第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

3.向量的概念

4.向量的运算

教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4． 量的模：向量的大小，记为a

。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算

1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)(

3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为

0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ

0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0

a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么

a

a a 0=

定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，

使b ＝a λ

例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用

a 和

b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行

四边形对角线的交点。（见图7－5）

图7－4

解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2

1

b a +-

=→

MA 由于→

→

-=MA MC ， 于是)(21

b a +=

→

MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2

1

a b -=→MD

由于→→-=MD MB ， 于是)(2

1

a b --=→MB

三、空间直角坐标系

1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2

π

角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别

为xoy 面、yoz 面、

zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图

图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若

),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用

直角三角形勾股定理为：

2

2

2

2

12

2

212

2

12NM pN p M NM N M M M d ++=+==

而 121x x P M -=

12y y PN -=

122z z NM -=

所以

21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==

特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o

222z y x oM d ++==

例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222

21=-+-+-=M M

6)23()12()75(2222

3

2=-+-+-=M M

6)13()32()45(2222

13=-+-+-=M M

由于 1332M M M M =，原结论成立。

例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。

解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x

()

1132222

21+=++

=x x PP ()211222

22+=+-+=x x PP

212PP PP =Θ 22112

2+=+∴x x

1±=⇒x

所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(- 四、利用坐标系作向量的线性运算

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分

别表示 图7－5

沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k

或

a = a x i + a y j + a z k

上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就

叫做向量a 的坐标，并记为

a ＝ {a x ，a y ，a z }。

上式叫做向量a 的坐标表示式。

于是，起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为