线性变换习题

第四章线性变换

习题精解

1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:

1) 在线性空间V中，A ,其中V是一固疋的向量;

2) 在线性空间V中，A 其中V是:一固疋的向量；

(X i,X2,X3) (X；,X2 X3,X 鳥•

3) 在P3中，A

4) 在P3中，A(X i,X2, X3) (2x i X2,X2 X3, X i);

5) 在P[X]中, A f (X) f (X 1)

6)在P[X]中，A f(x) f(X o),其中X0 p是一固定的数；

7)把复数域上看作复数域上的线性空间， A

8)在P"中，AX=BXC其中B,C p n n是两个固定的矩阵.

解1)当0时，是;当0时，不是•

2)当0时，是;当0时，不是.

3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时,k A( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0),

A(k ) k A().

4)是•因取(X i,x2,x3), (%,丫2,丫3),有

A( ) = A (x i y i,X2 y2,X3 y3)

= (2x i 2y i X2 y2,X2 y2 X3 y3,X i yj

= (2x i X2,X2 X3,X i) (2y i y?」？y3, y i)

=A + A

A(k ) A (kx i, kx2, kx3)

(2kx1 kx2, kx2kx3, kx1)

(2kx1 kx2, kx2kx3,kx1)

k A()

故A是P3上的线性变换•

5)是.因任取f (X) P[x], g(x) P[x],并令

u(x) f(x) g(x)则

A(f(x) g(x)) = A u(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1) =A f (x) + A(g(x))

再令v(x) kf (x)则A(kf (x)) A(v(x)) v(x 1) kf (x 1) k A(f (x)) 故A为P[X]上的线性变换.

6)是•因任取f(x) P[x], g(x) P[x]则.

A(f (X) g(x))= f (X0 ) g(X0 ) A(f (x)) A(g(x))

A(kf (x)) kf (X0) k A(f (x))

7)不是.例如取a=1,k=l,则

A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)

8)是•因任取二矩阵X,Y P nn，则

A(X Y) B(X Y)C BXC BYC A X+A Y

A(k X)=B(kX) k(BXC) k A X

故A是p n n上的线性变换.

2.在几何空间中，取直角坐标系oxy，以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,, 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明：

4 4 4 2 2 2 2

A =

B =

C =E,AB BA,A B =B A

并检验(AB)2 = A 2 B 2是否成立.

解任取一向量a=(x,y,z),则有

1)因为

2

Aa=(x,-z,y), A a=(x,-y,-z)

3 4

A a=(x,z,-y), A a=(x,y,z)

2

Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)

3 4

B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z)

2

Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)

3 4

C a=(y,-x,z), C a=(x,y,z)

所以

A4=B 4=C4=E

2)因为

AB (a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)

BA ⑻=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)

所以

AB BA

3)因为

2 2 2

A B (a)=A (-x,y,-z)=(-x,-y,z)

2 2 2

B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z)

所以

A 2 2 2 " 2

A B =B A

3)因为

2

(AB) (a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)

2 2

A B (a)=(-x,-y,z)

所以

2 2 2

(AB) A B

3.在P[x]中,A f (x) f (x), B f (x) xf (x)

证明:AB-BA=E

证任取f(x) P[x],则有

(AB-BA ) f (x) =AB f (x) -BA f (x) =A (xf (x)) -B( f (x)) = f (x) xf ，(x)-xf (x)=f(x)

所以 AB-BA=E

4•设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E,证明： A k B-BA k = k A k 1 (k>1)

证采用数学归纳法• 当k=2时

2 2 2 2

A B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA= 2A

结论成立•

归纳假设k m 时结论成立，即A m B -BA m = m A m 1.则当k m 1时，有

m 1

m

A= (m 1) A

即k m 1时结论成立•故对一切k 1结论成立.

5•证明：可逆变换是双射

证 设A 是可逆变换,它的逆变换为 A

若a b ，则必有Aa Ab,不然设Aa=A b,两边左乘A 1,有a=b ，这与条件矛盾 其次，对任一向量b,必有a 使Aa=b,事实上，令A 1 b=a 即可• 因此,A 是一个双射•

6•设1, 2, , n 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且

仅当A 1,A 2 , ,A n 线性无关. 证因

A(

1， 2， ， n )=(A

1

,A

2， ，A

n )

=( 1， 2，

， n

)A

故A 可逆的充要条件是矩阵 A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n 线性无关• 故A 可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n 线性无关•

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵

：

1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；

2) [0； 1, 2]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B 是平面上的向量对

2

的垂直投影，求A,B,AB 在基1, 2下的矩阵；

m 1 m 1

m 1

m

m

m 1

m

A B-BA =(A B-A BA)+(A BA-BA )=A (AB-BA)+(A

B-BA )A=A

E+ m A