【答案】－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【解】 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2，即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题满分12分)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．【解】 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为 z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.17．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2， ∴z ＝x －2i.z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4， ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞0，a －＞0，解得2＜a ＜6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(本小题满分14分)(2013·湛江高二检测)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，则z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．【解】 (1)因为b 是方程的根，所以(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0a ＝b，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y 是实数)，由|z －3－3i|＝2|z |，得：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.∴z 的对应点Z 的轨迹是以(－1,1)为圆心，22为半径的圆．所以z ＝1－i 时，|z |最小值为 2.。

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第三章数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ，又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

高中数学人教A版选修1-2练习：第3章数系的扩充与复数的引入

第三章 3.1 3.1.1A 级基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6，解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6，解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ，所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确．又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)．消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆．解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ，该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB →对应的复数是5.B 级素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。

2021年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测新人教A版选修1-2

2021年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D ) A ．ad －bc ＝0 B ．ac －bd ＝0 C ．ac ＋bd ＝0 D ．ad ＋bc ＝02．(xx·东莞二模)复数(1＋2i)i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z ＝i(1＋i)(i 为虚数单位)的模等于(B )A ．1 B. 2 C ．0 D ．24．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i 则(C ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4等于(C )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝i 4＝1. 6．复数z ＝a （a ＋2）a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为(C )A ．a ＝0B ．a ＝0，且a ≠－1C ．a ＝0，或a ＝－2D ．a ≠1，或a ≠－3解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 7．复数（1＋2i ）23－4i 的值是(A )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 解析：（1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.8．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 9．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(D ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋i （2＋3i ）2＋3i＝i ＋i ＝2i. 10．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于(C ) A ．1±2i B ．－1±2iC ．1＋2i ，或－1－2iD ．2＋i ，或－2－i解析：若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可以采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．解析：3－i 1＋i ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i2＝1－2i. 答案：1－2i12．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是1．13．设a ，b ∈R .a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：由a ＋b i ＝11－7i 1－2i 得a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.答案：814．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1i ，则z 2＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个．答案：0三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如果(x ＋2y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，求实数x ，y 的值．解析：由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴x ＝2，y ＝－2. 16．(12分)已知z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2，求|z |.解析：∵z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝2－i （3－4i ）（2i ）－2i ＝2－i 8＋6i－2i ＝（2－i ）（8－6i ）（8＋6i ）（8－6i ）－2i ＝（2－i ）（8－6i ）100－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i ，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－115i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1152＝48510. 17．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m （m －2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z <0?分析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当b ＝0且a <0时，z <0.解析：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，所以当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0解得m ＝0或m ＝2，所以当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m （m －2）m －1<0 时z <0；即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－3，m <0或1<m <2，即m ＝－3时z <0. 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视．18．(14分)已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1，1，4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析：∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得，m ＝2. 综上知m 的值为1或2.19．(14分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.20．(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·茂名一模)计算：i(1＋i)2＝(A ) A ．－2 B ．2 C ．2i D ．－2i2．复数z 1＝－3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于(B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(xx·深圳二模)i 为虚数单位，则i ＋1i 等于(A )A ．0B ．2iC ．1＋iD ．－1＋i 4．对于复数z ＝a ＋b i 有(B )A ．|z 2|>|z |2B ．|z 2|＝|z |2C ．|z 2|<|z |2D ．|z 2|＝z 25.1－3i （3＋i ）2＝(B)A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是(A ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R )形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为(A ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z － 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则(D ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝2，c ＝－1 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝－2，c ＝3 解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为(A )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i 解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i 2＝22－7＋25i 4－i 2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i5＝3＋5i. 10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是(D ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．两条射线(包括端点)11．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为(B )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析：设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴z ＝1.12．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是(A ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 5解析：|z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20. 答案：－2014．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝________．解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i.答案：1＋i15．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ，∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是________．解析：由题知a 2＋b 2<（－1）2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1，1)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(10分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ； (2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i. 解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i.(2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i ＝（－1＋3i ）3（2i ）3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－（4－3i ）i4－3i＝－i －i ＝－2i.18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时： (1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R .(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零．19．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值分别为a ＝－2，b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然成立．∴1－i 也是方程的一个根． 20．(12分)设ω＝－12＋32i ，(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．解析：(1)证明：∵ω＝－12＋32i ，∴ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝14－32i －34＝－12－32i. ∴1＋ω＋ω2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0.∴ω3＝1. ∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4. 21．(12分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.22．(12分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z －1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围．解析：(1)z ＝z －1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n －2，y ＝2＋m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2. ∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1，即为所求．(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R .36849 8FF1 迱c SQe|26580 67D4 柔Q23177 5A89 媉~B25409 6341 捁20860 517C兼?。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修1-2

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修1-2 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·吉林高二检测)i是虚数单位,计算i+i2+i3=( )A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.i+i2+i3=i-1-i=-1.2.(2014·银川高二检测)在如图的知识结构图中:“求函数的导数”的“上位”要素有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由流程图知“求函数的导数”的“上位”要素有:基本导数公式,函数四则运算求导法则,复合函数求导法则.3.(2014·天津高二检测)已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为( )A.1B.-1C.iD.1-i【解析】选B.z===-i,因此虚部为-1.4.如图所示的知识结构图为结构.( )A.树形B.环形C.对称形D.左右形【解析】选A.由框图知,此类框图是树形结构.5.(2014·温州高二检测)复数的共轭复数为( )A.-+iB.+iC.-iD.--i【解析】选D.z====-+i,则其共轭复数为--i.6.下列命题中:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R且a>b,则a+i3>b+i2;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.复数a+bi(a,b∈R).当a=0且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误.在③中,若x=-1,也不是纯虚数,故③错误.a+i3=a-i,b+i2=b-1,复数a-i与实数b-1不能比较大小,故②错误.④正确.故应选D.7.(2014·西安高二检测)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2【解析】选C.若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2;当a2-a-2=0且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得a=2. 综上所述,当a≠-1时,已知的复数不是一个纯虚数.8.下列判断不正确的是( )A.画工序流程图类似于算法的程序框图,首先把每一个工序逐步细化,按自上向下或从左向右的顺序画B.在工序流程图中可以出现循环回路,这一点不同于算法的程序框图C.工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系,且是有方向的指向线D.结构图用来刻画静态的系统结构,流程图用来描述一个动态过程【解析】选B.概念判断题,对于A,算法的程序框图本身就是一种流程图;对于B,显然错误,因循环结构是算法结构中最常见的一类结构,选B;对于C,主要是考查流程线的知识.流程线是具有方向性的指向线.对于D,主要明确结构图与流程图的概念.9.(2014·武汉高二检测)若a,b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.a2-6a+10=(a-3)2+1>0,-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.所以复数对应的点在第四象限,故应选D. 【变式训练】已知z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(m∈R),若复数z对应的点位于复平面上的第二象限,则m的取值范围是.【解析】将复数z变形为z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i,因为复数z对应的点位于复平面上的第二象限,所以解得3<m<5.答案:3<m<510.(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数Ｎ，输出的数列的通项公式是( )A.a n=2nB.a n=2(n－1)C.a n=2nD.a n=2n－1【解题指南】搞清程序的算法功能是解题的关键，解题时按照程序框图的顺序执行求解,特别注意根据判断框中的条件来执行循环体或结束循环.【解析】选C.当S=1,i=1时,执行循环体,a1=2,S=2,i=2,若不满足条件i>N,执行循环体,a2=4,S=4，i=3,若不满足条件i>N,执行循环体,a3=8,S=8，i=4,若不满足条件i>N,执行循环体,a4=16,S=16，i=5,若输入条件N=4，此时满足条件i>N，即输出a4=16，所以a n=2n.11.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x=-或x=2【解析】选A.由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.故应选A.12.(2014·南昌高二检测)已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根,则p+q的值为( )A.22B.36C.38D.42【解析】选C.因为z=-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以有2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即2(9-4-12i)-3p+2pi+q=0得10-24i-3p+2pi+q=0得10+q-3p+(2p-24)i=0.由复数相等得⇒所以p+q=38.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·嘉兴高二检测)某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工.若该工程总时数为9天,则完成工序C需要的天数x最多是.【解析】画出流程图如图:又因为该工程总时数为9天,则由图知完成工序C需要的天数x最多是3.答案:314.若复数z=的实部为3,则z的虚部为.【解析】z===,由条件知,=3,所以a=-1,所以z=3+i,所以z的虚部为1.答案:115.(2014·丽江高二检测)下面是中国移动关于发票的表述:我们在充分考虑您的个性化需求基础上提供了以下几种话费发票方式:后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票、全球通发票(包括简单发票和单一发票).你可以根据你的实际情况选择其中的话费发票方式.试写出关于发票的结构图. 【解析】答案:16.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2,所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1,所以3≤4-cosθ≤5,所以λ∈[3,5].答案:[3,5]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)试画出“推理与证明”这一部分内容的知识结构图.【解析】知识结构图如图:18.(12分)(2014·牡丹江高二检测)计算:(1)(1-i)(1+i).(2)+.【解析】(1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)=2×=-1+i.(2)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1005=-1+i-i=-1.【拓展延伸】复数的运算可以看作多项式的化简,加减看作多项式加减,合并同类项,乘法和除法可看作多项式的乘法和除法.19.(12分)明天小强要参加班里组织的郊游活动,为了做好参加这次郊游的准备工作,他测算了如下数据:整理床铺、收拾携带物品8分钟,洗脸、刷牙7分钟,煮牛奶15分钟,吃早饭10分钟,查公交线路图9分钟,给出差在外的父亲发手机短信6分钟,走到公共汽车站10分钟,等公共汽车10分钟.小强粗略地算了一下,总共需要75分钟,为了赶上7:50的公共汽车,小强决定6:30起床,不幸的是他一下子睡到6:50,请你帮小强安排一下时间,画出一份郊游出行前时间安排流程图,使他还能来得及参加此次郊游.【解析】出行前时间安排流程图如图所示.这样需要60分钟,故可以赶上7:50的公共汽车,并来得及参加此次郊游.20.(12分)(2014·长沙高二检测)(1)求复数z=1+cosα+isinα(π<α<2π)的模.(2)如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,试求自然数m,n.【解析】(1)|z|===-2cos.(2)因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以式子lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,从而有由①得m=0或m=3,当m=0时代入②得n<2.又因为m+n>0,所以n=1;当m=3时代入②得n<-1与n是自然数矛盾,综上可得m=0,n=1.21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设z=x+yi,x,y∈R,因为OA∥BC,|OC|=|BA|,所以k OA=k BC,|z C|=|z B-z A|,即解得或因为|OA|≠|BC|,所以x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.【拓展延伸】数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.22.(12分)(2014·青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2.(2)如图所示,由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆半径)=2+1.【变式训练】已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,所以y=-2.又因为==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,所以x=4.所以z=4-2i,又因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.所以解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).【拓展延伸】复数问题实数化在求复数时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想.。

人教A版选修一数学人教A选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入单元

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学人教A 选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知i 是虚数单位，则3i 1i+-＝( )． A ．1－2i B ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )．A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．设复数22i (1i)z +=+，则复数z 的虚部是( )． A ．12B ．－1C ．－iD ．1 4．已知复数z 满足2i z -＝1＋2i ，则z ＝( )． A ．4＋3i B ．4－3iC ．－iD ．i5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)i(i 是虚数单位)为“等部复数”，则实数a 的值是( )．A ．1B ．0C ．－1D ．26．已知复数z ＝(a －2i)(1＋i)(a ∈R )在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是点M 在第四象限的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应的向量的模为3，则y x的最大值为( )．A ．32 B ．33C ．12D ．3 8．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足1z ·z 2是实数，则z 2等于( )．A ．11i 2-B ．11i 2+ C ．1i 2＋ D ．1i 2－二、填空题(每小题6分，共18分)9．若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－1－2i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．10．已知1im +＝1－n i(m ，n ∈R )，则m ＋n i ＝__________． 11．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R )，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，且BC CA =，则z 1＋z 3＝__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－61im -－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)虚数；(2)纯虚数．13．(10分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴上方．14．(14分)设z ＝log 2(1＋m )＋12ilog (3)m －(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围；(2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．参考答案1答案：D 解析：∵23i (3i)(1i)33i i i 1i (1i)(1i)2++++++==--+＝1＋2i ，∴选D ． 2答案：C 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1． 3答案：B 解析：2i 2i 11i 2i 22z +-+===-， ∴虚部为－1．4答案：D 解析：由2i z -＝1＋2i ，得2i (2i)(12i)24i i 2i 12i 55z ------====-+，∴z ＝i ．5答案：C 解析：z ＝(1＋a i)i ＝－a ＋i ，由已知－a ＝1，∴a ＝－1．6答案：A 解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，当a ＝1时，z ＝3－i 对应的点在第四象限．当复数z 对应的点在第四象限时，20,20,a a +>⎧⎨-<⎩解得－2＜a ＜2．a 不一定为1， ∴a ＝1是复数z 对应的点在第四象限的充分不必要条件．7答案：D 解析：∵22(2)3x y -+=，∴(x －2)2＋y 2＝3．设l ：y ＝kx ，则圆心到直线的距离为2|2|31k d k ==+，∴k ＝±3，∴y x 的最大值为3．8答案：B 解析：由z 1＝2＋i ，得1z ＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i(b R )，则1z ·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i ．又1z ·z 2为实数，∴2b －1＝0，b ＝12． ∴z 2＝1＋1i 2． 9答案：－6 解析：z 1－z 2＝3＋4i －(－1－2i)＝4＋6i ，(z 1－z 2)i ＝(4＋6i)i ＝－6＋4i ， ∴(z 1－z 2)i 的实部为－6． 10答案：2＋i 解析：1i m +＝1－n i 可化为i 2m m -＝1－n i ， ∴1,2,2m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴2,1,m n =⎧⎨=⎩∴m ＋n i ＝2＋i ．11答案：5＋7i 解析：设点O 为坐标原点．∵BC CA =，∴OC OB OA OC -=-，∴2OC OA OB =+，∴2b ＋4i ＝4＋(a －1)i ，∴24,14,b a =⎧⎨-=⎩∴5,2,a b =⎧⎨=⎩ ∴z 1＋z 3＝3＋5i ＋2＋2i ＝5＋7i ．12答案：解：z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当222320,320,m m m m ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩ 即m ＝12-时，z 为纯虚数． 13答案：解：根据复数相等的充要条件得22562,21512.m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解之，得m ＝－1．答案：根据共轭复数的定义得225612,21516.m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解之，得m ＝1．答案：根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之，得m ＜－3或m ＞5． 14答案：解：由已知，得212log (1)0, log (3)0, 10, 30, m m m m +<⎧⎪-<⎪⎨⎪+>⎪->⎩①②③④解得不等式组的解集为－1＜m ＜0，即m 的取值范围是－1＜m ＜0．答案：由已知得，点(log 2(1＋m )，12log (3)m －)在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－12log (3)m －－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1，∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0．∴m ＝12±，且当m ＝12±时都能使1＋m ＞0，且3－m ＞0，∴m ＝12±．。

(人教版)高中数学选修1-2检测第3章数系的扩充与复数的引入章末高效整合3 Word版含答案

第三章复数一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设＝－，＝－＋，则－在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：－＝－.答案：．若复数(＋)(＋)是纯虚数(是虚数单位)，是实数，则等于( )．．－．－解析：∵(＋)(＋)＝(－)＋(＋)是纯虚数，∴－＝，且＋≠，∴＝.答案：．复数(为虚数单位)的模是( )．．．解析：＝＝＝＋，所以＝＋＝.答案：．已知为虚数单位，复数＝，则复数的虚部是( )．－．－．解析：＝＝＝－，所以复数的虚部是－.答案：．若，∈，为虚数单位，且(＋)＝＋，则( )．＝，＝．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝－解析：∵(＋)＝－＋＝＋，∴＝－，＝.故选.答案：．若复数满足＝＋，则在复平面内，对应的点的坐标是( )．() ．(，－)．(，－) ．()解析：先求出，再根据复数的几何意义求出对应点的坐标．方法一：因为＝＋，所以＝＝＝－.在复平面内，复数对应的点的坐标为(，－)，选.方法二：设＝＋(，∈)，由＝＋，得(＋)＝＋，即－＋＝＋，故(\\(＝，＝－，))即＝－，故复数对应的点的坐标为(，－)，选.方法三：因为＝＋，所以(－)＝(－)(＋)＝－，即＝－，故复数对应的点的坐标为(，－)，选.答案：．已知复数＝，则对应的点所在的象限是( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：＝＝＝＝－＋，所以复数对应的点所在的象限是第二象限．答案：．若复数(＋)在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是( )．．－．－解析：因为复数(＋)＝(－)＋，所以其在复平面内对应的点的坐标是(－)，又因为该点在轴负半轴上，所以有(\\(－＝，＜，))解得＝－，选.答案：．已知复数＝，是的共轭复数，则·＝( )．．解析：＝＝＝＝，＝，所以，·＝·＝，故选.答案：．已知复数＝－＋，＝－，＝－，它们在复平面上所对应的点分别为，，，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λ＋μ的值是( )．．．．解析：依题意－＝λ(－＋)＋μ(－)＝μ－λ＋(λ－μ)，∴(\\(μ－λ＝，λ－μ＝－，))∴(\\(λ＝－，,μ＝，))∴λ＋μ＝.答案：。

高中数学(人教A版)选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)

A．0
B．2
C．－ 2i
D．2i
解析
32＋－23ii－
3－2i 2＋3i
i 2－3i i 2＋3i ＝ 2－3i ＋ 2＋3i
＝ i＋i＝2i.
答案 D
ab
1 －1
10．定义运算 c d ＝ad－ bc，则符合条件 z zi ＝ 4＋2i 的
复数 z 为( )
A ．3－i
B．1＋3i
C． 3＋i
D．1－3i
1 －1
解析依题意知，
＝ zi ＋ z＝ 4＋ 2i，
z zi
∴ z(1＋i) ＝4＋ 2i.
4＋2i ∴ z＝ 1＋i ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A 11．复数 z＝a＋bi( a，b∈R)是方程 z2＝－ 3＋4i 的一个根，则 z
等于 ( )
A ．1±2i
B．－ 1±2i
C．1＋2i，或－ 1－2i
B．z2＝ x2＋y2
C．|z－ z |≥2x
D．|z|≤ |x|＋ |y|
解析 ∵z＝x＋yi ，(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi，∴ z－ z ＝2yi，
∴ |z－ z |＝|2y|≥2y，故 A、C 错．又 z2＝ x2－ y2＋2xyi ≠x2＋y2，故 B 错．因此，正确答案为 D. 答案 D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 )
D．2＋i ，或－ 2－i
解析若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可采用验证的方法．∵ (1＋ 2i)2＝1＋4i＋(2i) 2＝－ 3＋4i，∴ z＝1＋2i
或－ 1－2i.
答案 C
12．对任意复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，i 为虚数单位，则下列结论

高中数学选修1-2(人教A版)第三章数系的扩充与复数的导入3.2知识点总结含同步练习及答案

描述：复数的加法运算设 z1 = a + bi，z2 = c + di 是任意两个复数，那么 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. 复数的减法运算设 z1 = a + bi，z2 = c + di 是任意两个复数，那么 (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
3.
下面是关于复数
z=
2 −1 + i
的四个命题：
p1 : |z| = 2；
p2 : z2 = 2i；
p3 : z 的共轭复数为 1 + i；
p4 : z 的虚部为 −1．
其中的真命题为 ( )
A．p2 , p3
B．p1 , p2
答案： C
解析：由于
C．p2 , p4
z=
2 −1 + i
=
2 (−1 − i) 2
−
√3 2
i+
1 4
=−
1 2
−
√3 2
i；
（3）原式
=
1 + 2i 3 − 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 − 4i)(3 + 4i)
=
−5 + 10i 25
=−
1 5
+
2 5
i．
计算
(−
1 2
+
√3 2
4
i)
的值．
解：法一：原式
=
(
1 4
−
√3 2

高中数学选修1-2《第三章数系的扩充与复数的引入》章末质量测试题

章末质量评估练习(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1．a ＝0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( )．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0. 答案 B2．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．－1 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 答案 D3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )．A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A. 答案 A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )．A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i解析 O C →＝O A →＋O B →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i. 答案 D5．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )．A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i. ∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．答案 C6．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ，那么z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ， ∴(x －1)2＋y 2＝x 2，故y 2＝2x －1.答案 D 7．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于 ( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝－2i2＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案 D8．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为( )．A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称， ∴⎩⎨⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ， ∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0， ∴z ＝1. 答案 B9．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是( )．A ．1 B. 2 C ．2D. 5解析 |z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.答案 A10．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )．A ．若z 21＋z 22>0，则z 21>－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．|z 21|＝|z －1|2解析 A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ； D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z －1|2＝a 2＋b 2，故|z 21|＝|z －1|2. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中横线上)11．在复平面内，已知复数z ＝x －13i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵z 对应的点Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－13都在单位圆内，∴|OZ |<1，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132<1.∴x 2＋19<1，∴x 2<89，∴－223<x <223.答案－223<x <223 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于________．解析由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i.答案 15－85i 13．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝ ________. 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 答案 414．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 解析 z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝3i －2－2＝1－32i答案 1－32i三、解答题(本题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，试求f (－z )．解 f (z )＝2z ＋z －－3i ， ∴f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋z －＋i －3i＝2z －＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又知f (z －＋i)＝6－3i ， ∴2z －＋z －2i ＝6－3i ，设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i ， ∴2(a －b i)＋(a ＋b i)－2i ＝6－3i ，即3a －(b ＋2)i ＝6－3i ，由复数相等的定义，得⎩⎨⎧ 3a ＝6，b ＋2＝3. 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.故f (－z )＝f (－2－i)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.16．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.17．(10分)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求A B →，B C →，A C →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)A B →对应的复数为 z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.B C →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.A C →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)|A B →|＝|1＋i|＝2，|B C →|＝|－3＋i|＝10，|A C →|＝|－2＋2i|＝8.∴|A B →|2＋|A C →|2＝|B C →|2，∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|A B →||A C →|＝12×2×8＝2.19．(12分)已知z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x 、y ∈R )且x 2＋y 2＝1，z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1. (1)求证：z 2∈R ；(2)求z 2的最大值和最小值．(1)证明 ∵z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x ，y ∈R )， ∴z 1＋z －1＝2x ，z 1－z －1＝2y i. ∴z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1，＝3(z 1＋z －1)＋4i(z 1－z －1)．＝6x ＋8y i 2＝(6x －8y )∈R . (2)解 ∵x 2＋y 2＝1，设u ＝6x －8y ，代入x 2＋y 2＝1消去y 得 64x 2＋(6x －u )2＝64. ∴100x 2－12ux ＋u 2－64＝0. ∵x ∈R ，∴Δ≥0.∴144u 2－4×100(u 2－64)≥0. ∴u 2－100≤0. ∴－10≤u ≤10.∴z 2的最大值是10，最小值是－10.。

数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》测试(2)(新人教A版选修1-2).pdf

Ｂ． −1 b 1 Ｄ． b 0
答案：Ｂ
5．已知复数 z 满足 z 2 − 2 z − 3 = 0 的复数 z 的对应点的轨迹是（）
Ａ．1 个圆
Ｂ．线段
Ｃ．2 个点
Ｄ．2 个圆
答案：Ａ
6．设复数 z(z C) 在映射 f 下的象是 z· i ，则 −1 + 2i 的原象为（）
Ａ． 2 − i
解： z = m2 + m − 6 + (m2 + 8m + 15)i ． m+5
（1） z 为实数 m2 + 8m +15 = 0 且 m + 5 0 ，解得 m = −3 ；
（2）
z
为虚数
m2 + 8m + 15
m
+
5
0，
0，
解得 m −3 且 m −5 ；
（3）
z
为纯虚数
m2 + m − m+5
答案：Ａ
11．已知 z C ， z − 2 = 1，则 z + 2 + 5i 的最大值和最小值分别是（）
Ａ． 41 + 1 和 41 −1
Ｂ．3 和 1
Ｃ． 5 2 和 34
Ｄ． 39 和 3
答案：Ａ
12．已知 z1 ， z2 C ， z1 + z2 = 2 2 ， z1 = 3 ， z2 = 2 ，则 z1 − z2 = （）
min
解：（1）将 b 代入题设方程，整理得 (b2 − 6b + 9) + (a − b)i = 0 ，则 b2 − 6b + 9 = 0 且 a − b = 0 ，解得 a = b = 3 ；（2）设 z = x + yi(x，y R) ，则 (x − 3)2 + ( y + 3)2 = 4(x2 + y2 ) ，即 (x + 1)2 + ( y −1)2 = 8 ． ∴点 Z 在以 (−1，1) 为圆心， 2 2 为半径的圆上，画图可知， z = 1 − i 时， z = 2 ．

2018年秋高中数学章末综合测评3 数系的扩充与复数的引入新人教A版选修1-2

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( ) A ．z －1 B ．z ＋1 C ．－10＋18iD ．10－18iC [1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.] 2．3＋i 1＋i＝( ) 【导学号：48662171】A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝＋－＋－＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D.]3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋iA [由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1，则z ＝1－i ，故选A.]4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )【导学号：48662172】A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]6．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )【导学号：48662173】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]7．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±iD [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y i ＋x －y i ＝4，x ＋yx －y ＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i.]8．如图1所示在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )【导学号：48662174】图1A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3iD [OC →＝OA →＋OB →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i.] 9．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ． 2B ．23C ．－23D ．2C [因为2－b i1＋2i＝－b－5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i 1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]10．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )【导学号：48662175】A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．]11．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5. ∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C.]12．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )【导学号：48662176】A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22 B ．|z 1－z 2|＝z 21＋z 22－4z 1z 2 C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0 D ．|z 21|＝|z 1|2D [A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ；C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ；D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z 1|2＝a 2＋b 2，故|z 21|＝|z 1|2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.] 14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________.【导学号：48662177】3 [a ＋ii＝a ＋－－＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.]15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [a ＋b i ＝11－7i1－2i＝－＋－＋＝25＋15i 5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为________.【导学号：48662178】⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32 [z 1z 2＝3－a i 1＋2i＝－a－＋－＝3－2a 5－6＋a 5i ，因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，6＋a >0⇒－6<a <32.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.【导学号：48662179】[解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)计算：(1)＋4－35；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解] (1)原式＝＋4－34－3＝2－2－232－3＝－64＋32－3＝－16＋3＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .【导学号：48662180】[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． [解] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 22．(本小题满分12分)已知z 为虚数，z ＋9z －2为实数． (1)若z －2为纯虚数，求虚数z . (2)求|z －4|的取值范围.【导学号：48662181】[解] (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，则z －2＝x －2＋y i ，由z －2为纯虚数得x ＝2，所以z ＝2＋y i ，则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9y i∈R ，得y －9y＝0，y ＝±3，所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i.(2)因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋x －x －2＋y2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －9y x －2＋y 2i∈R ，所以y －9yx －2＋y 2＝0，因为y ≠0，所以(x －2)2＋y 2＝9，由(x －2)2<9得x ∈(－1,5)，所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝x －2＋y 2＝x －2＋9－x －2＝21－4x ∈(1,5)．。

数学新设计人教A选修1-2精练：第三章数系的扩充与复数的引入测评Word版含答案

第三章测评（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）21.计算:i （1 + i ）=（） A.-2B.2C.2iD.-2i解析 i （ 1 + i ）2=i 2i=-2. 答案AA.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限24 _l-3il+3i解析:由其共轭复数为 —，对应的点位于第一象限，故选D.答案：| D3.若z=4+3i （i 是虚数单位）,则b 1=（） A.1 B.-1 4 k 3 43C.： :iD.：叮解析何一T ,故选D. 答案］ D卄. 、亠理F4.若i 是虚数单位，则. 等于（）答案:C2+ （a 2+2a-3）i （a € R ）为纯虚数，则a 的值为（ A .a=0B.a= 0 且 a ^-1C.a= 0 或 a=- 2D.a 或 a 工3解析:依题意得o 2 +2a-3丰0,解得a= 0或a=- 2. 答案：| C 6.设复数z= --「，其中a 为实数若z 的实部为2,则z 的虚部为（）2•在复平面内 ,复数"（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A.i B.-iD.-11+i __ 21/l+i\4解析］因为益一禹莎不_T =i,所以（益丿=i 4=1.C.1如2】5.复数z=:- 1 A.-1 B.-iD.- i答案：| C7. m=1"是复数z=(1+m i)(1+i)(m € R ,i 为虚数单位)为纯虚数"的( )A •充分不必要条件B •必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析:z=(1+m i)(1 + i)= 1 + i+mi-m= (1-m)+(1+m)i,若 m= 1 则 z=2i 为纯虚数；若 z 为纯虚数，则 m=1. 答案C三丄=—+ -8•已知z i =1+i(其中i 为虚数单位)，设1为复数z i 的共轭复数，一一一一一一则复数z 2在复平面所对应点的坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析：|因为乙=1+匕所以Z =1-i,1 _ 1 . 11 _ 1, 1 _ Id .1+i _ 1+i+Vi由叮’I.川得，：「-「：•：、：. 】1J" - = 1,得Z 2=1,z 2在复平面内对应的点为(1,0),故选B. 答案：B29.若z=cos (+ isin 6(i 为虚数单位)，则使z =-1的B 值可能是( )A.-B.-C.-D.-{sin2S = 0, 解析:z 2=(cos 肝 is in 0)2= (cos 2 9-si n 29 + 2isin9cos0= cos 2肝isin 2 9=-1,所以 lcos20 = 所以2 9=2k n + n k € Z ),故 0=k n +_(k € Z ),令 k= 0 知选 D. 答案：| DII10.复数z 在复平面内对应的点为 A,将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转-,再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点,此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为( )A.-1B.1C.iD.-i解析：|设z=a+bi,B 点对应的复数为可,则乙=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，所以-■= ■二于是z=1.答案：| B 11.设z € C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在()-l+2ai _F-ln —二 —2 —=a -丁i,因为z 的实部为2,所以a= 2,所以z 的虚部为A .实轴上B .虚轴上C. 直线y= ±x(x老)上D. 以上都不对(a^fr2 =0?解析:设z=a+b i(a,b€ R),因为z2=a2-b2+2abi为纯虚数，所以hb工0：所以a= ± b,即z在复平面12. 复数z=(x-2)+yi(x,y€ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+21的最大值为()A .2 B.4 C.6 D.8解析因为|z|=2,所以JO-2『*y2=2，即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上，而|z+2|=|x+yi|= -，它表示点(x,y)到原点的距离，结合图形易知|z+2|的最大值为4,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13. 若石'V(i为虚数单位),则复数z等于_________________ ._____ ,r _ 1+i (1-iXl+O _ 2 _ 2i==14. 若(1 + 2ai)i = 1-bi,其中a,b€ R,i 是虚数单位，则|a+bi|= ------------ .= 1解析：|由题意得-2a+i = 1-bi,所以=-功解得a=J,b=-1,所以15. 在复平面内，复数1+i与-1 + 3i分别对应向量其中O为坐标原点，则I T= ------------------ .解析:| 肋二0E - 0A= (-1 + 3i)-(1 + i) =- 2+ 2i,所以| ..：|=2 ■.答案：| 2迈16. ' 导学号40294030若复数z满足-z+z+- = 3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于____________ .解析：|设z=x+y i(x,y € R),则有(x+y i)(x-yi)+ (x+y i) + (x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y 2=4,故2三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (本小题满分10分)已知复数z=(2 + i) m2- -2(1-i),当实数m取什么值时复数z是：⑴虚数;(2)纯虚数.解：z= (2 + i) m2-3m(1 + i)-2(1-i)= (2m2-3m-2)+ (m2-3m+ 2)i,2(1)当m -3m+2#),即m老且m^1时,z为虚数.j[2m 2-3m-2= 0: ⑵当lm 2-3m + 2 ^0,即m=- 1时,z 为纯虚数.18.(本小题满分12分)若z 满足z-1=・(1+z)i,求z+z 2的值•解因为z-仁V5(1+z)i,l+v^i _(1+ 73i)2■金：mv 」=-19. (本小题满分12分)已知复数z 满足z=(-1+3i) (1-i)-4.(1)求复数z 的共轭复数；⑵若w=z+a i,且复数w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围解:(1)z=-1+i+3i + 3-4=-2+4i,所以复数z 的共轭复数为-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i,复数w 对应的向量为(-2,4+a),其模为又复数z 所对应向量为(-2,4),其模为2 -.由复数w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，得20+8a+a 2w 20,a 2+8a w 0,所以实数a 的取值范围是-8< a w 0.(144产+33 a20.(本小题满分12分復数z= -，若z 2+ <0,求纯虚数a.解:由z 2+ <0可知z 2+是实数且为负数.21. (本小题满分12分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 1+ 2i,-2+ 6i,OA // BC.求顶点C 所对应的复数乙解设 z=x+yi(x,y € R ),OA / BC,|OC|=|BA| , k OA =k BC ,|z C | = |z B -z A |,(l+i^+SCl^ _ 2i^3 3i _ 列----------------- ------------- -------Z=2十1 2+i 2+i = 1 -i.因为a 为纯虚数，所以设a=mi(m € R ，且m^0), ml mi-mi ：=-2i +=-2+i 则 z 2+ =(1-i)2+ --i<0,所以 m=4,即卩 a=4i. 所以z= 因此z+z 2=-J4+〔4+ 疔=V20+8a + iP因为所以A,B 在复平面上对应的复数分别为『衍二* i X2= 解得 b Fi =ob T 2 =4.因为|OA|齐BC|, 所以 x 2=-3,y 2=4(舍去), 故 z=-5.22. ------------------- ' 导学号40294031 (本小题满分12分)已知虚数z 满足|2z+5|=|z+ 10|. (1) 求 |z|.s . m(2) 是否存在实数 m,使为实数，若存在，求出m 值;若不存在，说明理由. ⑶若(1-2i)z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上解｝1)设 z=x+y i(x,y € R ，且 y#0),则(2x+ 5)2+ (2y)2= (x+ 10)2+y 2, 化简得 x 2+y 2= 25, — |z|= 5.又y 和,x 2+y 2=25,1 _ m眷握：. = 0,解得 m= ± 5.(3) (1-2i) z= (1-2i)(x+y i) = (x+ 2y) + (y-2x)i,依题意得 /•y=- 3x. ① 又■/ x 2+y 2= 25,^'10由①②得z m r+yi m / x ———=——-—+ ----- = I —- + m z m x+yii 为实数，二• -z=血 aViQ- -i 或 z=-i.，求复数乙x+ 2y=y-2x,。

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【金版学案】2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末评估验收卷新人教A 版选修1-2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·北京卷)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i解析：i(2－i)＝2i －i 2＝2i ＋1＝1＋2i. 答案：A2．(2015·广东卷)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z －＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．2－3i解析：因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z －＝2－3i. 答案：D3．若复数z ＝1＋i ，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，则z －＝1－i.则z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 因此z 2＋z －2的虚部为0.答案：A4．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i解析：因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 答案：A5．复数3＋i1－3i (i 为虚数单位)等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：3＋i 1－3i ＝3＋i －i 2－3i ＝3＋i －i （i ＋3）＝1－i ＝i.答案：C6．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则m ＝1是z 1＝z 2的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件解析：因为z 1＝z 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，⇔m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．答案：A7．设z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以z －＝1＋2i ，则z －在复平面内对应点Z (1，2)位于第一象限．答案：A8．设复数z 的共轭复数是z －，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1· z －2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：因为z 2＝t ＋i ，所以z －2＝t －i. z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又z 1·z －2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.答案：A9．如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)，所以z －＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点．答案：B10．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2等于( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3－i ）（1－i ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4i 22＝(1－2i)2＝－3－4i. 答案：A11．已知在复平面内，向量AB →，BC →，AD →对应的复数分别为－2＋i ，3－i ，1＋5i ，则CD →对应的复数是( )A ．－6iB ．6iC ．－5iD ．5i解析：CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝－BC →－AB →＋AD →＝－(3－i)－(－2＋i)＋1＋5i ＝5i. 答案：D 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i|＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝（4＋2i ）（1－i ）2＝6－2i2＝3－i.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．(2015·天津卷)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i 是纯虚数，所以a ＋2＝0，即a ＝－2. 答案：－214．设i 为虚数单位，则1－i（1＋i ）2＝________．解析：1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）（－i ）2＝－i 2－12. 答案：－12－i 215．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．解析：由OC →＝xOA →＋yOB →得3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)＝(－x ＋y )＋(2x －y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.答案：516．已知复数a －i 与2＋b i(其中a ，b ∈R)互为共轭复数，则(a ＋b i)2＋|4＋3i|＝________．解析：因为a －i 的共轭复数为a ＋i ，依题设，得a ＋i ＝2＋b i(a ，b ∈R)，所以a ＝2，且b ＝1.因此(a ＋b i)2＋|4＋3i|＝(2＋i)2＋5＝3＋4i ＋5＝8＋4i. 答案：8＋4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是实数、纯虚数、0?解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.18．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R)．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，向量OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R)，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，所以(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38. 故实数a 的值为－38.19．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：因为z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ，所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝（4－a ）2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，所以（4－a ）2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1，7)．20．(本小题满分12分)已知复数z 的共轭复数为z －，且z ·z －－3i z ＝101－3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i. 又z ·z －－3i z ＝101－3i，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10（1＋3i ）10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1或z ＝－1－3i.21．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2.因为z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4，所以z ＝4－2i. 因为(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a <6.所以实数a 的取值范围是{a |2<a <6}．22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋bx＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值；(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .因为a >0，所以b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾，故原方程无实数根．。

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