能量衡算方程式

能量衡算方程式
在图1-9所示的定态流动系统中，流体从截面1-1′流入，经粗细不同的管道，从截
面2-2′流出。

管路上装有对流体作功的泵2及向流体输入或从流体取出热量的换热器1。

衡算范围：内壁面、1-1′与2-2′截面间。

衡算基准：1kg流体。

基准水平面：o-o′
设u1、u2分别为流体在截面1-1′与2-2′处的流速，m/s；p1、p2分别为流体在截
面1-1′与2-2′处的压强，Pa。

1kg流体进、出系统时输入和输出的能量有下面各项：
（1）内能物质内部能量的总和称为内能。

1kg流体输入与输出的内能分别以U1和
U2表示，其单位为J/kg。

（2）位能流体因受重力的作用，在不同的高度处具有不同的位能，相当于质量为m
的流体自基准水平面升举到某高度Z所作功，即：
位能=mgZ
位能的单位是N·m或者J。

1kg流体输入与输出的位能分别为gZ1与gZ2，其单位为J/kg。

位能是个相对值，随
所选的基准水平面位置而定，在基准水平面以上的位能为正值，以下的为负值。

（3）动能流体以一定的速度运动时，便具有一定的动能．质量为m，流速为u的流体所具有的动能为：
动能=mu2/2 动能的单位是N·m或J
1kg流体输入与输出的动能分别为u12/2与u22/2，其单位为J/kg。

（4）静压能(压强能) 静止流体内部任一处都有一定的静压强。

流动着的流体内部任
何位置也都有一定的静压强。

如果在内部有液体流动的管壁上开孔，并与一根垂直的玻璃
管相接，液体便会在玻璃管内上升，上升的液柱高度便是运动着流体在该截面处的静压强
的表现。

对于图1-9所示的流动系统，流体通过截面1-1′时，由于该截面处流体具有一
定的压力，这就需要对流体作相应的功，以克服这个压力，才能把流体推进系统里去。

于
是通过截面1-1′，的流体必定要带着与所需的功相当的能量进入系统，流体所具有的这
种能量称为静压能或流动功。

设质量为m、体积为Vl的流体通过截面1-1′，把该流体推进此截面所需的作用力为p1A1，而流体通过此截面所走的距离为V1/A1，则流体带入系统的静压能为：
对1kg流体，则：
同理，1kg流体离开系统时输出的静压能为p2v2，其单位为J/kg。

图1-9所示的定态流动系统中，流体只能从截面1-1′流入，面从截面2-2′流出，因此上述输入与输出系统的四项能量，实际上就是流体在截面1-1′及2-2′上所具有的各种能量，其中位能、动能及静压能又称为机械能，三者之和称为总机械能或总能量。

此外，在图1-9中的管路上还安装有换热器和泵，则进，出该系统的能量还有：
(1)热设换热器向1kg流体供应的或从1kg流体取出的热量为Qc，其单位为J/kg。

若换热器对所衡算的流体加热，则Qc为从外界向系统输入的能量，若换热器对所衡算的流体冷却，则Qc为系统向外界输出的能量。

(2)外功(净功) 1kg流体通过泵(或其他输送设备)所获得的能量，称为外功或净功，有时还称为有效功，以Wc表示，其单位为J/kg。

根据能量守恒定律，连续定态流动系统的能量衡算是以输入的总能量等于输出的总能量，为依据的，于是便可列出1ks流体为墓准的能量衡算式，即：
（1-17）
令
式1-17又可写成：
（1-17a）
式1-17与1-17a是定态流动过程的总能量衡算式，也是流动系统中热力学第一定律的
表达式。

方程式中所包括的能量项目较多，可根据具体情况进行简化。

二、流动系统的机械能衡算式与柏努力（Bernoulli）方程式
（一）流动系统的机械能衡算式
在流体输送过程中，主要考虑各种形式机械能的转换。

为便于使用式1-17或1-17a，可把ΔU和Qc从式中消去，从而得到适用于计算流体输送系统的机械能变化关系式。

因图1-9中的换热器按加热器来考虑，则根据热力学第一定律知：
（1-18）
实际上，Qc′应当由两部分所组成：一部分是流体与环境所交换的热，即图1-9中换热器所提供的热量Qc；另一部分是由于流体在截面1-1′与2-2′间流动时，为克服流动阻力而消耗的一部分机械能，这部分机械能转变成热，致使流体的温度略微升高，而不能直接用于流体的输送，从实用上说，这部分机械能是损失掉了，因此常称为能量损失，设1kg流体在系统中流动，因克服流动阻力而损失的能量为Σhf，其单位为J/kg,所以
则式1-18可写成
（1-18a）
将式1-18a代入式1-17a，得：
（1-19）
因为
把上式代入式1-19中，可得：
（1-20）
式1-20是表示1kg流体流动时的机械能的变化关系，称为流体定态流动肘的机械能衡算式，对可压缩流体与不可压缩流体匀可适用。

由于一般输送过程中的流体，在多数情况下都可按不可压缩流体来考虑。

因此，后面着重讨论这个公式应用于不可压缩流体时的情况。

（二）柏努力方程式
不可压缩流体的比容v或密度ρ为常数，故式l-20中的积分项变为：
于是式1-20可改写成：
（1-21）
或
（1-21a）
若流体流动时不产生流动阻力，则流体的能量损失Σhf=0，这种流体称为理想流体。

实际上并不存在真正的理想流体，而是一种设想，但这种设想对解决工程实际问题具有重要意义。

对于理想流体，又没有外功加入，即Σhf=0及Wc=0时，式1-21a便可简化为：
（1-22）
式1-22称为柏努利方程式，式1-21及1-2la是柏努利方程式的引伸，习惯上也称为柏努利方程式。

柏努利方程式有两种推导方法，除了上述通过能量衡算推导外，有时还以理论解析法
为主，并通过实验加以验证，其具体步骤为：
（1）在流动的理想流体中取一微元立方体，并分析其受力情况。

（2）以牛顿第二运动定律为依据，建立理想流体运动微分方程式。

（3）在特定条件下，对理想流体运动微分方程进行积分，得出理想流体沿流线稳态
流动的柏努利方程式，但此式不能直接用于工程实际计算中。

（4）根据流管的概念，将沿流线定态流动的柏努利方程式演变为沿管道定态流动的
柏努利方程式。

三、柏努力方程式的讨论
（1）式1-22表示理想流体在管道内作定态流动，而又没有外功加入时，在任一截面
上单位质量流体所具有的位能，动能、静压能之和为一常数，称为总机械能，以E表示，
其单位为J/kg。

常数意味着1kg理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械能可以相互转换。

例如，某种理想流体在水平
管道中稳态流动，若在莱处管道的截面积缩小时，则流速增加，因总机械能为常数，静压
能就要相应降低，即一部分静压能转变为动能，反之，当另一处管道的截面积增大时，流
速减小，动能减小，则静压能增加。

因此，式1-22也表示了理想流体流动过程中各种形
式的机械能相互转换的数量关系。

（2）式1-2la中各项单位为J／kc，表示单位质量流体所具有的能量。

应注意gZ、
u2/2、p/ρ与Wc、Σhf的区别。

前三项是指在某截面上流体本身所具有的能量，而后两
项是指流体在两截面之间所获得和所消耗的能量。

（3）对于可压缩流体的流动，若所取系统两截面间的绝对压强变化小于原来绝对压
强的20%时，仍可用式1-21和1-22进行计算，但此时式中的流体密度ρ应以两截面间流体的平均密度ρm来代替。

这种处理方法所导致的误差，在工程计算上是允许的。

对于非定态流功系统的任一瞬间，柏努利方程式仍成立。

（4）如果系统里的流体是静止的，则u=o，没有运动，自然投有阻力，即Σhf=0；
由于流体保持静止状态，也就不会有外功加入，即Wc=0，于是式1-21a变成：
上式与流体静力学基本方程式无异。

由此可见，柏努利方程式除表示流体的流动规律外，还表示了流体静止状态的规律，而流体的静止状态只不过是流动状态的一种特殊形式。

（5）如果流体的衡算基准不同，式1-21a可写成不同形式。

①以单位重量流体为衡算基准。

将式1-21a各项除以g，则得：
令
则
（1-21b）
上式各项单位为m。

表示单位重量的流体所具有的能量。

各项单位还可简化为m，m虽是一个长度单位，但在这里却反映了一定物理童义，它麦示单位重量流体所具有的机械能，可以把它自身从基准水平面升举的高度。

②以单位体积流体为衡算基准。

将式1-21a各项乘以流体密度ρ，则
（1-21c）
上式各项单位为Pa，表示单位体积流体所具有的能量，简化后即为压强的单位。

采用不同衡算基准的柏努力方程式1-21b与1-21c，对后的“流体输送设备”章的计算很重要。