非负数的性质：绝对值
有关绝对值的不等式
有关绝对值的不等式一、绝对值的定义我们知道，绝对值的定义为数与零的距离，即：- 当一个实数x大于或等于0时，|x|=x；- 当一个实数x小于0时，|x|=-x。
二、绝对值的性质绝对值有以下几个性质：1. 非负性：|x|≥0，即绝对值是非负数；2. 正反性：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x；3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两数之和的绝对值不大于它们绝对值的和；4. 乘法性：|ab|=|a|×|b|，即两数之积的绝对值等于它们绝对值的积；5. 倒数性：若a≠0，则|1/a|=1/|a|。
三、绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，特别是在不等式中的应用更为常见。
下面介绍几个绝对值不等式的例子。
例1：|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
解析：首先，我们假设a≥0（a<0同理可证），那么由于|x-a|≥0，所以|x-a|<b等价于-a<x-a<a。
解不等式得到 x<a+b 且 x>a-b，即x∈(a-b,a+b)。
例2：|x|<a的解集为(-a,a)。
解析：当a>0时，由|x|≥0，得出|x|<a等价于-x<a且x<a，即解不等式得到x∈(-a,a)。
例3：|x-2|-|x+2|≤0的解集为[-2,2]。
解析：当x≤-2或x≥2时，|x-2|-|x+2|≤0显然成立，因为两个绝对值的差值不大于0。
当-2<x<2时，不等式可化为(x-2)-(x+2)≤0，即-4≤0，也是成立的。
所以，综合起来，解集为[-2,2]。
总结：以上是一些关于绝对值不等式的例子，通过这些例子可以体会到绝对值在不等式中的应用和威力，希望对大家学习数学有所帮助。
七年级知识点绝对值
七年级知识点绝对值绝对值是数学中的重要概念，也是中学数学的一个基本知识点。
在七年级的数学课上，学生首先需要学习到绝对值的定义和性质，然后学会用绝对值求解各种实际问题。
本文将对七年级知识点绝对值进行详细的介绍。
一、绝对值的定义和性质绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值为非负数，记为|x|，它的定义如下：当x > 0时，|x| = x ；当x = 0时，|x| = 0 ；当x < 0时，|x| = -x 。
绝对值的性质：1. |x|≥0，即绝对值是非负数。
2. |x|= | -x |，即绝对值的值与它的相反数的值相等。
3. |x·y|= |x|·|y|，即绝对值的乘积等于各自的绝对值再相乘。
4. 对于任意实数x和y，|x+y|≤|x|+|y|，即两数的绝对值之和不大于它们的和的绝对值。
二、绝对值的运算法则1. 求相反数时，先取绝对值再取反。
2. 求倒数时，先取绝对值再取倒数。
3. 求和差积时，要先算绝对值。
三、绝对值的应用1. 在求距离问题中，绝对值可用于求两点之间的距离。
2. 在解方程时，有时需要用到绝对值，例如|x|=a可表示x=a或x=-a。
3. 在计算误差时，常用绝对值，如当真实值为a，测量值为b 时，误差为|b-a|。
四、练习题1. 请计算 |-8|÷2+|5-9|×|-1|的结果。
答案：32. 请将不等式 2|x-3|+1 < 5|x-1| 简化。
答案： 0 < 3|x-1|，即|x-1| > 0.3. 请解方程 3|x+1|-5=4x+11。
答案： x=-3或8/3。
4. 请计算直线A(-3,-1)和直线B(6,5)之间的距离。
答案：√74/2。
五、小结绝对值是七年级数学中比较重要的知识点，理解和掌握它的定义、性质和运算法则，以及应用于解决实际问题的方法，是学好数学的关键之一。
在学习过程中，要多加练习，不断提高自己的数学能力。
绝对值怎么算
绝对值怎么算绝对值是数学中的一个基础概念。
在我们日常生活中，我们常常会遇到需要计算绝对值的情况。
无论是在解方程、求距离，还是在处理数据等各种场合，绝对值都有着重要的应用。
那么，绝对值究竟是如何计算的呢？在本文中，我将为您介绍绝对值的定义、计算方法以及绝对值的性质。
首先，我们来了解一下绝对值的定义。
在数学中，绝对值通常表示为一个数的非负值。
换句话说，绝对值是表示一个数到原点的距离，而不考虑这个数本身的符号。
例如，数-5 和数5 的绝对值都是5，因为它们距离原点的距离都是 5。
接下来，我们了解一下绝对值的计算方法。
计算绝对值时，可以使用以下两种方法：方法一：如果给定的数是正数或者零，那么它的绝对值就是其本身。
例如，数 7 的绝对值就是 7，数 0 的绝对值也是 0。
因为它们本身就是非负数，所以它们的绝对值就是它们自己。
方法二：如果给定的数是负数，那么它的绝对值就是去掉负号后的值。
例如，数 -7 的绝对值就是 7。
因为 -7 距离原点的距离是 7，而不考虑其符号。
除了这两种基本的计算方法外，我们还可以通过以下性质来计算绝对值：性质一：绝对值永远是非负数。
无论一个数是正数、负数还是零，它的绝对值都是非负数。
这是因为绝对值是表示距离，而距离是不可能为负值的。
性质二：绝对值的平方等于原数的平方。
也就是说，一个数的绝对值的平方等于该数的平方。
例如，数 -5 的绝对值是 5，5 的平方是25，而 -5 的平方也是 25。
所以，绝对值的平方等于原数的平方。
性质三：两个数的绝对值之差等于它们的差的绝对值。
也就是说，如果我们有两个数 a 和 b，那么它们的绝对值之差等于它们的差的绝对值。
例如，数 3 和数 -5 的绝对值之差是 2，而它们的差的绝对值也是 2。
当然，绝对值不仅仅局限于单个数的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一组数的绝对值。
在这种情况下，我们可以按照以下步骤来计算：步骤一：找出需要计算绝对值的每个数。
绝对值的非负性及其应用
一、绝对值的非负性及其应用引例：(教材17页作业题A组3题)例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正(1)一个数的绝对值一定是正数；(2)一个数的绝对值不可能是负数；(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．知识点归纳：1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．2、绝对值是非负数一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数例题讲解例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；；(4)若｜a｜=b，则a=b；；（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。
例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（? ）．（A） ? （B） ? （C） ? （D）归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。
变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。
例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值.变式练习：11、任何一个有理数的绝对值一定(D)A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于02已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是(C)A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D)A．x＝y B．x＝－yC．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C)A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数C．a与b异号D．a与b不相等变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C)A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是(B)A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是(B)A．x＜y B．x＞yC．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B)A．0 B．1 C．2 D．3变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．变式训练11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：(1)| a|＋1有最__小__值__1__；(2)5－|a|有最__大__值__5__；(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D)A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4变式训练15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B)A．正数B．负数C．非负数D．不能确定变式训练16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．变式训练17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A)A．999 B．998 C．1997 D．0变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．变式训练19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，∴2 x－4＝0，y－3＝0，解得x＝2，y＝3，∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．变式训练20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．(1)求a，b的值；(2)求a－b，ab的值．变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值最小值是多少(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值最大值是多少。
初一数学绝对值知识点总结归纳
初一数学绝对值知识点总结归纳在初一数学中，绝对值是一个重要的概念，它常常用于解决数轴上的问题以及计算各种数值的差值。
下面我将对初一数学中的绝对值知识点进行总结归纳，以便我们更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值的定义及性质绝对值是一个非负数，表示一个数与零之间的距离。
用符号表示，即|a|，其中a表示任意实数。
1. 绝对值的定义：- 当a大于或等于零时，|a|等于a本身，即|a| = a。
- 当a小于零时，|a|等于a的相反数，即|a| = -a。
2. 绝对值的性质：- 非负性质：对于任意实数a，|a|大于或等于零，即|a| >= 0。
- 正负性质：对于任意实数a，当a大于零时，|a|等于a本身；当a小于零时，|a|等于a的相反数。
- 同值性质：对于任意实数a，如果a的绝对值等于b的绝对值，那么a和b相互等于或相互取相反数。
二、绝对值的运算法则绝对值在数学运算中有一些特殊的法则，这些法则可以帮助我们简化计算过程。
1. 绝对值与加法的法则：- |a + b|小于或等于|a| + |b|，即 |a + b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a + b| = |a| + |b|。
2. 绝对值与减法的法则：- |a - b|小于或等于|a| + |b|，即 |a - b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a - b| = |a| - |b|。
3. 绝对值与乘法的法则：- |a * b|等于|a| * |b|，即 |a * b| = |a| * |b|。
4. 绝对值与除法的法则：- |a / b|等于|a| / |b|，即 |a / b| = |a| / |b|（当b不等于0时）。
三、绝对值的应用举例绝对值在解决数轴上的问题和计算数值差值时非常常见。
下面我们用几个例子来说明绝对值的具体应用。
1. 数轴上的问题：- 某人从家出发向右行走5千米，然后又向左行走3千米，最后停在哪个位置？解：我们将向右行走的距离设为正，向左行走的距离设为负。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
数字的绝对值认识数字的绝对值概念
数字的绝对值认识数字的绝对值概念数字的绝对值：认识数字的绝对值概念数字的绝对值是我们在数学中经常遇到的概念之一。
它代表了一个数字到原点的距离，而不考虑该数字的正负。
1. 什么是数字的绝对值在数学中，绝对值指的是一个数到原点的距离，而不管该数的正负。
通常来说，我们用竖线“| |”来表示绝对值。
例如，|3| = 3， |-5| = 5。
2. 绝对值的计算方法计算一个数的绝对值很简单。
如果这个数是正数或零，那么它的绝对值就是它本身；如果这个数是负数，那么它的绝对值就是去掉负号后的值。
举例来说，|-7| = 7。
3. 绝对值在实际问题中的应用绝对值在解决实际问题中非常有用。
它能帮助我们忽略数字的正负而专注于数字的大小和距离。
例如，在温度计中，我们经常使用绝对值来表示温度的大小。
无论温度是正值或负值，绝对值表示的都是温度到零度的距离。
4. 绝对值的性质绝对值具有以下几个性质：4.1 非负性：任何数的绝对值都是非负数。
也就是说，对于任意的实数 a，|a| ≥ 0。
4.2 正数性：正数的绝对值等于它本身。
对于任意的正数a，|a| = a。
4.3 负数性：负数的绝对值等于去掉负号的值。
对于任意的负数 a，|a| = -a。
4.4 三角不等式：对于任意两个实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个性质告诉我们，两个数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加的结果。
5. 绝对值的应用举例绝对值可以应用于各种实际问题中。
以下举几个例子：5.1 距离问题：假设甲、乙两个城市之间的距离是300公里。
现在有一个人同时从这两个城市出发，他先从甲城走了100公里，然后从乙城走了200公里。
我们可以使用绝对值来计算他到达每个城市的实际行驶距离。
他到达甲城的距离为100公里，到达乙城的距离为-200公里。
计算绝对值后，甲城距离为100公里，乙城距离为200公里。
5.2 温度问题：在温度计上，我们常常看到正数和负数。
绝对值非负数(5.3)参考PPT
如果两个数的绝对值相等，那么
这两个数 a的点与原点的距离叫做数a的 绝对值. 2． |a|≥0. 3．（1）如果a＞0，那么|a|＝a；
（2）如果a＜0，那么|a|＝－a； （3）如果a＝0，那么|a|＝0.
20
随堂练习
6. 绝对值是0的数有几个？各是什么？ 答：绝对值是0的数有一个，就是0。
7.绝对值小于3的整数一共有多少个？ 答：绝对值小于3的整数一共有5个，
它们分别是－2，－1，0，1，2。 24
8.化简
5 _5__
5 _5__
5 _-_5 _ 5 _-5__ (0.3)_0._3 _
25
9.计算
2、(1)、若│x-3│+ │y+5│=0，求 x+y= _________
（2）、若│x-2│+ │y-3│=0，求 x·y=
_________
16
11．已知|x－4| + |1－y| ＝0，求3x＋4y 的 值.
解: 因为 |x－4| ＋ |1－y| =0, 所以 x-4＝0, 1－y＝0.
所以 x＝4, y＝1.
1．下列说法正确的是（ Ｃ ）
Ａ．有理数的绝对值一定是正数 Ｂ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个 数相等 Ｃ．符号相反且绝对值相等的数互为相反数 Ｄ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数 轴上离原点越近
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2．判断下列说法是否正确.
（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4.× （2）|3|＞0.√ （3）|－1.3|＞0.√ （4）有理数的绝对值一定是正数.× （5）若a＝－b，则|a|＝|b|. √ （6）若|a|＝|b|，则a＝b.× （7）若|a|＝－a，则a必为负数.× （8）互为相反数的两个数的绝对值相等.√
绝对值的概念和性质
绝对值的概念和性质绝对值是数学中的一个重要概念，在解决数学问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍绝对值的基本概念、常见性质及其在数学和实际问题中的应用。
一、绝对值的概念绝对值，也称为绝对数，是一个非负实数，表示一个数与零的距离。
用符号|a|表示，其中a为任意实数。
绝对值可以表示为以下形式：1）当a ≥ 0时，|a| = a；2）当a < 0时，|a| = -a。
绝对值的定义保证了无论输入的数是正数还是负数，其绝对值都为非负数。
二、绝对值的性质绝对值具有以下几个重要的性质：1）非负性：对于任意实数a，|a| ≥ 0。
2）正负性：如果a > 0，则|a| = a；如果a < 0，则|a| = -a。
3）零性：当且仅当a = 0时，|a| = 0。
4）加减性：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
5）乘性：对于任意实数a和b，有|ab| = |a| |b|。
绝对值的这些性质在数学运算和证明中经常被使用，能够简化计算和推导过程。
三、绝对值的数学应用1）解绝对值方程和不等式：绝对值方程和不等式是解决数学中常见问题的基本工具之一。
通过将方程或不等式中的绝对值符号去除，然后根据绝对值的定义和性质进行求解，可以得到问题的具体解。
2）数轴和距离的表示：绝对值可以通过数轴来表示，对于一个实数a，它在数轴上的绝对值表示了a到原点的距离。
这种表示方法在解决距离相关问题，如两点之间的距离、物体运动距离等方面具有广泛的应用。
3）函数和图像的处理：函数中经常涉及到绝对值，例如绝对值函数。
绝对值函数的图像呈现V字形状，函数在x = 0处取得最小值。
利用绝对值函数的性质，我们可以解决很多实际问题，如优化问题、求最值等。
四、绝对值的实际应用绝对值的应用不仅仅局限于数学领域，它在物理、工程、经济和计算机科学等领域也有广泛的应用。
1）物理学中的速度和加速度：绝对值可以用来表示物体的速度和加速度，以及它们的变化率。
绝对值函数的性质和应用
绝对值函数的性质和应用绝对值函数是一种常见的数学函数，在许多领域中都有重要的应用。
它的性质和应用在实际问题中起着重要的作用。
本文将探讨绝对值函数的基本性质，并且介绍一些常见的应用场景。
一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数表示为 |x|，其中x是实数。
它的定义是当x大于等于0时，|x|等于x，当x小于0时，|x|等于-x。
绝对值函数具有以下基本性质：1. 非负性质：对于任意实数x，|x|大于等于0，即绝对值函数的结果永远是一个非负数。
2. 正定性质：对于任意实数x，当且仅当x等于0时，|x|等于0，即绝对值函数的结果为0的充要条件是x等于0。
3. 对称性质：对于任意实数x，|x|等于|-x|，即绝对值函数关于y轴对称。
4. 三角不等式：对于任意的实数x和y，有| x + y | ≤ |x| + |y|，即绝对值函数满足三角不等式。
二、绝对值函数的应用绝对值函数的性质使得它在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
考虑平面上两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d =|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|。
这是因为在平面上，我们可以通过沿x轴和y轴的位移来到达目标点，绝对值函数保证了我们计算的是位移的绝对值。
2. 条件约束在一些实际问题中，我们需要对变量进行条件约束。
绝对值函数可以帮助我们实现这样的约束。
例如，假设我们希望找到一个使得函数f(x)达到最小值的x值，同时限制x的取值范围在[a, b]之间。
我们可以构造一个新的函数g(x) = f(x) + k|x - c|，其中k是一个正数，c是[a, b]之间的任意点。
然后，我们只需要找到使得g(x)达到最小值的x值，即可满足条件约束。
3. 求解不等式绝对值函数在求解不等式时也有很多应用。
考虑不等式|f(x)| ≤ g(x)，我们可以将它转化为两个不等式来求解。
61.怎样用非负数的性质解题---刘培杰 代数
61 怎样用非负数的性质解题在实数范围内，正数和零统称为非负数．中学数学中非负数包含数的绝对值、算术根、任一实数的偶次幂和两点间的距离及点到直线的距离．非负数是中学数学中的重要概念之一，并因其用途广泛而具有重要地位．非负数的性质有：有限个非负数的和、积仍为非负数；非负数的乘方为非负数；非负数的商仍为非负数(除数不为零)；若有限个非负数的和等于零，则其中每一个非负数必等于零；在实数中，有最小的非负数零，而无最大的非负数一、绝对值绝对值的代数定义(略)较简单，但最难理解之处，亦即读者最易犯错误之处，是当a<0时，︳a|=-a ．这里关键是在去掉绝对值符号时，必须弄清绝对值内的式子或字母的正负号，必要时须讨论．其几何定义是，在数轴上，表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．绝对值有如下性质：在实数范围内有最小的绝对值零；任何实数都有唯一的绝对值；对任何实数a ，有一｜ a ｜≤a≤｜ a ｜，｜ a ｜=｜—a ｜，｜ab ｜= ｜a|． >+≤±≤-=/=|||,||||||1||),0(|||||||,a b a b a b a b b a b a b |,|||||||||22a b a b Ra b a b a b <<-⇔-<>⇔>⇔ 绝对值小于正数a 的整数是一a 到a 之间奇数个整数，如｜ a ｜<3．8，则a 的整数值为一3，一2，一l ，0，1，2，3，零居中． 二、算术根正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根，零的n 次方根也叫做零的算术根，引入算术根，不但解决了实数集里方根记号的单值性，而且因为在实数集内方根总可用算术根表示，从而为根式的运算和化简提供了理论依据．算术根有如下性质(n>1，且为整数，a≥0，b≥0)：==nn nn ba b a ab 1,(),0(>∈=>p N m a a b ba n m npmp nn 且为整数)，)()(N m a a n m m n ∈=(当m=n 时，有 1(),)(>=m a aa a nn mnn且为整数)，特别要指出算术平方根.||2a a =三、非负数的应用1．比较大小．例1 比较下列各组数的大小．).4(3241)1(≥-+---+-a a a h a a.|2|/|1|)2(+-a h a解 (1)因为45252)41(22+-+-=-+-a a a a a 65252)32(22+-+-=-+-a a a a a所以 3241-+-<-+-a a a a注 本例通过比较两式平方的大小来判断． (2)考虑|,)2(||1||2||1|----=+--a a a a 有： 当a<一2时，;03)2(1|2||1|>=----=+--a a a a 当一2≤a≤1时=+--=+--)2(1|2||1|a a a a⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-==-<≤->--12/1,0;2/1,02/12,021a a a a当a>1时，.03)2()1(|2||1|<-=+--=+--a a a a 综上所得，当21-<a 时，|;2||1|+>-a a 当21-=a 时，|;2||1|+=-a a 当21->a 时，.|2||1|+<-a a注 本例采用“零点分段讨论法”，先求出使绝对值号内各式为零的字母的值，并按从小至大的顺序排列将数轴分为若干区间，在各区间上讨论绝对值内各式的符号，再分段化简．运用此法时要仔细、要完整．2．化简．例2 化简下列各式：).0())(()1(322223<<-+-+--a b b ab b a b a b a a .1212)2(--+-+x x x x解 (1)原式： b a b b a b a b a a -+-+--||||||因为b<a<0，所以0,0<+>-b a b a原式0])([=--++-=b a b b a a(2)将原式配方，得=+---++-+-112)1(112)1(22x x x x=--++-22)11()11(x x|11||11|--++-x x而,011>+-x 所以当x≥2时，;011>--x 当1≤x≤2，--1x 1<0．所以原式⎩⎨⎧<≤≥-=21,22,12x x x3．求代数式的值．例3 求下列各式的值：||)1(abc abc (实数a ，b ，c 满足).1|1||||=++cc b b a a ).0442|2|1,,,())(2(22=+-+++-±-∈-z z z y y x R z y x y x解 (1)由,1||||||=++cc b b a a 易知a,b ，c 三数为两正一负，故.1||-=-=abc abc abc abc -+++-=+-+++-z z y y x z z z y y x （2|2|,0442|2|)2(2,0)22=解得x=一2，y=一4，z=2，故.4)]4(2[)(22=---=-y x例4 已知方程05102=+-a x x 有两个不等的实根，求-+-7||6|a 251022+--a a a 的值． 解 由已知，,0514)10(2>⨯⨯--=∆a 有a<5，所以原式= =---+-2)5(2|7|||a a b a=---+-|5|2|7||6|a a a 3)5(2)7()6(=---+-a a a例5 当2121<≤-x 时，求2221)21(1x x y ---=的最大值． 解 =----=---=2224222211|2|1441)21(1x x x x x x x x y1121|2|22-=-x xx由,2121<≤-x 得,2102≤≤x 所以21x的最小值是2，所以Y 的最大值等于2． 例6求a ，b 的值，使代数式4010822---+-b b a a 有最大值，并求出最大值．解 原式=.)5()4(122+---b a 因为2)4(-a 和2)5(+b 均为非负数，故当2)4(-a 和2)5(+b 均为零时，原代数式有最大值，即当a=4，b=一5时，原代数式有最大值l ．4．求字母的值．例7 已知关于x 的方程a x =--|1|2||有三个整数解，求a 的值．解 显然a≥0，若a=0原式成为｜x 一2 ｜=1，不可能有三个整数解，故a>0．于是有｜x 一2 ｜一1=±a，即｜x 一2｜ =1+a ① ｜x 一2 ｜=1一a ②由①可知x 有两整数解x=3+a 或x=1一a ；由②可知x 有两整数解x=3一a 或x=1+a ．要使共有三个整数解，必须其中出现重根．因为a>0，3+a>1+a>1一a ，只有3一a=1+a ，所以a=1．例8在实数范围内，设x 为1992]115)11(1)1)(2()1)(2[aa aa a a a +++++-++-+（ 求x 的个位数字是几．解 要使两个根式均有意义，必须(a+2)(｜a ｜一1)≥0且(a+2)(1一｜a ｜)≥0，但(a+2)(｜a ｜—1)=一(a+2)(1一｜a ｜)，所以(a+2)(1一｜a ｜)=O ，解得a=一2，一l ，1．而a=一2，一l 时均有分母为零情况，故a=1．代入得,)81(3349849841992===⨯x 所以x 的个位数字是1．例9 已知a 。
第一章 有理数 考点6 非负数的性质：绝对值(解析板)
第一章有理数（解析板）6、非负数的性质：绝对值知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共9小题）1．若|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，则（a﹣1）（b+2）（c﹣3）的值是（）A．﹣48B．48C．0D．无法确定【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴（a﹣1）（b+2）（c﹣3）＝﹣2×4×（﹣6）＝48．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，则x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；因此a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．4．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）A．零B．非负数C．正数D．非正数【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案．【解答】解：m是有理数，则|m|﹣m一定是0或正数，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，注意非负数的绝对值是它的相反数．5．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则x+y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：因为|x+2|+|y﹣3|＝0，所以x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，x+y＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．6．|a﹣2|+|b+1|＝0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．﹣2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2＝（2﹣1）2＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．7．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．4D．2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，所以a+1＝0，b+3＝0，解得，a＝﹣1，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，故选：D．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．8．已知|x﹣2|+＝0，则点P（x，y）在直角坐标系中（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标确定位置．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴点P的坐标是（2，﹣3），∴点P位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．9．若|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，则a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．4029D．﹣4029【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知a＝2019，b＝2020，然后求得a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，∴|a﹣2019|+|b﹣2020|＝0．∴a﹣2019＝0，b﹣2020＝0，∴a＝2019，b＝2020．∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．二．填空题（共18小题）10．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是6．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．故答案为：3，6．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．11．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，∴x＝，y＝1，所以xy＝，故答案为：【点评】此题考查非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值．12．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可得解．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以，a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝9．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．【解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a﹣b＝4+5＝9．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算得到答案．【解答】解：∵|x﹣6|+|y+5|＝0，∴x﹣6＝0，y+5＝0，解得，x＝6，y＝﹣5，则x+y＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．15．若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x+y＝3．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性可得x+2＝0，y﹣5＝0，再解方程即可．【解答】解：∵|x+2|+|y﹣5|＝0，∴x+2＝0，y﹣5＝0，解得：x＝﹣2，y＝5，∴x+y＝﹣2+5＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．16．若|m+3|与|5﹣n|互为相反数，则mn＝﹣15．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，即可求出mn的值．【解答】解：∵|m+3|与|5﹣n|互为相反数，即|m+3|+|5﹣n|＝0，∴m+3＝0，5﹣n＝0，解得：m＝﹣3，n＝5，则mn＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质：绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若|a﹣2|+|b+3|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知；a﹣2＝0，b+3＝0，从而可求得a＝2，b＝﹣3，然后利用有理数的加法法则计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0．∴a＝2，b＝﹣3．∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是非负数的性质和有理数的加法，掌握非负数的性质是解题的关键．18．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则2x﹣y＝﹣7．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，2x﹣y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19．若|m﹣2|+|n+3|＝0，则2n﹣3m＝﹣12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得到算式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则2n﹣3m＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．20．如果|a﹣1|+|b+2|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．21．若|x|＝2，则x＝±2；已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，则3a+2b的值12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的意义解答；根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2；∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，所以，3a+2b＝3×2+2×3＝6+6＝12．故答案为：±2，12．【点评】本题考查了绝对值的意义，非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出x﹣2＝0，y+3＝0，进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，故x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．23．若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则b﹣2a＝4．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相减即可得解．【解答】解：∵|a+1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a+1|+|b﹣2|＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以b﹣2a＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．24．若|x﹣2|与|y+1|互为相反数，则xy＝﹣2．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的概念列出等式，根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，|x﹣2|+|y+1|＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，则xy＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是非负数的性质、相反数的概念、有理数的乘法，掌握绝对值的非负性是解题的关键．25．|x﹣3|+|y+2|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入代数式中求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5．故答案是：5．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．26．若|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b＝﹣5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了非负数的性质，解答此题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则a b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0，再根据绝对值，可得a，b的值，可得答案．【解答】解：|a+1|+|2013﹣b|＝0，∴a+1＝0，2013﹣b＝0，a＝﹣1，b＝2013，∴a b＝（﹣1）2013＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0是解题关键．三．解答题（共9小题）28．如果|x﹣2|+|y+8|＝0，求x﹣y的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+8＝0，解得x＝2，y＝﹣8，所以，x﹣y＝2﹣（﹣8）＝2+8＝10．即x﹣y的值是10．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值；（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．【解答】解：（1）由题意，得，解得．即x＝2，y＝﹣3，z＝5；（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，即|x|+|y|﹣|z|的值是0．【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．30．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x＝，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×﹣4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．31．红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，∴|x|＝0，|y|＝0，∴x＝0，y＝0．请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值进而得出答案．【解答】解：∵|m﹣4|+|n|＝0，∴|m﹣4|＝0，|n|＝0∴m＝4，n＝0，故m+n＝4．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．32．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+3|≥0，|b﹣5|≥0且|a+3|+|b﹣5|＝0，∴|a+3|＝0，|b﹣5|＝0即：a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5又∵x、y互为相反数，∴x+y＝0，∴原式＝3×0﹣（﹣3）+2×5＝13．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．33．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入x﹣y中求值，最后根据相反数的定义求出x﹣y的相反数．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3，∴x﹣y的相反数是﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．34．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可确定出（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【解答】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，c+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）＝﹣2×0×（﹣6）＝0．【点评】此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值得出x﹣1＝0，y+2＝0，再代入求值即可．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴（x﹣1）（y+2）＝0．【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，整体思想的应用是本题的关键．36．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）比较a+与|b+|大小，并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先由|2a+b|与互为相反数，列出等式，再根据绝对值和算术平方根的非负性得出a和b的值，然后计算2a﹣3b的平方根即可；（2）将a和b的值分别代入a+与|b+|，然后用“作差法“比较大小即可．【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，∴|2a+b|+＝0，∴2a+b＝0，3b+12＝0，解得：b＝﹣4，a＝2，∴2a﹣3b＝4+12＝16，∴2a﹣3b的平方根是±4；（2）∵a＝2，b＝﹣4，∴a+＝2+，|b+|＝|﹣4+|＝4﹣，∵2+﹣（4﹣）＝2+﹣4+＝+﹣2＞0，∴2+＞4﹣，∴a+＞|b+|．【点评】本题考查了相反数的意义、绝对值和算术平方根的非负性、求平方根及实数的大小比较等基础知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
绝对值的定义与性质
绝对值的定义与性质绝对值是数学中一个重要的概念，它具有独特的定义和一系列的性质。
本文将针对绝对值的定义及其性质进行讨论，旨在帮助读者深入理解这一概念。
一、绝对值的定义绝对值，也称为绝对数，表示一个实数到原点的距离。
它的定义如下：对于任意实数x，绝对值|x|的值如下：1）当x为非负数时，|x| = x；2）当x为负数时，|x| = -x。
可以看出，绝对值的定义分为两种情况：当x为非负数时，绝对值等于本身；当x为负数时，绝对值等于相反数。
二、绝对值的性质绝对值具有一系列的性质，下面将依次介绍这些性质及其证明。
性质1：非负性（Non-negativity）对于任意实数x，有|x| ≥ 0。
证明：1）当x ≥ 0时，根据绝对值的定义，|x| = x，且x ≥ 0，两者都是非负数，所以|x| ≥ 0成立。
者都是正数，所以|x| ≥ 0成立。
因此，绝对值的非负性得以证明。
性质2：正值性（Positivity）对于任意非零实数x，有|x| > 0。
证明：1）当x > 0时，根据绝对值的定义，|x| = x，且x > 0，显然|x| > 0成立。
2）当x < 0时，根据绝对值的定义，|x| = -x，且x < 0，-x > 0，显然|x| > 0成立。
因此，绝对值的正值性得以证明。
性质3：同号相乘（Multiplication of Like Signs）对于任意实数x和y，若x和y具有相同的符号，则有|x * y| = |x| * |y|。
证明：1）当x ≥ 0且y ≥ 0时，根据绝对值的定义，|x| = x，|y| = y，|x * y| = x * y。
而x和y具有相同的符号，所以|x * y| = x * y = |x| * |y|。
y| = (-x) * (-y)。
而x和y具有相同的符号，所以|x * y| = (-x) * (-y) = |x| * |y|。
1.2.4绝对值-绝对值的非负性(教案)
今天在教授《绝对值-绝对值的非负性》这一章节时，我发现学生们对于绝对值的概念理解起来有一定的难度。在讲解过程中，我尽量用生活中的例子来帮助他们理解，比如解释温度变化时，我们只关心温差的大小，而不关心是升高还是降低。这样的例子似乎让学生们更容易接受。
在理论介绍环节，我注意到有些学生对绝对值的非负性感到困惑，尤其是当原数是负数时，他们不太能理解为什么绝对值会是正数。为了解决这个问题，我采用了数轴上的点来形象地表示不同有理数，并通过移动这些点来展示绝对值的计算过程。这样的可视化教学让学生们更直观地理解了绝对值的性质。
-熟悉绝对值的表示方法：学生应学会用符号“| |”来表示一个数的绝对值，如|3|表示3的绝对值。
-掌握绝对值的性质，特别是非负性：强调无论原数是正数、负数还是零，其绝对值都是非负数。
-能够运用绝对值比较两个有理数的大小：通过比较两数绝对值的大小，判断两数在数轴上的位置关系。
举例：讲解绝对值的非负性时，可以举例说明|-5| = 5，|0| = 0，强调绝对值始终为非负数。
针对教学难点与重点，教师应采用直观演示、案例分析和问题驱动的教学方法，通过具体实例和互动讨论，帮助学生克服难点，深入理解绝对值的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《绝对值-绝对值的非负性》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要不考虑方向，只关心距离的情况？”（例如，测量温度变化时，只关心温差的大小，不考虑是升高还是降低。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索绝对值的非负性的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
非负数的性质：绝对值
⾮负数的性质：绝对值默认标题-2012年2⽉14⽇⼀、选择题（共18⼩题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、20012、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（）A、﹣1B、1C、3D、53、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（）A、5B、1C、2D、04、若|a|+|b|=0，则a与b的⼤⼩关系是（）A、a=b=0B、a与b互为相反数C、a与b异号D、a与b不相等5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（）A、﹣B、C、D、16、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（）A、负数B、⾮负数C、正数D、⾮正数7、对任意有理数a，在式⼦1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（）A、|a|+1B、1﹣|a|8、在式⼦|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，⽤不同的x值代⼊，得到对应的值，在这些对应值中，最⼩的值是（）A、1B、2C、3D、49、任意有理数a，式⼦1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（）A、1﹣|a|B、|a+1|C、|﹣a|+aD、|a|+110、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下⾯四个结论中正确的是（）A、y没有最⼩值B、只有⼀个x使y取最⼩值C、有限个x（不⽌⼀个）y取最⼩值D、有⽆穷多个x使y取最⼩值11、如果a、b表⽰的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（）A、b互为相反数B、a=b=0C、a和b符号相反D、a，b的值不存在12、如果|a3﹣b3|=﹣|a|3+b3，那么下列不等式中成⽴的是（）A、a＞bB、a＜bC、a≥bD、a≤b13、已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是⼀个确定的常数，则这个常数是（）A、5B、10C、15D、7514、若x表⽰有理数，则|x|+x的值为（）A、正数B、⾮正数15、任何⼀个有理数的绝对值⼀定（）C、不⼤于0D、不⼩于016、如果|a|+|b|=0则a与b的⼤⼩关系⼀定是（）A、a=b=0B、a与b不相等C、a与b互为相反数D、a与b异号17、⾮负数是（）A、正数B、零C、正数和零D、⾃然数18、已知：|2x﹣3|+|y+2|=0，⽐较x，y的⼤⼩关系，正确的⼀组是（）A、x＜yB、x＞yC、x=yD、与x，y的取值有关，⽆法⽐较⼆、填空题（共6⼩题）19、（2011?河北）若|x﹣3|+|y+2|=0，则x+y的值为_________．20、如果|a|+|b﹣1|=0，则a+b=_________．21、若|a﹣4|+|b+5|=0，则a﹣b=_________．22、若|2﹣x|+|y﹣3|=0，则x=_________，y=_________．23、若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a b=_________．24、若|x+3|+|y﹣2|=0，则x+y=_________．三、解答题（共6⼩题）25、附加题：（1）已知|a﹣2|+|b+6|=0，则a+b=_________（2）求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值．26、若|x﹣1|+|y+2|=0，求x+y的值．27、已知|2﹣b|与|a﹣b+4|互为相反数，求ab﹣2007的值．28、已知|a﹣2|+|3b﹣1|+|c﹣4|=0，求a+6b+2c的值．29、（1）已知|x﹣5|=3，求x的值；（2）已知n=4，且|x﹣5|+|y﹣2n|=0，求x﹣y+8的值．30、已知，|a+3.5|+|b﹣9|+|c﹣13.5|=0，则ab+c=_________答案与评分标准⼀、选择题（共18⼩题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、2001考点：绝对值；⾮负数的性质：绝对值。
七年级数学暑假衔接《非负数的性质：绝对值》典型例题分析
例4、（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是 ﹣1 ．
（2）当 a＝ 1 时，|1﹣a|+2 会有最小值，且最小值是 2 ．
（3）当 x＝
时，5﹣|2x﹣3|有最大值．
【思路点拨】（1）根据绝对值的非负性解决此题． （2）根据绝对值的非负性解决此题． （3）根据绝对值的非负性解决此题．
例2、若|a﹣2|+|b+3|＝0，则a﹣b的值为 5 ． 【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0， 解得，a＝2，b＝﹣3， 则a﹣b＝5， 故答案为：5． 【考点评析】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那 么每一个加数也必为零是解题的关键．
（3）∵|2x﹣3|≥0， ∴﹣|2x﹣3|≤0． ∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5． ∴当 2x﹣3＝0，即 x＝ 时，5﹣|2x﹣3|取得最大值 5．
故答案为： ． 【考点评析】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
本课结束
【规范解答】解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0， ∴当|a+2|+|b﹣1|＝0，则 a+2＝0，b﹣1＝0． ∴a＝﹣2，b＝1． ∴a+b＝﹣2+1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）∵|1﹣a|≥0， ∴|1﹣a|+2≥2． ∴当 1﹣a＝0，即 a＝1，此时|1﹣a|+2 取得最小值 2． 故答案为：1，2．
七年级数学暑假衔接《非负数的 性质：绝对值》典型例题分析
初中数学《非负数的性质—绝对值》典型题精编
初中数学《非负数的性质—绝对值》典型题精编一、选择题1. △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan 2B −3|+(2sinA −√3)2=0，则△ABC 是( )A. 直角(不等腰)三角形B. 等边三角形C. 等腰(不等边)三角形D. 等腰直角三角形2. 已知√a −2+|b +3|=0，则P(—a,—b)的坐标为( )A. (2,3)B. (2,—3)C. (—2,3)D. (—2,—3)3. 已知：|m −2|+(n −1)2=0，则方程2m +x =n 的解为( )A. x =−4B. x =−3C. x =−2D. x =−14. 已知有理数x ，y 满足√x −1+|y +3|=0，则x +y 的值为( )A. −2B. 2C. 4D. −45. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(a −3)2+√b −4+|c −5|=0，则三角形的形状是()A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形6. 已知|m +3|与(n −2)2互为相反数，那么m n 等于( )A. 6B. −6C. 9D. −97. 若|3x −2y −1|+√x +y −2=0，则x ，y 的值为( )A. {x =1y =4B. {x =2y =0C. {x =0y =2D. {x =1y =18. 若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a −5|+(b −3)2=0，则c 的值可以为( )A. 7B. 8C. 9D. 109. 若|x +y +2|+(xy −1)2=0，则(3x −xy +1)−(xy −3y −2)的值为( )A. 3B. −3C. −5D. 1110. 如果|a +3|+(b −2)2=0，那么代数式(a +b)2017的值为( )A. 5B. −5C. 1D. −111. 在△ABC 中，若(2cosA −√2)2+|1−tanB|=0，则△ABC 一定是 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 若a ，b 为实数，且|a −3|+(b +2)2=0，点P(−a,−b)的坐标是( )A. (−2,3)B. (2,−3)C. (−3,2)D. (−3,−2)13. 已知√a −2+|b −2a|=0，则a +2b 的值是( )A. 4B. 6C. 8D. 1014.已知实数a，b满足|a−2|+(b−4)2=0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是()A. 10B. 8或10C. 8D. 以上都不对15.方程|4x−8|+√x−y−m=0，当y>0时，m的取值范围是()A. 0<m<1B. m≥2C. m<2D. m≤216.若|a+1|+√b+3+c2−4c+4=0，则a+b2+c3的值等于()A. 0B. 6C. 16D. 2217.若m、n满足|m+1|+(n−2)2=0，则m n的值等于()A. −1B. 1C. −2D. 1418.下列各式中，一定是负数的是()A. −aB. −|a|C. −a3D. −a2−119.若|m−4|+(n+2)2=0，则mn的值是()A. 16B. −16C. 8D. −820.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a−5)2+|b−12|+√c−13=0，则△ABC()A. 不是直角三角形B. 是以a为斜边的直角三角形C. 是以b为斜边的直角三角形D. 是以c为斜边的直角三角形二、填空题21.若√a−2+|b+1|=0，则(a+b)2020=______．22.已知√x+3+|3x+2y−15|=0，则√x+y的算术平方根为______．23.已知√a−b+|b−1|=0，则a+1=______．24.若|a−2|+(b−3)2=0，则a b的值为______．25.若|6−x|与|y+9|互为相反数，则x=______，y=______，(x+y)÷(x−y)=______．26.若实数x，y满足(2x+3)2+|9−4y|=0，则xy的立方根为______．27.若|a−2|+(b−5)2=0，则点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为______．28.已知|2x−y−1|+(x+y−5)2=0，则x=______，y=______．29.若|a−2|与|b+3|互为相反数，则a−b的值为______ ．30.已知|a−2|+|3−b|=0，则a+b=______．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了非负数的性质以及等边三角形的判定，利用非负数的性质得出tan2B−3=0，2sinA−√3=0是解题关键，又利用了特殊角三角函数值．根据非负数的性质，可得特殊角三角函数，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由|tan2B−3|+(2sinA−√3)2=0，得tan2B−3=0，2sinA−√3=0，由∠A，∠B均为锐角，得tanB=√3，sinA=√3，2A=60°，B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴∠C=∠A=∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了点的坐标，非负数的性质，正确求出a，b的值是解题的关键.先由√a−2+|b+3|=0，根据非负数的性质求出a=2，b=−3，进而求解即可．【解答】解：∵√a−2+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，∴a=2，b=−3，∴P(−a,−b)的坐标为(−2,3)，故C正确．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查学生对解一元一次方程，和非负数的性质的理解和掌握，根据绝对值和偶次方不可能为负数，即|m−2|=0，(n−1)2=0，解得m、n的值，然后代入方程即可求解．【解答】解：∵|m−2|+(n−1)2=0，∴|m−2|=0，(n−1)2=0，∴m−2=0，n−1=0，解得：m=2，n=1，将m=2，n=1代入方程2m+x=n，得4+x=1移项，得x=−3．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了本题考查了算术平方根及绝对值的非负性；明确几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后代入求值即可．【解答】解：∵√x−1+|y+3|=0，∴x−1=0，y+3=0；∴x=1，y=−3，∴原式=1+(−3)=−2故选：A．5.【答案】D【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．【解答】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，由非负数的性质可得：(a−3)2≥0，√b−4≥0，|c−5|≥0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=9+16=25=52=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|m+3|与(n−2)2互为相反数，∴|m+3|+(n−2)2=0，∴m+3=0，n−2=0，解得m=−3，n=2，所以，m n=(−3)2=9．故选C．7.【答案】D【解析】本题考查二元一次方程组的解法和应用，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：{3x −2y −1=0x +y −2=0， 解得：{x =1y =1， 故选D ．8.【答案】A【解析】解：由题意得，a −5=0，b −3=0，解得a =5，b =3，∵5−3=2，5+3=8，∴2<c <8，∴c 的值可以为7．故选A ．根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c 的取值范围，然后解答即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．9.【答案】C【解析】解：由|x +y +2|+(xy −1)2=0，得x +y +2=0，xy −1=0，即x +y =−2，xy =1，则(3x −xy +1)−(xy −3y −2)=3x −xy +1−xy +3y +2=3x +3y −2xy +3=3(x +y)−2xy +3=3×(−2)−2+3故选：C．根据非负数的和为零，x+y与xy的值，再根据代数式求值，可得答案．本题考查了整式的加减，利用非负数的性质求出x+y与xy的值是解题关键．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a+3=0，b−2=0，解得a=−3，b=2，所以(a+b)2017=(−3+2)2017=−1．故选D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由，(2cosA−√2)2+|1−tanB|=0，得2cosA=√2，1−tanB=0．解得A=45°，B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选D．12.【答案】C【解析】解：∵|a−3|+(b+2)2=0，∴a−3=0，b+2=0，∴a=3，b=−2，∴P(−3,2)，故选：C．先根据非负数的性质求出a，b的值，即可确定P点的坐标．本题考查了点的坐标，解决本题的关键是先根据非负数的性质求出a，b的值．13.【答案】D【解析】解：∵√a−2+|b−2a|=0，∴a−2=0，b−2a=0，解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故选：D．直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．14.【答案】A【解析】解：根据题意得a−2=0，b−4=0，解得a=2，b=4，①a=2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a=2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2=4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断．15.【答案】C【解析】解：根据题意得：{4x −8=0x −y −m =0， 解方程组就可以得到{x =2y =2−m， 根据题意得2−m >0，解得：m <2．故选C ．先根据非负数的性质列出方程组，用m 表示出y 的值，再根据y >0，就得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．本题考查了初中范围内的两个非负数，利用非负数的性质转化为解方程，这是考试中经常出现的题目类型． 16.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确得出a ，b ，c 的值是解题关键．首先根据绝对值的非负性，二次根式的非负性和偶次方的非负性求出a ，b ，c 的值，然后代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵|a +1|+√b +3+c 2−4c +4=0，∴|a +1|+√b +3+(c −2)2=0，∴a =−1，b =−3，c =2，∴a +b 2+c 3=−1+9+8=16．故选C ．17.【答案】B【解析】解：∵|m +1|+(n −2)2=0，∴m +1=0，n −2=0，∴m =−1，n =2，∴m n =(−1)2=1．故选：B ．根据非负数的性质求出m 、n 的值，代入所求代数式计算即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．18.【答案】D【解析】解：当a=0时，A、B、C都不是负数，不论a取什么值，a2+1>0，即−(a2+1)<0，一定是负数；故选：D．根据负数的意义：负数小于0，小于0的数为负数进行判断选择．本题主要考查正数和负数的知识点，掌握负数的定义是解答此题的关键．19.【答案】D【解析】解：∵|m−4|+(n+2)2=0，∴m−4=0，n+2=0，解得，m=4，n=−2，∴mn=4×(−2)=−8，故选：D．首先根据非负数的性质，得出m与n的值，然后代入mn中求值即可．题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．20.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确得出a，b，c的值是解题关键．直接利用绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：∵(a−5)2+|b−12|+√c−13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．故选：D．【解析】解：∵√a−2+|b+1|=0，∴a−2=0且b+1=0，解得，a=2，b=−1，∴(a+b)2020=(2−1)2020=1，故答案为：1．根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．本题考查非负数的意义，掌握非负数的意义求出a、b的值是解决问题的关键．22.【答案】√3【解析】【分析】本题考查了非负数的性质．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得：x+3=0，3x+2y−15=0，解得x=−3，y=12，所以√x+y=√−3+12=3，所以√x+y的算术平方根为√3．故答案为√3．23.【答案】2【解析】解：∵√a−b+|b−1|=0，∴b−1=0，a−b=0，解得：b=1，a=1，故a+1=2．故答案为：2．直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【解析】解：∵|a−2|+(b−3)2=0，∴a−2=0，b−3=0，解得：a=2，b=3，则a b的值为：23=8．故答案为：8．直接利用偶次方的性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．25.【答案】6 −9−15【解析】解：由题意得，|6−x|+|y+9|=0，则6−x=0，y+9=0，解得，x=6，y=−9，则(x+y)÷(x−y)=−1，5．故答案为：6；−9；−15根据相反数的概念列出算式，求出x、y的值，计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．26.【答案】−32【解析】【分析】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．【解答】解：∵(2x+3)2+|9−4y|=0，∴2x+3=0，解得x=−3，29−4y=0，解得y=9，4xy =−32×94=−278， ∴xy 的立方根为−32．故答案为−32． 27.【答案】(2,−5)【解析】【分析】根据非负数的性质求出a 、b 的值，从而得到点P 的坐标，再根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解答】解：由题意得，a −2=0，b −5=0，解得a =2，b =5，所以，点P 的坐标为(2,5)，所以，点P (a,b)关于x 轴对称的点的坐标为(2,−5)．故答案为：(2,−5)．28.【答案】2 3【解析】解：根据题意得：{2x −y −1=0x +y −5=0， 解得：{x =2y =3． 首先根据绝对值与偶次方的非负性，根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x 、y 的值．本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：(1)绝对值；(2)偶次方；(3)二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目．29.【答案】5【解析】解：由题意得，|a−2|+|b+3|=0，则a−2=0，b+3=0，解得，a=2，b=−3，则a−b=2−(−3)=5，故答案为：5．根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．30.【答案】5【解析】解：由题意得：a−2=0，3−b=0，解得：a=2，b=3，则a+b=2+3=5，故答案为：5．根据绝对值具有非负性可得a−2=0，3−b=0，解出a、b的值，进而可得答案．此题主要考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值具有非负性．。
专题05 绝对值及其几何意义(原卷版)
第5讲绝对值及其几何意义绝对值的性质知识点1〔1〕非负性：任何一个数 a 的绝对值都是非负数，即：|a|≥0，绝对值的最小值为0〔非负数的性质：几个非负数的和为 0，那么这几个非负数均为 0〕〔2〕去绝对值号：|a|= 特别提醒：|a|≠±a，|a|≠a1．如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|＝5，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，那么x+2y＝．2．|x|＝3，|y|＝2，且|x﹣y|＝y﹣x，那么x﹣y＝．3．|x﹣y|＝y﹣x，|x|＝2，|y|＝3，那么x+y＝．4．|n|＝6，m＝|﹣4|，且|m+n|＝m+n，那么m﹣n的值是．5．如果x、y都是不为0的有理数，那么代数式的最小值是．6．假设|5﹣a﹣b|＝2a+2b，那么3a+3b+1＝．7．有理数a，b满足ab＜0，4a+b﹣3＝|b﹣a|，那么a +b的值为．8．|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：〔1〕判断正负，用“＞〞或“＜〞填空：b﹣c0，b﹣a0，c﹣a0．〔2〕化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．10．a、b、c在数轴上的位置如图，那么：〔1〕用“＞、＜、＝〞填空：a0，b0，c0．〔2〕用“＞、＜、＝〞填空：﹣a0，a﹣b0，c﹣a0．〔3〕化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|．11．①有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|；②|a+1|+〔b﹣2〕2＝0，求〔a+b〕2021+a2021．12．数a，b，c在数轴上的位置如下图〔1〕化简|a+b|﹣|a﹣b|+|a+c|〔2〕假设|b﹣a﹣2|+〔a﹣1〕2＝0．|c+l|＝b，求a，b，c的值．知识点2几何意义：|a-b|表示数a 数b 在数轴上对应的点之间的距离即：|a+b|=|a-〔-b〕|13．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想答复以下问题：〔1〕数轴上表示2和10两点之间的距离是；〔2〕数轴上一个点到表示2的点的距离为5.2，这个点表示的数为；〔3〕假设x表示一个数，数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离是；〔用含x的式子表示〕〔4〕假设x表示一个数，|x+1|+|x﹣2|的最小值是，相应的x的取值范围．14．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想答复以下问题：〔1〕数轴上表示2和10两点之间的距离是，数轴上表示2与﹣10的两点之间的距离是．〔2〕数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．〔3〕假设x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＝5，那么x＝．〔4〕假设x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2021|+|x﹣2021|的最小值．〔只需写当x取何值时，代入求出此代数式的最小值．〕15．数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．〔1〕如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；〔2〕当x＝时，点P到点A，点B的距离之和是6；绝对值的几何意义〔3〕假设点P到点A，点B的距离之和最小，那么x的取值范围是；〔4〕在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．假设点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F 以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．16．数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．〔1〕如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；〔2〕当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；〔3〕假设点P到点A，点B的距离之和最小，那么x的取值范围是；〔4〕在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．假设点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．17．〔1〕阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图〔1〕，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图〔2〕，点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图〔3〕，点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣〔﹣a〕＝|a﹣b|；③如图〔4〕，点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+〔﹣b〕＝|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．〔2〕答复以下问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当x＝时，|x+1|+|x﹣2|＝5．。
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默认标题-2012年2月14日一、选择题（共18小题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、20012、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（）A、﹣1B、1C、3D、53、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（）A、5B、1C、2D、04、若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（）A、a=b=0B、a与b互为相反数C、a与b异号D、a与b不相等5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（）A、﹣B、C、D、16、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（）A、负数B、非负数C、正数D、非正数7、对任意有理数a，在式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（）A、|a|+1B、1﹣|a|C、|a+1|D、|﹣1|+a8、在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（）A、1B、2C、3D、49、任意有理数a，式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（）A、1﹣|a|B、|a+1|C、|﹣a|+aD、|a|+110、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A、y没有最小值B、只有一个x使y取最小值C、有限个x（不止一个）y取最小值D、有无穷多个x使y取最小值11、如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（）A、b互为相反数B、a=b=0C、a和b符号相反D、a，b的值不存在12、如果|a3﹣b3|=﹣|a|3+b3，那么下列不等式中成立的是（）A、a＞bB、a＜bC、a≥bD、a≤b13、已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一个确定的常数，则这个常数是（）A、5B、10C、15D、7514、若x表示有理数，则|x|+x的值为（）A、正数B、非正数C、负数D、非负数15、任何一个有理数的绝对值一定（）C、不大于0D、不小于016、如果|a|+|b|=0则a与b的大小关系一定是（）A、a=b=0B、a与b不相等C、a与b互为相反数D、a与b异号17、非负数是（）A、正数B、零C、正数和零D、自然数18、已知：|2x﹣3|+|y+2|=0，比较x，y的大小关系，正确的一组是（）A、x＜yB、x＞yC、x=yD、与x，y的取值有关，无法比较二、填空题（共6小题）19、（2011•河北）若|x﹣3|+|y+2|=0，则x+y的值为_________．20、如果|a|+|b﹣1|=0，则a+b=_________．21、若|a﹣4|+|b+5|=0，则a﹣b=_________．22、若|2﹣x|+|y﹣3|=0，则x=_________，y=_________．23、若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a b=_________．24、若|x+3|+|y﹣2|=0，则x+y=_________．三、解答题（共6小题）25、附加题：（1）已知|a﹣2|+|b+6|=0，则a+b=_________（2）求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值．26、若|x﹣1|+|y+2|=0，求x+y的值．27、已知|2﹣b|与|a﹣b+4|互为相反数，求ab﹣2007的值．28、已知|a﹣2|+|3b﹣1|+|c﹣4|=0，求a+6b+2c的值．29、（1）已知|x﹣5|=3，求x的值；（2）已知n=4，且|x﹣5|+|y﹣2n|=0，求x﹣y+8的值．30、已知，|a+3.5|+|b﹣9|+|c﹣13.5|=0，则ab+c=_________答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、2001考点：绝对值；非负数的性质：绝对值。
专题：计算题。
分析：本题可分类讨论，分别计算|a﹣b|=1，|c﹣a|=0和|a﹣b|=0，|c﹣a|=1这两种情况下所求代数式的值，然后得到结果．解答：解：∵a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1∴|a﹣b|=1，|c﹣a|=0或者|a﹣b|=0，|c﹣a|=1当|a﹣b|=1，|c﹣a|=0时，c=a，a=b±1，所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|=|a﹣c|+|a﹣b|+|b﹣a|=0+1+1=2；当|a﹣b|=0，|c﹣a|=1a=b，所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|=|a﹣c|+|c﹣a|+|b﹣a|=1+1+0=2；综合可知：|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为2．故选B．点评：本题主要考查了绝对值和非负数的性质，关键是分类讨论时要分析所有情况．2、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（）A、﹣1B、1C、3D、5考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据绝对值的非负性，先求a，b的值，再计算a+b的值．解答：解：∵|a﹣1|+|b+2|=0，∴a﹣1=0，b+2=0，解得a=1，b=﹣2．∴a+b=1+（﹣2）=﹣1．故选A．点评：理解绝对值的非负性，当绝对值相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，根据这个结论可以求解这类题目．3、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（）A、5B、1C、2D、0考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可．解答：解：∵|x﹣3|+|y+2|=0，∴x=3，y=﹣2；则|x|+|y|=3+2=5．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．4、若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（）A、a=b=0B、a与b互为相反数C、a与b异号D、a与b不相等考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值即可．解答：解：∵|a|+|b|=0，|a|≥0，|b|≥0，∴|a|=0，|b|=0，∴a=0，b=0．点评：注意两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（）A、﹣B、C、D、1考点：非负数的性质：绝对值。
分析：本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，然后代入a+b 即可解出本题．解答：解：依题意得：|a﹣|=0，|b﹣1|=0，即a﹣=0，b﹣1=0，∴a=，b=1，∴a+b=．故选C．点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．6、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（）A、负数B、非负数C、正数D、非正数考点：非负数的性质：绝对值。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质，可求出x、y、z的值，然后将根据乘法法则计算即可．解答：解：∵|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0∴|x﹣a|=0，|y﹣b|=0，|z﹣c|=0∴x=a，y=b，z=c，又∵a、b、c都是负数，∴xyz是负数．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．7、对任意有理数a，在式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（）A、|a|+1B、1﹣|a|C、|a+1|D、|﹣1|+a考点：非负数的性质：绝对值；绝对值。
分析：本题根据|a|≥0，即可确定．解答：解：当a=±1时，1﹣|a|=1﹣1=0；当a=﹣1时，a+1=0，则|a+1|=0；当a=﹣1时，|﹣1|+a=1﹣1=0；根据|a|≥0，则|a|+1≥1，一定不会等于0．点评：本题考查了绝对值的非负性，任何数的绝对值都是非负数，而两个非负数的和一定也是非负数，而其中只要有一个不是0，则两个非负数的和就是正数．8、在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（）A、1B、2C、3D、4考点：非负数的性质：绝对值。
专题：探究型。
分析：令a=|x+1|+|x+4|，b=|x+2|+|x+3|，则t=a+b，根据绝对值的几何意义，分别求得a、b的最小值，进而综合分析，寻找a、b同时取得最小值的条件，即可得答案．解答：解：令a=|x+1|+|x+4|，b=|x+2|+|x+3|，t=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=a+b，根据绝对值的几何意义，a表示点x到﹣1与﹣4两点的距离，分析可得当﹣4≤x≤﹣1时，a最小，其值为3，b表示点x到﹣2与﹣3两点的距离，分析可得当﹣3≤x≤﹣2时，b最小，其值为1，综合可得，当﹣3≤x≤﹣2，a、b均取得最小值，故此时t取得最小值，且t的最小值为3+1=4，故答案为4．故选D．点评：本题考查绝对值的几何意义，|a﹣b|即两实数a、b表示两个点间的距离．9、任意有理数a，式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（）A、1﹣|a|B、|a+1|C、|﹣a|+aD、|a|+1考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据任何数的绝对值一定是非负数，即可作出判断．解答：解：当a=1或﹣1时，|a|=1，则1﹣|a|=0；当a=﹣1时，a+1=0，则|a+1|=0；当a=0时，|﹣a|=|a|=0，则|﹣a|+|a|=0；对于任意数a，都有|a|≥0，则|a|+1≥1，值不是0．故选D．点评：本题主要考查了绝对值的非负性，任何数的绝对值都是非负数．10、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A、y没有最小值B、只有一个x使y取最小值C、有限个x（不止一个）y取最小值D、有无穷多个x使y取最小值考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．解答：解：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1+1﹣x=2﹣2x；当﹣1＜x＜1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1＜x＜1时，y有最小值为2；故选D．点评：本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．11、如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（）A、b互为相反数B、a=b=0C、a和b符号相反D、a，b的值不存在考点：非负数的性质：绝对值；相反数。