行星运动的能量分析

行星运动的能量分析

本文以行星绕太阳为例，求解轨道能量，验证位力定理，并给出开普勒积分的计算方法。

我们知道：各大行星都是绕太阳做椭圆运动的。对任一行星（例如地球而言），它所受到的力主要是太阳对它的引力作用。在有心力的作用下，质点始终在一固定平面内运动。

设行星质量为m，公转周期为τ，在计算时认为太阳是固定不动的。行星绕太阳运动，只受到太阳对其的万有引力，故满足机械能守恒。以无穷远点处作为势能零点，设行星与太阳构成的系统机械能为E，行星动能为T，行星与太阳间的引力势能为V，则有E=T+V。将各个物理量具体化，则有

T=1

2mv2，V=−k2m

r

。式中，v表示行星的运动速度，k2是一个与行星无关而只和太阳有关的量，

叫做太阳的高斯常数，r为行星和太阳之间的距离。

图一行星绕太阳运动示意图设日心（如图一所示）位于椭圆的右焦点上，行星运动的轨迹方程为

x2 a2+

y2

b2

=1(a>b)

这是一个椭圆的标准方程，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。对于平面光滑曲线，可以求出其上任意可导点处的曲率半径

ρ=(1+y′2)

3

2

|y′′|

利用该公式，可以求出椭圆上任意可导点(x0,y0)处的曲率半径

ρ=(a4y04+b4x04)

3

2 a4b4|y0|3

由于该曲线在点(a,0)处不可导，于是计算在(0,b)处的曲率半径，该点的曲率半径为a 2

b

，由于两点具有一定的等效性，所以可以类比得到点(a,0)处的曲率半径为

ρ|x=a=b2 a

(1)

(2)

(3)

当行星运行至近日点时，到日心的距离为(a-c )(c 为椭圆的半焦距，满足a 2=b 2+c 2)。 根据牛顿第二定律，有

k 2m (a −c )2=mv 2

b 2a

⁄

动能的表达式为

T =k 2m(a +c)2a(a −c)

势能为

V =−k 2m

a −c

得到机械能的表达式

E =T +V =−k 2m

2a

可以发现，行星运动的轨道能量只与其质量和轨迹的半长轴有关。我们可以类比到双曲线轨道和抛物线轨道，同样可以求出其轨道能量。对于双曲线轨道，其轨道能量为k 2m

2a ，而抛物线轨道能量为0。在《理论力学》课上，对于不同的轨道，课本上只给出了定性的表述。在本文中，对轨道能量进行了量化。

接下来从轨道能量出发来验证位力定理。位力定理的表达式为

=−1

2

<∑F i ·r i n

i=1>

本文中以“<>”来表示一个物理量的平均值。 根据E =T +V ，可得E =+=−

k 2m 2a

，所以

=E−=E +k 2m τ∫1

r

τ0dt

于是问题转化为求解积分∫1

r τ0dt ，令I =∫1

r

τ0dt 。

以日心为极点，x 轴正向为极轴，可以写出椭圆的极坐标方程

r =

ep

1+e cos θ

式中，p 表示椭圆的焦准距，e (0

行星作有心运动，满足角动量守恒定律，得到r 2θ=ℎ(h 为常数)。于是可以得到，

dt r 2=dθℎ

将式(11)与式(12)带入积分表达式中，可以得到

(4)

(5)

(6) (7)

(8) (9)

(10)

(11)

(12)

I =∫1r

τ

0dt =ep ℎ∫dθ

1+e cos θ2π0

可以发现关于I 的计算引入了积分式∫dθ1+e cos θ

2π

。对于此类广义积分，可利用留数定理求解。

令z =e iθ，dz =ie iθdθ=izdθ，利用欧拉公式可以得到

∫

dθ1+e cos θ2π

=2ei ∮dz

z 2+2e

z +1

|z |=1

令函数f (z )=

1

z 2+2

e

z+1

，求函数f (z )的奇点及其留数，令其分母为零，得

z 1=−1e +1e √1−e 2,z 2=−1e −1

e

√1−e 2

这就是函数f (z )的两个单极点。单极点z 1的模

|z 1|=1−√1−e 2e =1−√(1+e)(1−e)e <1−(1−e)

e

=1

所以极点z 1在单位圆内。而单极点z 2的模

|z 2|=1+√1−e 2

e

>1

所以z 2在单位圆外。计算在极点z 1处的留数

Resf (z )=lim z→z 1

[(z −z 1)f (z )]=

2√1−e 2

所以积分值

I =

ep ℎ2ei 2√1−e 2=ℎ√1−e 2

根据开普勒第二定律，

2A =r 2θ=ℎ

上式中A 表示矢径扫过的面积（如图2所示），所以有

2πab =ℎτ

ℎ=

2πab

τ

(14)

(15)

(16)