湖南大学研究生机械振动_习题第一章

x C1 cosnt C2 sin nt
C1和C2是积分常数，由运动 的起始条件确定。
设： A
C12
C
2 2
tan C1
C2
则解为： x Asin(nt )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。
其运动图线为：
x
A x0
l0
st O
x
x
Ot n
F P
t T
x
2.无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行 的“秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁 振动及结构应变试验” 。 中华之星高速 列车设计时速260Km/h，实际测试时速 321.5 Km / h 。大桥为 28 孔双线后张 法 预应力混凝土简支箱梁桥 ， 梁顶宽 12.4m，梁高2.2m，梁跨长24.6m。
案例：齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
三、工程振动问题类型
• 1. 振动分析(已知输入,系统求输出) • 2. 系统识别(已知输入和输出求系统） • 3. 载荷识别(已知系统,输出求输入)
四、振动现象分类
• 1. 按系统分：线性、非线性 • 2. 按响应分：定则、随机 • 3. 按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈引
起）、参数激励、（随机或周期改变系统特性） • 4. 按自由度分、离散、连续 • 离散：常微 • 连续：偏微 • 本课程：线性、时不变系统。
它是振动系统的固有的特性，所以称ωn为固有圆频率。
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。
由
mPg
k
P st
n
k m
n
g
st
上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的 固有频率。
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。
（2）振幅与初位相 谐振振动表达式
x Asin(nt )
A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （ωnt+θ）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t 的位置，它具有角度的量纲，而θ称为初相位，它决定了质点 运动的起始位置。
机械振动理论
于德介
绪论
振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、 电磁振荡、光的波动等不同的形式。
这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝 土振动捣实以至地震等。
特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。
掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而 减少振动的危害。
机械振动
振动有各种不同的形式 电磁振动
案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
二、动态问题特点
• 1. 复杂性：载荷作用的后效性，响应对 载荷的记忆性
• 2. 危险性：共振、自激振动（在无外力 的激励情况下突然振动，振幅上升，如机 床、轧钢机、飞机）、颤振
• 3. 超常性：振动现象难以直观解释，如 共振、调谐消振器
d2x m kx
dt 2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt 2
2 n
x
0
st O
x
无阻尼自由振动微分方程的标准形式
F
是一个二阶齐次线性常系数微分方程。 x
P
设： x ert
代入微分方程，消去ert
得特征方程：
r2
2 n
0
两个根为： r1 i n r2 i n
方程解表示为： x C1 cosnt C2 sin nt
第一章 单自由度系统自由振动
一. 单自由度系统的自由振动
1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在
重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。 下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。
设弹簧原长为l0，刚性系数为k。
在重力P=mg 的作用下
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t，其 运动规律x（t）总可以写为: x（t）= x（t+T）
T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。
考虑无阻尼自由振Hale Waihona Puke Baidu微分方程
d2x dt 2
2 n
x
0
解为：
x Asin(nt )
角度周期为2π，则有:
[n (t T ) ] (nt ) 2
l0
弹簧变形为δs，称为静变形，该位置为平
衡位置。重力和弹簧力。
st
Fst k st
P mg
O
平衡时满足：
mg k st
st
mg k
x
取重物的平衡位置点O为坐标原点，取x轴
的正向铅直向下。受力如图 。
x
Fst
mg
F P
弹簧力F： F k(x st )
l0
由质点运动微分方程可列：
广义振动： 任一物理量(如位移、电流等)在
某一数值附近反复变化。
一、振动工程的重要性
• 1. 大型回转机械动态失稳造成事故 • 2. 桥梁由于共振、风激振动倒塌 • 3. 产品包装 • 4. 汽车舒适性，航天工程 • 5. 机床加工质量 • 6. 夯士、振动检测
国家重点工程:长江三峡水利 枢纽工程,135米蓄水前中孔 闸门振动试验现场(2003年4 月应用锤击模态法)
则自由振动的周期为：
T 2 n
可得： 其中
T 2 n
n
2
1 T
2f
f 1 T
称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为ωn=2πf 所以ωn表示2π秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由
2 n
k m
n
k m
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与 运动的初始条件无关；
自由振动中的振幅A和初相位θ是两个待定常数，它们由运动 的初始条件确定。
设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和θ，
x Asin(nt )
st
m
d2x dt 2
P
k ( st
x)
mg k st
O x
F
m
d2x dt 2
kx
x
P
表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。
在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取 在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。