比较三角函数的大小的技巧
第28招 三角函数值大小比较
【反馈检测 2 答案】B
【反馈检测
2
详细解析】函数
y
sin
x
在区间 [
,
] 为单调递增函数，在区间[
,
3
] 为单调递增函数，
22
22
5
由
4
sin 5
sin 4
，由
sin( ) sin( ) ，故 A,C 错误； y tan x 在
7 72
7
7
56
5
6
区间[ , ] 为单调递增函数, tan 15 tan(2 ) tan( ) ,
22
8
8
8
由 tan( ) tan( ) ,即 tan(15 ) tan( ) ，故 B 正确；
87
8
7
8
7
cos( 3 ) cos 3 cos( 3 ) cos 2 0,
5
5
5
5
cos( 9 ) cos 0 ，所以有 cos( 3 ) cos( 9 ) ,故 D 错误，综上所述，选 B.
形。
2、三角函数线
（1）由于 sin MP ,所以 MP 就叫角 的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的
交点.
Hale Waihona Puke （2）由于 cos OM ,所以 OM 就叫角 的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足. （3）由于 tan AT ，所以 AT 就叫角 的正切线.正切线的起点在单位圆与 x 轴正半轴的交点 A， 终点在过点 A 的切线与角 的终边或反向延长线的交点.
5
5
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【反馈检测 1】设 a= sin 24 ，b= cos( 39 ) ，c= tan( 43 ) ，则（ ）
2023高考一轮热题---幂指对三角函数值比较大小归纳
02 幂指对三角函数值比较大小归纳【题型一】 临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【提分秘籍】基本规律因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小。
【变式演练】1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是 （ ） A. c a b >> B. a b c >> C. b c a >> D.c b a >>【题型二】 临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【提分秘籍】基本规律寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值【变式演练】1.已知 6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【题型三】 差比法与商比法【典例分析】1C ．b c a >>D ．c a b >>【提分秘籍】基本规律1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解【变式演练】1.已知0.40.8a −=，5log 3b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．a c b <<2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（ ） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【题型四】 利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13−，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（ ） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【提分秘籍】基本规律这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（ ）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>log 15a =log 40b =c【题型五】 构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a −=，1eb =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【提分秘籍】基本规律学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练。
三角函数之三角比总结
三角函数之三角比总结三角函数是数学中非常重要的概念之一，它们与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决各种实际问题时，三角函数可以提供更方便的数学工具，帮助我们探索和理解自然界和科学现象。
三角函数有六个基本函数，包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，正割函数(sec)，余割函数(csc)，以及余切函数(cot)。
这六个函数可以通过三角比的概念得到。
我们可以将一个任意给定角度定义为直角三角形中的一个锐角，并考虑它的三条边。
三角引理可以让我们从三角形的角度导出与角度有关的三角比。
首先，我们来看正弦函数。
对于给定的角度θ，正弦函数定义为三角形的对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
正弦函数的值域在-1到1之间，当θ为90度或270度时，sinθ = 1，当θ为0度或180度时，sinθ = 0。
接下来是余弦函数。
对于给定的角度θ，余弦函数定义为三角形的邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数的值域也在-1到1之间，当θ为0度或360度时，cosθ = 1，当θ为180度时，cosθ = -1正切函数是正弦函数除以余弦函数，即tanθ = sinθ/cosθ。
正切函数的值域为全体实数，除了当θ为90度或270度时，tanθ的值无限大。
正割函数是余弦函数的倒数，即secθ = 1/cosθ。
正割函数的值域在负无穷到-1以及1到正无穷之间，除了当θ为0度或180度时，secθ的值为正无穷。
余割函数是正弦函数的倒数，即cscθ = 1/sinθ。
余割函数的值域也在负无穷到-1以及1到正无穷之间，除了当θ为90度或270度时，cscθ的值为正无穷。
最后是余切函数，它是正切函数的倒数，即cotθ = 1/tanθ。
余切函数的值域也为全体实数，除了当θ为0度或180度时，cotθ的值无限大。
通过这六个基本函数，我们可以计算任意给定角度的三角比。
这些函数可以在解决各种实际问题时提供重要的数学工具。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
数学必备技巧解决初中三角函数题的常用方法
数学必备技巧解决初中三角函数题的常用方法解题时，掌握一些常用的求解三角函数题的技巧能够帮助我们更快地解决问题，提高解题效率。
本文将介绍一些初中数学中常用的三角函数题解题方法，希望对同学们有所帮助。
一、利用特殊角的三角函数值解决三角函数题时，可以先判断角度是否为常见角度。
例如，0度、30度、45度、60度和90度是常见的特殊角度，它们的三角函数值可以直接从三角函数表中查得。
以角度30度为例，可知sin30°= 1/2，cos30°= √3/2，tan30°= 1/√3。
有了这些特殊角度的三角函数值，我们可以在解题时快速进行代入计算，节省计算时间。
二、利用基本的三角函数关系式解题时，可以利用基本的三角函数关系式来简化问题。
比如，利用正弦函数与余弦函数的关系（sin^2x + cos^2x = 1）可以将一个三角函数表达式转化为求解另一个三角函数的问题。
例如，要求证明sin^2x + cos^2x = 1，可以将sin^2x用1 - cos^2x替代，得到1 - cos^2x + cos^2x = 1，最终得到1 = 1，证明完成。
三、利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即对于任意的整数k，sin(x + 2πk) = sinx，cos(x + 2πk) = cosx，tan(x + πk) = tanx。
利用三角函数的周期性，可以将角度进行变换，从而简化计算。
比如，要求sin75°的值，可以利用sin(45° + 30°) = sin45°cos30° +cos45°sin30°的公式，并结合sin45° = 1/√2，cos30° = √3/2，sin30° = 1/2的值，进行代入计算。
四、利用图形辅助解题有些三角函数题中，可以通过画图来辅助解题。
比如，要求证明cotA = 1/tanA，可以在单位圆上画出角度A对应的直角三角形，然后通过观察直角三角形中的对边和邻边的比值，得出cotA = 1/tanA的结论。
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐下面给大家介绍一下三角函数解题技巧，希望能够帮助到大家哦！三角函数解题技巧一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα cosα>0(或<0)óα的终边在直线y x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理：熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx φ)和函数y=Acot(wx φ)的对称性质。
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值
要求解三角函数的最大值和最小值，我们可以使用代数方法或图像法。
下面将分别介绍这两种方法：
1. 代数方法：
代数方法是通过代数运算来求解三角函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：
-确定函数的定义域：首先，我们需要确定求解最大值和最小值的函数的定义域。
这可以通过观察函数图像或根据函数的周期性来确定。
-求导数：对三角函数进行求导，得到导函数。
-解导函数的方程：将导函数等于零，得到一个方程，求解这个方程可以得到驻点（导数为0的点）。
-计算函数值：将驻点和定义域的边界代入原函数，计算函数在这些点的值。
-比较函数值：比较函数值，找到最大值和最小值。
2. 图像法：
图像法是通过观察三角函数的图像来求解最大值和最小值。
具体步骤如下：
-绘制函数图像：使用数学绘图工具或在线图形绘制工具绘制三角函数的图像。
这样可以直观地观察函数的最大值和最小值。
-观察特点：观察图像，找到函数的极值点（最大值和最小值）。
这些点通常出现在函数的波峰和波谷处。
-确定最大值和最小值：根据函数的周期性和对称性，我们可以确定所有的最大值和最小值。
总结：
通过代数方法或图像法，我们可以求解三角函数的最大值和最小值。
代数方法适用于通过求导数和解方程来求解最大值和最小值，而图像法适用于通过观察图像来确定最大值和最小值。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，或结合两种方法进行求解，可以更准确地找到三角函数的最大值和最小值。
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
比较三角函数的大小的技巧
比较三角函数的大小的技巧三角函数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，也是初中数学的一个重点内容，如何快速比较锐角三角函数的大小呢现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧，以飨读者.一、同名三角函数大小的比较同名三角函数大小的比较，要把握它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦、余切值随角度的增大而减小（可记为反变关系）. 例1：比较大小：cos 043____ cos 034,tan 043____ tan 034.分析:由余弦函数的反变关系可得cos 043＜cos 034;由正切函数的正变变关系可得tan 043＞ tan 034.二、同角的三角函数的大小比较同角的三角函数的大小比较可用下列方法：当045=α时，sin α=cos α，tan α=cot α；当045 α时，sin α＜cos α，tan α＜cot α，且cot α＞1；当045=α时，sin α＞cos α，tan α＞cot α，且cot α＜1.例2: 比较大小：sin 043____ cos 043 ,tan 043____ tan 043.分析:由以上规律可得sin 043＜ cos 043 ,tan 056＞ cot 056.三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较，可以利用互为余角的锐角三角函数关系，化为同名三角函数后再比较。
例3：比较大小：（1）tan 043____ cot 041 ,（2）sin 043____ cos 056. 分析：（1）∵cot 041= tan 049，∴tan 043＜ cot 041 ；（2）∵cos 056= sin 034， ∴sin 043＞cos 056.四、利用特殊角的三角函数值比较例4：令a= sin 060，b= cos 045，c= tan 030，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______.分析：事实上，a= sin 060=23，b= cos 045=22，c= tan 030=33， 显然有23＞22，即b ＜a. 现作b c c b ⇒=⨯=1263322, ∴c ＜ b ＜a.。
比较三角函数的大小的技巧
比较三角函数的大小的技巧三角函数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，也是初中数学的一个重点内容，如何快速比较锐角三角函数的大小呢现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧，以飨读者.一、同名三角函数大小的比较同名三角函数大小的比较，要把握它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦、余切值随角度的增大而减小（可记为反变关系）.例1：比较大小：cos 043____ cos 034,tan 043____ tan 034.分析:由余弦函数的反变关系可得cos 043＜cos 034;由正切函数的正变变关系可得tan 043＞ tan 034.二、同角的三角函数的大小比较同角的三角函数的大小比较可用下列方法：当045=α时，sin α=cos α，tan α=cot α；当045 α时，sin α＜cos α，tan α＜cot α，且cot α＞1；当045=α时，sin α＞cos α，tan α＞cot α，且cot α＜1.例2: 比较大小：sin 043____ cos 043 ,tan 043____ tan 043.分析:由以上规律可得sin 043＜ cos 043 ,tan 056＞ cot 056.三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较，可以利用互为余角的锐角三角函数关系，化为同名三角函数后再比较。
例3：比较大小：（1）tan 043____ cot 041 ,（2）sin 043____ cos 056. 分析：（1）∵cot 041= tan 049，∴tan 043＜ cot 041 ；（2）∵cos 056= sin 034， ∴sin 043＞cos 056.四、利用特殊角的三角函数值比较例4：令a= sin 060，b= cos 045，c= tan 030，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______.分析：事实上，a= sin 060=23，b= cos 045=22，c= tan 030=33， 显然有23＞22，即b ＜a. 现作b c c b ⇒=⨯=1263322, ∴c ＜ b ＜a.。
必修四第一章 三角函数解题技巧
必修四第一章 三角函数解题技巧1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝12|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？针对练习：1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考．一、概念不清例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．二、观察代替推理例2 当α∈(0，π2)时，求证：sin α＜tan α.三、估算能力差例3 若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.23B.27πC.4－22 D ．13 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用．一、知一求二型例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、妙用“1”例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.4 单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助．一、信心体验——比较大小例1 比较cos5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．三、触类旁通——解不等式例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围．5 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．四、转化与化归思想例4 比较下列每组数的大小．(1)tan 1，tan 2，tan 3；(2)tan(－13 π4)与tan(－17 π5)．6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会．一、定义域例1 函数y ＝ cos x －12的定义域为________．二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π37 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题．一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－22，1C.⎣⎡⎦⎤－1，22D.⎣⎡⎦⎤－1，－22二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．六、研究方程的实根例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．8 三角函数学习中的“小技巧、大突破”从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．一、“已知三角函数值求角”问题在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明：例1 已知sin x ＝22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例2 已知sin x ＝－22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例3 已知sin x ＝－22且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合． 例4 已知sin x ＝－22，求x 的取值集合．二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数都在区间(0，π2)内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增。
高中数学三角函数应用解题技巧
高中数学三角函数应用解题技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中起着重要的作用。
因此，掌握三角函数的应用解题技巧对于高中学生来说是至关重要的。
一、三角函数的基本概念在开始讲解解题技巧之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
在解题过程中，我们经常需要利用这些函数来求解角度、长度等问题。
例如，考虑以下问题：已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为0.6，求该锐角的度数。
我们可以利用正弦函数的性质来解决这个问题。
根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
设该锐角为θ，则sinθ=0.6。
由此可得，对边长为0.6×10=6。
由于这是一个直角三角形，我们可以利用反正弦函数来求解θ的度数。
通过计算，我们可以得到θ≈36.87°。
因此，该锐角的度数约为36.87°。
通过这个例子，我们可以看出，掌握三角函数的基本概念是解决三角函数应用题的关键。
二、角度的换算在解决三角函数应用题时，我们经常需要进行角度的换算。
因为在不同的问题中，角度的单位可能是度、弧度或者百分度。
因此，我们需要掌握这些单位之间的换算关系。
例如，考虑以下问题：已知一个角的弧度为π/4，求该角的度数。
我们可以利用弧度和度之间的换算关系来解决这个问题。
由于π的近似值为3.14，所以π/4≈3.14/4=0.7857。
将0.7857乘以180°/π，我们可以得到该角的度数为45°。
因此，该角的度数为45°。
通过这个例子，我们可以看出，在解决三角函数应用题时，角度的换算是一个非常重要的环节。
三、三角函数的性质和公式在解决三角函数应用题时，我们还需要掌握三角函数的性质和公式。
这些性质和公式可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
探究正弦余弦三角函数值比较大小的方法
摘要：三角函数是高中数学的重要内容之一，它的定义和性质涉及的知识面较广，并且有许多独特的表现形式，因而作为高考考查基础知识和基本技能方面的重要内容。
我们在日常教学工作中我们会发现三角函数值比较大小的题目还是多种多样的且解法也是多种多样的。
对此我结合对数，指数比较大小的分类方法将正弦余弦函数值比较大小这种题型分成了：1、同角不同三角函数名；2、同三角函数名不同角；3、不同三角函数名不同角；4、综合四类进行了方法总结。
按照不同的类型找到了相应的方法。
以提高学生做题的速度和效率。
关键词：三角函数线；单调性；诱导公式；象限符号三角函数是高中数学的重要内容之一，它的定义和性质涉及的知识面较广，并且有许多独特的表现形式，因而作为高考考查基础知识和基本技能方面的重要内容。
即便是在新课改之后我们都使用了人教a版的新教材但是三角这块的知识除了去掉了反三角函数、积化和差、和差化积、半角公式等，基本上保留大部分的内容，所以依然是高考的重点内容。
综观近几年的高考试题，一般为一道客观题和一道解答题，分值约占整个试卷的10%左右，高考对本章的考查表现为：1、客观题的考查重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、三角函数的性质以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。
2、计算或证明题的难度明显降低，主要考查对基本知识的掌握程度以及基本技能、基本方法的运用。
试题大都来源于课本中的例题、习题得变形，因此复习时应立足于课本，着眼于提高。
3、实际应用题将三角函数融入三角形中，既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，近年来备受命题者的青睐。
在人教版老教材中高一下册第四章4.8节三角函数单调性中有这样一道例题。
例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：其实判断它们大于0还是小于0也就是比较它们的大小：结合本节的教学目标：单调性，我们可以解决这一问题。
而我们在日常教学工作中会发现这样的三角函数值比较大小的题目还是多种多样的且解法也是多种多样的。
探究正弦余弦三角函数值比较大小的方法
探究正弦余弦三角函数值比较大小的方法正弦余弦三角函数值比较大小的方法:
1. 泰勒级数展开：基于围绕零点的函数可以用余弦和正弦的非常简单
的泰勒级数的形式来表示，由此可以得到正弦和余弦函数之间的比较
结果。
2. 同角度比较：由定义知道，正弦函数和余弦函数都可以根据唯一角
度值进行比较，意味着它们之间存在一种定值比较关系。
3. 函数定义比较：给定某一条函数定义公式，如正弦函数和余弦函数，我们可以通过求导和积分等数学技巧来比较它们之间的大小。
4. 情景比较：可以根据特定场景使用正弦函数和余弦函数的相关性来
做比较，以便得出它们之间的比较结果。
5. 三角图比较：函数的正弦和余弦总是分别依附于一个菱形图形，可
以用它们之间的大小关系绘制出来，从而比较大小。
6. 等号比较：在特定问题中，我们可以使用等号进行比较，从而得到
正弦函数和余弦函数之间的差异性。
7. 其他途径：由于正弦函数和余弦函数在许多场景都能概括，比如还
可以根据二阶低阶导、代数运算等方式来比较它们之间的大小。
异名三角函数的比较方法
异名三角函数的比较方法
异名三角函数指的是正弦、余弦、正切和余切函数的倒数，即cosec(x)、sec(x)、cot(x)和cotg(x)。
下面是比较这些异名三角函数的常见方法：
1. 定义比较：可以比较这些函数在某个特定角度（或弧度）的函数值。
通过计算具体的数值，可以比较它们的大小关系。
2. 函数图像比较：可以绘制这些函数的图像，并通过观察函数在不同区间上的特性来比较它们的大小关系。
例如，可以观察函数的周期性、增减性以及极值点等。
3. 符号比较：可以通过对三角函数在不同象限的符号进行比较来确定它们的大小关系。
例如，正弦函数在第一象限和第二象限为正，而在第三象限和第四象限为负；余弦函数在第一象限和第四象限为正，而在第二象限和第三象限为负。
4. 定理比较：可以利用三角函数的性质和一些基本的三角函数恒等式来比较它们的大小关系。
例如，可以利用三角函数的周期性、奇偶性、正负性等来进行推理和比较。
5. 数学推导比较：可以运用一些数学定理和推导来比较这些函数的属性。
例如，可以通过求导和二阶导数来比较函数的增减性和凸凹性，从而得出它们的大小关系。
总之，比较异名三角函数的方法可以是通过具体数值的计算、函数图像的观察、符号的比较、利用定理进行推导或数学推导等。
这些方法可以互相结合，以得出更准确和完整的比较结果。
初中三角函数解题技巧
初中三角函数解题技巧
初中三角函数解题技巧如下:
1. 先看对应边，如 sin 则设对边或斜边，如 cos 则设邻边或
斜边;
2. 要看所给条件的关系，如 con34，则可以设邻边为 3x，斜边为 4x，对症下药，随机应变;
3. 要先背过一个必须背过的东西：等腰直角三角形，即 45 度
的等腰直角三角形，其斜边长是直角边长的根号 2 倍;30 度的直角
三角形，较短的直角边长为 1，则斜边长为 2，较长的直角边长为根号 3。
这样就可以根据边长确定各角的正切，正弦，余弦值。
正切对边：临边，正弦对边：斜边，余弦临边：斜边;
4. 对于其他的直角三角形，就必须通过知道其中两条边长，然
后根据勾股定理来求另外一条边长，从而求三角函数值了。
不过现在新教材只需要记住 45 度，30 度和 60 度角的三角函数值了;
5. 大多数三角函数的解题思路都跟相似三角形的知识，勾股定理，还有直角三角形的性质有关，你可以在解题的时候可以先考虑这些;
6. 三角函数值有特殊值，如 sin30=12,cos30=13,tan30=14，等等。
以上是初中三角函数解题的一些技巧，希望能对同学们有所帮助。
常用三角函数值有哪些表示方法和技巧
常用三角函数值有哪些表示方法和技巧三角函数是数学中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
其中，常用三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题时都会经常出现。
本文将介绍常用三角函数值的表示方法和一些计算技巧。
常用三角函数在解析几何中，最基本的三角函数有：•正弦（sin）•余弦（cos）•正切（tan）它们的定义如下：•对于任意角θ，正弦值sin(θ) 等于对边与斜边的比值；•余弦值cos(θ) 等于邻边与斜边的比值；•正切值tan(θ) 等于对边与邻边的比值。
这三个函数在数学中有广泛的用途，尤其在求解三角形各边、角的关系时常会用到。
表示方法常用三角函数值有多种表示方法，可以通过计算、计算器或查表得到。
其中常见的表示方法有：1.弧度制表示：以弧度为单位表示角度，对应的三角函数值一般是无理数，需要通过计算或查表得到；2.角度制表示：以度数为单位表示角度，通常在初等数学中使用，通过计算器或查表可以得到对应的三角函数值；3.函数图像表示：利用三角函数的图像特点，可以通过函数图像来理解和计算三角函数值；4.泰勒级数展开：三角函数在某些情况下可以通过泰勒级数展开来计算，尤其是在工程计算中会用到。
技巧在计算常用三角函数值时，有一些技巧可以帮助简化计算，提高效率：1.利用对称性：利用正弦、余弦、正切函数的偶函数性质简化计算过程；2.关系转化：利用三角函数之间的基本关系，如tanθ=sinθ/cosθ，可以将一个函数的值转化为另一个函数的值；3.特殊角的数值：熟记0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值，有助于快速计算其他角度的函数值；4.利用周期性：三角函数具有周期性，比如sin(θ+360°)=sinθ，可以利用这一性质简化计算。
总之，熟练掌握常用三角函数的表示方法和运算技巧，有助于提高数学计算的效率和准确度。
三角函数解题思路与技巧
三角函数的解题思路与技巧如下：
1.直接法：直接进行正确的运算和公式变形，结合已知条件，得到正确的答案。
2.换元法：用变量代替一个函数或表达式，通过对变量进行代换，将问题转化为
更容易解决的问题。
3.比例法：通过比例关系，将三角函数值转化为其他函数值，从而解决问题。
4.构造法：通过对问题的分析，构造出符合条件的函数或表达式，从而解决问题。
5.倒推法：从目标结果倒推到起始条件，逐步解决问题。
以上仅为部分解题思路和技巧，实际解题中需要根据具体问题选择合适的思路和方法。
比较三角函数值大小的常用方法
比较三角函数值大小的常用方法
只要记住了函数曲线，很容易解决的，正弦函数在零到九十度是递增的，因此第一个很好解决，第二个因为正切等于正弦除以余弦，而余弦是小余1的，
因此正切在零到九十度间一定大于正弦，而正弦在零到九十度递增，余弦在零到九十度递减，四十五度时相等，因此题目的度数一定余弦大于正弦。
三角函数比大小，可做两个三角函数的差。
如：两个三角函数分别为，f(x)和g(x)；令:h(x)=f(x)-g(x); 若h(x) 在定义域范围内恒大于0，则：f(x)>g(x); 反之，h(x),恒小于0. 则f(x)<g(x); 如果恒等于0，则f(x)=g(x)。
如果是在某一定义域范围内h(x)>=0; 某一定义域范围又有h(x)<0;就属于有条件的比较大小，找出这样的变化范围，加以说明即可。
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比较三角函数的大小的技巧
三角函数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，也是初中数学的一个重点内容，如何快速比较锐角三角函数的大小呢？现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧，以飨读者.
一、同名三角函数大小的比较
同名三角函数大小的比较，要把握它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦、余切值随角度的增大而减小（可记为反变关系）.
例1：比较大小：cos 043____ cos 034,tan 043____ tan 034.
分析:由余弦函数的反变关系可得cos 043＜cos 034;
由正切函数的正变变关系可得tan 043＞ tan 034.
二、同角的三角函数的大小比较
同角的三角函数的大小比较可用下列方法：
当045=α时，sin α=cos α，tan α=cot α；
当045 α时，sin α＜cos α，tan α＜cot α，且cot α＞1；
当045=α时，sin α＞cos α，tan α＞cot α，且cot α＜1.
例2: 比较大小：sin 043____ cos 043 ,tan 043____ tan 043.
分析:由以上规律可得sin 043＜ cos 043 ,tan 056＞ cot 056.
三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较
不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较，可以利用互为余角的锐角三角函数关系，化为同名三角函数后再比较。
例3：比较大小：（1）tan 043____ cot 041 ,（2）sin 043____ cos 0
56.
分析：（1）∵cot 041= tan 049，∴tan 043＜ cot 041 ；
（2）∵cos 056= sin 034， ∴sin 043＞cos 056.
四、利用特殊角的三角函数值比较
例4：令a= sin 060，b= cos 045，c= tan 030，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______.
分析：事实上，a= sin 060=23，b= cos 045=22，c= tan 030=3
3， 显然有23＞2
2，即b ＜a. 现作b c c b ⇒=⨯=1263
322, ∴c ＜ b ＜a.。